2019届广州市高三年级调研测试(文科数学)答案
广东省广州市2019届高三12月调研测试数学(文)试题 Word版含答案
秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2019届广州市高三期末调研测试文科数学 2018．12本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}211P x x =-<，{}11Q x x =-<<，则PQ =A ．()1,2-B ．()1,0-C ．()1,2D ．()0,1 2．若复数z 满足()1i +z 12i =+，则z =A ．32 C ．123．下列函数中，既是奇函数，又在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是 A ．2sin xy x =- B ．122xxy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin y x x =-D ．cos y x x =-4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误．．的是 A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期在8月C ．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 5.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A ． BC ．D ．24π6．已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足4BD DC =，则AD 可表示为A ．1344AD AB AC =+ B ． 3144AD AB AC =+ C ．4155AD AB AC =+ D ． 1455AD AB AC =+7．已知双曲线C (P 在C 上，则C 的方程为A ．22142x y -=B ．221714x y -=C ．22124x y -=D ．221147y x -=8．由12sin(6)6y x π=-的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后， 所得图象对应的函数解析式为A ．12sin(3)6y x π=-B ．12sin(3)6y x π=+ C ．12sin(3)12y x π=-D ．12sin(12)6y x π=-9．3=a 是直线0=3+2+a y ax 和7-=1-+3a y a x )(平行的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 10. 若实数x ，y 满足不等式组()()125002x y x y x --+-≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，，则2z x y =-的取值范围是A ．[]5,3-B ．[]5,1-C ．[]1,3D ．[]5,5- 11．已知ABC ∆的内角A , B , C 的对边分别是a ,b ,c ，且222sin sin sin A B Cc+-=sin sin cos cos A B a B b A +， 若4a b +=，则c 的取值范围为A ． ()0,4B ．[)2,4C ． [)1,4D ．(]2,412．已知椭圆Γ： 22221(0)x y a b a b +=>>的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与Γ相交于A ，B 两点．若3AF FB =，则k =A. 1B. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知132a =，则()2log 2a = ． 14．设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos θ = ． 15．圆锥底面半径为1，高为P 是底面圆周上一点，则一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P ，则绕行的最短距离是 ．16．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1222n n a a a -=+-()2n ≥． （1）证明：数列{}1n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？18．（本小题满分12分）某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤(0500)x ≤≤，利润为y 元.求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EFAB ，2AB =,1BC EF ==,AE ,3DE =,60BAD ∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：FG平面BED ；（2）求证：BD ⊥平面AED ； （3）求点F 到平面BED 的距离.20.（本小题满分12分）已知动圆C 过定点(1,0)F ，且与定直线1x =-相切． （1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；（2）过点()2,0M -的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点,P Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N（异于点M ），使得QNM PNM π∠+∠=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()f x x =e ()ln xa x x ++.（1）若a =-e ，求()f x 的单调区间；（2）当0a <时，记()f x 的最小值为m ，求证：1m ≤．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθθ+，直线1:()6l πθρ=∈R ，直线2:()3l πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求直线1l ，2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）已知直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB ∆的面积．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲（1）当2a =时，解不等式()113x f x -+≥； （2）设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．2019届广州市高三年级调研测试 文科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．43 14． 15．．()(),40,-∞-+∞三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． 解：（1）证明：∵37a =，3232a a =-，∴23a =, ……………………………………1分∴121n n a a -=+， (2)分 ∴11a =， (3)分111122211n n n n a a a a ---++==++()2n ≥， ……………………………………5分 ∴{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列． …………………………………………6分（2）解：由（1）知，12nn a +=， ……………………………………7分 ∴21n n a =-， ……………………………………8分 ∴()12122212n n n S n n +-=-=---， ……………………………………9分 ∴()()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=， ……………………10分 ∴2n n n S a +=. ……………………11分即n ，n a ，n S 成等差数列． ……………………12分 18．解： （1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯4500.0015100+⨯⨯ ……………………………2分265=. ……………………………3分故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤. …………………………4分（2）当日需求量不低于250公斤时，利润=()2515250=2500y ⨯－元, ………………5分当日需求量低于250公斤时，利润2515250=()()5=151250x y x x ---⨯-元 , ………6分所以151250,0250,2500,250500.x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩ (8)分由1750y ≥得，200500x ≤≤, ……………………………9分所以(1750)P y ≥＝(200500)P x ≤≤ ……………………………10分=0.0030100+0.0025100+0.0015100⨯⨯⨯ =0.7.……………………………11分 故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 . ……………………………12分 19． 解：（1）证明：取BD 的中点O ，连接OE ，OG在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点， 所以OG DC 且112OG DC ==，……………1分 因为EF AB ，ABDC ，1EF =，所以EFOG 且EF OG =，……………………2分所以四边形OGFE 是平行四边形，所以FG OE ， ………………………3分又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ，OG FEDCBA所以FG平面BED ． ……………………………4分（2）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ∠=，由余弦定理得BD ==， …………………………5分 因为222314BD AD AB +=+==， 所以B ⊥. …………………………6分 因为平面AED ⊥平面A BCD ，BD ⊂平面A B C D ,平面AED平面A B C D A D =，所以BD ⊥平面AED . ……………………………7分（3）解法1：由（1）FG平面BED ，所以点F 到平面BED 的距离等于点G 到平面BED 的距离， ……………………8分 设点G 到平面BED 的距离为h ，过E 作EM DA ⊥，交DA 的延长线于M ，则EM ⊥平面ABG ，所以EM 是三棱锥E ABG -的高． ……………………9分 由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=， 所以sin 3ADE ∠=,sin EM DE ADE =⋅∠=. ………………………………10分12DBG S DB BG ∆=⋅=12BDE S BD DE ∆=⋅=. 因为G BDE E DBG V V --=，………………………………11分即1133BDE DBG S h S EM ∆∆⋅=⋅，解得h =HGFEDCB A所以点F 到平面BED 的距离为65． ………………………………12分解法2：因为EFAB ，且12EF AB =, 所以点F 到平面BED 的距离等于点A 到平面BED 的距离的12， ……………8分由（2）BD ⊥平面AED .因为BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AED ． 过点A 作AH DE ⊥于点H ，又因为平面BED平面AED ED =，故⊥AH 平面BED .所以AH 为点A 到平面BED 的距离．…………………9分 在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=所以sin 3ADE ∠=， …………………10分 因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ， ……………………………………………………11分 所以点F 到平面BED 的距离为65． …………………………………………………12分 20．（1）解法1：依题意动圆圆心C 到定点(1,0)F 的距离，与到定直线1x =-的距离相等，…1分由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，1x =-为准线的抛物线， ……2分其中2p =．∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为24y x =． ……………………………3分解法2：设动圆圆心C (),x y ，依题意：1x =+. ……………………………2分化简得：24y x =，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程． ……………………………3分（2）解：假设存在点()0,0N x 满足题设条件．由QNM PNM π∠+∠=可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即0PN QN k k += ① ……4分直线PQ 的斜率必存在且不为0，设:2PQ x my =-, ………………………………5分由242y x x my ⎧=⎨=-⎩得2480y my -+=． ………………………………………6分由()24480m ∆=--⨯>,得m >或m < ……………………………………7分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12124,8y y m y y +==． ………………………………………………8分由①式得121020PN QN y y k k x x x x +=+--()()()()12021010200y x x y x x x x x x -+-==--,()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=．消去12,x x ，得()22122101211044y y y y x y y +-+=, …………………………………………………9分 ()()1212012104y y y y x y y +-+=, ……………………………………………………………10分120,y y +≠012124x y y ∴==, ……………………………………………………………11分∴存在点()2,N 使得QN π∠+∠=． ……………………………………………………12分21．（1）解：当a e =-时， ()(ln )x f x xe e x x =-+，()f x 的定义域是(0,)+∞ ……1分()()11'()1(1)x xx f x x e e xe e x x +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭， …………………………………2分当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >． …………………………………3分所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞． …………………………4分（2）证明：由（1）得()f x 的定义域是(0,)+∞，1'()()xx f x xe a x+=+， 令()x g x xe a =+，则'()(1)xg x x e =+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，………………………5分 因为0a <,所以(0)0g a =<，()0ag a ae a a a --=-+>-+=， 故存在()00,x a ∈-，使得000()0x g x x e a =+=． …………………………………………6分当0(0,)x x ∈时，()0g x <，1'()()0xx f x xe a x+=+<，()f x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，1'()()0xx f x xe a x+=+>，()f x 单调递增； 故x x =时，()f x 取得最小值，即()()00000ln x m f x x e a x x ==++, …………………………8分由000x x e a +=得()()0000ln ln x x m x e a x e a a a =+=-+-， ………………………………9分令0x a =->，()ln h x x x x =-，则()()'11ln ln h x x x =-+=-， 当(0,1)x ∈时，()'ln 0h x x =->，()ln h x x x x=-单调递增， ………………………………10分 当(1,)x ∈+∞时，()'ln 0h x x =-<，()ln h x x x x=-单调递减，………………………………11分 故1x =，即1a =-时，()ln h x x x x =-取最大值1，故1m ≤． ……………………12分22．解：（1） 依题意，直线1l的直角坐标方程为3y x =，2l的直角坐标方程为y =．……………………………………………………………2分由2sin ρθθ+得2cos 2sin ρθρθ+， 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， …………………………………………………3分所以22((1)4x y +-=， …………………………………………………………………4分所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）．………………………………5分（2）联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==， ……………………………………6分同理，2OB ρ== ……………………………………………………………………7分又6AOB π∠=， ………………………………………………………………………………8分所以1s i 2AO S O ∆=∠…………………………9分 即AOB∆的面积为……………………………………………………………10分23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， …………………………1分 ①当13x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ……………………………2分 ②当123x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ……………………3分③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥． ……………………………4分综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或． ………………………………5分（2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x ax -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，……………………………………6分所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+， ……………………………8分所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤，故所求实数a的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分。
广州市2019-2020年高三调研测试试题 数学(文)
高中毕业班第三次调研测试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。
注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集={1,2,3,4,5,6,7,8}U ，集合{1,2,3,5}A =，={2,4,6}B ，则()U BA =ðA ．{2}B ．{4,6}C ．{1,3,5}D ．{4,6,7,8}2．复数3ii-= A ．13i +B ．13i --C ．13i -+D ．13i -3．设2()2f x ax bx =++是定义在[1,1]a +上的偶函数，则2a b +=A ．0B ．2C ．2-D ．124．已知(1,2)a =-，(2,)b m =，若a b ⊥，则=||bA ．12B ．1C ．3D ．55．下列有关命题的说法正确的是A ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件；B ．若:p 2000,10x R x x ∃∈-->.则:p ⌝2,10x R x x ∀∈--<；C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；D ．“若3πα=，则1cos 2α=”的否命题是“若3πα≠，则1cos 2α≠”． 6．已知,x y 满足14210x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为A ．3B ．4C ．6D ．77．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D．y x =±8．执行如图所示的程序框图，输出的T = A ．29B ．44C ．52D ．629．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为A ．312πB ．36πC ．34πD ．33π 10．若函数2()sin3sin sin 2f x x x x πωωω⎛⎫=++⎪⎝⎭（0ω>） 的最小正周期为π，则()f x 在区间203，π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ．3[0]2，B ．13[]22，-C ．1[1]2，-D ．31[]22，-开始结束S = 3,n = 1,T = 2T > 2S?S = S + 3n = n + 1T = T + 3n输出T 是否8题图9题图正视图俯视图侧视图11．对于问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)-，解关于x 的不等式20a x b xc -+>”，给出如下一种解法： 解：由20a x b x c ++>的解集为(1,2)-，得2()()0a xb xc -+-+>的解集为 (2,1)-，即关于x 的不等式20a x b xc -+>的解集为(2,1)-． 参考上述解法，若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为11(1,)(,1)32--， 则关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为 A ．()()2,21,3- B ．()()3,11,2--C ．()(),,2311-- D ．()(),,3112--12．若函数()f x 满足1()1(1)f x f x +=+，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间(1,1]-上，()()2g x f x m x m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是A ．103m <≤B ．102m <<C ．112m <≤ D ．113m <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
广东省广州市2019届高三年级调研考试数学(文科)试题
1 分别表示圆 x 2
2
y2 4
和直线 x 1，易知 AB ＝ 2 3 ．
15． C 为圆周上一点， AB 是直径，所以 AC ⊥BC，而 BC ＝ 3， AB ＝ 6，得∠ BAC ＝ 30° , 进而得
∠ B＝ 60°，所以∠ DCA ＝ 60°，又∠ ADC ＝ 90°，得∠ DAC ＝30°，
加工的零件数是乙机床加工的零件数的二倍．
（ 1）从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；
（ 2 ）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，求它是一等品的概
率；
（3）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取
4 件检验，其中一等品的个数
记
为 X，求 EX．
18．（本小题满分 14 分）
若有，加以证明；若没有，请说明理由
4 ) 是否有确定的大小关系？
3
4/8
届高三年级调研考试试题
文 科 数 学答案
一、 1． D 2 ．A 3 ． A 4 ． A 5 ． B 6． C 7． D 8 ．
9 A 10D
二、 11． 63 8
1
12．
13． 3 2 2
32
14．在平面直角坐标系中，曲线
4sin 和 cos
直线 PQ 的方程是： y
2x 2 x1
y1 ．
将上式代入抛物线 C 的方程 , 得： x 2
8 x
4( 2
y1 )
0,
x1
故 x1+x2 =
8
, x1x2 =－8－ 4y1 ,所以 x2=
8
4
－ x1 , y2= +y1+4 ．
【精品解析】广东省广州市2019届高三上学期调研考试(一模)文科数学试题--含解析
2019届广州市高三期末调研测试文科数学2018．12 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得集合P,利用交集的定义求解即可.【详解】集合，，所以故选D.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算可得，进而可得模长.【详解】由，可得..故选C.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数模的概念，属于基础题.3.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由奇函数的定义先可排除选项A,D再利用函数单调性判断B,C，即可得选项.【详解】由奇函数的定义，可知A,D不满足奇函数的定义，排除A,D；由与均为增函数，知为增函数，B正确；对于，有，所以为减函数，D不正确.故选B.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断及单调性的判断，属于基础题.4.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误．．的是（）A. 年接待游客量逐年增加B. 各年的月接待游客量高峰期在8月C. 2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】C【解析】【分析】根据已知中2015年1月至2017年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．【详解】由已有中2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据可得：年接待游客量呈上升趋势，所以年接待游客量逐年增加，故A正确；每一年的接待量八月份的最大，故B正确；折线图中没有具体数据，中位数无法计算，故C错误；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.故选C.【点睛】本题主要考查了学生的读题能力和信息处理能力，属于基础题.5.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】还原几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD为长方形，易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球，则长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得解.【详解】如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD为长方形.其中底面ABCD，AB=1,AD=2,PD=1.易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球.则该阳马的外接球的直径为 .球体积为： .故选A.【点睛】本题主要考查了几何的外接球问题，常用的解法是将几何体放入长方体内，即补体的思想，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.6.已知的边上有一点满足，则可表示为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，结合题中条件即可得解.【详解】由题意可知.故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题.7.已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】讨论双曲线的焦点轴，设出方程，根据条件列出方程组求解即可.【详解】当双曲线的焦点在x轴，设双曲线的方程为：.根据题意可得：，解得，所以.当双曲线的焦点在y轴，设双曲线的方程为：.根据题意可得：，方程无解.综上的方程为.故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求解，注意题中没有交代焦点轴时，解题时需要分情况讨论，属于中档题.8.由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的平移和伸缩变换可直接得解.【详解】由的图象向左平移个单位，可得到.再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到.故选A.【点睛】本题考查的是三角函数的平移和伸缩变换问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.9.是直线和平行的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】试题分析：先判断当a=3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有a=3成立，利用充要条件的定义得到结论．解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有但即a=3或a=﹣2，a=﹣2时，两条直线都为x﹣y+3=0，重合，舍去∴a=3所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a﹣1）y﹣a+7=0平行”的充要条件．故选：C．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定．10.若实数，满足不等式组则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到取值范围即可.【详解】作出不等式的可行域，如图所示：由，即.平移此直线经过点A（0,5）时，z取得最小值-5，经过点B(2,1)时，z有最大值3，所以的取值范围是.故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11.已知的内角, , 的对边分别是, , ，且，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴∴∴,∴∴,又∴的取值范围为故选：B12.已知椭圆Γ：的长轴是短轴的2倍，过右焦点F且斜率为的直线与Γ相交于A，B两点．若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件可将椭圆化简为，为简化计算，令，直线与椭圆联立，根据条件可得，再由结合韦达定理求解即可.【详解】根据题意可知，所以.椭圆Γ：,可化为：.过右焦点F且斜率为的直线为：，即.为简化计算，令，则.由，联立可得：. ①设，由可得.由①可得：.因为，所以.解得，所以，由，可得.故选D.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，利用设而不求的思想，通过韦达定理解决方程问题，属于中档题.二、填空题。
广东省广州市2019届高三12月调研测试数学(文)试卷(有答案)
2019届广州市高三期末调研测试文科数学本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}211P x x =-<，{}11Q x x =-<<，则PQ =A ．()1,2-B ．()1,0-C ．()1,2D ．()0,1 2．若复数z 满足()1i +z 12i =+，则z =A ．2 B ．32 C ．2D ．123．下列函数中，既是奇函数，又在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是 A ．2sin xy x =- B ．122xxy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin y x x =-D ．cos y x x =-4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误．．的是 A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期在8月C ．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 5.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A ． BC ．D ．24π6．已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足4BD DC =，则AD 可表示为A ．1344AD AB AC =+ B ． 3144AD AB AC =+ C ．4155AD AB AC =+ D ． 1455AD AB AC =+7．已知双曲线C ，点(P 在C 上，则C 的方程为A ．22142x y -=B ．221714x y -=C ．22124x y -=D ．221147y x -=8．由12sin(6)6y x π=-的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后， 所得图象对应的函数解析式为A ．12sin(3)6y x π=-B ．12sin(3)6y x π=+C ．12sin(3)12y x π=-D ．12sin(12)6y x π=-9．3=a 是直线0=3+2+a y ax 和7-=1-+3a y a x )(平行的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件10. 若实数x ，y 满足不等式组()()125002x y x y x --+-≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，，则2z x y =-的取值范围是 A ．[]5,3- B ．[]5,1- C ．[]1,3 D ．[]5,5-11．已知ABC ∆的内角A , B , C 的对边分别是a , b , c ，且222sin sin sin A B Cc+-=sin sin cos cos A Ba Bb A+，若4a b +=，则c 的取值范围为A ． ()0,4B ．[)2,4C ． [)1,4D ．(]2,412．已知椭圆Γ： 22221(0)x y a b a b+=>>的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与Γ相交于A ，B 两点．若3AF FB =，则k = A. 1 B. 2C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知132a =，则()2log 2a = ．14．设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos θ = ．15．圆锥底面半径为1，高为P 是底面圆周上一点，则一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P ，则绕行的最短距离是 ．16．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1222n n a a a -=+-()2n ≥． （1）证明：数列{}1n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？18．（本小题满分12分）某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤(0500)x ≤≤，利润为y 元.求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EFAB ，2AB =,1BC EF ==,AE =3DE =,60BAD ∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：FG 平面BED ；（2）求证：BD ⊥平面AED ； （3）求点F 到平面BED 的距离.20.（本小题满分12分）已知动圆C 过定点(1,0)F ，且与定直线1x =-相切．（1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；（2）过点()2,0M -的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点,P Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N（异于点M ），使得QNM PNM π∠+∠=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()f x x =e ()ln xa x x ++.（1）若a =-e ，求()f x 的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθθ+，直线1:()6l πθρ=∈R ，直线2:()3l πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求直线1l ，2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）已知直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB ∆的面积．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲0a <()f x m 1m ≤（1）当2a =时，解不等式()113x f x -+≥； （2）设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．2019届广州市高三年级调研测试 文科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．43 14． 15． 16．()(),40,-∞-+∞三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． 解：（1）证明：∵37a =，3232a a =-，∴23a =, ……………………………………1分∴121n n a a -=+， (2)分 ∴11a =， (3)分111122211n n n n a a a a ---++==++()2n ≥， ……………………………………5分∴{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列． …………………………………………6分（2）解：由（1）知，12nn a +=，……………………………………7分 ∴21n n a =-， ……………………………………8分 ∴()12122212n n n S n n +-=-=---， ……………………………………9分 ∴()()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=， ……………………10分 ∴2n n n S a +=. ……………………11分 即n，na ，nS 成等差数列． ……………………12分 18．解： （1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯4500.0015100+⨯⨯ ……………………………2分265=. ……………………………3分故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤. …………………………4分（2）当日需求量不低于250公斤时，利润=()2515250=2500y ⨯－元, ………………5分当日需求量低于250公斤时，利润2515250=()()5=151250x y x x ---⨯-元 , ………6分所以151250,0250,2500,250500.x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩ (8)分由1750y ≥得，200500x ≤≤, ……………………………9分所以(1750)P y ≥＝(200500)P x ≤≤ ……………………………10分=0.0030100+0.0025100+0.0015100⨯⨯⨯ =0.7.……………………………11分 故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 . ……………………………12分 19． 解：（1）证明：取BD 的中点O ，连接OE ，OG在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点， 所以OG DC 且112OG DC ==，……………1分 因为EF AB ，ABDC ，1EF =，所以EFOG 且EF OG =，……………………2分OG FEDCBA所以四边形OGFE 是平行四边形，所以FG OE ，………………………3分又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以FG平面BED ． ……………………………4分（2）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ∠=，由余弦定理得BD ==， …………………………5分 因为222314BD AD AB +=+==， 所以BD AD ⊥. …………………………6分因为平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,平面AED平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面AED . ……………………………7分（3）解法1：由（1）FG平面BED ，所以点F 到平面BED 的距离等于点G 到平面BED 的距离， ……………………8分 设点G 到平面BED 的距离为h ，过E 作EM DA ⊥，交DA 的延长线于M ，则EM ⊥平面ABG ，所以EM 是三棱锥E ABG -的高． ……………………9分HGFEDCB A由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=，所以sin ADE ∠=,sin EM DE ADE =⋅∠=. ………………………………10分12DBG S DB BG ∆=⋅=12BDE S BD DE ∆=⋅=因为G BDE E DBGV V --=，………………………………11分即1133BDE DBG S h S EM ∆∆⋅=⋅，解得h = 所以点F 到平面BED 的距离为65． ………………………………12分解法2：因为EFAB ，且12EF AB =, 所以点F 到平面BED 的距离等于点A 到平面BED 的距离的12， ……………8分由（2）BD ⊥平面AED .因为BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AED ． 过点A 作AH DE ⊥于点H ，又因为平面BED平面AED ED =，故⊥AH 平面BED .所以AH 为点A 到平面BED 的距离．…………………9分 在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=所以sin ADE ∠=， …………………10分 因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ， ……………………………………………………11分所以点F 到平面BED 的距离为65． …………………………………………………12分 20．（1）解法1：依题意动圆圆心C 到定点(1,0)F 的距离，与到定直线1x =-的距离相等，…1分由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，1x =-为准线的抛物线， ……2分其中2p =．∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为24y x =． ……………………………3分解法2：设动圆圆心C (),x y ，依题意：1x =+. ……………………………2分化简得：24y x =，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程． ……………………………3分（2）解：假设存在点()0,0N x 满足题设条件．由QNM PNM π∠+∠=可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即0PN QN k k += ① ……4分直线PQ 的斜率必存在且不为0，设:2PQ x my =-, ………………………………5分由242y x x my ⎧=⎨=-⎩得2480y my -+=． ………………………………………6分由()24480m ∆=--⨯>,得m >或m < ……………………………………7分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12124,8y y m y y +==． ………………………………………………8分由①式得121020PN QN y y k k x x x x +=+--()()()()12021010200y x x y x x x x x x -+-==--,()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=．消去12,x x ，得()22122101211044y y y y x y y +-+=, …………………………………………………9分 ()()1212012104y y y y x y y +-+=, ……………………………………………………………10分120,y y +≠012124x y y ∴==, ……………………………………………………………11分 ∴存在点()2,0N 使得QNM PNM π∠+∠=． ……………………………………………………12分21．（1）解：当a e =-时， ()(ln )x f x xe e x x =-+，的定义域是 ……1分()()11'()1(1)x x x f x x e e xe e x x +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭， …………………………………2分当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >． …………………………………3分所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞． …………………………4分（2）证明：由（1）得的定义域是，， 令，则，在上单调递()f x (0,)+∞()f x (0,)+∞1'()()xx f x xe a x+=+()x g x xe a =+'()(1)0xg x x e =+>()g x (0,)+∞增，………………………5分 因为0a <,所以，()0ag a ae a a a --=-+>-+=， 故存在()00,x a ∈-，使得． …………………………………………6分当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 故时，取得最小值，即()()00000ln x m f x x e a x x ==++, …………………………8分由得()()0000ln ln x x m x e a x e a a a =+=-+-， ………………………………9分令，()ln h x x x x =-，则()()'11ln ln h x x x =-+=-， 当时，()'ln 0h x x =->，()ln h x x x x=-单调递增， ………………………………10分 当时，()'ln 0h x x =-<，()ln h x x x x=-单调递减，………………………………11分 故，即时，()ln h x x x x =-取最大值1，故． ……………………12分22．解：（1） 依题意，直线1l的直角坐标方程为y x =，2l的直角坐标方程为y =． ……………………………………………………………2分由2sin ρθθ+得2cos 2sin ρθρθ+， 因为(0)0g a =<000()0x g x x e a =+=0(0,)x x ∈()0g x <1'()()0xx f x xe a x+=+<()f x 0(,)x x ∈+∞()0g x >1'()()0xx f x xe a x+=+>()f x 0x x =()f x 000x x e a +=0x a =->(0,1)x ∈(1,)x ∈+∞1x =1a =-1m ≤222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， …………………………………………………3分所以22((1)4x y -+-=， …………………………………………………………………4分所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）．………………………………5分（2）联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==， ……………………………………6分同理，2OB ρ== ……………………………………………………………………7分又6AOB π∠=， ………………………………………………………………………………8分所以111sin 4222AOB S OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯= …………………………9分 即AOB∆的面积为……………………………………………………………10分23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， …………………………1分 ①当13x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤；……………………………2分 ②当123x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ……………………3分③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥．……………………………4分综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或． ………………………………5分（2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x-+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，……………………………………6分所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+， ……………………………8分所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤，故所求实数a的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分。
广东省广州市2019届高三12月调研测试数学文试题(小题精品解析)
秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2019届广州市高三期末调研测试文科数学 2018．12本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}211P x x =-<，{}11Q x x =-<<，则P Q =IA ．()1,2-B ．()1,0-C ．()1,2D ．()0,1 答案：D考点：集合的运算，一元二次不等式。
解析：{}220P x x x =-<＝{}02x x <<，所以，P Q =I ()0,12．若复数z 满足()1i +z 12i =+，则z =A ．2 B ．32 C D ．12答案：C考点：复数的运算，复数模的概念。
解析：121(12)(1)31222ii i i z i +++-===+，所以，z =23．下列函数中，既是奇函数，又在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是 A ．2sin x y x =- B ．122xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin y x x =-D ．cos y x x =-答案：B考点：函数的奇偶性和单调性。
解析：A 、D 不是奇函数，排除。
对于C ，'cos 1y x =-＜0，所以，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的，排除。
2019年最新广东省高考数学三模试卷(文科)及答案解析
广东省高考数学三模试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|lgx≥0}，B={x|x≤1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．3．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是（）A．66 B．76 C．63 D．734．在函数y=xcosx，y=e x+x2，，y=xsinx偶函数的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．05．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的一个顶点．则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），则数列{a n}的通项公式a n=（）A．B．C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n+27．如图是计算+++…+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）A ．i ＜10B ．i ＞10C ．i ＜20D ．i ＞208．已知，且α为第二象限角，则=（ ）A ．B ．C ．D ．9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．cm 3 B ． cm 3 C ． cm 3 D ．7cm 310．在△ABC 中，，则边AC 上的高为（ ）A ．B ．C ．D ．11．在球内有相距1cm 的两个平行截面，截面面积分别是5πcm 2和8πcm 2，球心不在截面之间，则球面的面积是（ ）A ．36πcm 2B ．27πcm 2C ．20πcm 2D ．12πcm 212．已知函数f （x ）=满足条件，对于∀x 1∈R ，存在唯一的x 2∈R ，使得f（x 1）=f （x 2）．当f （2a ）=f （3b ）成立时，则实数a+b=（ ）A．B．﹣C．+3 D．﹣+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知x，y满足不等式，则函数z=2x+y取得最大值等于．14．在△ABC中，若，则cos∠BAC的值等于．15．以﹣=﹣1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=6，S5=15．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如表：B校样本数据统计表：（Ⅱ）从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15的概率．19．如图，ABCD是平行四边形，已知，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥CE；（Ⅱ）若，求三棱锥B﹣ADE的高．20．已知点P1（﹣2，3），P2（0，1），圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆．（Ⅰ）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；（Ⅱ）若P（x，y）是圆C外一点，从P向圆C引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．21．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx，g（x）=f（x）﹣2ax（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值；（2）若对∀x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立，求a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣4=0．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（Ⅰ）求ab的最大值；（Ⅱ）求证：．参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|lgx≥0}，B={x|x≤1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由lgx≥0，解得x≥1，再利用集合运算性质即可得出．【解答】解：由lgx≥0，解得x≥1．∴A=[1，+∞）．又B={x|x≤1}，∴A∩B={1}≠∅，A∪B=R，故选：B．2．若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】由（1+2i）z=（1﹣i），得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数求模公式则答案可求．【解答】解：由（1+2i）z=（1﹣i），得=，则|z|=．故选：C．3．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是（）A．66 B．76 C．63 D．73【考点】系统抽样方法．【分析】根据总体的容量比上样本的容量求出间隔k的值，再根据系统抽样方法的规定，求出第7组中抽取的号码是：m+60的值．【解答】解：由题意知，间隔k==10，∵在第1组随机抽取的号码为m=6，6+7=13，∴在第7组中抽取的号码63．故选C．4．在函数y=xcosx，y=e x+x2，，y=xsinx偶函数的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．【解答】解：①f（﹣x）=﹣xcos（﹣x）=﹣xcosx=﹣f（x），则y=xcosx是奇函数，不满足条件．②当x=1时，f（1）=e+1，当x=﹣1时，f（﹣1）=+1≠f（1），则y=e x+x2，不是偶函数，不满足条件．③由x2﹣2＞0得x＞或x＜﹣，此时f（﹣x）=lg=lg，则y=lg，是偶函数，④f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），则y=xsinx是偶函数，满足条件．故偶函数的个数为2个，故选：B．5．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的一个顶点．则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出直线在y轴上的截距，可得b=1，求得a和c，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：直线l：x﹣2y+2=0过点（0，1），由题意可得b=1，则椭圆方程为+y2=1，即有a=，b=1，c==2，即有e===．故选：D．6．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），则数列{a n}的通项公式a n=（）A．B．C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n+2【考点】数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．【解答】解：数列{a n}满足：a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），可得a1=1a2﹣a1=2a3﹣a2=3a4﹣a3=4…a n﹣a n﹣1=n以上各式相加可得：a n=1+2+3+…+n=n（n+1），故选：A．7．如图是计算+++…+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）A ．i ＜10B ．i ＞10C ．i ＜20D ．i ＞20【考点】程序框图．【分析】根据算法的功能是计算+++…+的值，确定终止程序运行的i=11，由此可得判断框中应填入的条件．【解答】解：根据算法的功能是计算+++…+的值，∴终止程序运行的i=11，∴判断框中应填入的条件是：i ＞10或i ≥11． 故选：B ．8．已知，且α为第二象限角，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意和同角三角函数基本关系和二倍角公式可得tan2α，再由两角和的正切公式代入计算可得．【解答】解：∵，且α为第二象限角， ∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan2α==﹣，∴==﹣，故选：D．9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．cm3 B．cm3C．cm3D．7cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥A﹣BCD，其中B、D分别中点，则BC=CD=1，且AC⊥平面BCD，∴几何体的体积V==（cm3），故选：A．．10．在△ABC中，，则边AC上的高为（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由点B向AC作垂线，交点为D，设AD=x，则CD=4﹣x，利用勾股定理可知BD==进而解得x的值，再利用勾股定理求得AD．【解答】解：由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4﹣x，∴BD==，解得x=∴BD==故选B11．在球内有相距1cm的两个平行截面，截面面积分别是5πcm2和8πcm2，球心不在截面之间，则球面的面积是（）A．36πcm2B．27πcm2C．20πcm2D．12πcm2【考点】球内接多面体．【分析】画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．【解答】解：由题意画轴截面图，截面的面积为5π，半径为，截面的面积为8π的圆的半径是2，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3，∴球面的面积是4πr2=36π故选：A．12．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f （x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C．+3 D．﹣+3【考点】分段函数的应用．【分析】根据条件得到f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a，b的关系进行求解即可．【解答】解：若对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，则b=3，且a＜0，由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9），即2a2+3=+3=3+3，即a=﹣，则a+b=﹣+3，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知x，y满足不等式，则函数z=2x+y取得最大值等于12 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求出最值即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时过点B，联立，解得，故z的最大值是：z=2×5+2=12，故答案为：12．14．在△ABC中，若，则cos∠BAC的值等于．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再求出•，||，||，代入数量积求夹角公式得答案【解答】解：∵，∴=+=（1，﹣2），∴•=2×1+（﹣1）×（﹣2）=4，||==，||==，∴cos∠BAC===，故答案为：．15．以﹣=﹣1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题意设所求的椭圆方程为，且，由此能求出所求的椭圆的方程．【解答】解：∵﹣=﹣1的标准方程为，∴该双曲线的焦点坐标为F1（0，﹣4），F2（0，4），顶点坐标为A1（0，﹣2），A2（0，2），由题意设所求的椭圆方程为，且，∴b2=42﹣=4，∴所求的椭圆的方程为．故答案为：．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为 4 ．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin（ωx++φ），把f（x）的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x﹣）+φ]=sin（ωx﹣+φ），根据题意可得，y=sin（ωx++φ）和y=sin（ωx﹣+φ）的图象重合，故+φ=2kπ﹣+φ，求得ω=4k，故ω的最小值为4，故答案为：4．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=6，S5=15．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）利用等差数列的前n项和公式即可得出．（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=6，S5=15．∴=6，=15，解得a1=d=1．∴a n=1+（n﹣1）=n．（II）=，∴数列{b n}的前n项和T n=++…+，=++…++，∴S n=+…+﹣=﹣=1﹣．∴S n=2﹣．18．某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如表：B校样本数据统计表：（Ⅱ）从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）分别求出A校样本的平均成绩、方差和B校样本的平均成绩、方差，从而得到两校学生的计算机成绩平均分相同，A校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中，（Ⅱ）根据分成抽样求出故抽取的7分有4人即为A，B，C，D，8分和9分的学生中各为1人，记为a，b，一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）从A校样本数据的条形图知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人A校样本的平均成绩为：=（4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3）=6（分），A校样本的方差为S A2=[6（4﹣6）2+15（5﹣6）2+21（6﹣6）2+12（7﹣6）2+3（8﹣6）2+3（9﹣6）2]=1.5．从B校样本数据统计表知：B校样本的平均成绩为：=（4×9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×3=6（分），B校样本的方差为S B2=[9（4﹣6）2+12（5﹣6）2+21（6﹣6）2+9（7﹣6）2+6（8﹣6）2+3（9﹣6）2]=1.8．∵=，S A2＜S B2，∴两校学生的计算机成绩平均分相同，A校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中．（Ⅱ）A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，由于7分、8分、9分的学生分别有12人，3人，3人，故抽取的7分有6×=4人即为A，B，C，D，8分和9分的学生中各为1人，记为a，b，故从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，共有AB，AC，AD，BC，BD，CD，Aa，Ba，Ca，Da，Ab，Bb，Cb，Db，ab共有15种，其中2人成绩之和大于或等于15的分的有Aa，Ba，Ca，Da，Ab，Bb，Cb，Db，ab共9种，故这2人成绩之和大于或等于15的概率P==19．如图，ABCD是平行四边形，已知，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥CE；（Ⅱ）若，求三棱锥B﹣ADE的高．【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】（I）根据勾股定理的逆定理可证BD⊥BC，由面面垂直的性质可得BD⊥平面EBC，故BD⊥CE；（II）取BC中点F，连接EF，DF，AF．则EF⊥平面ABCD，利用勾股定理求出EF，AF，DF，AE，DE，得出V E﹣ABD，S△ADE，根据等体积法计算棱锥的高．【解答】证明：（I）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，∵BC=2，BD=2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，又平面BCE⊥平面ABCD，平面BCE∩平面ABCD=BC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面BCE，∵CE⊂平面BCE，∴BD⊥CE．（II）取BC的中点F，连接EF，DF，AF．∵EB=EC，∴EF⊥BC，∵平面EBC⊥平面ABCD，平面EBC∩平面ABCD=BC，∴EF⊥平面ABCD．∵BE=CE=，BC=2，∴EF=，DF==，AF==，∴DE==，AE==．∴V E﹣ABD===2．cos∠AED==，∴sin∠AED=．∴S△ADE===．设B到平面ADE的高为h，则V B﹣ADE===2，∴h=．∴三棱锥B﹣ADE的高位．20．已知点P1（﹣2，3），P2（0，1），圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆．（Ⅰ）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；（Ⅱ）若P（x，y）是圆C外一点，从P向圆C引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）求出圆心与半径，可得圆C的方程，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（Ⅱ）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．【解答】解：（Ⅰ）∵点P1（﹣2，3），P2（0，1），圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆∴C（﹣1，2），|P1P2|=∴圆C的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=2，当切线过原点时，设切线方程为y=kx，则=，∴k=2±，即切线方程为y=（2±）x．当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a，则=，∴a=﹣1或a=3，即切线方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0．综上知，切线方程为y=（2±）x或x+y+1=0或x+y﹣3=0；（Ⅱ）因为|PO|2+r2=|PC|2，所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1﹣2）2，即2x1﹣4y1+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（﹣，）．21．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx，g（x）=f（x）﹣2ax（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值；（2）若对∀x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过讨论b的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值；（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出a的范围．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），当a=0时，，；当，有f'（x）＞0；当，有f'（x）＜0，∴f（x）在区间[，1]上是增函数，在[1，e]上为减函数，又，，，∴，．（2），则g（x）的定义域为（0，+∞），．①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，，当x2＞x1=1，即时，在（0，1）上有g'（x）＞0，在（1，x2）上有g'（x）＜0，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0，此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；当x2≤x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数；要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，∴a的范围是，综合①②可知，当时，对∀x∈（1，+∞），g（x）＜0恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（1）要证明AD∥OC，我们要根据直线平行的判定定理，观察已知条件及图形，我们可以连接OD，构造出内错角，只要证明∠1=∠3即可得证．（2）因为⊙O的半径为1，而其它线段长均为给出，故要想求AD•OC的值，我们要将其转化用半径相等或相关的线段积的形式，结合（1）的结论，我们易证明Rt△BAD∽Rt△ODC，根据相似三角形性质，不们不难得到转化的思路．【解答】解：（1）如图，连接BD、OD．∵CB、CD是⊙O的两条切线，∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°又AB为⊙O直径，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴AD∥OC；（2）AO=OD，则∠1=∠A=∠3，∴Rt△BAD∽Rt△ODC，AD•OC=AB•OD=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣4=0．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把把C1的参数方程先消去参数化为直角坐标方程，再化为极坐标方程．（Ⅱ）把曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，先求出它们的交点的直角坐标，再把它化为极坐标．【解答】解：（Ⅰ）把C1的参数方程（t为参数），先消去参数化为直角坐标方程为x=y2，化为极坐标方程为ρcosθ=（ρsinθ）2．（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣4=0化为直角坐标方程为x2+y2+2x﹣4=0，即（x+1）2+y2=5，由，求得或，C1与C2交点的直角坐标为（1，1）或（1，﹣1），再把它们化为极坐标为（，）或（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（Ⅰ）求ab的最大值；（Ⅱ）求证：．【考点】不等式的证明．【分析】（Ⅰ）由a＞0，b＞0，运用均值不等式a+b≥2，可得ab的最小值；（Ⅱ）将不等式的左边化为ab+++，运用均值不等式和对勾函数的单调性，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由a＞0，b＞0，1=a+b≥2，即有0＜ab≤，当且仅当a=b=时，ab取得最大值；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得a，b＞0，且0＜ab≤，（a+）（b+）=ab+++≥+4+2=6+=，当且仅当a=b=时，等号成立．。
广东省广州市2019届高三年级调研考试数学(文科)试题
广东省广州市2019届高三年级调研考试数学（文科）试题 文 科 数 学一、 选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．1．方程22150,50x px x x q -+=-+= 且{}3MN =，则:p q 的值为（ ）A ．13 B ．23 C ．1 D ．432． “0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件3．已知数列{a n }中，a 1=67，a n +1=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤121122102n n n n a a a a ，则a 2012等于( ) A ． 37 B ． 47 C ． 57 D ． 674．设10.23121log 3,(),23a b c ===，则（ ）A ． c b a <<B ． a b c <<C ． b a c <<D ． c a b <<5．如图，一个正三棱柱的左（侧）视图是边长为3的正方形，则它的外接球的表面积等于( )A ．8πB ．253π C ．9π D ．283π 6．函数2()2cos 3sin 2f x x x =-（x ∈R ）的最小正周期和最大值分别为( )A ． 2π 3B ．2π 1C ．π 3D ．π 17．已知点P 是以F 1 、F 2为左、右焦点的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，且满足120PF PF ⋅=，，则此双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．13C ． 5D ．13 8．定义在R 上的函数()y f x =，满足(3)()f x f x -=，3()'()02x f x -<，若x 1<x 2，且x 1+x 2>3，则有( )A ． 12()()f x f x <B ． 12()()f x f x >C ． 12()()f x f x =D ．不确定9.函数()f x 的导函数为/()f x ,若/(1)()0x f x +⋅>,则下列结论中正确的一项为（ ）,1().1().1().1()A x f x B x f x C x f x D x f x =-=-=-=-一定是函数的极大值点一定是函数的极小值点不是函数的极值点不一定是函数的极值点10．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（ ）二、 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．11． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为．12． 执行右边的框图，则输出的s 是13．与圆C:222210x y x y +--+=相切的直线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B且2OA >，2OB >，则三角形AOB 面积的最小值为 ．选做题（考生只能两题中选作一题）14．(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝ ；15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为 ．BCDE OEC 1B 1A 1C BA三、 解答题：本大题共6个小题．共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知(sin cos ,3cos ),(cos sin ,2sin )m x x x n x x x ωωωωωω=+=-，且0ω>，设()f x m n =⋅，()f x 的图象相邻两对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，4b c +=，1f A =（），求△ABC 面积的最大值．17．（本小题满分12分）甲、乙、丙三台机床各自独立的加工同一种零件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0．7、0．6、0．8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的二倍．（1）从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；（2）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，求它是一等品的概率；（3）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取4件检验，其中一等品的个数记为X ，求EX ．18．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ， 已知11,2,BC BB ==（1）求证：1C B ABC ⊥平面；（2）试在棱1CC （不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置,使得1EA EB ⊥；19．（本小题满分14分）已知函数ln(1)()x f x x+=． （1）确定()y f x = 在（0，+∞） 上的单调性；（2）设3()()h x x f x x ax =⋅--在（0，2）上有极值，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）如图，已知抛物线C 的顶点在原点, 焦点为F (0, 1)． (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 在抛物线C 上是否存在点P , 使得过点P 的直线交C 于另一点Q , 满足PF ⊥QF , 且PQ 与 C 在点P 处的切线垂直? 若存在, 求出点P 的 坐标; 若不存在, 请说明理由．21．（本小题满分14分） 设数列{}n a ,{}n b 满足：a 1=4，a 2=52 ,12n n n a b a ++=, 12n n n n n a b b a b +=+．（1）用n a 表示1n a + ；并证明：n N +∀∈, a n >2 ;（2）证明：2ln2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （3）设S n 是数列{}n a 的前n 项和，当n ≥2时，S n 与42()3n + 是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由xyPOQF届高三年级调研考试试题文 科 数 学答案一、1．D 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9 A 10D二、 11．638-12．132 13． 322+14．在平面直角坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=分别表示圆()2224x y ++=和直线1x =，易知AB ＝23．15． C 为圆周上一点，AB 是直径，所以AC ⊥BC ，而BC ＝3，AB ＝6，得∠BAC ＝30°,进而得∠B ＝60°，所以∠DCA ＝60°，又∠ADC ＝90°，得∠DAC ＝30°，09sin 369sin 602AD AC DCA ∴=⋅∠=-⋅=． 三、16．解：（Ⅰ）22()cos sin 23sin cos cos 23sin 2f x x x x x x x ωωωωωω=-+=+=2sin(2)6x πω+ …………………4分依题意：22ππω=，∴1()2sin(2)6f x x πω=∴=+，．…………………6分 （Ⅱ）∵1f A =（），∴1sin(2)62A π+=， 又132666A πππ<+<，∴52,66A ππ+= 3A π=． …………………8分 4b c +=2133sin ()32442ABC b c S bc A bc ∆+∴==≤=…………………10分 当且仅当2b c ==等号成立，所以ABC S ∆面积最大值为3……………12分 17．解:（1） 设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品为事件A,B,C ，则 P （A ）=0．7, P （B ）=0．6, P （C ）=0．8从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，至少有一件一等品的概率为1P =1-P(A)P(B)P(C)=1-0．3×0．4×0．2=0．976 4分（2） 将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，它是一等品的概率为 P 2=20.70.60.80.74⨯++= 8分（3） P （X=4）=04C ×0．74=0．2401， P （X=3）=14C ×0．3×0．73=0．4116P （X=2）=24C ×0．32×0．72=0．2646, P （X=1）=34C ×0．33×0．7=0．0756 P （X=0）=44C ×0．34=0．0081X 4 3 21 0 P 0．2401 0．4116 0．2646 0．07560．0081因为X~B （4，0．7），所以EX=4×0．7=2．8 12分 18． 证（1）因为AB ⊥侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥ 在1BC C 中，1111,2,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理有2211112cos 1422cos33BC BC CC BC CC BCC π=+-⋅⋅⋅∠ =+-⨯⨯= 故有222111BC BC CC C B BC += ∴⊥而BC AB B = 且,AB BC ⊂平面ABC∴1C B ABC ⊥平面……………… 4分（2）由11,,,,EA EB AB EB AB AE A AB AE ABE ⊥⊥=⊂平面从而1B E ABE ⊥平面 且BE ABE ⊂平面 故1BE B E ⊥ 不妨设 CE x =，则12C E x =-，则221BE x x =+- 又1123B C C π∠= 则22157B E x x =-+ 在1Rt BEB 中有 225714x x x x -++-+= 从而12x x ==或（舍去） 故E 为1CC 的中点时，1EA EB ⊥……………… 8分19．解：（1）由已知函数求导得2ln(1)1'()xx x f x x -++= 2分设()ln(1)1xg x x x =-++，则2211'()0(1)1(1)x g x x x x -=-=<+++ 4分 ∴g (x )在(0,+∞)上递减，()(0)0g x g <= ,∴'()0f x < ,因此()f x 在（0，+∞）上单调递减 6分（2）由3()()h x f x x ax =--可得， 221(331)'()1311x ax ax h x ax x x -++=--=++ 8分若a ≥0,任给x ∈（0，+∞），1101x -<+，230ax -<，∴'()h x ＜0， ∴()h x 在（0，2）上单调递减，则()f x 在（0，2）无极值 10分若a <0，3()()h x x f x x ax =⋅--）在（0，2）上有极值的充要条件是2()331x ax ax ϕ=++ 在（0，2）上有零点 12分∴(0)(2)0ϕϕ⋅<，解得118a <- 综上，a 的取值范围是（-∞，118-） 14分20． (Ⅰ) 解: 设抛物线C 的方程是x 2 = ay ,则14=a, 即a = 4．故所求抛物线C 的方程为x 2= 4y ． 5分(Ⅱ) 解: 设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), 则抛物线C 在点P 处的切线方程是：112y x x y -=, 直线PQ 的方程是：1122y x x y ++-=． 将上式代入抛物线C 的方程, 得：0)2(48112=+-+y x x x ,故 x 1+x 2 =18x -, x 1x 2 =－8－4y 1 ,所以 x 2=18x -－x 1 , y 2=14y +y 1+4 ．而FP ＝(x 1, y 1－1), FQ ＝(x 2 , y 2－1) ,FP ⋅FQ ＝x 1 x 2＋(y 1－1) (y 2－1)＝x 1 x 2＋y 1 y 2－(y 1＋y 2)＋1＝－4(2+y 1)+ y 1(14y +y 1+4)－(14y +2y 1+4)+1＝21y －2y 1 －14y －7＝(21y ＋2y 1＋1)－4(11y +y 1+2)＝(y 1＋1)2－121)1(4y y +＝1211)1)(4(y y y +-＝0,故 y 1＝4, 此时, 点P 的坐标是(±4,4) ． 经检验, 符合题意． 所以, 满足条件的点P 存在, 其坐标为P (±4,4)． 14分21．（1）由已知得a 1=4，a 2=52,所以11b = 故11114n n n n a b a b a b ++====; 由已知：0n a >，12a >，22a >，4n n b a =∴122n n na a a +=+,由均值不等式得12n a +> 4分故n N +∀∈ ，2n a > 5分（2）2112222n n n n a a a a ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭，21(2)22n n n a a a +++=,21(2)22n n na a a +--= 所以1122ln2ln 22n n n n a a a a ++++=--，所以2ln 2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是等比数列 8分（3）由（2）可知1122ln (ln 3)2ln 32n n n n a a --+=⨯=-∴11223131n n n a --+=- 当n ≥2时，()11221221031n n n n a a a -+--=≤-- 10分 ∴()3212210a a -<- , ()4312210a a -<- ,…，()112210n n a a --<-相加得：[]121112(2)2(2)10n n S a a n S a n -----<--- 12分∵14a =,252a =,∴106520(2)42(2)n n n S n S a n ---<---- ∴()1122253125182229993931n n n S n n n --+<+-<+-=+- 故n ≥2时，423n S n ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭14分 解二：1111222231242212313131n n n n n a ----+⎛⎫=⨯=+=+ ⎪---⎝⎭ 设()()12212224414333n n n n n C C ----==<，（n ≥2） 10分 211121111124444n n n n n C C C C ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴当n ≥2时，11224n n a -⎛⎫<+ ⎪⎝⎭12分21121111142(1)2444111442221142182212343n n n n n S a a a n n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++<+-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫- ⎪⎝⎭=++⨯-⎛⎫=++-<+⎪⎝⎭14分。
2019年广州市高三年级调研测试-数学(文科)
2019年广州市高三年级调研测试-数学（文科）A年高三年级调研测试数学（文科）.1本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。
考试用时120 分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为 A ．{}2 B ．{}4,6 C ．{}1,3,5 D ．{}4,6,7,8 2．函数()f x =A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ． (],2-∞ D ． [)2,+∞3．圆心为()0,4，且过点()3,0的圆的方程为A ．()22425x y +-= B ．()22425x y ++= C ．()22425x y -+= D ．()22425x y ++=4．某校为了了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重.将所得的数据整理后，画出了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在45~50kg 的人数是 A ．10 B ．30 C ．50 D ．605．命题“,x x e x ∀∈>R ”的否定是A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．,x x e x ∃∈≤R6．下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（-∞，0），当1x <2x 时，都有1()f x <2()f x ”的函数是A ．()1f x x =-+B ．2()1f x x =-C ．()2x f x =D ．()()ln f x x =- 7．已知等差数列}{n a 中，73a =，则数列}{n a 的前13项之和为A ．239B ．39C ．2117 D ．1178．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是A ．16B ．13C ．12 D．29．已知函数()cos 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是奇函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数10．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第项2010a 满足A ．20101010a <<B ．20101110a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ． 201010a >二、填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．复数52i-（i 是虚数单位）的模等于 ． 12．如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为 ．主视图侧视图俯视图13．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，给出下列四个命题：①若//,m n m α⊥，则n α⊥； ②若,,m m αβαβ⊥⊥则；③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,,//m n m n αα⊂则．其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（《几何证明选讲》选做题）如图，在△ABC 中，60A ∠=，70ACB ∠=，CF 是△ABC 的 边AB 上的高，FP BC ⊥于点P ，FQ AC ⊥于点Q ，则CQP ∠的大小为 ．15．（《坐标系与参数方程》选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=，则它与曲线s i nc o s 1s i n 2x y ααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）的交点的直角坐标是 ．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设向量(3,OA =，(cos ,sin )OB θθ=，其中02πθ≤≤．（1）若13AB =tan θ的值； （2）求△AOB 面积的最大值．17．（本小题满分12分）已知向量()1,2=-a ，(),x y =b ．（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1=-a b 的概率； （2）若,x y ∈[]1,6，求满足0>a b 的概率．18．（本小题满分14分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 是CD 的 中点．（1）求证：1AC 平面1AD E ；（2）在对角线1AC 上是否存在点P ，使得DP ⊥平面1AD E ？ 若存在，求出CP 的长；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）已知两点(1,0M -、(1,0)N ，点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN NP MN MP⋅=． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）若点(),4A t 是动点P 的轨迹上的一点，(,0)K m 是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆22(2)4x y +-=的位置关系．20．（本小题满分14分）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >．（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21．（本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()()2f x xx a =-．（1）若函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，求实数a 的取值范围；（2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a ；（3）对（2）中的()h a ，若关于a 的方程()12h a m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不相等的实数解，求实数m 的取ABC D E 1A A1B1C A1D A值范围．。
2019届广东省广州市高三年级调研测试(文科数学)答案
数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 1 页 共 6 页2019届广州市高三年级调研测试 文科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.43 14. 15. 16.()(),40,-∞-+∞三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 解:(1)证明:∵37a =,3232a a =-,∴23a =, ……………………………………1分∴121n n a a -=+, ……………………………………2分 ∴11a =, ……………………………………3分111122211n n n n a a a a ---++==++()2n ≥, ……………………………………5分∴{}1n a +是首项为112a +=,公比为2的等比数列. …………………………………………6分 (2)解:由(1)知,12nn a +=, ……………………………………7分∴21n n a =-, ……………………………………8分∴()12122212n n n S n n +-=-=---, ……………………………………9分数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 6 页∴()()12222210n nn n n S a n n ++-=+----=, ……………………10分∴2n n n S a +=. ……………………11分 即n ,n a ,n S 成等差数列. ……………………12分 18.解:(1)500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯4500.0015100+⨯⨯ ……………………………2分 265=. ……………………………3分 故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤. …………………………4分 (2)当日需求量不低于250公斤时,利润=()2515250=2500y ⨯－元, ………………5分当日需求量低于250公斤时,利润2515250=()()5=151250x y x x ---⨯-元 , ………6分所以151250,0250,2500,250500.x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩ ……………………………8分由1750y ≥得,200500x ≤≤, ……………………………9分 所以(1750)P y ≥＝(200500)P x ≤≤ ……………………………10分=0.0030100+0.0025100+0.0015100⨯⨯⨯ =0.7. ……………………………11分故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 . ……………………………12分 19. 解:(1)证明:取BD 的中点O ,连接OE ,OG在BCD ∆中,因为G 是BC 的中点, 所以OG DC 且112OG DC ==,……………1分 因为EF AB ,ABDC ,1EF =,所以EFOG 且EF OG =,……………………2分所以四边形OGFE 是平行四边形,所以FG OE , ………………………3分又FG ⊄平面BED ,OE ⊂平面BED , 所以FG平面BED . ……………………………4分(2)证明:在ABD ∆中,1AD =,2AB =,60BAD ∠=,由余弦定理得BD == …………………………5分 OG FEDCBA数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 6 页HGFEDCBA因为222314BD AD AB +=+==,所以BD AD ⊥. …………………………6分 因为平面AED ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,平面AED平面ABCD AD =,所以BD ⊥平面AED . ……………………………7分(3)解法1:由(1)FG平面BED ,所以点F 到平面BED 的距离等于点G 到平面BED 的距离, ……………………8分 设点G 到平面BED 的距离为h ,过E 作EM DA ⊥,交DA 的延长线于M ,则EM ⊥平面ABG ,所以EM 是三棱锥E ABG -的高. ……………………9分 由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=,所以sin ADE ∠=,sin EM DE ADE =⋅∠=. ………………………………10分12DBG S DB BG ∆=⋅=12BDE S BD DE ∆=⋅=. 因为G BDE E DBG V V --=,………………………………11分 即1133BDE DBG S h S EM ∆∆⋅=⋅,解得h =. 所以点F 到平面BED 的距离为65. ………………………………12分 解法2:因为EFAB ,且12EF AB =, 所以点F 到平面BED 的距离等于点A 到平面BED 的距离的12, ……………8分 由(2)BD ⊥平面AED .因为BD ⊂平面BED ,所以平面BED ⊥平面AED .过点A 作AH DE ⊥于点H ,又因为平面BED平面AED ED =,故⊥AH 平面BED .所以AH 为点A 到平面BED 的距离.…………………9分 在ADE ∆中,6,3,1===AE DE AD , 由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=所以sin ADE ∠=, …………………10分数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 4 页 共 6 页因此35sin =∠⋅=ADE AD AH , ……………………………………………………11分 所以点F 到平面BED 的距离为65. …………………………………………………12分 20.(1)解法1:依题意动圆圆心C 到定点(1,0)F 的距离,与到定直线1x =-的距离相等,…1分 由抛物线的定义,可得动圆圆心C 的轨迹是以(1,0)F 为焦点,1x =-为准线的抛物线, ……2分 其中2p =.∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为24y x =. ……………………………3分 解法2:设动圆圆心C (),x y ,依题意1x =+. ……………………………2分化简得:24y x =,即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程. ……………………………3分 (2)解:假设存在点()0,0N x 满足题设条件.由QNM PNM π∠+∠=可知,直线PN 与QN 的斜率互为相反数,即0PN QN k k += ① ……4分 直线PQ 的斜率必存在且不为0,设:2PQ x my =-, ………………………………5分由242y x x my ⎧=⎨=-⎩得2480y my -+=. ………………………………………6分 由()24480m ∆=--⨯>,得m 或m <……………………………………7分设1122(,),(,)P x y Q x y ,则12124,8y y m y y +==. ………………………………………………8分 由①式得121020PN QN y y k k x x x x +=+--()()()()12021010200y x x y x x x x x x -+-==--,()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=.消去12,x x ,得()22122101211044y y y y x y y +-+=, …………………………………………………9分 ()()1212012104y y y y x y y +-+=, ……………………………………………………………10分 120,y y +≠012124x y y ∴==, ……………………………………………………………11分∴存在点()2,0N 使得QNM PNM π∠+∠=. ……………………………………………………12分数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 6 页21.(1)解:当a e =-时, ()(ln )x f x xe e x x =-+,()f x 的定义域是(0,)+∞ ……1分()()11'()1(1)x xx f x x e e xe e x x +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭, …………………………………2分当01x <<时,'()0f x <；当1x >时,'()0f x >. …………………………………3分 所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1,单调递增区间为()1,+∞. …………………………4分 (2)证明:由(1)得()f x 的定义域是(0,)+∞,1'()()xx f x xe a x+=+, 令()x g x xe a =+,则'()(1)0x g x x e =+>,()g x 在(0,)+∞上单调递增,………………………5分 因为0a <,所以(0)0g a =<,()0a g a ae a a a --=-+>-+=,故存在()00,x a ∈-,使得000()0xg x x e a =+=. …………………………………………6分当0(0,)x x ∈时,()0g x <,1'()()0xx f x xe a x+=+<,()f x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时,()0g x >,1'()()0xx f x xe a x+=+>,()f x 单调递增； 故0x x =时,()f x 取得最小值,即()()00000ln xm f x x e a x x ==++, …………………………8分由000xx e a +=得()()0000ln ln xx m x e a x ea a a =+=-+-, ………………………………9分令0x a =->,()ln h x x x x =-,则()()'11ln ln h x x x =-+=-,当(0,1)x ∈时,()'ln 0h x x =->,()ln h x x x x =-单调递增, ………………………………10分 当(1,)x ∈+∞时,()'ln 0h x x =-<,()ln h x x x x =-单调递减,………………………………11分 故1x =,即1a =-时,()ln h x x x x =-取最大值1,故1m ≤. ……………………12分22.解:(1) 依题意,直线1l的直角坐标方程为3y x =,2l的直角坐标方程为y =. ……………………………………………………………2分由2sin ρθθ+得2cos 2sin ρθρθ+,因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==, …………………………………………………3分所以22((1)4x y +-=, …………………………………………………………………4分数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 6 页 共 6 页所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(α为参数).………………………………5分(2)联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==, ……………………………………6分 同理,2OB ρ==……………………………………………………………………7分又6AOB π∠=, ………………………………………………………………………………8分所以111sin 4222AOBS OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯= …………………………9分 即AOB ∆的面积为 ……………………………………………………………10分 23.解:(1)当2a =时,原不等式可化为3123x x -+-≥, …………………………1分 ①当13x ≤时,1323x x -+-≥,解得0x ≤,所以0x ≤； ……………………………2分 ②当123x <<时,3123x x -+-≥,解得1x ≥,所以12x ≤<； ……………………3分 ③当2x ≥时,3123x x -+-≥,解得32x ≥,所以2x ≥. ……………………………4分综上所述,当2a =时,不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或. ………………………………5分(2)不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤, 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,……………………………………6分 所以313x x a x -+-≤,即1x a -≤,即11a x a -≤≤+, ……………………………8分所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩,解得1423a -≤≤,故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ………………………………………………………10分。
2019年广东省广州市上学期高三数学(文科)月考考试试卷参考答案
高考数学精品复习资料2019.5广州市高三年级调研测试数学(文科)试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．20xx －1－103．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．2 12 13．1 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)(本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识， 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解：2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭x x cos sin =+ ……………1分22x x sin cos ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4x sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ……………3分由22242k x k ,πππππ-+≤+≤+ ……………4分解得32244k x k k ,ππππ-+≤≤+∈Z ． ……………5分 ∴)(x f y =的单调递增区间是32244k k k [,],ππππ-++∈Z ． ……6分 (2)解：由(1)可知)4sin(2 )(π+=x x f ，∴43f ()sin παα-==，得13sin α=． ………8分∴)42(πα+f =22sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………9分2cos α= ……………10分()212sin α=- ……………11分9=． ……………12分 17．(本小题满分12分)(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识， 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解：∵甲班学生的平均分是85，∴92968080857978857x +++++++=． ……………1分∴5x =． ……………2分∵乙班学生成绩的中位数是83， ∴3y =． ……………3分 (2)解：甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=．……5分 (3)解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， ………6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E ． ……………7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E ． ……………9分其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()(),,,,,,,A E B C B D B E ． ……………11分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710P M =． 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710．……………12分 18．(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的中点E ， 连接PE ，则PE ⊥平面ABCD ． ……………2分 ∵AD ⊂平面ABCD ，∴AD PE ⊥． ……………3分∵AD CD ⊥，CDPE E CD ,=⊂平面PCD ，PE ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥平面PCD ． ……………5分∵PC ⊂平面PCD ，∴AD PC ⊥． ……………6分(2)解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==，在Rt △PED 中，PE ==7分过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ， ∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB PE ⊥． ……………8分∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EFPE E =，∴AB ⊥平面PEF ． ……………9分 ∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥． ……………10分依题意得2EF AD ==． ……………11分在Rt △PEF 中，3PF ==， ……………12分∴△PAB 的面积为162S AB PF ==． ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6． ……………14分19．(本小题满分14分)(本小题主要考查数列、数列求和等知识， 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列，∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S ． ……………1分 ∴12)1(11-⋅+=-n n a S ．从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a ． ……………3分 ∵2a 是1a 和3a 的等比中项∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 1或11-=a ． ……………4分 当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列， ……………5分 ∴=1a 1．∴12-=nn S ． ……………6分当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a ． ……………7分 ∵11=a 符合12-=n n a ， ∴12-=n n a ． ……………8分(2)解：∵12n n na n -=，∴1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯++．① ……………9分 21231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++．② ……………10分①-②得2112222n n n T n --=++++- ……………11分12212n n n -=-- ……………12分 =()121n n --． ……………13分∴()121n n T n =-+． ……………14分20．(本小题满分14分)(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识， 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1)解法1：∵()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，∴可设()()5fx ax x =-，0a >． ……………1分∴25f x ax a /()=-． ……………2分∵函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-． ……………3分∴256a a -=-，解得2a =． ……………4分 ∴()()225210fx x x x x =-=-． ……………5分解法2：设()2f x ax bx c =++，∵不等式()0fx <的解集是()05,，∴方程20ax bx c ++=的两根为05,．∴02550c a b ,=+=． ① ……………2分∵2f x ax b /()=+．又函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-．∴26a b +=-． ② ……………3分由①②，解得2a =，10b =-． ……………4分 ∴()2210fx x x =-． ……………5分(2)解：由(1)知， 方程()370f x x+=等价于方程32210370x x -+=．………6分设()h x=3221037x x -+，则()()26202310h xx x x x /=-=-． ……………7分当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<， 函数()h x 在1003,⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； ………8分 当103x ,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x />， 函数()h x 在103,⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增．… 9分 ∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭， ………12分 ∴方程()0h x=在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,,()4,+∞内没有实数根． ……………13分∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根． ……………14分21．(本小题满分14分)(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识， 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解法1：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-，设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义， 由53PF =，得01x +53=，解得023x =．……………1分 ∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限，∴ 2002443y x ==⨯，解得03y =．∴点P 的坐标为23⎛ ⎝⎭． ……………2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b +=上， ∴2248193a b+=． ……………3分又1c =，且22221a b c b =+=+， ……………4分 解得224,3a b ==．∴椭圆1C 的方程为22143x y +=． ……………5分 解法2：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，设点P 的坐标为()00x y ,，0000x y ,>>． ∵53PF =，∴()22002519x y -+=． ① ……………1分 ∵点P 在抛物线22:4C y x =上，∴2004y x =． ②解①②得023x =，0y =．∴点P 的坐标为23⎛⎝⎭． ……………2分 ∵点P 在椭圆22122:1x y C a b +=上， ∴2248193a b+=． ……………3分又1c =，且22221a b c b =+=+， ……………4分 解得224,3a b ==．∴椭圆1C 的方程为22143x y +=． …………… 5分 (2)解法1：设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ， 则()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-． ∴()12122,FM FN x x y y +=+-+． ∵ FM FN FR +=，∴121221,x x x y y y +-=-+=． ① ……………6分∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=．②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=．当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--． ③ ……………7分 设FR 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭． ∵M 、N 、Q 、A 四点共线，∴MNAQ k k =，即121221312yy y y x x x x -==+-++． ④ ……………8分 把④式代入③式，得()3134x y x y+=-+， 化简得()2243430y x x +++=． ……………9分 当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上．∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=． ……………10分 解法2：当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =+，由()221143y k x x y ,,⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++-=． 设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则2122834k x x k+=-+，()()()1212122611234ky y k x k x k x x k+=+++=++=+．…6分 ∵()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-． ∴()12122,FM FN x x y y +=+-+． ∵ FM FN FR +=，∴121221,x x x y y y +-=-+=．∴21228134k x x x k +=+=-+， ①2634ky k=+． ② ……………7分 ①÷②得()314x k y+=-， ③ ……………8分把③代入②化简得()2243430y x x +++=．(*) ……………9分 当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x =-， 依题意，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上．∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=． ……………10分 (3)解： 由(2)知点R ()x y ,的坐标满足()2243430y x x +++=， 即()224343y x x =-++， 由20y≥，得()23430x x -++≥，解得31x -≤≤-． ………11分∵圆()2211x y -+=的圆心为()10F ,，半径1r =，∴RF ==12=． ……………12分∴当3x =-时，4RF max=， ……………13分 此时，415RT max =+=． ……………14分。
广东省广州市2019届高三12月调研测试试题与答案- 数学(文)
文科数学·1· 秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2019届广州市高三期末调研测试文科数学 2018．12本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}211P x x =-<，{}11Q x x =-<<，则P Q =A ．()1,2-B ．()1,0-C ．()1,2D ．()0,12．若复数z 满足()1i +z 12i =+，则z =A．2 B ．32 C．2D ．12 3．下列函数中，既是奇函数，又在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的是 A ．2sin x y x =- B ．122x x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．sin y x x =- D ．cos y x x =-4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．。
2019年广东省广州市高三年级调研测试(文数)试卷及答案
7 8 994 4 6 4 7 3高考数学精品复习资料2019.5广州市20xx 届高三年级调研测试数学（文 科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数4y x =-的定义域是A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()4,+∞D ．[)4,+∞ 2．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是A ．若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B ．若11<<-x ，则12<x C ．若11-<>x x ，或，则12>x D ．若11-≤≥x x ，或，则12≥x 3．如图1是某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 A ． 85，84B ． 84，85C ． 86，84D ． 84，864．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数22i z+的虚部是 A ．i - B ．1- C ．i D ．1 5．若集合,A B 满足{}|3A x x =∈<Z ，B ⊆N ，则AB 不可能．．．是 A ．{0,1,2} B ． {1,2} C ． {1}- D ．∅6．若实数x ，y 满足不等式组220,10,220,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x y +的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 7．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A ．15B ．105C ．120D ．7208．某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角 形，则该几何体的表面积是 A ．442+ B ．42 C ．42+ D ．842+9．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．函数()sin f x x x =+在区间[)0,+∞内A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．有且仅有2个零点D ．有且仅有3个零点二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）图1是否开始 1,1==p k p p k =⋅?k N <输出p图22k k =+输入N结束图3正视图侧视图俯视图11．若向量()1,2=m ，(),1x =n 满足⊥m n ，则||=n __________． 12．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．13．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足90>∠AMB 的概率为_______． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若3OC =，1OM =，则MN 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是 ．三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 23A C +=． （1）求cosB 的值；（2）若3a =，22b =，求c 的值．17．（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们 的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组 [40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图5所示．下表是年龄的频率分布表． 区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 人数25 ab（1）求正整数a ，b ，N 的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3ABCOM N图4图5组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率． 18．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PC BC ⊥，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，且△AMB 为正三角形．（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若4BC =，10PB =，求点B 到平面DCM 的距离．19．（本小题共14分）设数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -++++=，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）在圆422=+y x 上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D ．当点P 在圆上运动时，动点M 满足MD PD 2=，动点M 形成的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）已知点()0,1E ，若B A ,是曲线C 上的两个动点，且满足EB EA ⊥，求BA EA ⋅的取值范围． 21．（本小题满分14分）MCBPA图6D已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）求函数()f x 在区间2[,]a a 上的最大值．参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．5 12．3 13．8π14．1 15．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：（1）在△ABC中，A B ++=π．………………………………………………………………1分 所以co 22A CBπ+-= (2)分3sin23B ==．………………………………………………………………………3分所以题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B D A D C D B A C B2cos 12sin 2BB =- ……………………………………………………………………………5分13=．………………………………………………………………………………………7分（2）因为3a =，22b =，1cos 3B =， 由余弦定理222c o s b a c a c=+-，………………………………………………………………9分得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分 解得1c =． (12)分17．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =人．………………………………………………………………………………………1分且0.08251000.02b =⨯=人．……………………………………………………………………………2分总人数252500.025N ==⨯人．………………………………………………………………………3分（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………4分 第2组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………5分 第3组的人数为10064150⨯=，………………………………………………………………………6分所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………………………………………7分 （3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中抽取2人的所有可能结果为： (,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ，共有15种．……………………………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，共有8种．………………………………………………………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815．…………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：在正A M B∆中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故P A A B⊥．……………………2分 又PA AC ⊥，AB AC A =，,AB AC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………4分 因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分 又,,,PC BC PAPC P PA PC ⊥=⊂平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分 （2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为A M ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =． 所以11422BCS S ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分MCBPAD因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥． 在ABC ∆中，1522CD AB ==， 所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD ．…………………………………………11分因为M B BC M V V --=， (12)分所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131， 即153125333238h ⨯⨯=⨯⨯．……………………………………………………………………13分所以512=h ． 故点B到平面D C的距离为512．………………………………………………………………14分 解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…………………………………………8分由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ， 所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥．因为CD MD D =，所以BH ⊥平面DCM ．所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==．以下给出两种求BH 的方法：方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ，M CBP AHD E则1322DE AC ==．…………………………………………………………………………………11分因为1122CD BH BC DE ⨯⨯=⨯⨯，………………………………………………………………12分所以34122552BC DEBH CD⨯⨯===．方法2：在Rt△BHD中，222254BH DH BD +==． ①…………………………11分 在Rt △BHC 中，因为4BC =，所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．②…………………………………12分由①，②解得125BH =． 故点B 到平面D C的距离为512．………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分） 解：（1）因为321212222n n a a a a n -++++=，*n ∈N ， ① 所以当1=n 时，12a =．……………………………………………………………………………1分当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=-，② …………………………………2分 ①－②得，122nn a -=．…………………………………………………………………………………4分 所以2n n a =． (5)分因为12a =，适合上式， 所以2n n a =()*n ∈N ． (6)分（2）由（1）得2nn a =．所以()()111n n n n a b a a +=--()()122nnn +=--…………………………………………………8分1112121n n +=---．…………………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………12分11121n +=--．………………………………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分） （1）解法1：由MD PD 2=知点M为线段PD 的中点．……………………………………………1分设点M的坐标是(,x y ，则点P的坐标是(),2x y ．……………………………………………2分因为点P 在圆422=+y x 上， 所以()2224x y +=． (3)分所以曲线C的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ， 由MD PD 2=得，x x =0，y y 20=．……………………………………………………………1分因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上， 所以42020=+y x ． ①………………………2分把x x =0，y y 20=代入方程①，得4422=+y x ．……………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分 （2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅EB EA ．…………………………………………………………5分所以()2EA EB EA EA BA EA =-⋅=⋅．……………………………………………………………7分设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-．………………………………………………8分 所以()222221111112114x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++- 221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+．……………………………………………………………10分因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤．………………………………………………11分所以21234293433x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………13分所以BA EA ⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分 且1()2(2)f x ax a x'=-+-．………………………………………………………………………2分 因为()f x 在1x =处取得极值，所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分 当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=， 当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>． 所以1x =是函数()y f x =的极小值点． 故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分 由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-． 因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>． 当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<． 所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分 ①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增，所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-． (9)分 ②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即1222a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以[]ma 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………11分 ③当212a ≤，即212a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2ma ()f x ==．…………………………………………………13分 综上所述： 当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-； 当1222a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --； 当212a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………………14分。
2019届广州市高三调研测试文科答案.pdf
其中 p 2 ．动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程为 y2 4x ．
……………………………3 分
解法 2：设动圆圆心 C x, y ，依题意： x 12 y 2 x 1 . ……………………………2 分
化简得： y2 4x ，即为动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程． ……………………………3 分
故 x 1 ，即 a 1 时， h x x x ln x 取最大值 1，故 m 1．
……………………12 分
22．解：（1） 依题意，直线 l1 的直角坐标方程为 y
3 3
x
，
l2
的直角坐标方程为
y
3x ．
……………………………………………………………2 分
由 =2 3 cos 2sin 得 2 =2 3 cos 2 sin ，
因为 2 x2 y2 , cos x, sin y ， …………………………………………………3 分
所以 (x 3)2 ( y 1)2 4 ， …………………………………………………………………4 分
数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 6 页
所以曲线
C
的参数方程为
单调递减；
当
x (x0, )
时，
g(x)
0
，
f
'(x)
x 1(xe x x
a)
0
，
f
(x)
单调递增；
故 x x0 时， f (x) 取得最小值，即 m f x0 x0e x0 a ln x0 x0 , …………………………8 分
由 x0ex0 a 0 得 m x0ex0 a ln x0ex0 a a ln a ，
∴ a1 1 ，
2019届广州市高三年级调研测试(文科数学)试题(含评分标准)
2019 届广州市高三年级调研测试文科数学2018．12本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 设集合2{|(1)1},{|11}P x x Q x x =-<=-<<，则P Q ⋂=( )A.(1,2)-B. (1,0)-C. (1,2)D. (0,1)2. 若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =（ ）B.32D.123. 下列函数中，既是奇函数，又在2π（0，）上单调递增的是（ ）A.2sin xy x =- B.12()2xxy =- C.sin y x x =-D.cos y x x =-4. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2015 年 1 月至 2017 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误．．的是（ ） A. 年接待游客量逐年增加B. 各年的月接待游客量高峰期在 8 月C. 2015 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 万人D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳5. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )C.D.C.D.24π6. 已知ABC ∆的边BC 上有一点满足4BD DC =，则AD 可表示为（ ）A.1344AD AB AC =+B. 3144AD AB AC =+C. 4155AD AB AC =+D., 1455AD AB AC =+7. 已知双曲线C P 在C 上，则C 的方程为（ ）A.22142x y -=B.221714x y -=C.22124x y -=D.221147y y -= 8. 由2sin(6)6y x π=-的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A.2sin(3)6y x π-＝ B.2sin(3)6y x π=+C.2sin(3)12y x π=-D.2sin(12)6y x π=-9. 3a =是直线230ax y a ++=和3(1)7x a y a +-=-平行的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 若实数,x y 满足不等式组(1)(25)002x y x y x --+-≥⎧⎨≤≤⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A.[5,3]-B.[5,1]-C.[1,3]D.[5,5]- 11.已知ABC ∆的内角,,A B C的对边分别是,,a b c，且若222sin sin sin sin sin cos cos A B C A Bc a B b A+-=+，4a b +=，则c 的取值范围为（ ）A.(0,4)B.[24)，C.[1,4)D.(2,4]12. 已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与Γ相交于A ，B 两点。
广东省广州市2019届高三12月调研测试数学文试题(小题解析版)
秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2019届广州市高三期末调研测试文科数学 2018．12本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}211P x x =-<，{}11Q x x =-<<，则PQ =A ．()1,2-B ．()1,0-C ．()1,2D ．()0,1 答案：D考点：集合的运算，一元二次不等式。
解析：{}220P x x x =-<＝{}02x x <<，所以，PQ =()0,12．若复数z 满足()1i +z 12i =+，则z =A ．22 B ．32 C ．102D ．12答案：C考点：复数的运算，复数模的概念。
解析：121(12)(1)31222ii i i z i +++-===+，所以，z =9144+＝1023．下列函数中，既是奇函数，又在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是 A ．2sin x y x =- B ．122xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin y x x =-D ．cos y x x =-答案：B考点：函数的奇偶性和单调性。
解析：A 、D 不是奇函数，排除。
对于C ，'cos 1y x =-＜0，所以，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的，排除。
广东省广州市2019届高三12月调研测试数学文试题(小题精品解析)
秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2019届广州市高三期末调研测试文科数学 2018．12本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}211P x x =-<，{}11Q x x =-<<，则PQ =A ．()1,2-B ．()1,0-C ．()1,2D ．()0,1 答案：D考点：集合的运算，一元二次不等式。
解析：{}220P x x x =-<＝{}02x x <<，所以，PQ =()0,12．若复数z 满足()1i +z 12i =+，则z =A ．22 B ．32 C ．102D ．12答案：C考点：复数的运算，复数模的概念。
解析：121(12)(1)31222ii i i z i +++-===+，所以，z =9144+＝1023．下列函数中，既是奇函数，又在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是 A ．2sin x y x =- B ．122xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin y x x =-D ．cos y x x =-答案：B考点：函数的奇偶性和单调性。
解析：A 、D 不是奇函数，排除。
对于C ，'cos 1y x =-＜0，所以，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的，排除。
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数学（文科）试题A 第 1 页 共 8 页2019届广州市高三年级调研测试 文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．10 14．21- 15．1ln 2+ 16．1三、解答题17． 解：（1）当1n =时，114a =．………………………………………………………………………1分 因为221*123-144+44,4n n n n n a a a a a n --++++=∈N L ， ①所以22123-1-1444,24n n n a a a a n -++++=≥L ． ②……………………………………3分 ①－②得1144n n a -=．……………………………………………………………………………………4分所以()*1=2,4n n a n n ≥∈N ．……………………………………………………………………………5分由于114a =也满足上式，故*1=()4n n a n ∈N ．…………………………………………………………6分（2）由（1）得421n n n a b n =+=121n +．………………………………………………………………………7分所以()()11111=212322123n n b b n n n n +⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭．………………………………………………9分数学（文科）试题A 第 2 页 共 8 页故1111111235572123n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭L ……………………………………………………10分 1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭…………………………………………………………………………………11分 69nn +=．…………………………………………………………………………………………12分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA ，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =， 所以OFDE ，且OF DE =．…………………………………………………………………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．………………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………4分因为BDEF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………………5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分 （2）解法1：因为60ABC ∠=，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．………………………7分又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥．所以122PAC S PA AC ∆=⨯=．……………………………………………………………………………8分 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高． ……………………………………………9分因为EF DO BO ===……………………………………………………………………………10分 所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯…………………………………………………………………11分123=⨯=．………………………………………………………………………12分 解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD 为等边三角形．………………7分 取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=CM ．………………………………………8分数学（文科）试题A 第 3 页 共 8 页因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA = ，所以CM ⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．………………………………………9分因为122PAE S PA AD ∆=⨯=．…………………………………………………………………………10分 所以三棱锥ACE P -的体积13P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==⨯……………………………………11分123=⨯=．…………………………………………12分19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．…………………1分因为51()()(3)(1)000316iii x y =--=-⨯-++++⨯=∑，………………………………………2分 ，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ………………………………………………3分==……………………………………………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． …………………………………………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元． …………………………………………………………………8分 当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元． …………………………………………………………………9分 当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y =3×3000=9000元． …………………………………………………………………………10分 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． ………………………………………………12分数学（文科）试题A 第 4 页 共 8 页20． 解：（1）抛物线的准线方程为2p x =-， 所以点E ()2t ，到焦点的距离为232p+=．…………………………………………………………1分解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．………………………………………………………………………2分（2）解法1：设直线l 的方程为()10x my m =->．………………………………………………………3分将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+=，………………………………………………4分 由()24160m ∆=->，解得1m >．……………………………………………………………………5分 设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()11,D x y -，则124y y m +=， 124y y =，……………………………………………………………………………6分 因为()()()2212121212·11(1)2484FA FB x x y y m y m y m y y =--+=+-++=-，………………7分 因为FA FB ⊥，所以0FA FB =．即2840m -=，又0m > 8分所以直线l 的方程为 设AB 的中点为()00,x y , ，0013x my =-=，……………………………………………………9分 所以直线AB 的中垂线方程为 因为AD 的中垂线方程为0y =，所以△ABD的外接圆圆心坐标为()5,0．……………………………………………………………10分因为圆心()5,0到直线l 的距离为……………………………………………………………11分 所以△ABD 的外接圆的方程为()22524x y -+=．…………………………………………………12分数学（文科）试题A 第 5 页 共 8 页解法2：依题意可设直线()():10l y k x k =+>．……………………………………………………3分 将直线l 与抛物线C 联立整理得0)42(2222=+-+k x k x k ．………………………………………4分 由04)42(422>--=∆k k ，解得10<<k ．………………………………………………………5分 设),,(),,(2211y x B y x A 则1,4221221=+-=+x x k x x ．…………………………………………………………………………6分 所以4)1(2121221=+++=x x x x k y y ， 因为12121224()18FA FB x x x x y y k ⋅=-+++=-，…………………………………………………7分 因为FA FB ⊥，所以0FA FB =． 所以2480k -=，又0k > ，解得22=k ．…………………………………………………………8分 以下同解法1．21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x af x x x x+'=+=．………………………………1分① 当0a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．………………………………2分 ② 当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<时，()0f x '<，所以函数()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以函数()fx 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．………………………3分 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．………4分（2）因为对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()e 1f x ≤-成立，所以()max e 1f x ≤-．……………………………5分数学（文科）试题A 第 6 页 共 8 页当0a b +=即a b =-时，()ln b f x b x x =-+，()()11bb b x b f x bx x x---'=+=． 令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >．所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，…………………………………………7分()max f x 为1e e b f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e b f b =-+中的较大者．…………………………………………8分设()()1e e e 2e b b g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >， 则()e e220bbg b -'=+->=，所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而()max f x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．………………………………………………………………………9分 所以e e 1bb -+≤-即e e 10bb --+≤．设()=e e 1bb b ϕ--+()0b >，则()=e 10bb ϕ'->．…………………………………………………10分所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10bb --+≤的解为1b ≤．……………………………………………………11分因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………………12分22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．………………………………………………2分所以2C 的普通方程为224x y ''+=．……………………………………………………………………3分 所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分 所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．…………………………………………………………5分数学（文科）试题A 第 7 页 共 8 页（2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==．…………8分 当cos +=14απ⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d2-．……………9分 当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d+10分 解法2：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分 因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ，…………………………7分因为225>，所以圆2C 与直线l 相离．………………………………………………………………8分 所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………………………………1分①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．…………………………………2分 ②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分 ③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．…………………………………………4分 综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………………5分（2）解法1：①当3a ≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩………………………………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．………………………………………………………7分②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………………………………………8分数学（文科）试题A 第 8 页 共 8 页所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………………………………………………………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………10分解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，……………………………………………7分所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ．所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………………………………………8分因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥．所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………………10分。