高中物理机械振动知识点汇总

一. 教学内容：
第十一章机械振动
本章知识复习归纳
二. 重点、难点解析
（一）机械振动
物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。

回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。

产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。

b、阻力足够小。

（二）简谐振动
1. 定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。

简谐振动是最简单，最基本的振动。

研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。

因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－k x，其中“－”号表示力方向跟位移方向相反。

2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。

3. 简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。

（三）描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。

1. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。

2. 周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。

振动的周期T跟频率f之间是倒数关系，即T=1/f。

振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。

（四）单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。

细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。

单摆做简谐振动的条件是：最大摆角小于5°，单摆的回复力F是重力在圆弧切线方向的分力。

单摆的周期公式是
T=。

由公式可知单摆做简谐振动的固有周期与振幅，摆球质量无关，只与L和g有关，其中L是摆长，是悬点到摆球球心的距离。

g是单摆所在处的重力加速度，在有加速度的系统中（如悬挂在升降机中的单摆）其g应为等效加速度。

（五）振动图象。

简谐振动的图象是振子振动的位移随时间变化的函数图象。

所建坐标系中横轴表示时间，纵轴表示位移。

图象是正弦或余弦函数图象，它直观地反映出简谐振动的位移随时间作周期性变化的规律。

要把质点的振动过程和振动图象联系起来，从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、加速度，回复力等的变化情况。

（六）阻尼振动、受迫振动、共振。

简谐振动是一种理想化的振动，当外界给系统一定能量以后，如将振子拉离开平衡位置，放开后，振子将一直振动下去，振子在做简谐振动的图象中，振幅是恒定的，表明系统机械能不变，实际的振动总是存在着阻力，振动能量总要有所耗散，因此振动系统的机械能总要减小，其振幅也要逐渐减小，直到停下来。

振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动，阻尼振动虽然振幅越来越小，但振动周期不变，振幅保持不变的振动叫无阻尼振动。

振动物体如果在周期性外力──策动力作用下振动，那么它做受迫振动，受迫振动达到稳定时其振动周期和频率等于策动力的周期和频率，而与振动物体的固有周期或频率无关。

物体做受迫振动的振幅与策动力的周期（频率）和物体的固有周期（频率）有关，二者相差越小，物体受迫振动的振幅越大，当策动力的周期或频率等于物体固有周期或频率时，受迫振动的振幅最大，叫共振。

【典型例题】
[例1] 一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v（v≠0）相同，那么，下列说法正确的是（）
A. 振子在M、N两点受回复力相同
B. 振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C. 振子在M、N两点加速度大小相等
D. 从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
解析：建立弹簧振子模型如图所示，由题意知，振子第一次先后经过M、N两点时速度v相同，那么，可以在振子运动路径上确定M、N两点，M、N两点应关于平衡位置O对称，且由M运动到N，振子是从左侧释放开始运动的（若M点定在O点右侧，则振子是从右侧释放的）。

建立起这样的物理模型，这时问题就明朗化了。

因位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同。

M、N两点关于O点对称，振子回复力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反。

由此可知，A、B选项错误。

振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C选项正确。

振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动。

振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误，由以上分析可知，该题的正确答案为C。

点评：（1）认真审题，抓住关键词语。

本题的关键是抓住“第一次先后经过M、N两点时速度v相同”。

（2）要注意简谐运动的周期性和对称性，由此判定振子可能的路径，从而确定各物理量及其变化情况。

（3）要重视将物理问题模型化，画出物理过程的草图，这有利于问题的解决。

[例2] 一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为多大?
解析：将物理过程模型化，画出具体的图景如图1所示。

设质点从平衡位置O向右运动到M点，那么质点从O 到M运动时间为0.13 s，再由M经最右端A返回M经历时间为0. 1 s；如图2所示。

另有一种可能就是M点在O点左方，如图3所示，质点由O点经最右方A点后向左经过O点到达M点历时0.13 s，再由M向左经最左端A，点返回M历时0.1 s。

根据以上分析，质点振动周期共存在两种可能性。

如图2所示，可以看出O→M→A历时0.18 s，根据简谐运动的对称性，可得到T1＝4×0.18 s＝0.72 s。

另一种可能如图3所示，由O→A→M历时t l＝0.13 s，由M→A’历时t2＝0.05 s
设M→O历时t，则4（t+t2）＝t1+2t2+t，解得t＝0. 01 s，则T2＝4（t+t2）＝0.24 s
所以周期的可能值为0.72 s和0.24 s
说明：
（1）本题涉及的知识有：简谐运动周期、简谐运动的对称性。

（2）本题的关键是：分析周期性，弄清物理图景，判断各种可能性。

（3）解题方法：将物理过程模型化、分段分析、讨论。

[例3] 甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（）
A. 两弹簧振子完全相同
B. 两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1
C. 振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D. 振子的振动频率之比f甲∶f乙=1∶2
解析：从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙=2∶1，得频率之比f甲∶f乙=1∶2，D正确。

弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A错误。

由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子受回复力（F=kx）的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，所以B错误，对简谐运动进行分析可知，在振子到达平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰到达平衡位置，所以C正确。

答案为C、D。

点评：（1）图象法是物理问题中常见的解题方法之一，是用数学手段解决物理问题能力的重要体现。

应用图象法解物理问题要明确图象的数学意义，再结合物理模型弄清图象描述的物理意义，两者结合，才能全面地分析问题。

（2）本题中涉及知识点有：振幅、周期、频率、影响周期的因素、简谐运动在特殊点的速度、回复力、简谐运动的对称性等。

（3）分析本题的主要方法是数与形的结合（即图象与模型相结合）分析方法。

[例4] 在海平面校准的摆钟，拿到某高山山顶，经过t时间，发现表的示数为t′，若地球半径为R，求山的高度h（不考虑温度对摆长的影响）。

解析：由钟表显示时间的快慢程度可以推知表摆振动周期的变化，而这种变化是由于重力加速度的变化引起的，所以，可以得知由于高度的变化引起的重力加速度的变化，再根据万有引力公式计算出高度的变化，从而得出山的高度。

一般山的高度都不是很高（与地球半径相比较），所以，由于地球自转引起的向心力的变化可以不考虑，而认为物体所受向心力不变且都很小，物体所受万有引力近似等于物体的重力。

（1）设在地面上钟摆摆长l，周期为T0，地面附近重力加速度g，拿到高山上，摆振动周期为T′，重力加速度为g′，应有
从而
（2）在地面上的物体应有
在高山上的物体应有
得
点评：（1）本题涉及知识点：单摆的周期及公式，影响单摆周期的因素，万有引力及公式，地面附近重力与万有引力关系等。

（2）解题关键：抓住影响单摆周期的因素g，找出g的变化与t变化的关系，再根据万有引力知识，推出g变化与高度变化关系，从而顺利求解。

[例5] 在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k1、k2的轻弹簧系住一个质量为m的小球。

开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球将在水平面上作往复振动。

试问小球是否作简谐运动？
解析：为了判断小球的运动性质，需要根据小球的受力情况，找出回复力，确定它能否写成F=－kx的形式。

以小球为研究对象，竖直方向处于力平衡状态，水平方向受到两根弹簧的弹力作用。

设小球位于平衡位置O左方某处时，偏离平衡位置的位移为x，则左方弹簧受压，对小球的弹力大小为f1=k1x，方向向右。

右方弹簧被拉伸，对小球的弹力大小为f2=k2x，方向向右。

小球所受的回复力等于两个弹力的合力，其大小为F=f1+f2=（k1+k2）x，方向向右。

令k=k1+k2，上式可写成F=kx。

由于小球所受回复力的方向与位移x的方向相反，考虑方向后，上式可表示为F=－kx。

所以，小球将在两根弹簧的作用下，沿水平面作简谐运动。

点评：由本题可归纳出判断物体是否作简谐运动的一般步骤：确定研究对象（整个物体或某一部分）→分析受力情况→找出回复力→表示成F=－kx的形式（可以先确定F的大小与x的关系，再定性判断方向）。

[例6] 如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。

现将重球（视为质点）从高于a位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d。

以下关于重球运动过程的正确说法应是（）
A. 重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动。

B. 重球下落至b处获得最大速度。

C. 重球下落至d处获得最大加速度。

D. 由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量。

解析：重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。

所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。

C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解
决这一难题。

重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a＇，使ab= a′b，根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a＇的加速度大小相等，方向相反，如图所示。

而在d点的加速度大于在a＇点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确。

答案：BCD
[例7] 若单摆的摆长不变，摆角小于5°，摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置的速度减小为原来的1/2，则单摆的振动（）
A. 频率不变，振幅不变
B. 频率不变，振幅改变
C. 频率改变，振幅改变
D. 频率改变，振幅不变
解析：单摆的周期T=，与摆球质量和振幅无关，只与摆长L和重力加速度g有关。

当摆长L和重力加速度g不变时，T不变，频率f也不变。

选项C、D错误。

单摆振动过程中机械能守恒。

摆球在最大位置A的重力势能
等于摆球运动到平衡位置的动能，即m gL（1－cosθ）=mυ2υ=，当υ减小为υ/2时，增大，减小，振幅A减小，选项B正确。

点评：单摆的周期只与摆长和当地重力加速度有关，而与摆球质量和振动幅无关，摆角小于5°的单摆是简谐振动，机械能守恒。

【模拟试题】
一. 选择题
1. 弹簧振子作简谐运动，t1时刻速度为v，t2时刻也为v，且方向相同。

已知（t2－t1）小于周期T，则（t2－t1）（AB ）
A. 可能大于四分之一周期
B. 可能小于四分之一周期
C. 一定小于二分之一周期
D. 可能等于二分之一周期
2. 有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片，如图所示，（悬点和小钉未被摄入），P为摆动中的最低点。

已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为（ C ）
A. L/4
B. L/2
C. 3L/4
D. 无法确定
3. A、B两个完全一样的弹簧振子，把A振子移到A的平衡位置右边10cm，把B振子移到B的平衡位置右边5cm，然后同时放手，那么（A ）
A. A、B运动的方向总是相同的
B. A、B运动的方向总是相反的
C. A、B运动的方向有时相同、有时相反
D. 无法判断A、B运动的方向的关系
4. 在下列情况下，能使单摆周期变小的是（ C ）
A. 将摆球质量减半，而摆长不变
B. 将单摆由地面移到高山
C. 将单摆从赤道移到两极
D. 将摆线长度不变，换一较大半径的摆球
5. 把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，筛子做自由振动时，完成20次全振动用15s，在某电压下，电动偏心轮转速是88 r/min，已知增大电动偏心轮的电压，可以使其转速提高，增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期，要使筛子的振幅增大，下列做法中，正确的是（A D）
A. 降低输入电压
B. 提高输入电压
C. 增加筛子的质量
D. 减小筛子的质量
6. 一质点作简谐运动的图象如图所示，则该质点（B D ）
A. 在0.015s时，速度和加速度都为－x方向。

B. 在0.01至0.03s内，速度与加速度先反方向后同方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小。

C. 在第八个0.01s内，速度与位移方向相同，且都在不断增大。

D. 在每1s内，回复力的瞬时功率有100次为零。

7. 摆长为L的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作t=0），当振动至时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的（ C ）
8. 将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。

某同学由此图线提供的信息做出了下列判断（ A ）
①s 时摆球正经过最低点。

②s 时摆球正经过最低点。

③摆球摆动过程中机械能减少。

④摆球摆动的周期是T＝1.4s。

上述判断中，正确的是
A. ①③
B. ②③
C. ③④
D. ②④
9. 甲乙两人同时观察同一单摆的振动，甲每经过2.0S观察一次摆球的位置，发现摆球都在其平衡位置处；乙每经过
3.0S观察一次摆球的位置，发现摆球都在平衡位置右侧的最高处，由此可知该单摆的周期可能是（ AB ）
A. 0.5S
B. 1.0S
C. 2.0S
D. 3.0S
10. 关于小孩子荡秋千，有下列四种说法：
①质量大一些的孩子荡秋千，它摆动的频率会更大些
②孩子在秋千达到最低点处有失重的感觉
③拉绳被磨损了的秋千，绳子最容易在最低点断开
④自己荡秋千想荡高一些，必须在两侧最高点提高重心，增加势能。

上述说法中正确的是（ B ）
A. ①②
B. ③④
C. ②④
D. ②③
二. 填空题
11. 如图所示，质量为m的物块放在水平木板上，木板与竖直弹簧相连，弹簧另一端固定在水平面上，今使m随M 一起做简谐运动，且始终不分离，则物块m做简谐运动的回复力是由重力和M对m支持力的合力提供的，当振动速度达最大时，m对M的压力为 mg 。

12. 如图所示为水平放置的两个弹簧振子A和B的振动图像，已知两个振子质量之比为m A :m B=2:3，弹簧的劲度系数之比为k A:k B=3:2，则它们的周期之比T A：T B＝ 2:3 ；它们的最大加速度之比为a A:a B＝ 9:2 。

13. 有一单摆，当它的摆长增加2m时，周期变为原来的2倍。

则它原来的周期是_1.64s________。

14. 某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验中，先测得摆线长为101.00cm，摆球直径为2.00cm，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为101.5 s。

则：
（1）他测得的重力加速度g =9.76 m/s2（计算结果取三位有效数字）
（2）他测得的g值偏小，可能原因是： CD
A. 测摆线长时摆线拉得过紧。

B. 摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了。

C. 开始计时时，秒表过迟按下。

D. 实验中误将49次全振动计为50次。

（3）为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出一组对应的l和T的数值，再以l为横坐标、T2为纵坐标将所得数据连成直线，并求得该直线的斜率K。

则重力加速度g = 4∏^2/K。

（用K 表示）
三. 计算题
15. 弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm.某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，求：
（1）振动的周期和频率； T=1s f=1Hz
（2）振子在5 s内通过的路程及位移大小；200cm 10cm
（3）振子在B点的加速度大小跟它距O点4 cm处P点的加速度大小的比值。

5:2
16. 观察振动原理的应用：心电图仪是用来记录心脏生物电的变化规律的装置，人的心脏跳动时会产生一股股强弱不同的生物电，生物电的变化可以通过周围组织传到身体的表面。

医生用引导电极放置于肢体或躯体的一定部位就可通过心电图仪记录出心电变化的波动曲线，这就是心电图。

请去医院进行调查研究，下面是甲、乙两人在同一台心电图机上作出的心电图分别如图甲、乙所示，医生通过测量后记下甲的心率是60次／分。

试分析：（1）该心电图机图纸移动的速度；v=0.025m/s
（2）乙的心动周期和心率0.8s 75次/分
17. 如图所示，一块涂有炭黑玻璃板，质量为2kg，在拉力F的作用下，由静止开始竖直向上运动。

一个装有水平振针的振动频率为5Hz的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线，量得OA=1cm，OB=4cm，OC=9cm，求外力F的大小。

（g=10m/s2，不计阻力）F=24N
18. 两个单摆摆长相同，一个静止于地面，一个个静止在悬浮于高空的气球中。

地面上的单摆摆动了n次全振动时，气球中的单摆摆动了n－1次全振动。

已知地球半径为R，求气球的高度？
H=R/(n-1)
【试题答案】
1. AB
2. C
3. A
4. C
解析：影响单摆周期的因素为摆长l和重力加速度g，当摆球质量减半时摆长未变，周期不变；当将单摆由地面移到高山时，g值变小，T变大；当单摆从赤道移到两极时g变大，T变小；当摆线长度不变，摆球半径增大时，摆长l增大，T变大，所以选C。

5. AD
6. BD
7. 解：从t=0时经过时间，这段时间为，经过摆球具有负向最大速度，说明摆球在平衡位置，
在给出的四个图象中，经过具有最大速度的有B、C两图，而具有负向最大速度的只有C。

所以选项C正确。

8. A 9. AB
10. 解析：秋千近似为单摆，其周期、频率由摆长l和当地的重力加速度决定，与质量无关，故知①错；具有向下的加速度时处于失重状态，而在最低点具有向上的向心加速度，故②错；最低点绳子承受的拉力最大，故在最低点易断，故③对；在最高点提高重心，可使体内化学能转化为机械能（势能），可荡得高一些，可见④亦正确，答案：B
11. 重力和M对m的支持力的合力；mg。

12. 2：3；9：2
13. 解：
设该单摆原来的摆长为L0，振动周期为T0；则摆长增加2m后，摆长变为
L=（l0+2）m，周期变为T=2T0。

由单摆周期公式，有T0=
2 T0=联立上述两式，可得L0=m T0=1.64s
14. （1）9.76 （2） B （3）4π2/K。

15.（1）设振幅为A，由题意BC＝2A＝20 cm，所以A＝10 cm
振子从B到C所用时间t＝0.5 s，为周期T的一半，所以T=1.0 s；f==1.0 Hz
（2）振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t′=5 s=5T内通过的路程s=×4A=200 cm
5 s内振子振动了5个周期，5 s末振子仍处在B点，所以它偏离平衡位置的位移大小为10 cm
（3）振子加速度a=－x，a∝x.所以a B∶a P=x B∶x P=10∶4=5∶2
16.（1）25mm/s（2）0.8s；75次/分
17. 设板竖直向上的加速度为a，则有：s BA－s AO=aT2①
s CB－s B A=aT2②
由牛顿第二定律得F－mg=ma③
解①②③式可求得F＝24 N
18. 解析：T==2πT’==2π
所以==
所以h=
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