第四章 7高斯投影坐标正反算
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第四章 Ⅶ 高斯投影坐标正反算
——正形投影的一般条件 ——高斯投影坐标正算 ——高斯投影坐标反算 ——高斯投影几何解释
提前在黑板上写出四个m2
上一讲应掌握的内容
1、地图(数学)投影：将椭球面上元素(包括坐标，方位和 距离)按一定的数学法则投影到可展平面上。 x F1 ( L, B) 坐标投影公式： y F2 ( L, B) 2、地图投影变形几个概念： 长度比，主方向，变形椭圆 3、四种投影变形： 长度变形，方向变形，角度变形，面积变形
同正算一样，对投影函数提出三个条件 (1) x 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； (2) x 轴上长度投影保持不变； (3) 正形投影条件。 1) 由第一个条件可知
B n0 n2 y 2 n4 y 4 l n1 y n3 y 3 n5 y 5
分别对x和y 求偏导数
2
x y , q l
x y l q
柯西-黎曼条件（公式）是
椭球面与平面之间的正形投影的一般条件
考虑到F=0，E=G，长度比公式简化为
x y q q E m2 2 = r r2
2
2 2
x y l l G m2 2 = r r2
得长度比的通用公式：
E (dq )2 2 F (dq )(dl ) G (dl )2 m 2 2 r2 ( dq ) ( dl )
2
二、柯西.黎曼条件
将长度比的通用公式中引入方向
P2 P3 MdB dq tan(90 A) P rdl dl 1P 3
二、高斯投影必须满足以下三个条件
(1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。
三、高斯投影坐标正算公式推导
l =3／ρ=0.052
1) 由第一个条件可知，由于地球椭球Hale Waihona Puke Baidu是一个旋转椭球 体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午 线。 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数。
高斯投影坐标正算（4）
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影坐标正算公式 精度为0.001m
xX N N sin B cos Bl 2 + sin B cos 3 B(5 - t 9 2 4 4 )l 4 + 2 24
N sin B cos 5 B(61 - 58t 2 t 4 )l 6 720
2
y l x y 2 x q q q
2 2
2
2
2 2 y x q q
x y l q
高斯投影坐标正算（3）
dm0 dX dB N cos B c = =M =N cos B , m1 = N cos B = cos B dq dB dq M V
子午线曲率半径
m2 N sin B cos B 2
等量纬度定义式
N 3 2 2 m cos B (1 t ) 3 b N m sin B cos 3 B(5 t 2 9 2 ) 4 24 N m cos 5 B(5 18t 2 t 4 ) 5 120
切投影
割投影
高斯投影的基本概念
• 横切椭圆柱等角（分带）投影。 • 高斯投影特性（三个）： – 中央子午线投影后为一直线，且长度不变；其它经线为凹 向中央子午线的曲线，且长度改变。 – 投影后，赤道为一直线，但长度改变，其它纬线呈凸向赤 道的曲线。 – 投影后，中央子午线与赤道线正交，经线与纬度也互相垂 直，即高斯投影为等角投影。 • 高斯投影分带： 6°投影带； 3°投影带。 – 对于6°带： N=（L/6）的进整数， L０=６N-3 – 对于3°带： n=L/3(四舍五入) ， L０=3n • 高斯平面直角坐标系： 区分为：自然坐标；国家统一坐标。（掌握两者的换算）
2
§4.9.3 高斯投影坐标正反算公式
一、什么是高斯投影坐标正反算
已知椭球面上的大地坐标B、L，求高斯平面坐标x、y 的问 题称高斯投影坐标正算。 函数式：（1）一般的 x=F1(B,L) ， y=F2(B,L) (2) 一带上， 令l =L-L0 ，x=F1(B,l) ， y=F2(B,l) 已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(B，L）的 问题称高斯投影坐标反算。 B ( x, y ) 1 函数式： l 2 ( x, y )
高斯投影坐标正算（2）
dm0 dm2 2 dm4 4 2 4 m 3 m l 5 m l l l 3 5 1 dq dq dq 2m l 4m l 3 dm1 l dm3 l 3 dm5 l 5 2 4 dq dq dq
4、地图投影的分类：
5、高斯投影的基本概念
上一讲应掌握的内容
1）几个概念： • 长度比m：投影面上无限小的微分线段ds， ds m dS 与椭球面上相应的微分线段dS之比。 • 主方向：投影后一点的长度比依方向不同而变化，其中最 大及最小长度比的方向称为主方向。 • 变形椭圆：以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成 以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆。 2）投影变形： • 长度变形： v m 1
x m0 m 2 l 2 m 4 l 4 y m1l m3 l 3 m5 l 5
分别对l 和q 求偏导数
2) 由第三个条件正形投影条件
y x x y 和 l q l q
dm0 dm2 2 dm4 4 2 4 m1 3m3 l 5m5 l dq dq l dq l 2m l 4m l 3 dm1 l dm3 l 3 dm5 l 5 2 4 dq dq dq
n0 , n1 , n2 , n3 是待定系数，它们都是纵坐标x的函数
高斯投影坐标反算（2）
2) 由第三个条件，正形条件
l q l q 和 y x x y
B N cos B l x M y B N cos B l y M x
dl tan Adq
2 2 2 2 E ( dq ) 2 F tan A ( dq ) G tan A ( dq ) m2 2 2 2 r2 ( dq ) tan A ( dq )
E 2 F tan A G tan 2 A = r 2 sec 2 A E cos 2 A 2 F sin A cos A G sin 2 A = r2
高斯投影坐标反算（3）
dn2 2 dn4 4 N cos B dn0 2 4 y y ( n 3 n y 5 n y ) 1 3 3 dx dx dx M 2n y 4n y 3 N cos B ( dn1 y dn3 y 3 dn5 y 5 ) 2 4 M dx dx dx
• 面积变形： P P 1
ab 面积比：P ab
地图投影的分类
• 按投影变形性质分类:
等角投影 a=b • 按投影面分类 : 圆锥面 正轴投影 圆柱(椭圆柱) 面 横轴投影 平面投影 斜轴投影 等距投影 a=1 or b=1 等积投影 a· b=1
• 按投影的中心轴线:
• 按椭球面与投影面的切割情况分:
y y dy dl dq l q
x x dx dl dq l q
将上述两式代入ds2式，整理，并令
2 2 x y E q q x x y y F q l q l 2 2 x y G l l
？
上式为与方向有关的长度比的通用公式。 上式在什么条件下与方向无关？
F 0
E G
柯西.黎曼条件（续）
正形条件：m与A无关，即满足： F 0
E G
2 2 2
x x y y 0 q l q l
y y x q l x l q
x y x y q q l l
任意方向长度比：m r a2 cos2 b2 sin2
• 方向变形： sin( ' ) a b sin( ' )
ab
a b 最大方向变形： arc sin ab
上一讲应掌握的内容
2）投影变形： • 角度变形：最大角度变形是最大方向变形的两倍。 ab u 2 2 arcsin ab
由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式
m1 dm0 dq m2 1 dm1 2 dq m3 = 1 dm2 3 dq
m0=? ３) 由第二条件可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵 坐标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。 即当 l=0 时,
m0 X
a6 a8 a2 a4 X a0 B sin 2 B sin 4 B sin 6 B sin 8B 2 4 6 8
y N cos Bl N cos 3 B(1 t 2 2 )l 3 + 6
N cos 5 B(5 18t 2 t 4 14 2 58t 2 2 )l 5 120
四、高斯投影坐标反算公式推导
B 1 ( x , y ) l 2 ( x, y )
令 : dq
MdB N cos B
q
B
0
MdB N cos B
q称它为等量纬度，它仅与纬度有关 长度比m2的表达式简化为：
2 2 dx dy m2 2 2 2 r ( dq ) ( dl )
长度比的通用公式推导（续）
x x(l , q), y y(l , q)
§4.9.2 正形投影的一般条件
一、长度比的通用公式推导
dS 2 ( MdB)2 ( N cos Bdl )2
M dB
ds 2 dx 2 dy 2
N cos B d l
长度比平方为：
dx 2 dy 2 ds 2 m 2 2 dS ( MdB) ( N cos Bdl )
2
一、长度比的通用公式推导（续） 长度比平方为：
2 2 ds dx dy m2 2 2 dS ( MdB ) ( N cos Bdl ) dx 2 dy 2 2 MdB 2 2 ( N cos B ) dl N cos B 2
顾及到：
M dB N cos B M B q N cos B dq
N cos B dn0 dn2 2 dn4 4 2 4 y y ( n 3 n y 5 n y ) 1 3 3 dx dx dx M 2n y 4n y 3 N cos B ( dn1 y dn3 y 3 dn5 y 5 ) 2 4 M dx dx dx
——正形投影的一般条件 ——高斯投影坐标正算 ——高斯投影坐标反算 ——高斯投影几何解释
提前在黑板上写出四个m2
上一讲应掌握的内容
1、地图(数学)投影：将椭球面上元素(包括坐标，方位和 距离)按一定的数学法则投影到可展平面上。 x F1 ( L, B) 坐标投影公式： y F2 ( L, B) 2、地图投影变形几个概念： 长度比，主方向，变形椭圆 3、四种投影变形： 长度变形，方向变形，角度变形，面积变形
同正算一样，对投影函数提出三个条件 (1) x 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； (2) x 轴上长度投影保持不变； (3) 正形投影条件。 1) 由第一个条件可知
B n0 n2 y 2 n4 y 4 l n1 y n3 y 3 n5 y 5
分别对x和y 求偏导数
2
x y , q l
x y l q
柯西-黎曼条件（公式）是
椭球面与平面之间的正形投影的一般条件
考虑到F=0，E=G，长度比公式简化为
x y q q E m2 2 = r r2
2
2 2
x y l l G m2 2 = r r2
得长度比的通用公式：
E (dq )2 2 F (dq )(dl ) G (dl )2 m 2 2 r2 ( dq ) ( dl )
2
二、柯西.黎曼条件
将长度比的通用公式中引入方向
P2 P3 MdB dq tan(90 A) P rdl dl 1P 3
二、高斯投影必须满足以下三个条件
(1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。
三、高斯投影坐标正算公式推导
l =3／ρ=0.052
1) 由第一个条件可知，由于地球椭球Hale Waihona Puke Baidu是一个旋转椭球 体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午 线。 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数。
高斯投影坐标正算（4）
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影坐标正算公式 精度为0.001m
xX N N sin B cos Bl 2 + sin B cos 3 B(5 - t 9 2 4 4 )l 4 + 2 24
N sin B cos 5 B(61 - 58t 2 t 4 )l 6 720
2
y l x y 2 x q q q
2 2
2
2
2 2 y x q q
x y l q
高斯投影坐标正算（3）
dm0 dX dB N cos B c = =M =N cos B , m1 = N cos B = cos B dq dB dq M V
子午线曲率半径
m2 N sin B cos B 2
等量纬度定义式
N 3 2 2 m cos B (1 t ) 3 b N m sin B cos 3 B(5 t 2 9 2 ) 4 24 N m cos 5 B(5 18t 2 t 4 ) 5 120
切投影
割投影
高斯投影的基本概念
• 横切椭圆柱等角（分带）投影。 • 高斯投影特性（三个）： – 中央子午线投影后为一直线，且长度不变；其它经线为凹 向中央子午线的曲线，且长度改变。 – 投影后，赤道为一直线，但长度改变，其它纬线呈凸向赤 道的曲线。 – 投影后，中央子午线与赤道线正交，经线与纬度也互相垂 直，即高斯投影为等角投影。 • 高斯投影分带： 6°投影带； 3°投影带。 – 对于6°带： N=（L/6）的进整数， L０=６N-3 – 对于3°带： n=L/3(四舍五入) ， L０=3n • 高斯平面直角坐标系： 区分为：自然坐标；国家统一坐标。（掌握两者的换算）
2
§4.9.3 高斯投影坐标正反算公式
一、什么是高斯投影坐标正反算
已知椭球面上的大地坐标B、L，求高斯平面坐标x、y 的问 题称高斯投影坐标正算。 函数式：（1）一般的 x=F1(B,L) ， y=F2(B,L) (2) 一带上， 令l =L-L0 ，x=F1(B,l) ， y=F2(B,l) 已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(B，L）的 问题称高斯投影坐标反算。 B ( x, y ) 1 函数式： l 2 ( x, y )
高斯投影坐标正算（2）
dm0 dm2 2 dm4 4 2 4 m 3 m l 5 m l l l 3 5 1 dq dq dq 2m l 4m l 3 dm1 l dm3 l 3 dm5 l 5 2 4 dq dq dq
4、地图投影的分类：
5、高斯投影的基本概念
上一讲应掌握的内容
1）几个概念： • 长度比m：投影面上无限小的微分线段ds， ds m dS 与椭球面上相应的微分线段dS之比。 • 主方向：投影后一点的长度比依方向不同而变化，其中最 大及最小长度比的方向称为主方向。 • 变形椭圆：以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成 以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆。 2）投影变形： • 长度变形： v m 1
x m0 m 2 l 2 m 4 l 4 y m1l m3 l 3 m5 l 5
分别对l 和q 求偏导数
2) 由第三个条件正形投影条件
y x x y 和 l q l q
dm0 dm2 2 dm4 4 2 4 m1 3m3 l 5m5 l dq dq l dq l 2m l 4m l 3 dm1 l dm3 l 3 dm5 l 5 2 4 dq dq dq
n0 , n1 , n2 , n3 是待定系数，它们都是纵坐标x的函数
高斯投影坐标反算（2）
2) 由第三个条件，正形条件
l q l q 和 y x x y
B N cos B l x M y B N cos B l y M x
dl tan Adq
2 2 2 2 E ( dq ) 2 F tan A ( dq ) G tan A ( dq ) m2 2 2 2 r2 ( dq ) tan A ( dq )
E 2 F tan A G tan 2 A = r 2 sec 2 A E cos 2 A 2 F sin A cos A G sin 2 A = r2
高斯投影坐标反算（3）
dn2 2 dn4 4 N cos B dn0 2 4 y y ( n 3 n y 5 n y ) 1 3 3 dx dx dx M 2n y 4n y 3 N cos B ( dn1 y dn3 y 3 dn5 y 5 ) 2 4 M dx dx dx
• 面积变形： P P 1
ab 面积比：P ab
地图投影的分类
• 按投影变形性质分类:
等角投影 a=b • 按投影面分类 : 圆锥面 正轴投影 圆柱(椭圆柱) 面 横轴投影 平面投影 斜轴投影 等距投影 a=1 or b=1 等积投影 a· b=1
• 按投影的中心轴线:
• 按椭球面与投影面的切割情况分:
y y dy dl dq l q
x x dx dl dq l q
将上述两式代入ds2式，整理，并令
2 2 x y E q q x x y y F q l q l 2 2 x y G l l
？
上式为与方向有关的长度比的通用公式。 上式在什么条件下与方向无关？
F 0
E G
柯西.黎曼条件（续）
正形条件：m与A无关，即满足： F 0
E G
2 2 2
x x y y 0 q l q l
y y x q l x l q
x y x y q q l l
任意方向长度比：m r a2 cos2 b2 sin2
• 方向变形： sin( ' ) a b sin( ' )
ab
a b 最大方向变形： arc sin ab
上一讲应掌握的内容
2）投影变形： • 角度变形：最大角度变形是最大方向变形的两倍。 ab u 2 2 arcsin ab
由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式
m1 dm0 dq m2 1 dm1 2 dq m3 = 1 dm2 3 dq
m0=? ３) 由第二条件可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵 坐标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。 即当 l=0 时,
m0 X
a6 a8 a2 a4 X a0 B sin 2 B sin 4 B sin 6 B sin 8B 2 4 6 8
y N cos Bl N cos 3 B(1 t 2 2 )l 3 + 6
N cos 5 B(5 18t 2 t 4 14 2 58t 2 2 )l 5 120
四、高斯投影坐标反算公式推导
B 1 ( x , y ) l 2 ( x, y )
令 : dq
MdB N cos B
q
B
0
MdB N cos B
q称它为等量纬度，它仅与纬度有关 长度比m2的表达式简化为：
2 2 dx dy m2 2 2 2 r ( dq ) ( dl )
长度比的通用公式推导（续）
x x(l , q), y y(l , q)
§4.9.2 正形投影的一般条件
一、长度比的通用公式推导
dS 2 ( MdB)2 ( N cos Bdl )2
M dB
ds 2 dx 2 dy 2
N cos B d l
长度比平方为：
dx 2 dy 2 ds 2 m 2 2 dS ( MdB) ( N cos Bdl )
2
一、长度比的通用公式推导（续） 长度比平方为：
2 2 ds dx dy m2 2 2 dS ( MdB ) ( N cos Bdl ) dx 2 dy 2 2 MdB 2 2 ( N cos B ) dl N cos B 2
顾及到：
M dB N cos B M B q N cos B dq
N cos B dn0 dn2 2 dn4 4 2 4 y y ( n 3 n y 5 n y ) 1 3 3 dx dx dx M 2n y 4n y 3 N cos B ( dn1 y dn3 y 3 dn5 y 5 ) 2 4 M dx dx dx