流体运动物理量的描述

•
1 u w 2 2 z x
1 v u 3 2 x y
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应变率张量及旋转张量分量的意义
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[例2]膨胀流动：线应变率与面积扩张率(3-1) 已知：设平面流场为
xx
u k x
yy
v 0 y
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[例2]膨胀流动：线应变率与面积扩张率(3-2) 说明x方向的线元以恒速率k 伸长，y方向的线元长度保持不变。 面积扩张率为
u v v k x y
说明面元的瞬时面积相对扩张率为常数。任何单位面积的流体面均以 恒速率k 扩张，通常将这种流动称为膨胀流（当k < 0时为收缩流）。 （2）设 t = 0时，质点位于M（x, y），t = t’ 时位于M ’ (x’， y’ )。 按（B2.3.2a）式求质点轨迹方程
(x, y, z 为自变量，t为参数）
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比较 • 拉格朗日法
分别描述有限质 点的轨迹 表达式复杂 不能直接反映 参数的空间分布 不适合描述流体 元的运动变形特性
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欧拉法
同时描述所有质 点的瞬时参数 表达式简单 直接反映参数 的空间分布 适合描述流体 元的运动变形特性
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3
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Dv v v v v a u v w ( v )v Dt t x y z t
u u u u ax u v w t x y z v v v v ay u v w t x y z w w w w az u v w t x y z
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[例3]线性剪切流：角变形率与旋转角速度(2-1) 已知：设平面流场为
u k y v 0
（k > 0，为常数）
求：试分析该流场的运动学特征。 解：该流场称为库埃特流。根据牛顿粘性定律还可测量流体的粘度，又 称为测粘流。这里仅讨论它的运动学性质。 速度分布如图所示。由流线微分方程 k y dy = 0,积分得流线方程为 y = C (C为常数)， 说明流线是平行于x轴的直线族。 x, y方向的线应变率和 x y平面内的角变形率分别为
（四）脉线与流体线 流体线 脉线 定义 相继通过某空间 某时刻标记的一串 点的质点连线 相连的质点连线 又称 染色线、烟 线或条纹线 时间线
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例 设流体运动由下列欧拉变数下的速度函 数给出。
u x t,
v y t,
w0
求 t 0 时过点 M（-1 1，-1 1）的流线及轨迹。 ）的流线及轨迹
3/ 2 1 C 11
可得C = －1/4 。
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[
例]不定常流场的迹线与流线(6-6) t = 1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为 x = 2 y－1/2 上式是一条与流体质点 A的迹线相切于（3/2，1） 点的斜直线，运动方向 为沿该直线朝 x, y值增大 方向。 (d)
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流管，流束与总流 流管： 流线围成的 管子 流束： 流管内的流体 缓变流流束：流线平行或接近平行 微元流束：有限截面无限小的流束 总流：微元流束的总和 在有效截面上取平均值，按一维 流动处理
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§2.6 速度分解定理
M 0 r M 0 x, y , z
dx d y t 1 1
这是过原点的一、三象限 角平分线，与质点A的迹线 在原点相切（见图）。
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[例]不定常流场的迹线与流线(6-5) (3)为确定t = 1时刻质点A的运动方向，需求此 时刻过质点A所在位置的流线方程。由迹线参数 式方程(a)可确定，t =1时刻质点 A位于x =3/2， y =1位置，代入流线方程(b)
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[例]不定常流场的迹线与流线(6-1) 已知：设速度场为 u = t t+1 ,v = 1，t = 0时刻 流体质点A位于原点。 求： （1）质点A的迹线方程； （2）t = 0时刻过原点的流线方程； （3）t = 1时刻质点A的运动方向。
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[例]不定常流场的迹线与流线(6-2) 解：此流场属无周期性的不定常流场。 (1)由欧拉迹线方程式，本例迹线方程组为 dx t 1 dt dy 1 dt 由上两式分别积分可得
旋转速率 线变形速率 角变形速率
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流体的变形(2-1) 1.线变形（以平面流动为例）
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(1)线应变率：线元在 x 方向的局部瞬时相对 伸长速率
u ( δx)δt u εxx = x = δxδt x
u v w 1 , 2 ,3 x y z
可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上 的速度分布 二维速度剖面 u ＝u ( x, y)
•
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三维速度廓线
u u ( x, y, z, t ) v v( x, y, z, t ) w w( x, y, z, t )
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§2.5 轨迹和流线 迹线 质点的运动轨迹 拉格朗日法 流线 切线与速度方 向一致的假想曲线 欧拉法
上式表明质点A的迹线是 一条以（－1/2，－1）为 顶点，且通过原点的抛物 线（见图）。
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[例]不定常流场的迹线与流线(6-4) （2）由流线微分方程式，
x (b) ( ) y c 积分可得 t 1 在 t = 0时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得C = 0，相应 的流线方程为 x = y （c）
v (a, b, c, t ) a t 2 r a, b, c, t 2 t
v v ( x, y , z , t )
p p ( x, y , z , t )
p p (a, b, c, t )
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(三) 随体导数
流体质点物理量随时间的 变化率称为随体导数
1 2 x t t c1 2 y t c2
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[例]不定常流场的迹线与流线(6-3) T = 0时质点A 位于x =y =0，得c1= c2= 0。质 点A的迹线方程为 消去参数 t 可得
1 2 1 1 2 x y பைடு நூலகம் y ( y 1) 2 2 2
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D v Dt t
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速度场
u u ( x, y, z, t ) v v( x, y, z, t ) v = v (x, , y, z, , t ) 速度分量： w w( x, y, z, t )
• 速度场是最基本的场
§2.4 描述流体运动的两种方法—— 拉格朗日方法和欧拉方法
随体法 描述方法 当地法 欧拉法 拉格朗日法
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质点轨迹：
r r(a,b,c,t b ) t
参数分布：B = B（x, y, z, t）
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(一) 拉格朗日描述
(二) 欧拉描 欧拉描述
r f F ( x, y, z , t ) F (r , t) v v ( a , b, c , t ) t
M r r M x x, y y , z z
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v v v v v0 x y z x y z u ( M ) u ( M 0 ) u u u u ( M 0 ) u dx d dy d dz d x y z v ( M ) v ( M ) v 0 v v v d d dy d dz v( M 0 ) x dx y z w( M ) w( M 0 ) w w w w w( M 0 ) d dx d dy d dz x y z
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亥姆霍兹速度分解定理 在 xy 平面流场中，M0 点 邻近 M 点的速度在 x 方向 的分量可分解为
M0 平移速度 M 相对M0的速度
1 u v u 1 u v u(M ) u(M0 ) ( )dy dx ( )dy 2 y x x 2 y x
dx kx dt dy 0 dt
t' x ' dx kdt x 0 x y C
x' ln kt ' x y y'
(a) (b)
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[例2]膨胀流动：线应变率与面积扩张率(3-3) 设k =1，由点a和a’，x’/x = 3，即x’=3x，y’=y，因此M’(x’,y’) =’(3x,y)。 abcd 和a a’b’c’d’ b c d 四角点的坐标分别为 a( 1, 3)， b( 2, 3)， c( 2, 4)， d( 1, 4)， a’( 3, 3)， b’(6, 3)，c’(6, 4) ， d’(3, 4)， a’b’c’d’ 的位置和形状如下图中虚线所示，说明从 t =0到t =t’，流体面 在x方向扩张了3倍.
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dx dy dz u(x, y, z, t) v(x, y, z, t) w(x, y, z, t)
r r (a,b,c,t )
u dx dt dy v dt dz w dt （t为自变量， x, y, z 为 t 的函数 ）
d zx u w 2 z x dt d xy v u y 3
x y dt
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流体的旋转
旋转角速度 两正交线元在xy 面内绕一点的旋 转角速度平均值 （规定逆时针方向为正） 1 v u z 2 x y 1 w v 1 2 y z
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(2)面积扩张率：面元的面积在平面内的局 部瞬时相对扩张速率
u v v x y
(3)体积膨胀率：体元的体积在空间的局部瞬 时相对膨胀速率
u v w v x y z
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流体的变形(续）(2-2) 2.角变形速率 两正交线元的夹角在 xy 平面内的局部瞬时 变化速率 v u xy x y d yz w v 1 dt y z
u kx v 0
（k > 0，为常数）
求：（1）流线、线应变率和面积扩张率表达式； （2）设k =1,t =0时刻边长为1的正方形流体面abcd位于图中所示 位置,求 t = t’ ’ 时刻点a(1,3)到达点a’ ’(3,3)时流体面a’b’c’d’ ’b’ ’d’ 的位置和形状。 解：(1)按流线微分方程式，因v =0得dy = 0， 积分可得流线方程为 y = C ( C为常数 ) 说明流线是平行于x轴的直线族。线应变率为
u xx 0, x
yy
v 0, y

v u k x y
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[例3]线性剪切流：角变形率与旋转角速度(2-2) 线元既不伸长也不缩短，互相正交的线元随时间增长夹角不断变化。 本例中k > 0 ，即 0 ，流体自左向右流动时正交线元的夹角不断 减小。流体的旋转角速度为