第四章 滤波器设计

设计时通常设计线性相位系统。
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§4.2 FIR滤波器设计
例 用频率采样法设计一个低通滤波器，通带截止频率
p 0.2rad ，采样点数N=20，采用h(n)=h(N-n-1)
的偶对称情况。
解：∵N=20，在 [0,2 )范围内等间隔采样，采样间隔为：
显然，在通带共2有 3/个N采样0.点1r，ad分别是k=0,1,2
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§4.1 数字滤波器设计概述
带阻滤波器
幅频响应
1 0 w wc1 H (e jw ) 0 wc1 w wc2
1 wc2 w
相频响应
Φ＝－aw
wc 称为通带开始频率
H (e jw )
wc2wc1
wc1 wc2
h(n)


sin
（2）可得到多带幅频特性； （3）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题； （4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是满足； （5）无反馈运算，运算误差小。
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§4.1 数字滤波器设计概述
缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较 高的阶数为代价；
成关于 z1的有理分式
FIR数字滤波器 ：其系统函数通常可表示
成关于z 1的多项式
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§4.1 数字滤波器设计概述
FIR数字滤波器的特点： 优点 ：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理
的信号产生相位失真，这一特点在 宽频带信号处理、阵列信号 处理、数据传输等系统中非常重要；
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第四章 滤波器的设计
§4.1 数字滤波器设计概述 §4.2 FIR滤波器设计 §4.3 IIR滤波器设计
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§4.1 数字滤波器设计概述
一、滤波器设计目标：根据给定滤波器的频率 特性，求得满足该特性的传输函数。 数字滤波器 任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器（简 称DF）。设计数字滤波器的任务就是寻求一个因 果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H(z)具有 指定的频率特性。
高通
低通
•时域除 n=a点外 符号相 反
•频域上 相当于
低通平 移π
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§4.1 数字滤波器设计概述
带通滤波器 幅频响应 相频响应
0 0 w wc1 H (e jw ) 1 wc1 w wc2 Φ＝－aw 0 wc2 w
wc1, wc2称为通带截止频率
wc2wc1
又∵N为偶数，可得：H g (k) 11
0k 2 18 k 19

(k)



9.5
2 20
k

0 0.95k
3 k 17 0k 2
0.95 (20 k)
18 k 19
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§4.2 FIR滤波器设计
将 H g (k)和 (k)代入 H (k) H g (k)e j (k) 求得 H (k ) ，进而求得 H (z)或 h(n)
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§4.1 数字滤波器设计概述
低通滤波器
幅频响应
H (e jw )

0
1
w wc
wc w
相频响应 Φ=- aw
wc 称为截止频率
wc
H (e jw )
wc
h(n)
w
1 2
wc wc
e jawe jwndw


wc n

sin
wc
(n
H (e jw )
Φ＝－aw
1
0
wc
w
wc w

wc
wc
称为通带开始频率
H (e jw )
h(n)
wc w


1 wc n
sin wc (n a) (n a)
a n

0
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§3.1 数字滤波器设计概述
H
g
(k
)

01.39040

k
4, k 5,
36 k 39 k 35
0 6 k 34

(k)


19.5
2 40
k

0.975k
0.975 (40 k)
0k 5 35 k 39
过渡带为（2×），求得的单位脉冲响应 h(n)
wp1 2 * ( f0 B / 2 f p ) / fs 0.1917 wc1 2 * ( f0 B / 2 fc ) / fs 0.175
wp2 2 * ( f0 B / 2 f p ) / fs 0.31
wc2 2 * ( f0 B / 2 fc ) / fs 0.325
通带
阻带
s
过渡带
0
p
s
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§4.1 数字滤波器设计概述
（2）DF的相位特性性能要求
从信号不失真角度，其相位特性通常必须满足以下两个 要求之一：
① 相位线性。即： () 其中 称为时延常数
② () 具有群恒时延特性。即：
d () d


( )

常数
4
2
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H (e j ) H (z) ze j h(n)e jn n0 2
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§4.1 数字滤波器设计概述
（1）DF的幅度特性性能要求（低通为例）
H ()
1 p 1 p
p：通带波纹 s：阻带波纹 p ：通带截止频率 s ：阻带截止频率
：过渡带
§4.1 数字滤波器设计概述
数字滤波器设计采用角频率，如何与实际信号频率对应？ 角频率w，采样频率fs ,实际信号频率f的转换关系
w 2 f / fs 采样频率fs的角频率为 2
如何根据实际要求，确定出对应数字滤波器设计指标？
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§4.1 数字滤波器设计概述
例如：设计一个带通滤波器，通带可通过中心频率 为3MHz，带宽为1.2MHz的带通信号，系统采样频率为 24MHz。带通滤波器通带3dB衰减处距离带通信号通带边缘 100kHz，阻带衰减40dB处距离带通信号通带边缘300kHz。 根据数字带通滤波器的角频率技术指标：
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§4.2 FIR滤波器设计
FIR滤波器的设计就在于寻找一个频率响应
去逼近
，逼近方法有三种：
频率采样法（频域逼近）
窗口设计法（时域逼近）
最优化设计（等波纹逼近）
时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)
逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。hd(n)可以从理想频响 通过付氏反变换获得
hd
H (e jw )

w
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源自文库
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§4.1 数字滤波器设计概述
希尔伯特变换器： 把一个复信号的实部作为输入时，输出端输出的是该信 号的虚部 结论：对于一个实因果信号，其傅里叶变换实部和虚部 存在着Hilbert变换关系。通过此方法可构造出仅含有正 频率成分的复信号，可降低信号的抽样率
w0 2 * f0 / fs 0.25
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§4.1 数字滤波器设计概述
（2）数字带通滤波器的角频率频谱示意图为： H (e jw )
wc2 w0 wc1 0 wc1wp1 w0 wp1wc2

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§4.1 数字滤波器设计概述
设计滤波器理想频响包含：低通，高通，带通，带阻 对应到数字滤波器的频谱为：
H (e jw )
h(n)


sin
wc
2
(n
wc2
a)
wc1 sin
n wc1
(n
a
a)
wc1 wc2
w
(n a)
na
可看成是两个低通滤波器时域相减得到
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§4.1 数字滤波器设计概述
低通wc1 低通wc2
带通wc1－wc2
上例中H9=0.3904。对应的 H(ejω)的幅频特性，比H9=0.5时 的阻带衰减大大改善。
3）增大N 如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增
加采样点数N。代价是滤波器阶数增加，运算量增加。
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§4.2 FIR滤波器设计
窗口设计法是简单易行的方法：
Hd (e j ) hd (n) hd (n)w(n)
通带截止频率（以3dB衰减为准） 阻带截止频率（以40dB衰减为准） 带通滤波器中心频率 画出数字带通滤波器的角频率幅频响应频谱示意图
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§4.1 数字滤波器设计概述
解：（1） f0 3M B 1.2MHz
f p 100KHZ fc 300KHZ 0.3MHZ fs 24MHZ
wc
2
1 (n
wc2 wc1
a) sin wc1
na (n a)
w

(n a)
na
与带通滤波器互补
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§4.1 数字滤波器设计概述
带通滤波器 带阻滤波器
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§4.1 数字滤波器设计概述
微分器： 频率响应为 H (e jw ) j,
和幅度响应如下图所示。
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§4.2 FIR滤波器设计
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§4.2 FIR滤波器设计
增大阻带衰减三种方法： 1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。 2）过渡带的优化设计
利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要 求的滤波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）
H
g
(k
)

0.5925 0.1099
k 7, k 53 k 8, k 52
0 8 k 51

(k
)



29.5
2 60
k

0.983k
0k 8
0.983 (60 k)
52 k 59
过渡带为（2×）所得单位脉冲响应 h(n)
(n)

1 2
2 o
Hd
e j
e jn d
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§4.2 FIR滤波器设计
频率采样法是最直观的方法 一、基本思想
对给定频率响应的理想值作N点等间隔采样得到H(k)， 再对H(k)取N点的反傅里叶变换可得到一组h(n)。这种方法设 计出的系统频率响应在各wk处的值准确等于理想值。
窗口的影响：
H (e j ) h(n)
由卷积定理：H(ω)= W(ω)* Hd(ω): W(ω)= δ(ω)时， H(ω)= Hd(ω)
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§4.2 FIR滤波器设计
h(n)是通过一个 “窗口”所看到 的一段hd(n)
表达为h(n)和一 个“窗函数”的 乘积，即 h(n)=w(n) hd(n)
（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析 设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。
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§4.1 数字滤波器设计概述
IIR数字滤波器的特点： 优点：（1）可以利用模拟滤波器来进行设计 （2）同样性能条件下，阶数要小于FIR滤波器 缺点：（1）很难达到线性相位 （2）需要保证极点在单位圆内，系统才能稳定。

a)
(n a)
a n

a
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§4.1 数字滤波器设计概述
低通滤波器
h(n)

1 2
wc wc
e jawe jwndn


wc n

sin
wc
(n

a)
(n a)
a n

a
a
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§4.1 数字滤波器设计概述
高通滤波器
幅频响应 相频响应
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§4.1 数字滤波器设计概述
无论哪种数字滤波器，设计过程一般包括以下三个基本问题： ① 根据实际要求确定数字滤波器性能指标；(已知如何确定) ② 用一个因果稳定的系统函数去逼近这个理想性能指标； ③ 用一个有限精度的运算去实现这个传输函数。
现在要讨论的是问题2
数字滤波器
IIR数字滤波器：其系统函数通常可表示
和幅度响应如下图所示。 28
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§4.2 FIR滤波器设计
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§4.2 FIR滤波器设计
由上图 d）可见，这时阻带衰减达到了-43dB。为了进一
步增加阻带衰减，可再增加一个过渡采样点，并将采样点
数增加到60，两个过渡样点值经优化分别为=0.5925和
=0.1099, 相应的 H g (k) 和 (k)分别为 1 0 k 6, 54 k 59
其相位响应为线性相位。 过渡带为：2 其幅度响应如下图，图中还给出了其单位脉冲响应
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§4.2 FIR滤波器设计
由上图 d）可见，所设计的滤波器的阻带衰减很小，只有
-16dB。为了改进阻带衰减，在边界频率处增加一个过渡
点，为了保证过渡带宽不变，将采样点数增加一倍，变为
N=40，并将过渡点的采样值进行优化，取H1=0.3904，得到 和 H g (k分) 别为(k)