考研数学模拟考试(数学一)

考研数学模拟考试(数学一)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：22014年考研数学模拟试题（数学一）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设()f x 在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）. （A ）sin ()f x '（B ）sin ()x t f t dt ⋅⎰（C ）(sin )x f t dt ⎰（D ）[sin ()]x t f t dt +⎰解 选择B. 由题设知，sin ()t f t ⋅为偶函数，故sin ()x t f t dt ⋅⎰为奇函数.2.设111e ,0,()1e 1,0,x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩ 则0x =是()f x 的（）.（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点解 选择B. 1101e lim ()lim 11ex x x xf x --→→+==-，1101e lim ()lim 11ex x x xf x ++→→+==--，故0x =是()f x 的跳跃间断点.3.若函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导，且()()f x g x <，则必有（）. （A ）()()f x g x ->- （B ）()()f x g x ''< （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）()()x xf t dtg t dt <⎰⎰解 选择 C. 由函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导知， ()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内连续，00lim ()()x x f x f x →=，0lim ()()x x g x g x →=，而00()()f x g x <，故0lim ()lim ()x x x x f x g x →→<.4.已知级数11(1)n n n a ∞-=-∑和21n n a ∞=∑分别收敛于,a b ，则级数1n n a ∞=∑（）.【C 】(A)不一定收敛 (B) 必收敛，和为2a b + (C)必收敛，和为2a b - (D) 必收敛，和为2a b +解 选择D. 由级数11(1)n n n a ∞-=-∑收敛知，lim 0n n a →∞=，设11(1)n n n a ∞-=-∑，21n n a ∞=∑1nn a∞=∑的前n 项和分别为,,n n n s S σ，则lim ,lim n n n n s a S b →∞→∞==，2122k k a a a σ=+++L故22lim lim(2)2k k k k k s S a b σ→∞→∞=+=+，21221lim lim()2k k k k k a a b σσ++→∞→∞=+=+，所以lim 2n n a b σ→∞=+，级数1nn a∞=∑收敛，和为2a b +.5.设矩阵A 与101020101B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则()(2)r A r A E +-=（）.(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6解 选择A. 矩阵A 与B 相似，则2A E -与2B E -相似， 故()(2)()(2)213r A r A E r B r B E +-=+-=+=.6.设3阶方阵A 的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,ααα，令312(3,,2)P ααα=，则1P AP -=（）.（A ）900010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）300010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）100040009⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 因为3123,,2ααα分别为A 的对应特征值3,1,2的特征向量，故1P AP -=300010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.7. 设随机变量X 服从[1,1]-上的均匀分布，则X 与eXY -=（）.（A ）不相关 （B ）相关 （C ）独立 （D ）相关且不独立 解 选择A. 经计算得，(,)(,e)(e)e0XXXCov X Y Cov X E X EXE ---==-=，0XY ρ=.8. 设1,,n X X L 是取自正态总体(0,1)N 一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.（A ）~(0,1)nX N （B ）22(1)~(1)n S n χ--（C ）~(1)nX t n S-（D ）2121~(1,)n i i nX F n X =∑ 解 选择 D. 由一个正态总体的抽样分布知A ，B ，C 都正确，222211~(1),~()nii X Xn χχ=∑，但是它们不独立，不能推出2121~(1,)nii nX F n X=∑.9.设函数(,)f x y 具有连续偏导数，且2(,234)f x x x x -+=，(1,3)2x f =，则(1,3)y f = .解 答案为1-. 方程2(,234)f x x x x -+=两边对x 求导，得22(,234)(,234)(43)1x y f x x x f x x x x -++-+⋅-=，令1x =，得(1,3)(1,3)1x y f f +=，故(1,3)1y f =-. 10.微分方程(e 1)1xy y -'+-=的通解为 .解 答案为e e (1e )xxy C -=+. (e 1)(e1)e [e ]x xdxdxy dx C -----⎰⎰=+⎰ee ee e e (e e )e (e )e (1e )xxxxxxx xx dx C C C -----+--+-=+=+=+⎰.11.设2cos nn x anx ∞==∑，则2a = .解 答案为1. 2202cos 21a x xdx ππ==⎰12.设S 为锥面22(01)z x y z =+≤≤外侧，则 Sy dydz =⎰⎰ .解 答案为0. S 关于yoz 面反向对称，y 关于x 为偶函数，故0Sydydz =⎰⎰.13.设A 为n 阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组0Ax =的通解为 .解 答案为T(1,1,,1)k L ，k 为任意常数. 由题设知，*()1r A =，()1r A n =-，()1n r A -=且*AA A E O ==，故*A 的列向量T(1,1,,1)L 是0Ax =的基础解系.14.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布(0,1)N ，则{}max(,)0P X Y ≥= .解 答案为34. {}{}{}max(,)01max(,)010,0P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<{}{}231001(0)4P X P Y Φ=-<<=-=.三、解答题（本题共9小题，满分94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本题满分9分）设(,)u f x z =，而(,)z z x y =是由方程()z x y z ϕ=+所确定的隐函数，其中f 具有连续偏导数，而ϕ具有连续导数，求du .解 取全微分x z du f dx f dz =+，()()()1()dx z dydz dx z dy y z dz dz y z ϕϕϕϕ+'=++⇒='-，故()11z z x f f du f dx dy y y ϕϕϕ=++''--.16. （本题满分10分）设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且()e cos t x nf x t dt x -=⎰.⑴求()f x ；⑵ 设(0)n a f =，求级数1112nn n a ∞+=+∑的和. 解 ⑴令u x t =-，则()e ()ee()e t x u x u x x nnnnxf x t dt f u du f u du ---=-=⎰⎰⎰，故0e()e cos x u x nnf u du x -=⎰，即0()e e cos u x x nnf u du x --=⎰，上式两边对x 求导，得1()ee cos e sin x x xnnnf x x x n---=--，即1()cos sin f x x x n=--. ⑵ 1(0)n a f n ==-，级数111111122n n n n n a n ∞∞++==+=-∑∑，1100111()1111ln(1),11n x x n n n x s x x x dx x dx x x x n x +∞∞-===-=-=-=+-<-∑∑⎰⎰11111()1ln 2222n n n a s ∞+=+==-∑. 17. （本题满分10分）设球体2222(0)x y z az a ++≤>的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例系数0k >），求球体的质量M 及球体绕z 轴旋转的转动惯量z I . 解 由题设知，球体Ω上任一点的密度222(,,)k x y z x y z ρ=++，球体的质量222(,,)k M x y z dV dV x y zΩΩρ==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22cos 22204sin 3a k d d r dr ka r ππϕθϕϕπ==⎰⎰⎰. 转动惯量2222222()()(,,)z k x y I x y x y z dV dV x y zΩΩρ+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22cos 334216sin a d d kr dr ka ππϕθϕϕπ==⎰⎰⎰.18. （本题满分11分）设函数()f x 在[2,4]上连续，在(2,4)内可导，且423(2)(1)()f x f x dx =-⎰，证明：存在(2,4)ξ∈，使得2()()1f f ξξξ'=-. 证 令2()(1)()F x x f x =-，则2()2(1)()(1)()F x x f x x f x ''=-+-， 由积分中值定理知，存在[3,4]c ∈，使得4223(2)(1)()(1)()f x f x dx c f c =-=-⎰，即(2)()F F c =，由罗尔定理知，存在(2,)(2,4)c ξ∈⊂，使得()0F ξ'=，即22(1)()(1)()0f f ξξξξ'-+-=，即2()()1f f ξξξ'=-. 19. （本题满分10分）（数学一）证明：在右半平面0x >上，曲线积分22(4)()4Lx y dy x y dxx y ++-+⎰与路径无关，并求一个二元函数(,)u u x y =，使得22(4)()4x y dy x y dxdu x y ++-=+.证 22224,44x y x yP Q x y x y-+==++， 222222222242(4)48(4)(4)Q x y x x y y xy x x x y x y ∂+-+--==∂++， 2222222222(4)8()48(4)(4)P x y y x y y xy x y x y x y ∂-+----==∂++， 在右半平面0x >上，Q Px y ∂∂=∂∂，故曲线积分22(4)()4Lx y dy x y dx x y ++-+⎰与路径无关. 解 所求函数(,)22(1,0)(4)()4x y x y dy x y dxu x y ++-=+⎰，取积分路径为(1,0)到(,0)x ，再到(,)x y 的折线段，则22221001(4)121ln [arctan ln(4)]422yx y x y dy y u dx x x y x x y x +=+=++++⎰⎰ 22121arctan ln(4)22y x y x =++. 20. （本题满分11分）设二维随机向量(,)X Y 联合概率密度为, 0,(,)0, y xe x y f x y -⎧<<=⎨⎩其它.求⑴条件概率密度()Y X f y x ；⑵Z X Y =+概率密度. 解 画出联合概率密度的非零区域. ⑴关于的边缘密度0,0,()(,)x f x f x y dy +∞≤⎧==⎨⎰条件概率密度0,,(,)()(),.Y X x yX y x f x y f y x f x e y x -≤⎧==⎨>⎩ ⑵Z X Y =+的取值范围为(0,)+∞ 当0z ≤时，()0Z F z =，当0z >时，{}{}()(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰2220()z z z z x z x yyx x z xxdx xe dy dx xe dy x e e dx ------===-⎰⎰⎰⎰⎰220z z xzx xe dx exe dx --=-⎰⎰20,0()()(1),02z Z z z f z F z z e e z --≤⎧⎪'==⎨-+>⎪⎩ 21.（本题满分11分）设1,,n X X L 是取自总体X 一个简单随机样本，X 的概率密度为ln ,0,()010,0,x x f x x θθθ⎧->=<<⎨≤⎩，⑴求未知参数θ的矩估计量；⑵求未知参数θ的最大似然估计量. 解 ⑴1()ln EX xf x dx θ+∞-∞==-⎰，令11ln XX EX e θθ-==-⇒=， 所以θ的矩估计为1ˆXe θ-=.⑵似然函数11()ln (ln )(ln )nini x x xn L θθθθθθθ=∑=--=-L ，1ln ()()ln ln(ln )ni i L x n θθθ==+-∑1ln ()1()0ln n i i L n x θθθθθ=∂=+=∂∑，解得1ln x θ=-，1x e θ-=， 所以θ的最大似然估计为xe 1-∧=θ.22.（11分）已知两个向量组()()TT121,2,3,1,0,1αα==与()()TT121,2,,4,1,5t ββ=-=. ⑴t 为何值时，两个向量组等价？⑵两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式. 解 ⑴对矩阵()1212,,,A ααββ=作初等行变换，得()121211141114,,,2021~024********A t t ααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭1114~02470010t -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭， 当1t =时，12112(,,)(,)r r ααβαα=，12212(,,)(,)r r ααβαα=，12,ββ可由12,αα线性表示，且12112(,,)(,)r r ββαββ=，⑵两个向量组等价时，1101211147~0247~012200000000A ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭， 故112212172,22βααβαα=-=+，1122127412,9999αββαββ=+=+. 23.（11分）已知二维向量α不是二阶方阵A 的特征向量.⑴证明,A αα线性无关；⑵若260A A ααα+-=，求A 的全部特征值，并判断A 能否与对角矩阵相似. ⑴证 设120k k A αα+=，则20k =，否则12k A k αα=-，α是的A 特征向量，与题设矛盾，将20k =代入120k k A αα+=，得10k α=，又0α≠，故10k =，所以,A αα线性无关； ⑵解 2260(6)0A A A A αααα+-=⇒+-=(3)(2)0A E A E α⇒+-=或者(2)(3)0A E A E α-+=，(3)(2)(3)(2)0A E A E A E A ααα+-=+-=，又20A αα-≠，故3A E +有一个特征值为0，从而A 有一个特征值为3-，同理，2A E -有一个特征值为0，从而A 有一个特征值为2，故A 的特征值为3-和2. 由于二阶方阵A 有两个不同的特征值，故A 能与对角矩阵相似.。