数值计算方法插值法

y n ln ( x ) y k l k ( x )
从而Pn ( x)是一个次数不超过n的多项式，且满足
以下就是拉格朗日基本多项式：
拉格朗日型n次插值多项式
已知函数y f ( x)在n+1个不同的点x0 , x1 , 的函数值分别为y0 , y1 , Pn ( xi ) yi， i 0,1, , n 的多项式Pn ( x)，使其满足 即n 1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。 , xn 上 , yn，求一个次数不超过n次
Pn ( x)是n 1个n次插值基本多项式l0 ( x), l1 ( x), 的线性组合，相应的组合系数是y0 , y1 , Pn ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) Pn ( xi ) yi， i 0,1, , n
n k 0
, ln ( x )
, yn。即
例子
例1：已知 lg10 1 , lg 20 1.3010，利用插值一次 多项式求 lg12的近似值。 解：f ( x) lg x，f ( x) lg x，f (10) 1，f (20) 1.3010 设x0 10，x1 20，y0 1，y1 1.3010， 则插值基本多项式为： x 20 1 x 10 1 l 0 ( x) ( x 20)，l1 ( x) ( x 10) 10 20 10 20 10 10
线性插值

插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知： yk 1 yk P 1 ( x ) yk ( x xk )，把此式按照 xk 1 xk
x xk 1 x xk yk 和yk 1写成两项:P 1 ( x) yk yk 1， xk xk 1 xk 1 xk x xk 1 x xk 记l k ( x) , lk 1 ( x) ， xk xk 1 xk 1 xk 称它们为一次插值基函数。
y
f(x)
P1(x)
y0 x0
y1 x1
y2 x2
x
拉格朗日插值公式

线性插值（一次插值）
已知函数f ( x)在区间 xk , xk 1 的端点上的函数值 yk f ( xk ), yk 1 f ( xk 1 )，求一个一次函数y P 1 ( x) 使得yk P 1 ( xk ), yk 1 P 1 ( xk 1 )。其几何意义是已知 知两点。 平面上两点 xk , yk , xk 1 , yk 1 ，求一条直线过该已
一次插值
当n 1时，求一次多项式P 1 ( x), 要求通过 x0 , y0 , x1 , y1 两点
y
P1(x)
f(x)
y0
y1
x0
x1
二次插值
当n 2时，求二次多项式P2 ( x), 要求通过 x0 , y0 ,
x1 , y1 , x2 , y2 三点
x l ( () x) 1 kk 1x
( x xk )( x xk 1 ) 1 a ，从而lk 1 ( x) ， ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 ) ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xk 1 )( x xk ) lk ( x) ，lk 1 ( x) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk 1 xk 1 )( xk 1 xk )
例子
例2：已知
x yii lg xi
yi lg xi
xi
10 1
15 1.1761
20 1.3010
利用此三值的二次插值多项式求 lg12的近似值
解：设x0 10，x1 15，x2 20，则 ( x 15)( x 20) 1 l0 ( x) x 15 x 20 (10 15)(10 20) 50 ( x 10)( x 20) 1 l1 ( x) x 10 x 20 (15 10)(15 20) 25 ( x 10)( x 15) 1 l2 ( x) x 10 x 15 (20 10)(20 15) 50
xk 1 , yk 1 ， xk , yk , xk 1 , yk 1 ，求一个二次
抛物线，使得该抛物线经过这三点。
二次插值基本多项式
有三个插值结点xk 1 , xk , xk 1，构造三个插值 基本多项式，要求满足： （1）基本多项式为二次多项式； （2）它们的函数值满足下表：
二次插值基本多项式
因为lk 1 ( xk ) 0, lk 1 ( xk 1 ) 0，故lk 1 ( x)有因子 ( x xk )( x xk 1 )，而其已经是一个二次多项式，仅 相差一个常数倍，可设lk 1 ( x) a( x xk )( x xk 1 )， 又因为lk 1 ( xk 1 ) 1，故a( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 ) 1，得：
x l ( () x) 1 kk 1x
xk 1
lk 1 ( x)
1 0 0
xk
0 1 0
xk 1
0 0 1
lk ( x)
lk 1 ( x)
拉格朗日型二次插值多项式
由前述，拉格朗日型二次插值多项式： P2 ( x) yk 1lk 1 ( x) yk lk ( x) yk 1lk 1 ( x)，P2 ( x)是 三个二次插值多项式的线性组合，因为它是次数 不超过二次的多项式，且满足： P2 ( xi ) yi , i k 1, k , k 1
y
。
上要估计误差
R( x) f ( x) P( x)
f(x)
P(x)
y0
y1
y2 yn-1 yn
x0
x1
当
x2
xn-1
xn
x
n1
时,求一次多项式
插值法的分类

一，拉格朗日插值法 二，牛顿插值法 三，埃尔米特插值法 四，分段多项式插值法 五，样条插值法
一，拉格朗日插值法
流程：线性插值（一次插值）→二次插值→ n次拉格朗日插值法的方程组法证明→用中国 剩余定理证明拉格朗日插值多项式。
插值基函数
过n 1个不同的点分别决定n 1个n次插值函数 l0 ( x), l1 ( x), （） 1 li ( x)是n次多项式；
, ln ( x)。每个插值基本多项式li ( x)满足：
（2）li ( xi ) 1, 而在其它n个li ( xk ) 0, k i 。
n次拉格朗日型插值多项式Pn(x)
二次插值多项式
已知函数y f ( x)在点xk 1 , xk , xk 1上的函数值 yk 1 f ( xk 1 ) , yk f ( xk )，yk 1 f ( xk 1 )。 求一个次数不超过二次的多项式P2 ( x)，使其满足 P2 ( xk 1 ) yk 1，P2 ( xk ) yk，P2 ( xk 1 ) yk 1。 其几何意义为：已知平面上的三个点：
存在性 唯一性

给定平面上n+1个互不相同的插值点 （xi , f ( xi )),(i 0， 1， 2n） ，互不相同是指 x i互不 相等，是否有且仅有一条不高于n次的插值 多项式曲线，如果曲线存在，那么如何简单 地作出这条n次插值多项式曲线？
x yii lg xi
lg12 1.0792相比，具有3位有效数字。
插值基函数
由于li ( xk ) 0, k i ，故li ( x)有因子： ( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn )，因其已经是n 次多项式，故而仅相差一个常数因子。令： li ( x) a( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) 由li ( xi ) 1，可以定出a，进而得到： ( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) li ( x) ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
为什么要插值


1.在工程技术和科学研究中，有时对一个函数 f(x)只能通过实验或观测的手段得到它在某个 区间[a,b]上的有限个不同点上的函数值，也就 是只知道一张函数表，却没有明确的表达式。 2.虽然函数有明确的表达式，但由于形式复杂， 不便于计算和使用，所以人们往往希望做出一 个既能反映函数的特性，又便于计算的简单函 数P(x)去近似替代f(x)。
问题的提出
插值问题的数学提法：已知函数y f ( x)在n 1个 点x0 , x1 , , xn上的函数值yi f ( xi ), (i 0,1, , n), 求一 , n). 个多项式y P( x)，使其满足P( xi ) yi , (i 0,1, n 1个点 x0 , y0 , x1 , y1 ,
线性插值

基函数的特点：
x l x 1) kk(
lk 1( x )
xk
1
0Fra Baidu bibliotek
xk 1
0
1
lk ( x) lk 1 ( x)
从而，P 1 ( x) yk lk ( x) yk 1lk 1 ( x), 此形式称之为 拉格朗日型插值多项式。其中，插值基函数与 yk、yk 1无关，而由插值结点xk、xk 1决定
插值法的概念


已知函数在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值 yi=f(xi ), (i=0,1,…,n) ，求一个简单函数y=P(x),使其满 足: P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n) 。即要求该简单函数的 曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个 点： (x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),…,(xn ,yn ),同时在其它 x∈[a,b]上要估计误差: R(x) = f(x) - P(x) 其中P(x)为f(x)的插值函数，x0 ,x1 ,…,xn 称为插值节 点，包含插值节点的区间[a,b] 称为插值区间，求插值 函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的 代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法 称为多项式插值。若P(x)是分段的多项式，就是分段 插值。若P(x)是三角多项式，就称三角插值。
例子
于是，拉格朗日型一次插值多项式为： 1 1.3010 P ( x 20) ( x 10) 1 ( x ) y0l0 ( x ) y1l1 ( x ) 10 10 1 1.3010 故P (12 20) (12 10) 1.0602 1 (12) 10 10 即 lg12由lg10 和 lg 20 两个值的线性插值得到，且 具有两位有效数字（精确解 lg12 1.0792).
例2（续）
1 故P2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x) x 20 x 15 50 1.1761 1.3010 x 10 x 20 x 10 x 15 25 50 1 1.1761 所以：P2 (12) 12 20 12 15 12 10 12 20 50 25 1.3010 12 10 12 15 1.0766 50 利用三个点进行抛物线插值得到的 lg12的值，与精确值
即要求该多项式的函数曲线要经过y f ( x)上已知的 , xn , yn ,同时在其他x a, b 上要估计误差R( x) f ( x) P( x)
n 1
个点
x0 , y0 , x1 , y1 ,
同时在其它
, x n , yn ,
插值问题