确定二次函数表达式

第二章二次函数

2.3 确定二次函数的表达式（一）

一、学生知识状况分析

学生已经学习了二次函数的一般式和顶点式表达式，二次函数的图像和性质，尤其对特殊类型的二次函数图像已有充分的认识。并初步具备了敢于探究与实践，乐于合作交流，善于总结提升的良好习惯，自主学习的愿望强烈，主动发展的意识浓厚。

二、学习任务分析

本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点。本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，同时还要启迪学生的思维，引导和规范学生学习。

三、教学目标

1、知识目标：

经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。

2、技能目标：

会用待定系数法求二次函数的表达式。

3、情感目标：

能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，加强学生的理想教育，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学学数学，将数学知识服务于生活的学习理念，养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，真正实现“和谐高效、思维对话”，培养数学的应用意识。

四、教学过程

本节课设计了六个教学环节：第一环节：小组讨论,引入课题；第二环节：问题思考；第三环节：合作学习；第四环节：巩固提高；第五环节：我的收获．

环节一：小组讨论,引入课题

如图 2-7 是一名学生推铅球时，铅球行进高度 y （m ）与水平距离 x （m ）的图象，你能求出其表达式吗？

解：设函数表达式为：y ＝a(x-h)2＋k ，由图象得顶点是(4，3)。

则y ＝a(x-4)2＋3，图像经过点(10，0)，故0＝a(10-4)2＋3，a=12

1-

所以函数表达式为y ＝121- (x-4)2＋3 观察图象可得该表达式是一个二次函数，已知二次函数顶点坐标（4,3）和与x 轴交点（10,0）。联系之前所学二次函数顶点式方程y ＝a(x-h)2＋k 。其顶点坐标为（h ，k ），此时若已知顶点坐标与函数上除顶点为任意一点坐标，将它们代入方程y ＝a(x-h)2＋k ，则得到关于a 的一元一次方程，解出该方程，记得到题目所要求的函数表达式。

环节二：问题思考

想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流.

让学生自行阅读课本42页例一和做一做，结合推铅球题目，思考确定二次函数的表达式需要几个条件，再与小组组员进行讨论。

学生可能得到的结果：

1、由刚刚题目得到已知二次函数顶点和除顶点外任意一点的坐标可以确定二次函数的表达式。

2、已知二次函数c ax y +=2上任意两点坐标，可求出该二次函数表达式。

3、已知二次函数与 y 轴交点的纵坐标，以及二次函数上任意两个点的坐标，可求出这个二次函数的表达式．

4、二次函数表达式c bx ax y ++=2有三个待定系数a ，b ，c ，如果有三个点的坐标代入表达式，则有关于待定系数a ，b ，c 的三个等式，由此可以解出a ，b ，c 的值，从而确定二次函数的表达式。

（此处学生总结出前三条即可，第四条不要求学生一定能总结出来）

环节三：合作学习

例一：已知二次函数 c ax y +=2 的图象经过点（2，3）和（-1，-3），求出 这个二次函数的表达式.

解：将点（2，3）和（-1，-3）分别代入二次函数c ax y +=2 中，得

3 =

4 a + c ，

-3 = a + c.

解这个方程组，得

a = 2，

c = -5.

∴ 所求二次函数表达式为： 522-=x y

（学生小组讨论该题解法，让学生积极探索，并和同伴进行交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现新知识。然后请同学讲一下如何解该题，最后老师板书解题过程，要求学生规范答题格式）

做一做：已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式．

解：设该二次函数为12++=bx ax y ，将点（2，5）和（-2，13）分别代入二次函数 12++=bx ax y 中，得

1245++=b a

12413+-=b a

解这个方程组，得

a=2

b=-2

（学生自行做题，不懂的向小组内懂的请教该题解法，然后请一位同学到黑板上板书解题过程，要求学生规范答题格式）

想一想

在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？ 学生根据之前所做题目可能总结出以下结论：

1、已知顶点坐标，再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式．

2、c bx ax y ++=2中的b=0，则知道图像上任意两点坐标可得这个二次函数的表达式．

3、c bx ax y ++=2中的c 已知，则知道图像上任意两点坐标可得这个二次函数的表达式．

教师总结：

1、二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：y ＝a(x-h)2＋k ，顶点是（h ，k ）．如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式．

2、二次函数的各项系数中有两个是未知的，知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式．

环节四：巩固练习

1．已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式．

2．已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象经过（1，1）与（2，3）两点．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2） 请你更换题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数 c bx ax y ++=2表达式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同．

环节五：我的收获

1. 因为二次函数中有三个待定系数，故确定二次函数的表达式需要3个条件

2. 如果已知顶点坐标以及二次函数图象上除了顶点外的另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式

3.二次函数的各项系数中有两个是未知的，知道图象上两点的坐标，也可以 确定这个二次函数的表达式．