理论力学 摩擦

b 0 Fa FSc FN
列补充方程
FS fS FN
fSaF FS b f Sc rP(b fSc) F fS Ra
例：滑块A、B分别重100N, 由图示联动装置连接, 杆AC平行于斜 面, CB水平, C是光滑铰链, 杆重忽略不计, 滑块与接触面间的静摩 擦系数都是fS＝0.5, 试确定不至引起滑块移动的铅垂力F。 解：分析系统可知 , 滑块A 只有向 左滑动的趋势 , 而滑块B有两种滑 动趋势：
所以
FCA FCA F 22.4 N 2 2
即当F大于此值时滑块A将向 左滑动。
(2) 取滑块B分析, 设F较小, B有下滑趋势, 滑动摩擦力沿斜面向上。
1 FSB1 cos30 FNB1 sin30 0 Fx 0: FCB
Fy 0: FNB1 cos30 FSB1 sin30 PB 0
F'CB2 B
PB
1 3 fS FS2B 2 PB 151.5 N 解出 FCB FN2B 3 fS 2 FCB F 87.4 N 即当F大于此值时滑块B将向上滑动。 3
综上所述, 当F＞22.4 N时滑块A将向左滑动, 当F＜2.83 N时滑 块B将向下滑动。
例:重W的方块放在水平面上, 并有一水平力P作用。设方块底面 的长度为b, P与底面的距离为a, 接触面间的静摩擦系数为fS , 问 当P逐渐增大时, 方块先行滑动还是先行翻倒？ P 解:1.假定方块处于滑动临界平衡状态
jf j
FN
Fmax
4.1.4 自锁现象
放置于斜面上的重物 , 只有当斜面的倾角小于摩擦角 , 即a≤jf时, 物块A在铅直重力P的作用下才不沿斜面下 滑。
a jf
jf q
FRA
A
a
P

4.1.4 自锁现象
(1) 如果作用于物块的全部主动 力的合力FR的作用线在摩擦角jf 之内, 则无论这个力怎样大, 物块 必保持静止。这种现象称为自锁 现象。
0 FS Fmax
由实验证明 : 最大静滑动摩擦力的大小与两物体间的 法向反力的大小成正比, 即：
Fmax fs FN
这就是静滑动摩擦定律。式中fs称为静滑动摩擦系数。
静摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体的材 料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关, 而与接 触面积的大小无关。
tan jf fs 0.1 jf 5 43
为保证螺旋千斤顶自锁 , 一般取 螺纹升角q＝4º ～4º 30'
4.2 考虑摩擦的平衡问题
考虑摩擦时, 求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大 致相同, 但有如下的几个特点： (1)分析物体受力时, 必须考虑接触面间切向的摩擦力Fs, 通常增加了未知量的数目;
Fx 0: P Fmax 0
Fy 0: FN W 0
列补充方程
b
a
P W Fmax C A FN a
Fmax fS FN
P = Fmax= fSFN = fSW
2. 假定方块处于翻倒临界平衡状态,画受力图。
b M A ( F ) 0 : W Pa 0 2
C
A
B 30°
当F较小时有向下滑动的趋势；
当F较大时则有向上滑动的趋势。
F
先取铰链C分析
Fx 0: FCB FCA cos30 0
C
FCA F
Fy 0: FCA sin30 F 0 FCA 2F , FCB 3F 或
FCB
FCA FCB F , F 2 3
4.1.1 静滑动摩擦力
FN
FS
F
Fx 0 : FS F 0 FS F
P 静摩擦力的大小随水平力 F的增大而增大, 这是静摩擦 力和一般约束反力共同的性质。
静摩擦力又与一般约束反力不同 , 它并不随力F的增大 而无限度地增大。 当力F的大小达到一定数值时 , 物块处于将要滑动、但 尚未开始滑动的临界状态。这时, 只要力F再增大一点, 物块即开始滑动。
FR
jf
j
FN
FR
j
FN
Fs
Fmax
4.1.3 摩擦角
角jf与静滑动摩擦系数fs的关系为： FR
jf
Fmax fs FN tan jf fs FN FN
FN
Fmax 即：摩擦角的正切等于静摩擦系数。摩擦角与摩擦系 数一样, 都是表示材料的表面性质的量。
当物块的滑动趋势方向改变时, 全约束反力作用线的方 位也随之改变。 在临界状态下, FR的作用线 将画出一个以接触点 A 为顶 点的锥面, 称为摩擦锥。
jf jf
q
FR
A FRA
jf
j
4.1.4 自锁现象
斜面的自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角。
jf
a jf
a
q
FRA
A
P 斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。
4.1.4 自锁现象
螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的 斜面, 螺纹升角q就是斜面的倾角。
螺母相当于斜面上的滑块A, 加于螺 母的轴向载荷P, 相当物块A的重力, 要使螺纹自锁, 必须使螺纹的升角q 小于或等于摩擦角jf。 螺旋千斤顶的螺杆与螺母之间的摩 擦因数为fs＝0.1
(3) 仍取滑块B分析, 设F较大, B有向上滑动的趋势, 滑动摩擦力 沿斜面向下。
2 FSB2 cos30 FNB2 sin30 0 Fx 0: FCB
Fy 0: FNB2 cos30 FSB2 sin30 PB 0
假设滑块B处于临界滑动状态, 则
FSB 2 fS FNB 2
4.1.1 静滑动摩擦力
FN
FS
F P
FS F
当物块处于平衡的临界状态时 , 静摩擦力达到最大值 , 即为最大静滑动摩擦力, 简称最大静摩擦力, 以Fmax表示。 如果F再继续增大, 但静摩擦力不能再随之增大, 物体将 失去平衡而滑动。这就是静摩擦力的特点。
静摩擦定律（库仑摩擦定律）
静摩擦力的大小随主动力的情况而改变, 但介于零与最 大值之间:
(1) 取滑块A分析, 求出使A滑动的力F
PA
A
F'CA FSA
cos30 FSA 0 Fx 0: FCA
sin30 FNA PA 0 Fy 0: FCA
假设滑块A处于临界滑动状态, 则
FNA
FSA fS FNA
从上面三个方程中解出
2 0.5 100 FCA 44.8 N 3 fS 3 0.5 2 fS PA
4.1.2 动滑动摩擦力
动摩擦力与静摩擦力不同, 没有变化范围。一般情况 下, 动摩擦系数小于静摩擦系数, 即 f < fs。
实际上动摩擦系数还与接触物体间相对滑动的 速度大小有关。
对于不同材料的物体 , 动摩擦系数随相对滑动 的速度变化规律也不同。
多数情况下 , 动摩擦系数随相对滑动速度的增 大而稍减小, 但当相对滑动速度不大时, 动摩擦 系数可近似地认为是个常数。
4.1.1 静滑动摩擦力
在粗糙的水平面上放置一重为P的物体, 该物体在重力 P和法向反力FN的作用下处于静止状态。
FN FS
FN F
P P 今在该物体上作用一大小可变化的水平拉力F, 当拉力F 由零值逐渐增加但不很大时, 物体仍保持静止。
支承面对物体除法向约束反力FN外, 还有一个阻碍物体 沿水平面向右滑动的切向力 , 此力即静滑动摩擦力, 简 称静摩擦力, 常以FS表示, 方向向左。
4
4.1.3 摩擦角
当有摩擦时, 支承面对平衡物体的反力包含法向反力FN 和切向摩擦力Fs ,这两个力的合力称为支承面的全约束 反力, 即FR= FN + Fs, 它与支承面间的夹角j将随主动力 的变化而变化。
当物体处于临界平衡状态时 , j 角达到一最大值 jf 。全 约束力与法线间的夹角的最大值jf称为摩擦角。
3. 讨论: 比较 Wb/2a 与fW 可知
Wb P 2a
b P a
b (1)如果 fS 2a b (2)如果 fS 2a b (3)如果 fS 2a
则方块先翻倒。
W F
A FN
则方块先滑动。
则滑动与翻倒同时发生。
由于物块仅受重力 P和 全约束反力 FRA 作用而 平衡, 所以FRA与P应等 值、反向、共线, 因此 FRA必沿铅直线, FRA与 斜面法线的夹角等于 斜面倾角q。 当物块处于临界状态 时 , 全约束反力 FRA 与 法线间的夹角等于摩 擦角jf, 摩擦系数 即为
fs tan jf tan q
因为在这种情况下, 主动力的合 力FR与法线间的夹角q <jf, 因此, FR和全约束反力 FRA 必能满足二 力平衡条件, 且q j <jf 。
jf jf
FR
q
A
j
FRA
jf
4.1.4 自锁现象
(2) 如果全部主动力的合力FR的 作用线在摩擦角jf之外, 则无论 这个力怎样小, 物块一定会滑动。 在这种情况下, q > jf, 而j ≤jf , 支承面的全约束反力FRA和主动 力的合力 FR 不能满足二力平衡 条件。应用这个道理, 可以设法 避免发生自锁现象。
4.1.2 动滑动摩擦力
当滑动摩擦力已达到最大值时, 若主动力F再继续加大, 接触面之间将出现相对滑动。 此时, 接触物体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻力, 这 种阻力称为动滑动摩擦力, 简称动摩擦力, 以Fd表示。
实验表明: 动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比:
Fd f FN
式中f是动摩擦系数, 它与接触物体的材料和表面情况 有关。
当两个相互接触的物体具有相对滑动或相对滑动趋势 时 , 彼此间产生的阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力 , 称为滑动摩擦力。 摩擦力作用于相互接触处, 其方向与相对滑动的趋势或 相对滑动的方向相反, 它的大小根据主动力作用的不同, 可以分为三种情况: 即静滑动摩擦力, 最大静滑动摩擦 力和动滑动摩擦力。 若仅有滑动趋势而没有滑动时产生的摩擦力称为 静滑 动摩擦力; 若存在相对滑动时产生的摩擦力称为动滑动 摩擦力。