(完整版)高等数学微分方程试题.doc

专业班级学号姓名成绩时间174

第十二章微分方程

§12-1 微分方程的基本概念

一、判断题

1.y=ce 2 x (c 的任意常数 )是y =2x 的特解。( )

2.y=( y ) 3是二阶微分方程。( )

3.微分方程的通解包含了所有特解。( )

4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（）

5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）

二、填空题

1. 微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是。

2. 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。

3. 积分曲线 y=(c 1 +c 2 x)e 2 x 中满足 y x=0=0, y x=0=1的曲线是。

三、选择题

1．下列方程中是常微分方程

（ A ）、 x2+y 2=a2

d

(e arctan x ) 0 (C)、

2 a 2 a

=0 （ D）、y =x 2+y 2 (B) 、 y+ 2 + 2

dx x y

2.下列方程中是二阶微分方程

（ A ）（y）+x 2 y

+x 2=0(B) ( y ) 2+3x 2y=x 3 (C) y +3 y +y=0 (D) y -y2=sinx

d 2 y 2 1. 2

3.微分方程

dx2 +w y=0 的通解是其中 c.c c 均为任意常数

（ A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx

2

4. C 是任意常数，则微分方程y = 3y3 的一个特解是

（ A ）y-=(x+2) 3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c) 3 (D)y=c(x+1) 3

四、试求以下述函数为通解的微分方程。

1．y Cx2 C 2 （其中 C 为任意常数） 2. y C1e2 x C 2e3x （其中 C1 ,C2 为任意常数）

五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与

运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

专业班级学号姓名成绩时间175

12-2可分离变量的微分方程

一、求下列微分方程的通解

1． sec2.tacydx+sec2ytanxdy=0

2． (x+xy 2 )dx-(x 2y+y)dy=0

3． (e x+y -e x)dx+(e x+y -e y)dy=0

4．y =cos(x-y).( 提示令 .x-y=z)

二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解

1． cosydx+(1+e -x)sinydy=0. y x=0 =

4

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2. secx2dy xdx.y 3

1 y x

2 学号姓名成绩时间176 1

三、设 f(x)=x+0x f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)

四、求一曲线的方程，曲线通过点（ 0.1） ,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。

五、船从初速 v0=6 米 /秒而开始运动， 5 秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。

12-3 齐次方程

一、求下列齐次方程的通解

1 xy -xsin y 0

2 (x+ycos y

) dx-xcos

y

dy=0

x x x 二求下列齐次方程满足所给初始条件的特解

1． xy dy

2.x2dy+(xy-y 2 )dx=0y x=1=1

=x 2+y2 y x=e=2e

ax

三、求方程：（ x+y+1 ） dx=(x-y+1)dy的通解

四、设有连结点 O(0， 0)和 A （ 1， 1）一段向上凸的曲线孤O A对于 O A上任一点

P（ x，y） ,曲线孤与O P直线段OP 所围图形的面积为x2，求曲线孤O A的方程。

12.4 一阶线性微分方程

一、求下列微分方程的通解

1.x y +y=xe x

2. y +ytanx=sin2x

3. y + 1 y sin x

4. dy y

x x dx x y 3e y 二、求下列微分方程满足初始条件的特解

1．y cosy+siny =xy x 0 4 2.(2x+1)e y y

2e y=4y x 00

三、已知 f( ),曲线积分b a sin x f (x) y

dx f ( x)dy 与路径无关，求函数f(x). x

四、质量为 M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m 克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。

五、求下列伯努利方程的通解

1． y′ + 1 y

x 2y5 2. xy′ +y-y 2lnx=0 x

12-4全微分方程

一、求下列方程通解

1． [cos(x+y 2)+3y]dx+[2ycos(x+y 2)+3x]dy=0

2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0

3.e y dx+(xe y-2y)dy=0

二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解

1 ydx-xdy+y 2xdx=0

2 y(2xy+e x)dx-e x dy=0

三、 [xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x 2y]dy=0 为全微分方程，其中函数f(x) 连续可微， f(0)=0, 试求函数 f(x) ，并求该方程的通解。