函数图象的变换

合集下载

函数图象变换和零点

函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。

2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。

3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。

函数图像变换(整理)

函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。

由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1．平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。

(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。

2．对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。

(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。

(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。

(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。

(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。

(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。

(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。

（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。

(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。

✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。

(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。

3．伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。

函数图像的变换PPT

总结词
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和位置会发生变化，但对称性保持不变。
详细描述
沿y轴伸缩是指保持x轴不变，只改变y轴的长度。当y增大时，整个函数图像向上平移；当y减小时，整个函数图像向下平移。这种变换不会改变函数的值，只是改变了图像在y轴上的位置。
同时沿x轴和y轴伸缩
总结词
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生伸缩时，其形状和位置会发生变化，但对称性保持不变。
03
伸缩变换
沿x轴伸缩
总结词
当函数图像在x轴方向上伸缩时，其形状和位置会发生变化，但对称性保持不变。
详细描述
沿x轴伸缩是指保持y轴不变，只改变x 轴的长度。当x增大时，整个函数图像向右平移；当x减小时，整个函数图像向左平移。这种变换不会改变函数的值，只是改变了图像在x轴上的位置。
沿y轴伸缩
详细描述
旋转角度的大小对函数图像的形状和位置有直接影响。例如，当一个正弦函数图像顺时针旋转90度时，它将变成一个余弦函数图像；而当它逆时针旋转90度时，它将变成一个正切函数图像。此外，旋转角度也会影响图像的位置，例如，当图像逆时针旋转30度时，图像上的所有点都会沿着顺时针方向移动
30度。
旋转变换实例
总结词
旋转变换是指函数图像绕原点旋转的过程。
详细描述
旋转变换可以通过将直角坐标转换为极坐标来实现。例如，函数$y = f(x)$的图像绕原点逆时针旋转$theta$角度后，新的函数可以表示为$y = f(rcostheta), x = rsintheta$。
复合变换实例
总结词
复合变换是指同时进行平移、伸缩和旋转变换的过程。
与顺时针旋转相反，如果函数图像按照逆时针方向旋转，那么图像上的每一个点都会沿着顺时针方向移动。例如，如果一个函数图像是关于x轴对称的，那么当它逆时针旋转90度时，原来的对称轴将变成垂直轴，而原来的y 轴将变成水平轴。

函数图像变换公式大全

蕾博士函数图像变换公式大全一、点的变换.设),(00y x P ;则它（1）关于x 轴对称的点为),(00y x -；（2）关于y 轴对称的点为),(00y x -；（3）关于原点对称的点为),(00y x --；（4）关于直线x y =对称的点为),(00x y ；（5）关于直线x y -=对称的点为),(00x y --；（6）关于直线b y =对称的点为)2,(00y b x -；（7）关于直线a x =对称的点为),2(00y x a -；（8）关于直线a x y +=对称的点为),(00a x a y +-;（9）关于直线a x y +-=对称的点为),(00x a a y -+-;（10）关于点),(b a 对称的点为)2,2(00y b x a --；（11）按向量),(b a 平移得到的点为),(00b y a x ++.二、曲线的变换.曲线0),(=y x F 按下列变换后所得的方程：(1)按向量),(b a 平移;得到0),(=--b y a x F ；(2)关于x 轴对称;得到0),(=-y x F ；(3)关于y 轴对称;得到0),(=-y x F ；(4)关于原点对称;得到0),(=--y x F ；(5)关于直线a x =对称;得到0),2(=-y x a F ；(6)关于直线b y =对称;得到0)2,(=-y b x F ；(7)关于点),(b a 对称;得到0)2,2(=--y b x a F ；(8)关于直线x y =对称;得到0),(=x y F ；(9)关于直线a x y +=对称;得到0),(=+-a x a y F ；(10)关于直线a x y +-=对称;得到0),(=-+-y a a x F ；(11)纵坐标不变横坐标变为原来的a 倍;得到方程0),(=y ax F ； (12)横坐标不变纵坐标变为原来的b 倍;得到方程0),(=by x F三、两个函数的图象对称性1:左右平移:)(a x f y ±=0>a 的图像可由)(x f y =的图像向左+或向右—平移a 个单位而得到；)(a mx f y ±=0,0>>a m 的图像可由)(mx f y =的图像向左+或向右—平移ma 个单位而得到; 2.上下平移：）（0)(>±=b b x f y 的图像可由)(x f y =的图像向上+或向下—平移b 个单位而得到；3. )(x f y -=的图像与)(x f y =的图像关于y 轴对称；换句话说：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=;即它们关于0=x 对称..4. )(x f y -=的图像与)(x f y =的图像关于x 轴对称；换句话说：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=;即它们关于0=y 对称..5. )(x f y --=的图像与)(x f y =的图像关于原点对称；6. |)(|x f y =的图像可如此得到：)(x f y =的图像在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方;其余不变；7. )||(x f y =的图像：保留)(x f y =的图像在y 轴右侧的部分;并沿y 轴翻折到y 轴左边部分代替原y 轴左边部分；8.)(a x f y +=与)(x b f y -=关于直线2a b x -=对称在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ;则11()y f a x =+;点11(,)x y 关于直线2b a x -=对称点1b a x --;y 1..由于1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+=;故点1b a x --;y 1在函数()y f b x =-上..由点11(,)x y 是函数()y f a x =+图象上任一点因此()y f a x =+与()y f b x =-关于直线2b a x -=对称..；换句话说;)(x a f y -=与)(b x f y -=关于直线2b a x +=对称; 换句话说; )(x f y -=与)(b x f y -=关于直线2b x =对称.9. )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称..换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+;即它们关于a y =对称；10. )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(,)a b 对称.. 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+;即它们关于点(,)a b 对称.. 特别提醒①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =即y 轴对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数()y f x =与()a x f a y -=-的图像关于直线x y a +=成轴对称..11.伸缩变换:)0)((>=A x Af y 的图像;可将)(x f y =的图像上每一个点的横坐标不变;纵坐标变为原来的A 倍而得到；12. )0)((>=k kx f y 的图像;可将)(x f y =的图像上每一个点的纵坐标不变;横坐标变为原来的k1倍而得到； 13.)(1x f y -=与)(x f y =关于直线x y =对称；14. )(1x f y --=-的图像与)(x f y =的图像关于直线x y -=对称；15. 函数)(mx a f y +=的图像与)(mx b f y -=的图象关于直线ma b x 2-=对称..四.单个函数的图象1. 若对任意,x )()(x b f a x f -=+;则)(x f y =的图像关于直线x =2b a +对称；反之亦然;若对任意x ;)()(xc f x f -=;则)(x f y =的图像关于直线x =2c 对称;反之亦然；若)(a x f +是偶函数;则)(x f y =关于a x =对称..在()y f x =上任取一点11(,)x y ;则11()y f x =;点11(,)x y 关于直线2a b x +=的对称点11(,)a b x y +-;当1x a b x =+-时11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==;故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上..由于点11(,)x y 是图象上任意一点;因此;函数的图象关于直线2a b x +=对称特别地;0==b a 时;该函数为偶函数. 2. 对任意x ;)()(x a f a x f -=+-或)2()(x a f x f --=的充分必要条件是)(x f y =的图像关于点)0,(a 对称；3. 若)(x f 有两条对称轴a x =和)(b a b x <=证明：∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =-;()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =-∴(2)(2)f a x f b x -=-; ∴()(22)f x f b a x =-+∴函数()y f x =是周期函数;且22b a -是一个周期..;或有两个对称点)0,(a 和)0,(b b a <;则)(2a b -是)(x f 的一个周期；4. 若)(x f 以a x =为对称轴;且以)0,(b 为对称中心;则)(4a b -是)(x f 的一个周期；5.)(x f y =的图像关于点),(b a 对称的充分必要条件是对任意,x b x a f x a f 2)()(=-++成立更一般地;若c x b f x a f =-++)()(;则)(x f y =的图像关于点2b a +;2c 对称在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ;则11()y f x =;点11(,)x y 关于点2a b +;2c 的对称点1a b x +-;c －y 1;当1x a b x =+-时;1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-;即点1a b x +-;c －y 1在函数()y f x =的图象上..由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知函数()y f x =的图象关于点2a b +;2c 对称..注：当a =b =c =0时;函数为奇函数.. 特别提醒：①函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--.. ②函数()y f x =的图象关于原点对称奇函数)()(x f x f -=-⇔.. ③函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称..6.若)()(b x f a x f +=+;则)(x f 是周期函数;a b -是它的一个周期7. 对于非零常数A ;若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-;则函数()y f x =必有一个周期为2A ..8.对于非零常数A ;函数()y f x =满足1(A)()f x f x +=;则函数()y f x =的一个周期为2A ..9.对于非零常数A ;函数()y f x =满足1()()f x A f x +=-;则函数()y f x =的一个周期为2A ..10. 已知函数()x f y =对任意实数x ;都有()()b x f x a f =++;则()x f y =是以 2a 为周期的函数 11. 若函数)(x f y =对定义域中的任意x 的值;都满足 )()(mx b f mx a f -=+; 则函数)(x f y =的图象关于直线2b a x +=对称. 12. 对于非零常数A ;函数()y f x =满足1()()21()A f x f x f x ++=-或1()()21()A f x f x f x -+=+则函数()y f x =的一个周期为2A ..13.若函数()x f y =对任意实数x ;都有()()b x f x a f =++;则()x f y =是以 2a 为周期的函数()()f a x b f x +=-;(2)(())()(())()f x a f x a a b f x a b b f x f x +=++=-+=--=；或者:)()2()()()()()()(x f a x f a x f a x f b x f a x f b a x f x f =+⇒-=+⇒⎩⎨⎧=+-=++。

函数图像的变换法则

（ 0,1 ）和（ 0,1 ）（ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图像．如图．则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a

a ax a a a
x

ax a ax
1 y 1
a a a
x

a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.

函数图像伸缩变换

函数图像伸缩变换
函数图像伸缩变换规律：
1、平移变换，平移变换又分为两种，一是左右平移变换，而是上下平移变换。

2、对称变换，当y=f（x）是奇函数时，它的图像则关于原点对称，当y=f（x）为偶函数时，它的图象则关于y轴对称。

3、伸缩变换法，它是把图象上的所有点的纵坐标改变成原来的A 倍从而得到的。

函数图像伸缩变换规律是显示函数变化、化繁为简的重要解题方法。

扩展资料：
函数图象性质：
1、作法与图形：通过如下3个步骤（1）算出该函数图象与Y轴和X轴的交点的坐标（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。

2、性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：
y=kx+b。

3、k，b与函数图象所在象限。

当k>0时，直线必通过一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小；
当b>0时，直线必通过一、二象限；当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通过二、四象限。

4、（1）函数关系中自变量可取值的集合叫做函数的定义域。

反比例函数图像求用解析式表示的函数的定义域，就是求使函数各个组成部分有意义的集合的交集，对实际问题中函数关系定义域，还需要考虑实际问题的条件。

（2）值域与定义域内的所有x值对应的函数值形成的集合，叫做函数的值域。

（3）单调性定义：对于给定区间上的函数f(x)。

函数图像的变换优秀课件

函数图像的变换优秀课件
平移变换—水平平移
f(x+2)=(x+2)2
y f(x)=x2
-2 O
f(x-2)=(x-2)2
2
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平移变换—水平平移
小结：
y=f(x) 沿 x轴
y=f(x+a) 当a>0时，向左平移 a个单位当a<0时，向右平移
|a|个规单律位：左加右减
平移变换—竖直平移 y=x2 +1
1 1 , 1 0,1 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-1
y (1) x 2
-2
-3
y
4
y log2x
3
y log2x1
-4 -3 -2 -1
2
1,1
1
4,2 4,1
1,0
x 0 1 2 1 , 1 3 4
-1 2 1,1
ylog2x1
-2 1 , 2 2
（x,y)换成（x,-y)
1、 y f (x) 关于y轴对称 yf(x) 3、y f (x) 关于原点对称 yf(x)
（x,y)换成（-x,y)
（x,y)换成（-x,-y)
三、适应练习Ⅰ
1、y x2 与 y x2 的图像关于______x__轴_____对称；
2、 f (x)2x1 与g(x)21x的图像关于_____y__轴______对称；
y f(x)=x2
1
O -1
y=x2 -1 x
平移变换—竖直平移
小结：
y=f(x)沿 y轴 y =f(x) +a
当a>0时，向上平移a个单位当a<0时，向下平移|a|个单位

函数的图像及其变换

的图像可由y＝f(x)的图像向上平移b个单位而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
(2)对称变换 y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴 y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴对称；对称；对称；
y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点
y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分
AD，当点C落在X轴上时，h′＝CF，显然AD＝CF，即当“中心点”M位于最高处时，“最高点”与X轴的距离相等，选项B不符，故选A.
【答案】 A
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
立足教育开创未来
► 探究点3 判断、证明函数的单调性题型三：函数图象的应用及对称问题 3. 已知f(x)=| x2 -4x+3|. (1)求f(x)的单调区间; (2)求m的取值范围，使方程f(x)=mx有4个不同实根.
方法二 y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像分别由y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像关于y轴对称． ∴y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对称．
【答案】 (1)g(x)＝－ln(x－1) (2)D
变式
(1)已知函数 f(2x＋1)是奇函数，则函数 y＝f(2x) )
【解析】如图所示，不妨设正三角形ABC的边长为a，记“中心点”M与X轴的距离为h，记“最高点”与 X轴的距离为h′.由图可知，当三段弧的中点落在X轴上时，h最小，此时h＝MD；当点A、B、C落在X轴上时， h最大，h＝MC，故“中心点”M的位置先低后高，呈周期性变化，排除选项C与D.当点D落在X轴上时，h′＝

函数图象的几种常见变换

函数图象的几种常见变换⑪ 平移变换：左右平移---“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑫翻折变换：()|()|→f x f x ；“下沿X 轴翻折到上面”()(||)→f x f x .“右往左翻折—沿Y 轴”⑬对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关于直线x a =对称；⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a b x +=对称；⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称(由()()2f x A f x y +-=确定)；⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点22(,)m n对称；⑩函数()y f x =与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=；曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=. 9.函数的周期性：⑪若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ；⑫若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；⑬若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；⑭若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑮()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；⑯()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ；。

函数图像的变换技巧例题和知识点总结

函数图像的变换技巧例题和知识点总结函数图像是研究函数性质的重要工具，通过对函数图像进行变换，可以更直观地理解函数的特点和规律。

下面我们将介绍一些常见的函数图像变换技巧，并通过例题来加深理解。

一、平移变换1、水平平移对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像向左平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x ＋ h)＼）；向右平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x h)＼）。

例如，函数\（y ＝ x^2\）的图像向左平移\（2\）个单位，得到\（y＝（x ＋ 2)＾2\）的图像；向右平移\（3\）个单位，得到\（y ＝（x 3)＾2\）的图像。

例题：将函数\（y ＝ 2x ＋ 1\）的图像向左平移\（3\）个单位，求平移后的函数表达式。

解：将\（x\）替换为\（x ＋ 3\），得到平移后的函数为\（y ＝ 2(x＋ 3) ＋ 1 ＝ 2x ＋ 7\）2、竖直平移函数\（y ＝ f(x)＼）的图像向上平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) ＋ k\）；向下平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) k\）。

例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像向上平移\（1\）个单位，得到\（y ＝＼sin x ＋ 1\）的图像；向下平移\（2\）个单位，得到\（y ＝＼sin x 2\）的图像。

例题：将函数\（y ＝＼log_2 x\）的图像向下平移\（2\）个单位，求平移后的函数表达式。

解：平移后的函数为\（y ＝＼log_2 x 2\）二、伸缩变换1、水平伸缩对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像上所有点的横坐标伸长（或缩短）到原来的\（＼omega\）倍（＼（＼omega ＞0\）），纵坐标不变，得到\（y ＝ f(＼frac{1}｛＼omega}x)＼）。

当\（＼omega ＞ 1\）时，图像沿\（x\）轴缩短；当\（0 ＜＼omega ＜ 1\）时，图像沿\（x\）轴伸长。

例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像横坐标缩短到原来的\（＼frac{1}｛2}＼），得到\（y ＝＼sin 2x\）的图像；横坐标伸长到原来的\（2\）倍，得到\（y ＝＼sin ＼frac{1}｛2}x\）的图像。

函数图像的伸缩变换规则

函数图像的伸缩变换规则
一、伸缩变换规则
伸缩变换是一种函数图像变换，它可以改变函数图像的大小，但不改变其形状。

伸缩变换的规则如下：
1. 平移变换：平移变换是指将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，而不改变其形状。

2. 缩放变换：缩放变换是指将函数图像在坐标轴上按比例缩放，而不改变其形状。

3. 旋转变换：旋转变换是指将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，而不改变其形状。

4. 对称变换：对称变换是指将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，而不改变其形状。

二、伸缩变换的具体操作
1. 平移变换：平移变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的平移方向；
（2）确定函数图像的平移距离；
（3）将函数图像按照确定的平移方向和平移距离进行平移变换。

2. 缩放变换：缩放变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按比例缩放，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的缩放比例；
（2）将函数图像按照确定的缩放比例进行缩放变换。

3. 旋转变换：旋转变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的旋转角度；
（2）将函数图像按照确定的旋转角度进行旋转变换。

4. 对称变换：对称变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的对称轴；
（2）将函数图像按照确定的对称轴进行对称变换。

函数图像变换的四种情况

函数图像的变换有四种主要情况，它们分别是平移、缩放、翻转和旋转。

1. 平移（Translation）：平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。

平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。

水平平移表示在x 轴方向上移动函数图像，垂直平移表示在y 轴方向上移动函数图像。

平移可以使函数图像的位置发生变化，但不改变其形状。

2. 缩放（Scaling）：缩放是指根据比例因子将函数图像在x 轴和y 轴方向上进行拉伸或压缩。

缩放可以分为水平缩放和垂直缩放两种情况。

水平缩放会改变函数图像在x 轴上的横向长度，垂直缩放会改变函数图像在y 轴上的纵向长度。

缩放会改变函数图像的形状和大小。

3. 翻转（Reflection）：翻转是指将函数图像关于某个轴进行对称操作。

常见的翻转有关于x 轴的翻转和关于y 轴的翻转。

关于x 轴的翻转会使函数图像在x 轴上下翻转，而关于y 轴的翻转会使函数图像在y 轴左右翻转。

翻转会改变函数图像的对称性和方向。

4. 旋转（Rotation）：旋转是指将函数图像绕一个旋转中心点
进行旋转角度的变换。

旋转可以使函数图像在平面上发生旋转，改变其角度和位置。

旋转可以是顺时针旋转或逆时针旋转。

这些函数图像变换情况可以单独或组合使用，可以通过改变函数的参数或对函数表达式进行修改来实现。

它们在数学和图形学中被广泛应用，用于研究和描述函数的性质和图像的变化。

函数图像变换知识点总结

函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。

平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。

- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。

- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。

2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。

伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。

- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。

- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。

3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。

- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。

- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。

二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。

三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。

1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。

例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。

2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。

例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。

函数图像的三种变换平移变换

函数图像的三种变换一、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种：沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。

以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。

同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。

沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。

同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。

据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。

函数图像的变换及应用

函数图像的变换及应用函数图像的变换指的是通过对函数图像进行一系列的操作，使得原函数图像在坐标系中发生平移、伸缩、翻折等变化，从而得到新的函数图像。

这些变换可以通过改变函数的参数或者利用一些特定的变换公式来实现。

函数图像的变换有很多种，下面列举几种常见的变换及其应用：1. 平移变换：平移变换是将函数图像在坐标系上沿着横轴或者纵轴方向进行移动。

对于函数y=f(x)，平移变换可以表示为y=f(x-a)+b，其中a表示横向平移的距离，b表示纵向平移的距离。

平移变换的应用场景有很多，例如对于温度变化的曲线图，可以通过平移变换来调整图像在时间轴上的位置，实现对曲线的观察和比较。

2. 伸缩变换：伸缩变换是改变函数图像的尺度，使得函数图像的宽度或者高度发生变化。

对于函数y=f(x)，伸缩变换可以表示为y=a*f(bx)，其中a控制纵向的伸缩比例，b控制横向的伸缩比例。

伸缩变换可以用来调整图像的大小，使得函数曲线更加清晰或者适应特定的分析需求。

3. 翻折变换：翻折变换是将函数图像沿着坐标轴进行翻转。

对于函数y=f(x)，翻折变换可以表示为y=-f(x)（沿着x轴翻折）或者y=f(-x)（沿着y轴翻折）。

翻折变换可以用来分析函数的对称性质，例如判断函数是否关于x轴或者y轴对称。

4. 拉伸变换：拉伸变换是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。

拉伸变换可以是横向拉伸或者纵向拉伸。

对于函数y=f(x)，横向拉伸可以表示为y=f(cx)，纵向拉伸可以表示为y=c*f(x)，其中c是大于1的常数。

拉伸变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。

5. 压缩变换：压缩变换与拉伸变换相反，是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。

压缩变换可以是横向压缩或者纵向压缩。

对于函数y=f(x)，横向压缩可以表示为y=f(x/c)，纵向压缩可以表示为y=(1/c)*f(x)，其中c是大于1的常数。

压缩变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。

函数图象的变换PPT

总结词
水平平移是指函数图像在水平方向上移动一定的距离。
详细描述
水平平移不改变函数的值，只是改变了图像的位置。对于函数y=f(x)，若图像向右平移a个单位，则新的函数为y=f(x-a)；若图像向左平移a个单位，则新的函数为y=f(x+a)。
垂直平移
总结词
垂直平移是指函数图像在垂直方向上移动一定的距离。
函数图象的变换
• 函数图象变换概述 • 平移变换 • 伸缩变换 • 翻折变换 • 旋转变换 • 应用实例
01
函数图象变换概述
函数图象变换的定义
01
函数图象变换是指通过平移、伸缩、翻转等几何变换操作，改变函数图象的位置、形状和大小。
02
这些变换操作可以通过代数表达式或矩阵变换来实现，使得函数图象在坐标系中按照特定的规则进行移动、旋转和缩放。
详细描述
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和大小会发生变化，但x轴上的比例保持不变。例如，将函数y=f(x)的图像在y轴方向上放大2倍，得到新的函数y=2f(x)。
斜向伸缩
要点一
总结词
斜向伸缩是指同时沿x轴和y轴方向对函数图像进行放大或缩小。
要点二
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上同时伸缩时，其形状和大小会发生变化，x轴和y轴上的比例都会改变。例如，将函数 y=f(x)的图像在x轴方向上放大2倍，在y轴方向上放大3倍，得到新的函数y=3f(2x)。
逆时针旋转
总结词
当函数图像按照逆时针方向旋转时，其形状和大小也不会发生变化，同样只是位置发生了移动。
详细描述
与顺时针旋转相反，当函数图像按照逆时针方向旋转一定的角度时，每个点的坐标同样会发生变化，但方向是远离原点。同样地，这种变化也可以用三角函数的性质来描述。

函数图像的变换课件

向右平移
总结词
图像沿x轴正方向移动
数学表达式
y=f(x-a)
详细描述
对于函数y=f(x)，若图像向右平移a个单位，则新的函数解析式为y=f(x-a)。
举例
函数y=cos(x)的图像向右平移π/2个单位后，得到新的函数y=cos(x-π/2)，其图像与原图像相比沿x轴正方向移动了π/2个单位。
双向伸缩
总结词
同时改变x轴和y轴的长度。
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生伸缩时，x轴和y轴的长度都会发生变化。这种变换可以通过将函数中的x和y都替换为其倍数来实现，例如将f(2x)/3替换为 f(x)会使x轴压缩为原来的一半，同时y轴拉伸为原来的三倍。
04
函数图像的旋转变换
逆时针旋转
关于y轴对称
总结词
函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧对称分布，x值不变，y值相反。
详细描述
当一个函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧呈现出对称分布的特点。这意味着对于任意一个点$(x, y)$在图像上，关于y轴对称的点$(x, -y)$也在图像上。这种对称变换不会改变x值，只是将y值取反。例如，函数$f(x) = x^3$的图像关于y轴对称，因为$f(-y) = (-y)^3 = -y^3 = -f(y)$。
任意角度旋转
总结词
任意角度旋转是指将函数图像按照任意角度进行旋转。
详细描述
任意角度旋转函数图像是指将图像上的每个点都按照任意指定的角度进行旋转。这种旋转可以通过参数方程或极坐标系来实现，其中参数方程为$x = x cos theta - y sin theta$，$y = x sin theta + y cos theta$，极坐标系下的表示为$x = r cos theta$，$y = r sin theta$。

函数的图像变换

函数的图像变换在数学的世界里，函数就像是一个个神秘的密码，而函数的图像则是解开这些密码的关键线索。

函数的图像变换，就如同给这些线索施加魔法，让我们能从不同的角度去理解和洞察函数的性质。

让我们先从最简单的平移变换说起。

想象一下，你在一张纸上画了一个函数的图像，比如 y ＝ x²。

现在，如果你把这整个图像向左移动 3 个单位，那么原来的点（x, y) 就变成了（x ＋ 3, y)。

这就像是把整个图像在水平方向上推了一把。

同样的，如果要向右平移，那就是（x 3, y)；向上平移呢，就是（x, y ＋ 3)；向下平移就是（x, y 3)。

比如说，函数 y ＝（x 2)²的图像，就是把 y ＝ x²的图像向右平移了 2 个单位。

这种平移变换在实际问题中也很常见。

比如，假设一个物体的运动轨迹可以用函数来描述，而这个物体的起始位置发生了变化，那么就需要通过平移变换来得到新的函数图像，从而准确地描述它的运动。

接下来是伸缩变换。

还是以 y ＝ x²为例，如果我们想把图像在水平方向上压缩一半，那么原来的 x 就要变成 2x，函数就变成了 y ＝（2x)²＝ 4x²。

反之，如果要在水平方向上拉伸两倍，那就是 y ＝（05x)²＝ 025x²。

在垂直方向上的伸缩变换也是类似的道理。

伸缩变换可以帮助我们更好地观察函数的某些特征。

比如，对于一些周期函数，如果把周期伸缩，就能更清楚地看到它的变化规律。

然后是对称变换。

函数图像关于 x 轴对称时，原来的点（x, y) 就变成了（x, y)；关于 y 轴对称时，就变成了（x, y)；关于原点对称时，则变成了（x, y)。

比如，y ＝ x²的图像就是 y ＝ x²关于 x 轴对称的结果；y ＝ x³关于原点对称的函数就是 y ＝ x³。

对称变换在解决一些几何问题和物理问题时非常有用。