第三章 微分中值定理与导数的应用

第三章 微分中值定理与导数的应用

§1 微 分 中 值 定 理

一、 罗尔定理

1. 费马定理:设f (x )在U (x 0)内有定义,且在x 0处可导,若∀x 0∈U (x 0),有

f (x )≤f (x 0)[或f (x )≥f (x 0)], 则 f ′(x 0)=0.

证明:不妨设x ∈U (x 0)时,有f (x )≤f (x 0).则对x 0+∆x ∈U (x 0),有

f (x 0+∆x )≤f (x 0)

即 当∆x >0时,

x

x f x x f ∆-∆+)()(00≤0; 当∆x <0时,

x

x f x x f ∆-∆+)

()(00≥0;

从而:

f ′(x 0)= f ′+(x 0)=+

→∆0

lim

x x

x f x x f ∆-∆+)

()(00≤0;

f ′(x 0)= f ′-(x 0)=+

-→∆0

lim

x x

x f x x f ∆-∆+)

()(00≥0;

于是 f ′(x 0)= 0

定义:称满足f ′(x )=0的点为驻点(或稳定点,或临界点). 2. 罗尔定理:如果函数y =f (x )满足：

1) f (x )∈C [a ,b ] 2) f (x )∈D(a ,b ) 3) f (a )=f (b )

那么在(a ,b )内至少存在一点ξ (a <ξ

证明:因为f (x )∈C [a ,b ],所以f (x )在[a ,b ]内存在最大值M 和最小值m . 以下分两种情形讨论: 1) M =m .此时f (x )在[a ,b ]上必然取得相同的值f (x )=M .

此时有f ′(x )=0,即 对∀ξ∈(a ,b ),有f ′(ξ)=0. 2) M >m .由于f (a )=f (b ),所以M 和m 中至少有一个不等于f (x )在[a ,b ]上的

函数值.不妨设:M ≠f (a ).则在(a ,b )内必有ξ使得f (ξ)=M . 即∀x ∈[a ,b],有f (x )≤f (ξ). 有费马定理得: f ′(ξ)=0.

例1. 验证罗尔定理对函数y =lnsin x 在区间[π/6,5π/6]上的正确性.

证明:显然函数在区间[π/6,5π/6]上连续,在(π/6,5π/6)上可导,且有:

y (π/6)=y (5π/6)=ln1/2.

令y ′=cot x =0,则有:x =π/2,因此存在ξ=π/2∈(π/6,5π/6),使得y ′(ξ)=0.

例2. 不求函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数,说明方程f ′(x )=0的根的个数,

并指出根所在的区间.

解：由于f (1)=f (2)=0,且f (x )在[1,2]上连续,可导,且当x ∈(1,2)时f (x )≠0

从而存在点ξ1∈[1,2]使得f ′(ξ1)=0;

同理存在ξ2∈[2,3],ξ3∈[3,4]使得f ′(ξ2)= f ′(ξ3)=0.

例3. 证明无论C 为何实数值,方程x 3-3x +C =0在[0,1]上至多有一个实数根.

证明:(反证法)假设方程x 3-3x +C =0在[0,1]上有两个实数根ξ1,ξ2,且ξ1<ξ2.则f (x )= x 3-3x +C 在[0,1]上连续,可导且f (ξ1)=f (ξ2)=0,于是 f (x )在[ξ1,ξ2]上满足罗尔定理的条件, 从而存在ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(0,1)使得f ′(ξ)=0.

但f ′(x )=3(x -1)(x +1)=0只有两个根-1和1,且此两个根显然不在(ξ1,ξ2)⊂(0,1)内,矛盾.所以原命题正确. 二、 拉格朗日中值定理 拉格朗日定理: 如果函数y =f (x )

1) f (x )∈C [a ,b ] 2) f (x )∈D(a ,b )

那么在(a ,b )内至少存在一点ξ (a <ξ

f (b )-f (a )=f ′(ξ)(b -a )

此公式称为拉格朗日中值公式.

此公式称为拉格朗日中值公式. 定理的几何解释:

a

b a f b f --)()(为弦AB 的斜率.

f ′(ξ)为曲线点C 处的斜率.

几何意义:如果曲线y =f (x )在弧AB 上除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线,那么在这弧上至少存在一点C ,使曲线在C 点处的切线平行于弦AB . 辅助函数的建立:

有向线段NM 的值是x 的函数,记为φ(x ),则显然有φ(a )=φ(b )=0. 由于直线AB 的方程为:L (x )=f (a )+

a

b a f b f --)()((x -a )

又点N 、M 的纵坐标分别为L (x )、f (x ),因此有向线段NM 的值的函数为:φ(x )=f (x )-L (x )=f (x )-f (a )-a

b a f b f --)()((x -a )

此函数满足罗尔定理的全部条件.

证明:作辅助函数: φ(x )=f (x )-L (x )=f (x )-f (a )-

a

b a f b f --)()((x -a )

则该函数在[a ,b ]内满足罗尔定理的条件,从而在(a ,b )内存在一点ξ,使得φ′(ξ)=0. 又

φ′(x )=f ′(x ) -a

b a f b f --)()(

所以:f ′(ξ)=a

b a f b f --)()(.

注:拉格朗日公式对a >b 也成立. 拉格朗日公式的其它形式:

当x ,x +Δx ∈[a ,b ]时,则在区间[x ,x +Δx ](x >0)或区间[x +Δx ,x ](Δx <0)上有:

f (x +Δx )-f (x )=f ′(x +θΔx )·Δx (0<θ<1).

或 Δy = f ′(x +θΔx )·Δx (0<θ<1).

此公式表明当Δx 有限时，Δy 有精确值，定理也称为有限增量定理.

定理: 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零,那么f (x )在区间I 上时一个常

数.

证明:在区间I 上任取x 1,x 2 (x 1

f (x 2)-f (x 1)=f ′(ξ)( x 2-x 1) (x 1<ξ

由假定:f ′(ξ)=0,所以: f (x 2)-f (x 1)=0.即: f (x 2)=f (x 1).

例4. 证明等式:arcsin x +arccos x =π/2.

证明:设f (x )= arcsin x +arccos x ,则f ′(x )=0,从而f (x )=C =f (0)=π/2.

例5. 验证拉格朗日定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0,1]上的正确性.

证明:函数在[0,1]上显然连续可导.

令y ′=12x 2-10x +1=0,得:x =12

13

5-∈(0,1).

例6. 证明:当x >0时,

x

x +1

证明:设f (x )=ln(1+x ),则f (x )在[0,x ]上满足拉格朗日中值定理的条件,于是有: f (x )-f (0)=f ′(ξ)(x -0), (0<ξ

f (0)=0,f ′(x )=

x

+11, 所以上式为:

ln(1+x )=

ξ

+1x

又 0<ξ

x +1<

ξ

+1x

x

x +1

例7.

设a >b >0,证明:

a

b a -< b

a ln

b a -.

证明:设f (x )=ln x ,则f (x )在[b ,a ]上满足拉格朗日定理的条件,从而 ∃ξ∈(b ,a ) 使得:

b

a b a --ln ln =

ξ

1

,由于

a

1<

ξ

1

<

b

1,所以结论成立.

三、 柯西中值定理：