高等数学(上)第五章定积分总结

第五章 定积分

内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。

重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。

§1.定积分的概念

一、实例分析

1．曲边梯形的面积

设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形.

如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底⨯高.

(2) 预备一张细长条的纸, 其面积≈底⨯高.

(3) 预备一张呈曲边梯形状的纸,

将其撕成许多细长条. (4) 启示:

将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小.

第i 个细长条面积)],,[()(11---=∆∈∀∆≈∆i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ

曲边梯形面积: ∑=∆≈

n

i i

i

x

f S 1

)(ξ

定积分概念示意图.ppt

定义: ),,2,1,max {()(lim

1

n i x x

f S i n

i i

i

=∆=∆=∑=→λξλ

抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义

设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界.

(1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<= 10把[a , b ]分割成n 个小区间:

}

,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n

i x x i i i i i i =∆=-=∆=--λ记

(2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点ξi , 做乘积: i i x f ∆)(ξ. (3) 求和:

∑=∆n

i i

i

x

f 1

)(ξ

(4) 取极限: ∑=→∆n

i i

i

x

f 1

)(lim

ξλ

若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作:

⎰

b

a

dx x f )(. 即:

∑⎰

=→∆=n

i i i b

a

x f dx x f 1

)(lim )(ξλ

[a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限；

∑=∆n

i i

i

x

f 1

)(ξ积分和式.

问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量? 注: (1)

∑

=∆n

i i i x f 1

)(ξ与区间的分割法∆x i 和取点法ξi 有关; 而⎰b

a

dx x f )(与∆x i 和ξi 无关.

(2)

⎰

b

a

dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即：

[][]⎰⎰⎰⎰

===b

a

b a

b a

b

a

d f du u f dt t f dx x f )()()()(

2．定积分存在定理

定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积.

例1. 求

⎰1

xdx

解: x x f =)(在[0, 1]连续, 积分存在.

∑⎰=→∆=n

i i

i x xdx 1

1

lim ξλ

与[0, 1]的分割法和ξi 的

取法无关. 选取特殊的分割法和取点法, 可使计算简便. (1) 将[0, 1]n 等分, n

x n i x i i 1,=∆= (2) 取点ξi =2)(,n

i

x f x i i i i =∆=ξξ

(3) 求和

2)1(1)(2

1

21

+==∆∑

∑

==n n n n i x f n

i n

i i i ξ

(4) 取极限212)1(lim

)(lim 20

=+=∆∞→→n

n n x f n i i ξλ 故

2

1

1

=

⎰

xdx 3. 定积分的几何意义

若)(x f 在[a , b ]上非负, 则⎰b

a dx x f )(=曲边梯形面积; 若)(x f 在[a ,

b ]上非正, 则

b

⎰

b a

dx x f )(

的几何意义是由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成曲边梯形面积的代

数和.

例2. a b dx xdx dx x b

a

-===

-⎰

⎰⎰

-;

0sin ;

121

2

π

ππ

.