多普勒效应的原理及应用

2019年2月

多普勒效应的原理及应用

徐睦然（云南师范大学附属中学呈贡校区，650500）

【摘要】在科技飞速发展的现如今，多普勒效应已被广泛应用于物理学，医学，天文学等各大领域当中。我们可以通过它解释我们身边发生的不少现象，从而重新认识多普勒效应在这些领域中的应用。本文将以高中生的视角根据列车通过路口的实际情况建立合适的物理模型，从声学角度出发，在理论上重点分析列车发出声音的频率在不同条件下因多普勒效应产生的变化，并简单介绍多普勒效应在其他领域的应用。

【关键词】多普勒效应；物理建模；接收频率

【中图分类号】O442【文献标识码】A【文章编号】1006-4222（2019）02-0313-03

1引言

在日常生活中,我们发现:当列车通过路口时,我们听到

的声音音调会有所变化。这便是多普勒效应造成的现象。多普

勒效应是为纪念奥地利科学家多普勒(Christian Johann Doppler)

而以其名字命名的,他于1842年首次提出这一理论。这是一

种当波源与观察者存在相对运动时,观察者接收到的波的频

率会发生变化的现象,该现象被称为多普勒效应[1]。不仅在如

声波的机械波中会出现这样的现象,在光这类电磁波中也会

发生多普勒效应(光谱中的红移与蓝移)[1]。多普勒效应的应用

十分广泛,不仅在经典物理中,其在交通、医学、天文学等各个

领域更是发挥了显著作用。因此,对多普勒效应的原理及应用

的分析探究是具有重要意义的。在此基础之上,本文还将通过

建立列车通过时的实际情况建立物理模型帮助大家切实感受

多普勒效应,并对其在现代的具体应用作简单介绍。

2多普勒效应的原理

多普勒认为,当波源与观察者存在相对运动时,观察者接

收到的波的频率和波长会发生变化[2]。在波源频率保持不变的

情况下,波源相对观测者远离时,观测者接收的频率变低,波

长变长;而波源相对观测者靠近时,观测者接收的频率变高,

波长变短。

假设波源的频率为f0,波长为λ,周期为T,波在介质中传

播的速度为v,观测者接收到的波频率为f。以下将通过三种

情况讨论分析多普勒效应的作用效果:

2.1观测者相对于参考系静止，波源作相对运动

假设观测者静止,波源以速度v A相对于观测者运动(假

设v A方向与观测者成夹角α,如图1),则观测者接收到波的

频率为:

f=v v-v

A cosαf0(1)

式(1)说明,当波源相对于观测者运动方向成锐角时, cosα>0,观测者接收到波的频率比波源原本的频率大;当波源

相对于观测者运动方向成顿角时,cosα<0,观测者接收到波的频率比波源原本的频率小;当波源相对于观测者运动方向成直角时,cosα=0,观测者接收到波的频率与波源原本的频率相等。

2.2波源相对于参考系静止，观测者作相对运动

假设波源静止,观测者以速度vВ相对于波源运动(假设vВ方向与波源成夹角β,如图2),则观测者接收到波的频率为[3] f=v+vВcosβv f0(2)

式(2)说明,当观测者相对于波源运动方向成锐角时, cosβ>0,观测者接收到波的频率比波源原本的频率大;当观测

者相当于波源运动方向成钝角时,cosβ<0,观测者接收到波的频率比波源原本的频率小;当观测者相对于波源运动方向成直角时,cosβ=0,观测者接收到波的频率与波源原本的频率相等。

2.3波源与观测者同时作相对运动

假设波源以速度v A、观测者以速度vВ同时相对于参考系运动时(若v A和vВ相对于x轴有夹角,则分别设为α与β,如图3),观测者接收到波的频率为[3]:

f=v+vВcosβ

v-v A cosαf0(3)式(3)是普遍意义下机械波的多普勒效应的表达式,说明波源与观测者相向运动时,观测者接收到波的频率比波源原本的频率大;波源与观测者相离运动时,观测者接收到波的频率比波源原本的频率小。

综合以上多普勒原理的分析,我们不难知道,波源与观测者二者作相向运动时,观测者接收到波的频率大于波源原本的频率;二者作相离运动时,观测者接收到波的频率小于波源原本的频率;特别地,当二者不存在相对运动时,观测者接收到波的频率不发生变化。

进一步分析可知,二者在相向运动时,观测者接收到的波是被“压缩”的波,波长变短,接收频率升高;而二者在相离运动时,观测者接收到的波是被“拉伸”的波,波长变长,接收频率降低。

多普勒效应存在于任意波动过程之中,其在我们的日常生活中无处不在。下面本文将对生活中最常见的例子——

—列车运行过程进行分析,并以此为例具体阐述多普勒效应在生活中的应用。

3多普勒效应在列车运行中的应用

图1仅波源作相对运动示意图

图2仅观测者作相对运动示意图

图3波源与观测者同时作相对运动示意图

图4列车运动示意图

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如图4所示,我们可以根据实际情况抽象出平面直角坐标系中的理想化物理模型。将观测者与列车视为质点,假设v 为列车的运行速度,θ为列车与观测者的连线与列车速度v 的方向(即坐标平面中x 轴正方向)的夹角,r 为二者连线的长度。

假设观测者静止,下面分别讨论在列车运行速度不变、列车与观测者垂直距离改变的情况下,观测者接收到的声音频率随时间的变化规律;以及在列车与观测者垂直距离不变、列车运行速度改变的情况下,观测者接收到的声音频率随列车水平距离的变化规律。

3.1列车速度不变、

垂直距离改变时，接收频率随时间的变化

通过查阅相关资料,我们得知声速c 约为330m/s ,而列车发出的声音频率f 0可以大致取2000Hz 。

在此基础上,我们将列车速度v 设为30m/s ,观测者与列车的初始水平距离x 0设为-150m ,通过改变观测者距离列车轨道的垂直距离来探究观测者接收到的声音频率的变化。

将观测者距离列车垂直距离y 1=20m ,y 2=40m ,y 3=60m 代入公式:

f=c c-vcos θ

f 0(4)其中f 为观测者接收到的声音频率。

借助MATLAB 数学软件可以绘制出接收频率随时间变化的图像如图5。

从图5我们可以看出,在不同的垂直距离下,接收频率随时间均呈递增趋势,特别在4~6s 的时间段内不同位置的观测者接收到的声音频率都有明显的突增。而当观测者距离列车的垂直距离减少时,曲线在4~6s 内的突变率明显增加。且三条曲线在时间5s 处存在唯一交点(5s ,2000Hz ),通过匀速直线运动公式x=vt 可知,在时间5s 时列车恰好到达坐标原点,即与观测者直线距离最小处,这是由于在列车通过原点O 时,列车与观测者连线与列车运行方向的夹角θ=0,根据多普勒效应公式可知,观测者接收到的声音频率f 就等于f 0=2000Hz 。

3.2垂直距离不变、

列车速度改变时，接收频率随列车水平距离的变化

同样假设观测者与列车之间的初始水平距离x 0为-150m ,固定观测者与列车轨道的垂直距离y 0为20m 。通过改变列车速度v 来探究观测者接收到声音频率随列车水平距离的变化。

将列车的速度v 1=20m/s ,v 2=30m/s ,v 3=40m/s 分别代入公式(4),借助MATLAB 可以绘制出接收频率随列车水平距离变化的图像如图6。

从图6我们看出,在不同的列车运行速度下,观测者的接收频率均随着列车水平距离的增加而增大,其中,在[-25m ,25m]范围内均存在明显突增。而列车速度增加时,图像的突增

率也随之增大。在区间[-∞,-50m]和[50m ,+∞]的区域中,接收频率没有明显变化。而三条曲线也同样交于点(0m ,2000Hz ),这说明在列车到达原点O 时,观测者接收到的声音频率f 就等于f 0=2000Hz 。

3.3总结与反思

上述分析过程是基于理想化的物理模型,在现实生活中还需考虑车型、路面情况、风速、观测者自身等众多因素对于声音频率带来的影响,而本文只考虑了几个特殊的情况。但是根据本文所建立的模型,我们已经可以得到列车音调变化的大致趋势。

通过上述基于多普勒效应的列车运行情况分析,我们可以推论,车辆快速从我们面前经过的瞬间,我们听到的音调变化确实是因为多普勒效应引起的,且列车轨道与我们的距离越近靠的越近、车速越快,其音调变化越明显。除了列车运行问题之外,生活中还有很多现象背后蕴藏着多普勒原理。例如在观看F1方程式比赛的时候,看台上站得越近的观众听到的音调变化越大,这就是多普勒效应引起的。

4多普勒效应在其他领域的应用

4.1多普勒效应在天文学领域的应用

在天文学方面,早在20世纪初,科学家爱德文·哈勃(Edwin Hubble )就运用多普勒效应得出宇宙正在膨胀。他发现如果恒星远离我们,它发出的光就会在光谱上向红端移动(红移);而如果恒星向我们靠近,它发出的光就会在光谱上向蓝端移动(蓝移),以此得出重要结论:星系看起来都在远离我们而去,且距离越远,远离的速度越高。在此之后红移蓝移被大量运用于天体相对于我们的运动速度的计算之中。该理论作为宇宙大爆炸理论基础被现在的大量科学家所推崇[1]。

4.2多普勒效应在医学领域的应用

在医学方面,多普勒效应也被应用于彩超当中。黑白B 超捕捉探头与反射物之间的相对运动造成的超声频率的变化,并通过编码使其成像变成彩色。彩超既具有二维超声结构图像的优点,又能提供血流动力学的丰富信息,并能够得到高清晰度的图像。除此之外,多普勒效应还被应用于类风湿关节炎诊断[5],新生儿先天性心脏病筛查[6]等医学诊断之中,其应用受到了广泛的重视和欢迎,在临床医学中被誉为“非创伤性血管造影”[3],大大降低了患者的痛苦。

4.3多普勒效应在生活中的应用

在生活中,汽车的测速技术也使用到了多普勒原理。测速仪向行驶中的车辆发射固定频率的超声波,接收者根据反射频率的变化就可以确定车速的具体数值[4]。

5总结

综合以上分析研究,我们发现,多普勒原理的适用范围十分广泛,不论是声波等机械波还是光波等电磁波,均存在多普

图5接收频率随时间变化的图

像

图6接收频率随列车水平距离变化的图

像

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