分类计数原理与分布计数原理

自主思考





(1) 由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重 复三位数？ 解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成： 第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个 数字，共有5种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复， 这仍有5种选法， 第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选 法． 根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是 N=5X5X5=125． 答：可以组成125个三位数．
例题讲解
例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同 的语文书． 2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？ 解 （2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两 个步骤完成： 第一步取一本数学书，有6种方法； 第二步取一本语文书，有5种方法． 根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N＝6X5＝30． 答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的 方法
1.1分类计数原理与分步计算原理
问题二： 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地 乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中， 从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
1.1分类计数原理与分步计算原理 分步计数原理


完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步 有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的 方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完 成这件事共有 N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
加法原理 乘法原理 选排列公式 排列 排列数公式 全排列公式 应用
选修2-3 排列、组 合和概率
组合
排列数公式 通项公式
组合数性质
二项式定理 系数性质 随机事件的概率 概率 互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率
排列应用问题
有限制条件的 排列问题(在 与不在，邻与 不邻) 有限制条件的 组合问题 (含与不含)
四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自 己送出的贺卡，共有多少种不同的方法？


我们可排出所有的分配方案： （1）甲取得乙卡，然后类推，按甲、乙、丙、丁各取得的贺卡列出方案 如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙； （2）甲取得丙卡，方案为： 丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲； （3）甲取得丁卡，方案为： 丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲. 由分类计数原理，共有3+3+3=9种. 另外，此题也可分步解决： 第一步：甲取一张，有3种取法； 第二步：由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法； 第三步：由剩余两人中任一人取，有一种取法； 第四步：最后一人取，只有一种取法. 由分步计数原理得不同取法有3×3×1×1=9种.
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
N = 5 × 4 ×3×4 = 240
注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法 数
hezuotanjiu 4张卡片的正、反面分别有0与1，2与3，4与5，6与7， 将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位 数？



解：分三个步骤： 第一步：首位可放8－1=7个数； 第二步：十位可放6个数； 第三步：个位可放4个数. 根据分步计数原理，可以组成 N=7×6×4=168个数.
从实际问题中如何判断该用哪个定理？
例1 书架上层放有6本不同的数学书， 下层放有5本不同的语文书． 1）从中任取一本，有多少种不同的 取法？ 2）从中任取数学书与语文书各一本， 有多少不同的取法？
自主思考：
表一： 题 号 完成一件什么事？
完成这件事可分 几类？ 每类方案中分别 有几种不同的方 法？

分类加法与分步乘法计数原理的区别和联系：
分类加法
分步乘法
共同点
区别一
都是要解决完成一件事情的方法种数的问题。
完成一件事情共有n类 方案。
完成一件事情,共分n个 步骤。
每步要而且只要拿出一种方法 就可以完成一件事情。
区别二
每类中的任一种方法都 能独立完成这件事情。
怎样联合两个定理解决问题？
［例2］电视台在“欢乐大本营”节目中 拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞 猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有 30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽 奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之 星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴， 有多种不同的结果？
1.1分类计数原理与分步计算原理
对于分类计数原理，注意以下几点.



（1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互 独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所 以分类计数原理又称加法原理； （2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分 类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类； （3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类， 并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方 法.
怎样联合两个定理解决问题？解：分两大类： （1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之 星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有： 30×29×20=17400种结果； （2）幸运之星在乙箱中抽，同理有 20×19×30=11400种结果， 因此共有不同结果17400+11400=28800种

大家在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合 理分步， 一般情形是先分类后分步.
练习： (1)由数字l，2，3，4，5 可以组成多少个数字不允许重复三 位数？ (2)由数字0，l，2，3，4， 5可以组成多少个数字不允许重复三 位数？

（3）:如图,要给下面A、B、C、D四个区域分别涂上5种 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域 必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
综合问题
给合应用问题
1.1分类计数原理与分步计算原理
问题一： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火 车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到 乙地共有多少种不同的走法？
1.1分类计数原理与分步计算原理


：完成一件事，有n类办法，在第1类办法 中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不 同的方法.那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
小结升华
知识
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
归纳与类比 分类法、分步法 特殊到一般 化归转化
方法 思想
感 悟 计数原理入门径， 何时相加何时乘？ 分类相加无重漏， 分步相乘步骤整.
课堂小结
要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法， 分步时用乘法，其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习
完成这件事共有 多少种不同的方 法？
书架上层放有6 本不同的数学 书，下层放有5 本不同的语文 书． 1）从中任取一 本，有多少种 不同的取法？
完成表格，归纳结论
自主思考：
书架上层放有6本 不同的数学书，下 层放有5本不同的 语文书． 2）从中任取数学 书与语文书各一本， 有多少的取法？
表二：
题 号 完成一件什么事？ 完成这件事可分几 步？ 每步中分别有几种 不同的方法？ 完成这件事共有多 少种不同的方法？
1.1分类计数原理与分步计算原理 对于分步计数原理，应注意以下几
点.



（1）分步计数原理与“分步”有关，各个步 骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事 才算完成；分步计数原理又叫乘法原理。 （2）分步时首先要根据问题的特点确定一个 分步的标准； （3）分步时还要注意满足完成一件事必须并 且只需连续完成n个步骤后这件事才算完成.
完成表格，归纳结论
例题讲解

例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同 的语文书． 1）从中任取一本，有多少种不同的取法？ 解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法： 第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一 本，有6种方法 第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一 本，有5种方法． 根据加法原理，得到不同的取法的种数是 6十5=11． 答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．
练习题：
1。有两个口袋，分别装有5个小球和4个小球，所有这些小球的颜色互不相 同， （1）从两口袋中任取一个，有多少种不同的取法。 （2）从两口袋中各取一个，有多少种不同的取法。 2。从3名男生和2名女生中选出优秀学生3人，要求其中至少有1名女生，那 么有多少中不同的选法？ 3。有大小两个正方体，在它们的6个表面上分别标有1，2，3，4，5，6。将 两个正方体掷在桌面上，向上一面的两个数的和为偶数的情形有多少种？ 4。 三面不同颜色的旗帜，可以升一面、两面，页可以三面一起升，那么可 以表示多少种不同的信号？ 5。平面上有10个点，无三点共线，每三点连一个三角形，可以画出多少个三 角形？ 6。从1到100的自然数中，每次取出两个，要它们的和大于100，有多少种不 同的取法？ 7。从8男5女中选4人参加比赛，其中至少要有两名女生，有多少中选法？ 8。从9名学生中选三名参赛，有多少中选法？ 9。完全相同的7个球，放入三个同样的盒子，允许有的盒子空，有多少种不 同的放法？
1. 2. 3.
4.
5.
6.
在计算完成事件的方法种数时，何时用加法原理？何时用乘法原理？ 这两个原理分别是怎样叙述的？它们的根本区别是什么？ （口答）一件工作可以用两种方法完成．有 5人会用第一种方法完成， 另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种 选法？ 在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3本文艺书里任 选一本，共有多少种不同的选法？ 从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地 有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不 同的走法？ 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的 颜色互不相同 （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？