2019届广州市高三年级调研测试(理科数学)答案

数学（理科）试题A 第 1 页 共 10 页

2019届广州市高三年级调研测试 理科数学试题答案及评分参考

评分说明:

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．

一．选择题

二．填空题

13．10 14．4 15．4 16．11π

三、解答题

17．（1）解法1：由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．

由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，…………………………………………1分 即sin()2sin cos A B C A +=．…………………………………………………………………………2分 因为sin()sin()sin A B C C π+=-=，…………………………………………………………………3分 所以sin 2sin cos C C A =．………………………………………………………………………………4分 因为sin 0C ≠，所以1

cos 2

A =．………………………………………………………………………5分 因为0A <<π，所以3

A π

=

．…………………………………………………………………………6分 解法2：由已知根据余弦定理，得()222222

222a c b b c a a c b ac bc

+-+-⨯=-⨯

．……………………1分 即222

b c a bc +-=．……………………………………………………………………………………3分

所以2221

cos 22

b c a A bc +-==．…………………………………………………………………………5分

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因为0A <<π， 所以3

A π

=

．…………………………………………………………………………6分 （2）解法1：由余弦定理2

2

2

2cos a b c bc A =+-，

得22

4bc b c +=+，………………………………………………………………………………………7分

即2

()34b c bc +=+．……………………………………………………………………………………8分

因为2

2b c bc +⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

，………………………………………………………………………………………9分

所以223

()()44

b c b c +≤

++． 即4b c +≤（当且仅当2b c == 时等号成立）．……………………………………………………11分 所以6a b c ++≤．

故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分 解法2：因为

2sin sin sin a b c R A B C ===，且2a =，3

A π

=，

所以3b B =

，3

c C =．…………………………………………………………………8分

所以)2sin sin 3a b c B C ++=+

+22sin sin 33B B ⎡π⎤

⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

………………………9分 24sin 6B π⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭．……………………………………………………………………10分

因为203B π<<

，所以当3

B π

=时，a b c ++取得最大值6． 故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分

18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．

因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA ，且1

2

OF PA =

， 因为DE PA ，且1

2

DE PA =，

所以OF

DE ，且OF DE =．………………………………………………………………………1分

所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．………………………………2分

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因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………4分 因为BD

EF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………………5分

因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分 （2）解法1：因为直线 PC 与平面ABCD 所成角为o

45，

所以 45=∠PCA ，所以2AC PA ==．………………………………………………………………7分 所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形． 设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．

以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系xyz A -（如图）．

则()20,0，

P ，()01,3，C ，()12,0，

E ，()02,0，D ， ()21,3-=，PC ，()11,3，-=CE ，()10,0，=DE ．

…………………………9分

设平面PCE 的法向量为{}111,,x y z n =，

则0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n

即11111120,

0.

y z y z +-=++=⎪⎩ 11,y =令

则11

2.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩

所以)

=

n ．……………………………………………………………10分

设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，

则0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m

即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪

⎩令21,x =

则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩

所以()

=m ．…………11分

设二面角D CE P --的大小为θ，由于θ为钝角，

所以cos cos ,4θ⋅=-=-

==-⋅n m n m n m

．

所以二面角D CE P --的余弦值为4

6

-

．…………………………………………………………12分 解法2：因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45，且⊥PA 平面ABCD ，

所以45PCA ∠=，所以2==AC PA ．………………………………………………………………7分