考研数学模拟考试(数学一)

考研数学模拟考试(数学一)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

2

2014年考研数学模拟试题（数学一）

参考答案

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）

1.设()f x 在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）. （A ）sin ()f x '（B ）

sin ()x t f t dt ⋅⎰

（C ）

(sin )x f t dt ⎰

（D ）

[sin ()]x t f t dt +⎰

解 选择B. 由题设知，sin ()t f t ⋅为偶函数，故

sin ()x t f t dt ⋅⎰

为奇函数.

2.设1

1

1e ,0,()1e 1,

0,x x

x f x x ⎧

+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩ 则0x =是()f x 的（）.

（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点

解 选择B. 1

10

1e lim ()lim 11e

x x x x

f x -

-→→+==-，1

10

1e lim ()lim 11e

x x x x

f x ++

→→+==--，故0x =是()f x 的跳跃间断点.

3.若函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导，且()()f x g x <，则必有（）. （A ）()()f x g x ->- （B ）()()f x g x ''< （C ）0

lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）

()()x x

f t dt

g t dt <⎰

⎰

解 选择 C. 由函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导知， ()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内连续，0

0lim ()()x x f x f x →=，

0lim ()()x x g x g x →=，而00()()f x g x <，故0

lim ()lim ()x x x x f x g x →→<.

4.已知级数

1

1

(1)

n n n a ∞

-=-∑和21

n n a ∞=∑分别收敛于,a b ，则级数1

n n a ∞

=∑（）.【C 】

(A)不一定收敛 (B) 必收敛，和为2a b + (C)必收敛，和为2a b - (D) 必收敛，和为2a b +

解 选择D. 由级数

1

1

(1)

n n n a ∞

-=-∑收敛知，lim 0n n a →∞

=，

设

1

1

(1)

n n n a ∞

-=-∑，21

n n a ∞

=∑

1

n

n a

∞

=∑的前n 项和分别为,,n n n s S σ，则lim ,lim n n n n s a S b →∞

→∞

==，

2122k k a a a σ=+++L

故22lim lim(2)2k k k k k s S a b σ→∞

→∞

=+=+，21221lim lim()2k k k k k a a b σσ++→∞→∞

=+=+，

所以lim 2n n a b σ→∞

=+，级数

1

n

n a

∞

=∑收敛，和为2a b +.

5.设矩阵A 与101020101B -⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

相似，则()(2)r A r A E +-=（）.

(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

解 选择A. 矩阵A 与B 相似，则2A E -与2B E -相似， 故()(2)()(2)213r A r A E r B r B E +-=+-=+=.

6.设3阶方阵A 的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,ααα，令312(3,,2)P ααα=，则1

P AP -=（）.

（A ）900010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）300010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

（C ）100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）100040009⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

解 因为3123,,2ααα分别为A 的对应特征值3,1,2的特征向量，故1

P AP -=300010002⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

.

7. 设随机变量X 服从[1,1]-上的均匀分布，则X 与e

X

Y -=（）.

（A ）不相关 （B ）相关 （C ）独立 （D ）相关且不独立 解 选择A. 经计算得，(,)(,e

)(e

)e

0X

X

X

Cov X Y Cov X E X EXE ---==-=，0XY ρ=.

8. 设1,,n X X L 是取自正态总体(0,1)N 一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.

（A ）~(0,1)nX N （B ）2

2

(1)~(1)n S n χ--（C ）~(1)nX t n S

-（D ）2

12

1~(1,)n i i nX F n X =∑ 解 选择 D. 由一个正态总体的抽样分布知A ，B ，C 都正确，22

221

1

~(1),

~()n

i

i X X

n χχ=∑，但是它们不独立，不能推出

2

121

~(1,)n

i

i nX F n X

=∑.