分类计数原理与分步计数原理
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件人教新课标
√A.9 B.2
C.20
D.6
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C 村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的 路线有 ( )条.
A.3 B.4
C.5
√D.6
3.解答题
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允 许重复数字的三位数.
解：
由于此三位数的数字允许重复，分三步： 百、十、个位数各有5种取法， 所以可以组成
如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
2、分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯 数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式 给教室里的座位编号，总共能变出多少个不 同的号码？
解答
由题意画图如下：
字母 A
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A.48个
分析：
B.36个
C.24个
D.18个
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时， 万位数是3，4，5，其他随便，共有 3×3×2×1=18种；当个位数是4时，万位数是2， 3，5，其他随便，共有3×3×2×1=18种
所以共有36种.
课堂练习
1.填空
（1）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则 从甲地到丙地的不同的走法共有 __1_1___种.
高考链接
1（202X年福建卷7）某班级要从4名男生、2名 女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少 有1名女生，那么不同的选派方案种数___A__ .
A. 14 B. 24
C. 28
D. 48
先分类，再分 步！
2. (202X年四川文科第9题）用数字1，2，3， 4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的 五位偶数共有______.B
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类计数原理在概率论和组合数学中，分类计数原理是一种常用的计数方法。
它基于对样本空间的划分，将问题分解为若干个互不重叠的子问题，然后对每个子问题进行计数，最后将所有子问题的计数结果相加，得到问题的总计数。
分类计数原理的基本思想是将问题分解为若干个子问题，然后对每个子问题进行计数，最后将所有子问题的计数结果相加。
这种方法适用于问题的样本空间可以被划分为互不重叠的子集的情况。
分类计数原理的应用非常广泛，例如在概率问题中，可以将样本空间按照事件的性质进行划分，然后对每个子事件进行计数，从而得到事件的概率。
在组合数学中，可以将集合按照元素的性质进行划分，然后对每个子集进行计数，从而得到集合的大小。
二、分步计数原理分步计数原理是一种计数方法，它将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，并通过逐步求解这些简单问题，最终得到复杂问题的计数结果。
分步计数原理的基本思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，然后逐步求解这些简单问题。
这种方法适用于问题的计数过程可以划分为多个步骤，并且每个步骤的计数方法相对简单的情况。
分步计数原理的应用也非常广泛。
例如，在排列组合问题中，可以将问题分解为选择元素的步骤和排列元素的步骤，然后分别计算每个步骤的计数结果，最后将两个步骤的计数结果相乘，得到问题的总计数。
在概率问题中，可以将事件的发生过程分解为多个独立的步骤，然后计算每个步骤的概率，最后将各个步骤的概率相乘，得到事件的总概率。
三、分类计数原理与分步计数原理的联系与区别分类计数原理和分步计数原理都是常用的计数方法，它们在解决计数问题时具有一定的相似性，但也存在一些区别。
分类计数原理侧重于将问题分解为若干个互不重叠的子问题，并对每个子问题进行计数。
而分步计数原理侧重于将问题分解为多个步骤，并逐步求解每个步骤的计数结果。
分类计数原理更加注重问题的样本空间的划分，将问题分解为互不重叠的子集，然后对每个子集进行计数。
分类和分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类加法计数原理：完成一件事情可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法注：在分类计数原理中，n 类办法中相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事. 例1. 一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有多少种？例2. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？（合理分类）二、分步乘法计数原理：完成一件事情需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的办法……，做第n 步有m n 种不同的办法，那么完成这件事共有N 种不同的方法.N=n m m m ⨯⨯⨯ 21 注：分步计数原理各步骤相互依存，只有各步骤都完成才能做完这件事.例1. 用0，1，2，3，4排成可以重复的5位数，若中间的三位数字各不相同，首末两位数字相同，这样的5位数共有多少个？例2. （1）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？（2）若将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？若3位旅客到4个旅馆住宿，又是多少种住宿方法？ 例3. 将红、黄、绿、黑四种颜色涂入图中的五个区域，要求相邻的区域不同色，问有多少种不同的涂色方法？变式训练：1、如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域 不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有多少种？2、如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有多少种？三、计数原理综合应用作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 方法：（1）列举数数法：就是完成一件事方法不是很多，一一列举出来，然后一种一种地数，这种方法适用于：数目较少的问题.（2）字典排序法：把所有的字母或数字或其它，按照顺序依次排出来，所有的字母或数字或其它排完后结束.（3）模型法：根据题意构建相关的图形，利用图形构建两个原理的模型.AB C D典型例题分析（先分类再分步.）【例1】 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？变式训练1 在夏季，一个女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、绿、黄、白、黑5条裙子，3双不同鞋子，3双不同丝袜，这位女孩夏季某一天去学校上学，有多少种不同的穿法?变式训练2 有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？【例2】 有四位同学参加三项不同的竞赛.(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？变式训练1 火车上有十名乘客，沿途有五个车站，乘客下车的可能方式有多少种？变式训练2 有4种不同溶液倒入5只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,有几种不同倒法?【例3】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？【例4】d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？【例5】 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练1 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，各取1张，其中甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练2 设有编号①，②，③，④，⑤的5个球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个球投入这5个盒子内，要求每个盒子内投入一个球，并且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为多少【例6】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答） 654321四、课堂练习1.一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_______________种.若是选取两本书且它们不相同则有_______________种2.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有______种不同的选法.3.一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有__________种.4.从分别写有1，2，3，……，9的九张数字卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_______种不同的抽法.5.从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有______种。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法 ，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的办法。
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同方法，那么完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法。
特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。
不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有n 类办法，这n 类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。
二、题型剖析例1、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？解：（1）不同涂色方法数是：60345=⨯⨯（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d 记这四块,a 与c 可同色,也可不同色,先考虑给a,c 两块涂色,分两类(1) 给a,c 涂同种颜色共15C 种涂法,再给b 涂色有4种涂法,最后给d 涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有4415⨯⨯C 种涂法(2) 给a,c 涂不同颜色共有25A 种涂法,再给b 涂色有3种方法,最后给d 涂色也有3种，此时共有3325⨯⨯A 种涂法 故由分类计数原理知，共有4415⨯⨯C +3325⨯⨯A =260种涂法。
例2、（1）如图为一电路图，从A 到B 共有-___________条不同的线路可通电。
分类计数原理与分步计数原理PPT教学课件
互斥．各类中任何一种方法都能够独 立完成这件事．
分步计数原理用于分步，步步相扣， 缺一不可，只有各个步骤都完成了，才 算完成这件事．
讲授新课
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同的文艺书，第三层放有 2本不同的体育书． ⑴从书架上任取1本书，有多少种不同的 取法？ ⑵从书架的第1、2、3层各取1本书，有多 少种不同的取法？
的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走
法的种数是
．
讲授新课
课堂练习 1．填空： ⑴一件工作可以用2种方法完成，有5人会 用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法 完成，从中选出1人来完成这件工作，不同 选法的种数是有 9 种 ．
(分类计数原理) 5＋4=9
⑵从A村去B村的道路有3条，从B村去C村 的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走 法的种数是 6 种 ．
实例引入
1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以 乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班. 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
甲地
乙地
实例引入
1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以 乘汽车.一天里火车有3班，汽车有2班. 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法．
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤 相互依存，只有各个步骤完成了，这件事 才算完成；分步计数原理又叫乘法原理．
讲授新课
对于分步计数原理，注意以下几点：
⑴分步计数原理与“分步”有关，各个步骤 相互依存，只有各个步骤完成了，这件事 才算完成；分步计数原理又叫乘法原理．
分类计数原理和分步计数原理
分步计数原理的核心思想是“分步”，即根据事件的某些特征将 其分成不同的步骤，然后分别计算每一步中的方法数，最后将这 些方法数相乘得到复杂事件的总方法数。
两者关系与区别
关系
分类计数原理和分步计数原理都是解决复杂事件计数问题的方法，它们的核心思想都是将复杂事件进行分解，然 后分别进行计算。
04 计数原理在算法中的应 用
动态规划算法
最优子结构
动态规划算法通过把原问题分解为若干个子问题，并求解子 问题的最优解，进而得到原问题的最优解。这种通过子问题 的最优解来推导原问题最优解的方法体现了分类计数原理的 思想。
状态转移方程
动态规划算法中，通常定义一个状态转移方程来描述子问题 之间的关系。这个方程可以帮助我们计算出每个子问题的最 优解，并最终得到原问题的最优解。状态转移方程的构建和 求解过程体现了分步计数原理的思想。
路线规划问题
从起点到终点需要经过三个城市，每两个城市之间都有多 条路线可选。根据加法原理和乘法原理，可以计算出从起 点到终点所有可能的路线组合数。
彩票选号问题
一张彩票需要选择7个号码，每个号码可以是1~49中的任 意一个。根据乘法原理，共有 $49 times 48 times 47 times 46 times 45 times 44 times 43 $ 种不同的选号方 式。
组合问题
排列与组合的区别
排列是把元素按顺序排列，而组合是 把元素无顺序地组合起来。
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n）的所有排列的个数，叫做从n 个元素中取出m个元素的组合数。
概率统计问题
古典概型
如果每个样本点发生的可能性相 等，则事件A发生的概率等于事件 A包含的样本点个数与样本空间包
分类计数原理与分步计数原理
【例2】一城市的电话号码都由8位数字组成， 其中前4位数字是统一的，后4位数字都是0到9 之间的一个数字，那么不同的电话号码可有多 少个？ 【引申1】4封信全部投入10个不同的信箱 中，有多少种不同的投法？
【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？
【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目， 每人必须且只能报一项，有多少种报名方法？
”智深道：“洒家也不杀你，只要问你买酒吃。”那汉子见不是头，挑了担桶便走。智深赶下亭子来，双手拿住匾担，只一脚，交裆踢着，那汉子双手掩着，做一堆蹲在地下，半日起不得。智深把那两桶酒都提在亭子上，地下拾起旋子，开了桶盖，只顾舀冷酒吃。无移时，两大桶酒吃了 一桶。智深道：“汉子，明日来寺里讨钱。”那汉子方才疼止，又怕寺里长老得知，坏了衣饭，忍气吞声，那里敢讨钱？把酒分做两半桶挑了，拿了旋子，飞也似下山去了。 只说鲁智深在亭子上坐了半日，酒却上来。下得亭子，松树根边又坐了半歇，酒越涌上来。智深把皂直裰褪膊下 来，把两只袖子缠在腰里，露出脊背上花绣来，扇着两个膀子上山来。但见：头重脚轻，眼红面赤；前合后仰，东倒西歪。踉踉跄跄上山来，似当风之鹤；摆摆摇摇回寺去，如出水之蛇。指定天宫，叫骂天蓬元帅；踏开地府，要拿催命判官。裸形赤体醉魔君，放火杀人花和尚。鲁达看看 来到山门下，两个门子远远望见，拿着竹篦来到山门下，拦住鲁智深便喝道：“你是佛家弟子，如何噇得烂醉了上山来？你须不瞎，也见库局里贴的晓示：但凡和尚破戒吃酒，决打四十竹篦，赶出寺去，如门子纵容醉的僧人入寺，也吃十下。你快下山去，饶你几下竹篦。” 鲁智深一者 初做和尚，二来旧性未改，睁起双眼骂道：“直娘贼！你两个要打洒家，俺便和你厮打。”门子见势头不好，一个飞也似入来报监寺，一个虚拖竹篦拦他。智深用手隔过，揸开五指，去那门子脸上只一掌，打得踉踉跄跄；却待挣扎，智深再复一拳，打倒在山门下，只是叫苦。智深道：“ 洒家饶你这厮。”踉踉跄跄，攧入寺里来。监寺听得门子报说，叫起老郎、火工、直厅、轿夫，三二十人，各执白木棍棒，从西廊下抢出来，却好迎着智深。智深望见大吼了一声，却似嘴边起个霹雳，大踏步抢入来。众人初时不知他是军官出身，次后见他行得凶了，慌忙都退入藏殿里去 ，便把亮槅关上。智深抢入阶来，一拳一脚，打开亮槅，三二十人都赶得没路，夺条棒从藏殿里打将出来。 监寺慌忙报知长老，长老听得，急引了三五个侍者直来廊下，喝道：“智深不得无礼！”智深虽然酒醉，却认得是长老，撇了棒，向前来打个问讯，指着廊下对长老道：“智深吃 了两碗酒，又不曾撩拨他们，他众人又引人来打洒家。”长老道：“你看我面快去睡了，明日却说。”鲁智深道：“俺不看长老面，洒家直打死你那几个秃驴！”长老叫侍者扶智深到禅床上，扑地便倒了，齁齁地睡了。 （1）在空格内依次填写一个动词。概括文中鲁智深与酒的几件事。 想酒～买酒～抢酒～闹酒 （2）文中汉子的唱词有哪些作用？ （3）结合水浒传，完成下面题目 ①鲁智深在上五台山之前所做的义事是A A拳打镇关西 B大闹桃花村 C火烧瓦官寺 D大闹野猪林 ②鲁智深为何被称作花和尚 ③与林冲和李逵相比，鲁智深的性格有什么特别之处，请举例具体 分析。 【考点】9E：小说阅读综合． 【分析】本文主要描述了鲁智深大闹五台山的故事．第一段写鲁智深来到五台山几个月没喝酒，正想着酒，外面传来了卖酒的歌声；第二段写鲁智深想买酒遭拒，就开始动手抢酒，吓跑了卖酒的汉子；第三至五段，写鲁智深喝完，酒劲上来看返回寺 院，门子见状阻拦，鲁智深反打门子，惊扰到长老送至房间便酒意大发睡去了． 【解答】（1）本题考查主要内容的概括．解答此题明确本文的写作线索为“酒”，按写作的顺序找出事件，然后分别用两个字来概括即可．文章第一段写鲁知深想到了喝酒，第二段写鲁智深想买酒遭到了拒 绝，便开始抢酒；第三至五段，主要写他喝酒后回寺大闹寺院．可分别概括为：想酒、买酒、抢酒和闹酒． （2）本题考查内容的理解与分析．唱词与战争、项羽相关，结合前文情节我们知道，鲁智深曾经作过提辖，这个唱词则触发了鲁智深的英雄豪情，想起自己此时却在寺院中为僧， 这样就刺激了他的酒瘾，从而引发了下面的情节． （3）本题考查名著情节的识记与人物形象的对比分析．解答此题关键在于平时的阅读与积累．①鲁智深上山之前是提辖，因为救助金氏父女而拳打镇关西，为了逃脱人命官司而来到了这里．故选A．②鲁智深上山为僧，但他的脊背上有 花绣，又因为他不守戒律，喝酒吃肉打人，所以得名“花和尚”． ③林冲在《水浒传》中一开始的性格是软弱的，就因为一再的忍让才被害．李逵的勇猛和鲁智深很相似，但李逵有勇无谋，没有头脑．而鲁智深有智慧，如拳打镇关西至他于死地时，用郑屠的装死来骗众人，取得逃跑的 时间等情节就能体现出来． 代谢： （1）买 抢 闹（共3分，每空1分） （2）汉子的唱词进一步触发了曾为军官的鲁智深的豪情和他对当时处境的不满，更刺激了他的酒瘾． （3）①A ②因为他出家为僧，且脊背上有花绣，也因为他喝酒吃肉打人，不守戒律． ③示例：与林冲相比，鲁 智深办事更加果断干脆．例如，林冲在被奸人高俅陷害后一再隐忍退让，而鲁智深为解救金氏父女，直接痛打了恶人郑屠． （2017安徽）【二】（21分） 扁担的一生 范宇 ①在村庄的记忆里，几乎任何时间、任何角落都能见到扁担的身影。挑粪、挑种子、挑谷子、挑土豆、挑橘子…… 农人在土地上的所有倾注与收获，都与扁担密不可分。扁担就是农人的精神脊梁，让他们挑起一个家庭重担的同时，也挑起了一个村庄沉重的历史与殷殷期盼。 ② 。母亲嫁给父亲时，半背篼谷子便是全部的家当。泥墙茅顶的房子破败不堪，常常在狂风骤雨中摇摇欲坠，只有立于墙角略 弯的扁担显得精神抖擞，给人信心与希望。或许，母亲嫁给父亲的勇气，有几分便来自于扁担的抖擞精神。总之，在昼夜有序更替的村庄里，父母用扁担慢慢挑起了生活的担子，就像蚂蚁搬家一样，虽然缓慢，却渐渐挑出了一个家庭的崭新面貌。 ③ 。 ④20年前，父亲从山里找到一截 不错的木材，正想着用来做点什么呢。身为木匠的舅舅几乎脱口而出——扁担。对，扁担！父亲也认为，只有改成一根扁担，才不辜负这上好的木材。说干就干，粗糙的木材到了舅舅手里，不用半天，就变成了一根笔直的扁担。扁担不能太直，太直则易伤肩头和腰。因此，还得将扁担以 火烤之后，用外力将之略微压弯成弓形。可这根扁担实在太有骨气了，即便火烤、重压，仍然笔直，没有半点屈服。 ⑤这根扁担挑起来更吃力，父亲却爱不释手。之后的许多年里，父亲无论挑什么，都用她。有次在挑玉米时，父亲不小心闪了腰，疼了好长一段时间。但父亲并没有放弃 她，用汗水和心血一点点浸润着她，渐渐地，她坚硬的心被融化了，挺直的腰板，也弯了下来。父亲挑起扁担来越来越有默契，像与母亲的婚姻一样，虽偶有磕磕绊绊，感情却越来越深厚。她也没有辜负父亲的良苦用心，苦心经营，以顶天立地般的气慨，让一个家庭从贫穷落后走向富足 安逸。 ⑥可这样的日子并没有持续多少年。越来越多的人开始离开村庄，离开赖以生存的土地，扁担也渐渐地走向了落寞。不少人再也没有回来，在城里买了房子，过上了舒坦的日子。这也让父亲坚信一根扁担能够挑出一个未来的信念，逐渐土崩瓦解。或许，这背后更多是村庄现实的 无奈。 ⑦无论如何，父亲最终选择了离开。 ⑧曾经朝夕相对的扁担被搁置在了一个冰冷的墙角，孤零零的。说来也奇怪，没有了重压，扁担却一天比一天更弯，弯得像一个苟延残喘的暮年老者。或许，再过几年，抑或十余年，她便将走完一生，彻底告别深爱了一生也奋斗了一生的村庄 。 ⑨这也是农人的一生。 ⑩九月，村庄又迎来冷冷清清的收获季节。我返城时，碰见正挑着谷子从田边迎面走来的大伯。大伯今年已60余岁了，还在田间劳作着。他也曾短暂离开过村庄，却始终没能走出像扁担一样的命运。他仍然坚信着，只要村庄还在，扁担还在，就一定能够扛起生 活的重担。甚至，在人烟越来越少的村庄里，不少死守的农人还是坚信——一根扁担仍能挑起一个村庄。 ?这是一种可贵精神，或许它与现实追求早已背道而驰，却让人肃然起敬。 （选自《襄阳晚报》2016年3月3日，有删改） 10、根据上下文，将下面两个句子分别填入文章②③两段横 线处，第②段应填（ ），第③段应填（ ）。（4分） A、这让我有了探索一根扁担一生的浓厚兴趣。 B、我的家也是扁担挑起来的。 11、阅读文章④—⑥段，概括补充扁担经历的主要变化过程。（每空不超过5个字）（4分） 上好的木材→ →渐弯的扁担→ 12、作者提到“扁担”，多 次使用第三人称“她”，有何表达效果？（3分） 13、联系上下文，简要分析第⑩段画线句子蕴含了作者怎样的情感。（4分） 14、“扁担”在文中有着丰富的内涵，请结合全文谈谈你的理解。（6分）[来源:学科网 代谢：【二】 10. （4分）B A 11. （4分）不屈的扁担 落寞的扁担 12.（3分） 运用拟人化的手法，把扁担当成了与自己家庭命运休戚相关的一员，抒发了对扁担对既往岁月的无限怀念留恋之情，同时也表达了对父亲对家庭的热爱之情。 13.（4分） 表达了对大伯不能与时俱进，还固守着旧有的生活方式，希望能用一根扁担扛起生活重担精神的钦佩与 惋惜之情 14.（4分）扁担是农人的希望，是农人精神脊梁；扁担也是父亲的命运与精神的反映 。扁担有着不屈的精神，挑起过生活的重担，创造过富足安逸，也有着英雄暮年的孤寂衰老，它的一生也反映了人的一生；在一定程度上，扁担也是落后生活方式的代表。 （2017浙江温州）4 ． 天道立秋 张承志 （1）1990年立秋日，是个神秘的日子。 （2）年复一年地，代谢人渐浙开始从春末就恐怖地等着入伏。一天天地熬，直到今年是一刻刻地熬。长长无尽的代谢苦夏，在这一回简直到了极致。 （3）一点一点地挨着时间；无法读书，无法伏案。不仅是在白昼，夜也是 潮闷难言，漆黑中的灼烤实在是太可怕了。 （4）我有时独自坐在这种黑热里，像一块熄了不多时的炉膛里的烧烬。心尖有一块红红的煤火，永无停止地折磨着自己。似乎又全靠着它，人才能与这巨大的黑热抗衡。久久坐着，像是对峙。 （5）天亮以后几个时辰，大地便又堕入凶狠的爆 烤。有谁能尽知我们的苦夏呢？ （6）街上老外，满脸汗水。 （7）度夏的滋味、中国人是说不出的。 （8）后来愈热愈烈，我几乎绝望。再这样热下去，连我也怀疑没有天理了。 （9）可是，那一天是立秋。上午我麻木地走进太班有男生30人， 女生24人，要从中选一人参加学校会议，问： 总共有多少种选法？
6.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第三册课件
少要用多少个字节表示?
分析：
第1位 第2位 第3位
第8位 ......
第1位 第2位 第3位
第8位 ......
2种 2种
2种
2种
2种 2种
2种
2种
256*256=65536
两 例7：计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行
分析：
“选出2幅画，分别挂
1、“要完成的一件事”：在左、右两边墙上”
2、如何完成：“分步”
追问1：你还能给出不同 的解法吗？
第1步：从3幅画中选2幅，有3种选法； （甲，乙）、（甲，丙）、（乙，丙） 第2步：将选出的两幅画挂好，有2种挂法；
N=3✖2=6种.
例5：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U～Z， 后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名？
个 计 路（程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许
数 原
多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？
理 另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以
的 实
减少测试次数吗？
际
开始
数 多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？
原 理
另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以
的 减少测试次数吗？
实 际
开始
分类计数原理与分步计数原理
态度决定一切！追求卓越，实现梦想分类计数原理与分步计数原理【知识要点】看下面的问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？一般地，有如下原理：分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2 类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有: N = m I + m H -------- F m种不同的方法。
再看下面的问题：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？一般地，有如下原理：分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N = m. x m x…x m种不同的方法。
【典型例题】例1书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2 本不同的体育书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？例3用红、黄、蓝三种颜色给如图的三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求: （1）三个矩形颜色都相同的概率;（2）三个矩形颜色都不同的概率。
例4 一个口袋中有4个红球和3个白球，5人依次在口袋中摸出1个球。
（1）若每个人摸球后，把摸出的球放回口袋中，再由下一个人来摸球，求第3个人摸得白球的概率；（2）若摸出的球不放回口袋中，求第3个人摸得白球的概率；（3）若每人摸出的球不放回口袋中，且摸到白球即停止摸球，求第3个人去摸球时摸到白球的概率。
【闯关练习】1 .估计掷一枚均匀的硬币，反面朝上的概率为（ ）A . 1B . 1C . 1D . 12342 .从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上字母恰好是按 字母顺序相邻的概率为A . 153 .有六张扑克牌 的概率是（ ）A . 13掷两次骰子， A . 16掷一枚均匀的骰子，每次实验掷两次，两次骰子的点数和为（）的概率最大。
分类计数原理与分步计数原理课件
在决策分析中，分步计数原理可以帮助我们分析问题并制定最优策略。例如，在制定一个 计划或方案时，可以将整个任务分解成若干个步骤，然后根据分步计数原理计算每一步的 成本和效益，最终确定最优方案。
分步计数原理的实例解析
例子1
工厂生产线上有3个工人分别负责3个不同的工序，每个工人完成自己的工序需要1小时。求完成整条生产线需要 多少小时？根据分步计数原理，最终需要的时间是每个工人完成工序所需时间的乘积，即1小时 × 1小时 × 1小 时 = 1小时。
在软件测试中，分类计数原理可以 用于确定不同测试用例的数量和覆 盖范围。
在物理学中的应用
粒子运动
在研究粒子在封闭容器内的运动 时，分步计数原理可以用于计算 粒子在不同状态下的数量和分布
情况。
原子结构
在研究原子结构时，分类计数原 理可以用于确定不同电子层和亚
层的电子数量和分布情况。
量子力学
在量子力学中，分类计数原理和 分步计数原理可以用于描述微观
在某些情况下，分类计数原理和 分步计数原理可以相互转化。
两者都基于组合数学的基本思想， 即从n个不同元素中取出m个元
素的所有组合方式。
原理之间的区别
分类计数原理
考虑的是完成一件事情的不同类的方式，各类方式之间是相 互独立的，即不论采取哪一类方式，都能独立完成这件事情 。计算方法是各类方式数之和。
分步计数原理
04
分类计数原理与分步计数原理的实际
应用
在日常生活中的应用
购物选择
在超市购物时，我们常常面临多种品 牌和种类的选择。分类计数原理可以 帮助我们快速计算出不同品牌和种类 商品的数量。
旅行计划
社交活动
在组织社交活动时，我们可以使用分 类计数原理来安排不同类型的人员参 与活动，以满足不同的需求和期望。
分类计数原理和分步计数原理的理解与简单应用
分类计数原理和分步计数原理的理解与简单应用（833200）新疆奎屯市第一高级中学特级教师 王新敞分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”原理浅释：①分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.②分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n 个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是: 12n N m m m =+++ , 12n N m m m =⨯⨯⨯这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步．强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比．例1 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？ 解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果.因此共有17400+11400=28800种不同结果.点评：在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步，一般情况是先分类再分步. 例2 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.点评：解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解. 例2中选出5个数组成子集改为选出4个数呢? （答案：C 45·24=80个）.例3 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答） 解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求. （1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N 1=4×3×2×2×1=48种；（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N 2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共有N 3=4×3×2×1=24种.所以，共有N =N 1+N 2+N 3=48+48+24=120种.解法二：记颜色为A 、B 、C 、D 四色，先安排1、2、3有A 34种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A 、B 、C ，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.根据分步计数原理，不同栽种方法有N =A 34×5=120. 答案：120点评：①解法一是常规解法，解法二安排4、5、6时又用了分类和列举的方法. ②较复杂的应用题，需确定或设计出完成事件的程序，依需要分类或分步（“类”与“类”之间独立且并列，“步”与“步”相依且连续）而每个程序都是简单的排列组合问题.例4 (1)有红、黄、白色旗子各n 面（n ＞3），取其中一面、二面、三面组成纵列信号，可以有多少不同的信号？(2) 有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？(1) 解 因为纵列信号有上、下顺序关系，所以是一个排列问题，信号分一面、二面、三面三种情况（三类），各类之间是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗，共有3种信号；②升二面旗，要分两步，连续完成每一步，信号方告完成，而每步又是独立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重复使用，故共有3×3＝9种信号；③升三面旗，有3×3×3＝27种信号．所以共有3+9+27＝39种信号．(2) 解：计算币值与顺序无关，所以是一个组合问题，有取一张、二张、三张、四张四种情况，它们彼此是互斥的，用加法原理．因此，不同币值有＝15(种)点评 (1) 排列、组合的区别在于顺序性，前者“有序”而后者“无序”；加法原理与654321D D C C D C BD 654C B D乘法原理的区别在于联斥性，前者“斥”——互斥独立事件，后者“联”——相依事件．因而有“顺序”决“问题”，“联斥”定“原理”的说法．(2)加、乘原理是排列、组合问题的理论依据，在分析问题和指导解题中起着关键作用，运用加法原理的关键在于恰当地分类（分情况），要使所分类别既不遗漏，也不重复；运用乘法原理的关键在于分步，要正确设计分步的程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．例5 d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？解：依题意，符合要求的排法可分为第一个排b,c,d 中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：符合题意的不同排法共有9种点评：按照分“类”的思路，本题应用了分类计数原理，为把握不同排列的规律，“树图”是一种具有直观现象的有效做法.分类计数和分步计数两个原理是排列组合计数的理论依据，类与类之间独立且并列，步与步相依且连续；计算关键：审题、判断分类还是分步？（分类相加，分步相乘）、判断排列还是组合？（有序排列、无序组合）.。
分类计数原理与分步计数原理的区别
分类计数原理与分步计数原理的区别下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共30张PPT)
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
分类计数与分步计数原理
数据分析与决策
在数据分析中，分类计数原理可以帮助我们将数据按照不 同的特征进行分类，例如按照销售渠道、客户类型、产品 类别等进行分类，然后对每个类别的数据进行统计和分析 ，以了解不同类别的特点和差异。
分步计数原理则可以帮助我们将整个数据分析过程分解为 若干个步骤，例如数据收集、清洗、整理、分析和可视化 等，然后对每个步骤进行详细规划，确保每个步骤都能按 时完成，最终为决策提供准确的数据用
生产计划制定
生产计划制定过程中，企业可以根据分类计数原理，将生产 任务按照产品类型、生产流程、生产阶段等进行分类，然后 分别计算每个类别所需的时间、资源和成本，从而制定出合 理的生产计划。
在实际执行过程中，企业可以根据分步计数原理，将整个生 产过程分解为若干个步骤，然后对每个步骤进行详细规划， 确保每个步骤都能按时完成，最终实现整个生产计划的顺利 完成。
解
根据分类计数原理，我们可以将 问题分解为三个步骤：先选择3 名学生组成一个小组，再从剩下 的7名学生中选择3名学生组成另 一个小组，最后从剩下的4名学 生中选择2名学生组成第三个小 组。第一个步骤有C(10,3)种方法 ，第二个步骤有C(7,3)种方法， 第三个步骤有C(4,2)种方法。因
02 分步计数原理
03 分类计数与分步计数原理 的比较
差异点分析
基本概念
适用场景
实例对比分析
分类计数原理（加法原理）强调将问 题分成不重叠、互斥的n类，然后分 别对每类进行计数，最后累加得到总 数。而分步计数原理（乘法原理）则 是将问题分成连续的步骤，每一步都 有若干种选择，然后根据步骤顺序， 将每一步的选择数相乘得到总数。
01
02
03
组合数学问题
分步计数原理在组合数学 中有着广泛的应用，例如 排列组合、二项式定理等。
10.1.2 分类计数原理与分步计数原理
甲 乙丙
第1位 第2位
例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和 晚班，有多少种不同的选法？ 解：完成这件事可以分成两个步骤 第一步，选出一名上日班， 种选法 种选法； 第一步，选出一名上日班，有3种选法； 第二步，从剩余人中选出一名上晚班， 种选法 种选法。 第二步，从剩余人中选出一名上晚班，有2种选法。 分步计数原理知 由分步计数原理知，不同的选法种数有
作 业 Ｐ９４ ４.５.６
问题探究 1 .如图 要给地图 、B、C、D四个区域分 如图,要给地图 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 别涂上 种不同颜色中的某一种 允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色 但相邻区域必须涂不同的颜色,不 色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不 同的涂色方案有多少种？ 同的涂色方案有多少种？
3 × 3 ×1×1 = 9 种．
练习1
如图,该电路 如图 该电路, 该电路 从A到B共有 到 共有 多少条不同 的线路可通 电？
A
B
从总体上看由A到 的通电线路可分三类 的通电线路可分三类, 解: 从总体上看由 到B的通电线路可分三类 第一类, 第一类 m1 = 3 条 第二类, 第二类 m2 = 1 条 第三类, 第三类 m3 = 2×2 = 4, 条 × 所以, 根据分类原理, 所以 根据分类原理 从A到B共有 到 共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。 条不同的线路可通电。
按地图A、 、 、 四个区域依次分 解: 按地图 、B、C、D四个区域依次分 四步完成, 四步完成 第一步, m1 = 3 种, 第一步 第二步, m2 = 2 种, 第二步 第三步, m3 = 1 种, 第三步 第四步, m4 = 1 种, 第四步 所以根据乘法原理, 所以根据乘法原理 得到不同的涂色方案 种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。 ×
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《分类计数原理与分步计数原理(一)》教学设计柳州地区民族高级中学覃艳莉相关教材:人民教育出版社的全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册(下B)一、教学内容解析:１、教学内容:分类计数原理、分步计数原理,这两个原理也就是本次课的教学重点。
２、概念解析:分类计数原理与分步计数原理都就是计算完成一件事共有多少种不同方法数的原理,也叫加法原理与乘法原理。
其区别在于:运用加法原理的前提条件就是完成一件事有n类办法,选择任何一类办法中任何一种方法都可以独立完成此事,就就是说,完成这件事的各种方法就是相互独立的,所以总方法数为各类方法数之与;运用乘法原理的前提条件就是完成一件事需n个步骤,只有依次完成所有步骤后才能完成这件事,就就是说,完成这件事的各个步骤就是相互依存的,所以总方法数为各步骤方法数之积。
3、两个计数原理的地位与作用:分类计数原理与分步计数原理就是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律,体现了解决问题时将其分解的两种常用方法,即分类解决或分步解决。
这不仅就是今后推导排列数与组合数计算公式的依据,而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终。
二、教学目标设置:1、知识与技能目标:理解并掌握分类计数原理与分步计数原理,能用它们分析与解决一些简单的应用问题。
2、过程与方法目标:创设情境,将一些实际问题归结为一个分类或分步的计数问题,使学生的建构思维能力得到提升;在总结时用到特殊到一般的思想;在解题时通过类比,举一反三,使学生对两个计数原理有一个更深刻的理解。
3、情感与态度目标:通过学生小组活动,培养学生周密思考、细心分析的良好的学习习惯,使学生在现实生活中面对复杂的事务与现象,能够作出正确的分析,准确的判断,进而拿出完善的处理方案,认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性。
让学生感受到亲切、与谐的学习氛围,在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力。
三、学生学情分析:1、认知基础分析:学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题,已经具备了一定的归纳、类比能力,也能解决一些简单的实际问题,这些形成了学生思维的“最近发展区”。
2、可能学习障碍分析:正确使用两个计数原理的前提就是要学生清楚两个计数原理使用的条件:分类用加法原理,分步用乘法原理,单纯这点学生就是容易理解的。
加法与乘法在小学就会,那么,在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求,而忽视了其过程中包含的深层次思想;两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”,即“分解”的思想。
更具体地说就就是把完成一件事的方法数分成类或分成步去数。
学生往往在判断就是分类还就是分步去完成一件事会有一定的障碍,部分学生对乘法原理的运算结果难以理解。
因此,把本节课的教学难点定为:(1)如何判断完成一件事就是分类或分步完成;(2)理解分步计数原理中的运算方法,即总方法数为各步骤方法数之积。
３、突破难点分析:要准确的判断就是分类还就是分步去完成一件事,首先得明确这就是一件什么事,该怎样去完成。
在分析的过程中,便会发现有些事可以按某些方法独立完成,有些事需要多个步骤才能完成。
能独立完成的就用分类,需多个步骤完成的就用分步。
为此,设计了两个小组活动来让学生体会。
对于分步计数原理的运算结果,可利用树状图并结合小学对乘法的理解来突破。
四、教学策略分析:本节课的课本引例、例题同学们通过预习大多都能瞧懂。
为了贴近学生实际生活,激发学生学习兴趣,在创设情境与例题的选用上,选择了学生所熟悉的校园生活事例。
本节课采用了老师引导启发,学生分小组合作学习的方法进行教学。
利用多媒体显示问题情境,让学生通过小组活动,具体地分析比较,进而归纳总结,体现了从特殊到一般的思维过程,既关注了学生的认知基础,又促使学生在原有认知基础上获取知识,提高思维能力,保持高水平的思维活动,符合学生的认知规律。
学生在小组合作交流中,对问题的理解可以得到互补完善。
从学生回答问题与学生间的相互评价中,使老师更多地了解学生的理解程度。
五、教学过程:１、创设情境,揭示课题同学们,下学期我们就要搬到第一教学楼去学习了,大家观察过第一教学楼共有多少处楼梯不？(4个)假设我们班的教室在二楼,那么从一楼到二楼共有多少种不同的走法呢？(请一同学回答)假设我们班的教室在六楼,那么从一楼到六楼共有多少种不同的走法呢？(让学生充分讨论,在解决问题的过程中产生困惑,从而激发学生的求知欲。
)这些问题实际上都就是一些计数问题,都就是计算完成一件事共有多少种不同的方法数。
我们今天将要学习的分类计数原理与分步计数原理就就是为了解决这类问题的。
计算完成一件事共有多少种不同方法,我们应该怎样做呢？(启发学生思考)这就好比我要您去完成一件事,您首先想到的就是什么？(这就是一件什么事？)然后想到的又就是什么呢？(怎样去完成？)在分析的过程中我们才知道怎样完成这件事,其次才就是计算完成它的所有方法数。
今天,我们的学习将从这两方面去展开。
设计目的:选择学生身边的素材作为新课引入的实例,利用简单的熟悉的问题情境激发学生学习的积级性,让学生在迫切要求下去探究。
２、逐层探索,构建新知在刚才的第一问中,我们要完成什么事？要怎样去完成？从一楼到二楼:(任选一个楼梯口上)一步到位,直接完成。
在第二问中呢,我们要完成什么事？又怎样去完成？(先到二楼,再到三楼,……)从一楼到六楼:不能直接完成,需要分步完成。
第一步:从一楼到二楼;第二步:从二楼到三楼;第三步:从三楼到四楼;第四步:从四楼到五楼;第五步:从五楼到六楼。
比较两件事的完成过程,您能发现它们的不同之处不？完成一件事:一步到位,直接完成;不能直接完成,需要分步完成。
学习小组活动一:议一议,如何完成以下这些事情。
(学生在各自的学习小组内讨论之后,由小组代表发言。
)设计目的:让学生感知完成一件事,可以分类去解决,或者分步去解决。
情境１、节目主持候选人中有４名男同学,８名女同学,(１) 若从中任选一人主持节目;(可以选一名男同学或选一名女同学,都直接完成。
在您的选法中,从同学的性别来分,可分为两类,一类就是选男同学,一类就是选女同学,不管选男还就是选女,它们都可以独立地完成这件事。
)(２) 若从中任选一个男同学与一个女同学共同主持节目。
(不能直接完成,需分两步。
第一步选一个男同学,第二步选一个女同学。
不管选男同学还就是选女同学,若少一步则不能完成这件事,这两步的关系就是相互依存的。
)情境２、书架上有４０本不同的语文书,３０本不同的数学书,２０本不同的英语书,(１) 从书架上任取一本书;(２) 从中任选三本不同科目的书。
在完成的过程中,我们还发现,能直接完成的往往也可以按某一标准分类去完成;不能直接完成的则需要分步去完成。
什么时候可分类完成,什么时候需分步完成呢？能独立完成的就用分类,需多个步骤完成的就用分步。
学习小组活动二:算一算,完成以下这些事情分别有多少种不同的方法。
设计目的:让学生用已有的知识去计算,在与同学的交流中完善其方法,找到其中的规律。
分类完成:(１) 节目主持候选人中有４名男同学,８名女同学,若从中选一人主持节目,共有多少种不同的选法？第一类:选一男有4种选法;第二类:选一女有8种选法,共４＋８＝１２种(２) 书架上有４０本不同的语文书,３０本不同的数学书,２０本不同的英语书,从书架上任取一本书,共有多少种不同的选法？第一类:选一语有40种选法;第二类:选一数有30种选法;第三类:选一英有20种选法,共４０＋３０＋２０＝９０种分步完成:(１) 节目主持候选人中有４名男同学,８名女同学,若从中选一个男同学与一个女同学共同主持节目,共有多少种不同的选法？男1配一女有8种选法,共4个男;女1配一男有4种选法,共8个女;(树状图)第一步:选一男有4种选法;第二步:选一女有8种选法。
(８＋８＋８＋８＝４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＝＝３２)(２) 书架上有４０本不同的语文书,３０本不同的数学书,２０本不同的英语书,从中任选三本不同科目的书,共有多少种不同的选法？分析:完成第一步与第二步(选定一本语文书与一本数学书)共有１２００种方法,再选英语书时,前面的每一种方法都对应２０种选法,所以共有２４０００种选法。
３、比较归纳,深化概念学习小组活动三:想一想:分类完成的计数问题如何计算？分步完成的计数问题如何计算？设计目的:学生通过具体事例的分析、计算,找到规律,用自己的语言表述出来,锻炼了学生的概括能力。
分类解决:完成这件事的所有方法数为各类办法的方法数之与。
分步解决:完成这件事的所有方法数为各步方法数之积。
(由两位同学作总结发言)这也就就是我们今天要学习的分类计数原理与分步计数原理的内容。
(电脑显示,学生朗读)分类计数原理:完成一件事情,有n类办法,在第１类办法中有种不同的方法,在第２类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法。
分步计数原理:完成一件事情,需要分成n个步骤,做第１步有种不同的方法,做第２步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法。
分类计数原理又称加法原理,分步计数原理又称乘法原理,您能说说它们命名的理由不？(一个结果用各类方法数相加,一个结果用各步方法数相乘)什么时候用加法原理,什么时候用乘法原理呢？再次强调加法原理中的每一种方法都能独立完成这件事,而乘法原理中的各步中的方法不能独立完成这件事。
４、学以致用,培养能力我们学习了两个计数原理,我们又该如何运用它们去解决一开始提出的爬楼梯问题呢？从一楼到二楼:分类完成,共四类,每类１种走法,所以共4种不同的走法。
从一楼到六楼:分步完成,共五步,每１步都有４种走法,所以共有种不同的走法。
设计目的:前后呼应,用已学知识解决提出的问题,达到学以致用的目的。
５、总结反思,提高认识通过这节课的学习,同学们在知识方面有什么样的收获？(1)知识积累:分类计数原理、分步计数原理。
同学们再回想一下,我们就是怎样得到这两个计数原理的？(2)思维体验:通过了一些具体的问题分别归纳出了分类计数原理与分步计数计数原理,由特殊到一般就是重要思维方式之一。
师:完成什么事,怎样算完成？分类或分步？一定要分清！独立就分类,分类则相加。
分步必相依,分步则相乘。
分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法,即分类解决或分步解决。
这不仅就是今后推导排列数与组合数计算公式的依据,而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终。
６、布置作业,拓展知识练习:一个口袋里有5封信,另一个口袋里有4封信,各封信内容均不相同。
(1)从两个口袋里,各取1封信,有多少种不同的取法？(2)从两个口袋里,任取1封信,有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的9封信,分别投入4个邮筒,有多少种不同的放法？希望大家课后通过练习再进一步巩固今天所学内容。