2020届江苏省高考数学复习专题导数的综合应用与热点问题

导数的综合应用与热点问题

导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点．

解答题的热点题型有：

(1)利用导数证明不等式或探讨方程的根．

(2)利用导数求解参数的范围或值．

[真题体验]

1．(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ax2＋x－1

e x

.

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；

(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.

解析：(1)由题意：f(x)＝ax2＋x－1

e x

得f′(x)＝

(2ax＋1)e x－(ax2＋x－1)e x

(e x)2

＝

－ax2＋2ax－x＋2

e x ；∴f′(0)＝

2

1

＝2；即曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线

斜率为2，

∴y－(－1)＝2(x－0)，即2x－y－1＝0.

(2)当a≥1时，f(x)＋e≥x2＋x－1＋e x＋1

e x

，

令g(x)＝x2＋x－1＋e x＋1，

则g′(x)＝2x＋1＋e x＋1，

当x＜－1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；

当x＞－1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．

所以g(x)≥g(－1)＝0.

因此当a≥1，f(x)＋e≥0.

2．(2019·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：

(1)f(x)存在唯一的极值点；

(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

证明：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)

f ′(x )＝

x －1x ＋ln x －1＝ln x －1

x

， 因为y ＝ln x 单调递增，y ＝1

x

单调递减，所以f ′(x )单调递增，又f ′(1)＝－1＜0，f ′(2)＝ln 2－12＝ln 4－1

2＞0，故存在唯一x 0∈(1,2)，使得f ′(x 0)＝

0.

又当x ＜x 0时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞x 0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，因此，f (x )存在唯一的极值点．

(2)由(1)知f (x 0)＜f (1)＝－2，又f (e 2)＝e 2－3＞0，所以f (x )＝0在(x 0，＋∞)内存在唯一根x ＝a .

由α＞x 0＞1得1

a

＜1＜x 0.

又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1ln 1a －1

a －1＝f (α)a ＝0，故1a 是f (x )＝0在(0，x 0)的唯一根．

综上，f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 1．常见构造辅助函数的四种方法

(1)直接构造法：证明不等式f (x )＞g (x )(f (x )＜g (x ))的问题转化为证明f (x )－g (x )＞0(f (x )－g (x )＜0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )．

(2)构造“形似”函数：稍作变形后构造．对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．

(3)适当放缩后再构造：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．

(4)构造双函数：若直接构造函数求导，难以判断符号，导数的零点也不易求得，因此单调性和极值点都不易获得，从而构造f (x )和g (x )，利用其最值求解．

2．不等式的恒成立与能成立问题

(1)f (x )＞g (x )对一切x ∈[a ，b ]恒成立⇔[a ，b ]是f (x )＞g (x )的解集的子集⇔[f (x )－g (x )]min ＞0(x ∈[a ，b ])．

(2)f (x )＞g (x )对x ∈[a ，b ]能成立⇔[a ，b ]与f (x )＞g (x )的解集的交集不是空集⇔[f (x )－g (x )]max ＞0(x ∈[a ，b ])．

(3)对∀x1，x2∈[a，b]使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.

(4)对∀x1∈[a，b]，∃x2∈[a，b]使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.

3．零点存在性定理在函数的零点问题中的应用

第一步：求导函数根据导数公式，求出函数的导函数，并写出定义域．

第二步：讨论单调性由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)讨论函数的单调性．

第三步：定区间端点处的函数值符号确定单调区间端点处的函数值及符号．第四步：判定零点根据零点存在性定理判断零点存在与否及其个数．

4．分离参数法、数形结合法解决函数的零点问题

第一步：分离参变量由已知的含参方程将参数与已知变量分离．

第二步：研究函数将已知范围的变量的代数式作为函数，利用导数研究其图象．

第三步：利用图象找交点利用图象找到产生不同交点个数的参数的取值范围．

第四步：运动定范围通过改变未知变量的范围找出临界条件．

热点一利用导数研究不等式问题

利用导数证明不等式

[例1－1] (2019·梅州三模节选)已知函数f(x)＝ln(x－1)．

(1)证明：f(x＋1)≤x＋1

2

－

2

x＋1

；

(2)证明：e2x－2(x－1)e x≥2x＋3.

[审题指导] 第(1)小题利用移项作差构造法构造函数，通过求导研究函数的单调性，求解最值即可；第(2)小题利用换元的思想和第(1)小题的结论证明不等式．

[解析](1)令h(x)＝f(x＋1)－x＋1

2

＋

2

x＋1

(x＞0)，

则h(x)＝ln x－x＋1

2

＋

2

x＋1

，h′(x)＝

1

x

－

1

2

－

2

(x＋1)2

＝

2－x－x3

2x(x＋1)2

＝

(1－x)(x2＋x＋2)

2x(x＋1)2

，

所以当x∈(0,1)时，h′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，