集中趋势的统计描述
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[例1-6]调查某地107名正常人尿铅含量 (mg/L)结果列于下表，计算中位数： 本例，第3组的累计频数为65，超过n/2＝ 53.5，即第3组为本组。
i n 4 107 M L fL 29 36 10.41(m g/ L) f2 65 2
离散趋势的统计描述
计量数据的频数分布有两个重要特征：集 中趋势和离散趋势。必须指出，要把两者结合 起来才能全面地反映数据频数分布的基本特征。 [例1-8]两组计量数据如下，分析其分布特征。 甲组 98，99，100，101，102 X1 100 乙组 80，90，100，110，120
X2 100
式中，Σ是求和的符号 。
例题
例 14-1 10名12岁男孩身高(cm)分别为 125.5，126.0，127.0，128.5，147.0， 131.0，132.0，141.5.0，122.5，140.0。 求平均数。
X X n 125.5 126 ... 122.5 140 132.1 10
166.06
体重 结果表明该地20岁男子体重的变异大于身 高的变异。
4.96 CV 100% 9.23% 53.72
正态分布
正态分布的图形
图
频数分布逐渐接近正态分布状态
正态分布的特点
正态分布是一种很重要的连续型分 布。正态分布以均数为中心，左右两侧 对称，靠近均数两侧的频数较多，而距 均数两侧较远处，频数逐渐减少，形成 钟形分布。正态曲线下的面积分布有一 定的规律。
集中趋势
集中趋势： 表示数据的中心位置 。 集中趋势的指标 ： 平均数是一组统计指标，常用的有算 术均数、几何均数及中位数等。
平均数
平均数 是表示一组同质计量资料的集中趋 势或平均水平的统计指标，是计量资料 中非常重要的一个指标体系。医学研究 中常用的平均数有算术均数、几何均数 及中位数三种。这个平均数是广义的， 而日常人们所说的平均数是狭义的算术 均数。
一般采用对数形式计算:
lg X lg X 1 lg X 2 ... lg X n 1 G lg lg n n
1
式中lg为取常用对数的符号，lg-1为反对数。
例题
6 份血清抗体滴度为： 1:2 ， 1:4 ， 1:8 ， 1:8，1:16，1:32，求平均数。
Байду номын сангаас
X us
如制定95％参考值范围，双侧界值 u=1.96，单侧界值u=1.645。 双侧界值：x1.96s 单侧上界：x+1.645s 单侧下界：x-1.645s
例题
[ 例 1-12] 某地调查正常成年男子 144 人的红细胞 数近似正态分布，得均数＝5.38（1012/L）,标 准差 s=0.44 （ 1012/L ），试估计该地成年男子 红细胞数的95%参考值范围。 因红细胞数过多或过少均为异常，故按双 侧估计95%界值。 下限为：x - 1.96s=5.38-1.96 ×0.44 =4.52 (1012/L) 上限为：x + 1.96s=5.38+1.96×0.44 =6.24(1012/L) 故该地成年男子红细胞数的95%参考值范围 （4.52—6.24）1012/L
正态分布曲线下的面积
图1-2 正态分布曲线及其面积分布
正态分布的主要特征
1. 以均值μ为中心，左右对称。 2. X取值范围理论上没有边界。X离μ越远，函数 f(x)值越接近0，但不会等于0。 3. 正态分布曲线下的面积分布有一定的规律。 4. 正态分布完全由参数μ和决定。 μ是位置参数 （即平均水平），决定分布曲线在横轴的偏移 位置。当 一定后， μ 增大，曲线右移； 反之 μ减小，曲线左移。是变异参数，决定分布曲 线的形态。 越大，曲线的形态越“矮胖”， 表示数据分布越分散； 越小，曲线的形态越 “瘦高”，表示数据分布越集中。
（四）百分位数(percentile)
百分位数是一种位置指标，用PX表示。 百分位数是一个有序数列百等分的 分割值。第50百分位数(P50)也就是中位 数，中位数是一个特定的百分位数。 计算百分位数的计算公式为：
PX i L n x% fX
f
L
计算百分位数一般需计算累计频率 (%)，为各组段累计频数除以总例数n。
加权法
1.列出频数表 2.计算组中值 组中值X，计算方法是将本组下限和 下组下限相加除以2。 3.用加权法计算均数： fX f X f X ... f X X f f ... f f
1 1 2 2 m m 1 2 m
式中f为各组的频数，x为各组的组中值。
(二)几何均数(geometric mean)
（一）算术均数 （ mean）
算术均数 简称均数。用于说明一组观测值的 趋中位置或平均水平。 均数用于对称分布、正态或近似正 态分布的资料。x表示变量X的样本均数， (希腊字母)表示总体均数。 常用的计算方法是直接法和加权法。
直接法
当样本含量较小时，可选用此法。 有n个观察值，分别为X1，X2，……Xn， 均数的计算公式为：
n1
S
上式n-1称为自由度。
n1
n
例题
[例1-9]对例1-8的数据计算标准差 甲组：n=5， ΣX＝98+99+100+101+102=500 ΣX2＝982+992+1002+1012+1022＝50010
S甲
2 500 50010
51
5
1.58
S乙
2 500 51000
1
例题
[例1-4]某地102名健康人的钩端螺旋体血 清抗体滴度如表1-2，计算平均滴度。 f lg X 272.026 lg G lg 464 f 102
1 1
102 名健康人的钩端螺旋体血清滴度的几 何平均滴度为1:464
描述离散趋势的常用指标有全距、四分位 间距、方差和标准差等。
一、全距(range)
亦称极差，用R表示，是一组观察值 中最大值与最小值之差，反映个体差异 的范围。全距大，说明变异度大；反之， 说明变异度小。 如例1-8中甲组全距为 4，乙组全距为 40，表明乙组变异度大。 但全距易受个别数据的影响，稳定 性较差，抽样误差较大，而且还受n大小 的影响，一般n越大，全距越大。
标准正态分布
（standard normal distribution) 标准正态分布：是均数为0、标准差为1的 正态分布，即=0、=1 亦称u分布。 u变换 ：将均数为μ ，标准差为的正态分 布变换成标准正态分布。 u=(X-)/
正态分布的应用
医学参考值范围的估计
1．正态分布法估计参考值范围公式为：
六、变异系数
（coefficient of variation)
当单位不同时，均数相差较大时，用标准 差就不适宜了，此时用变异系数更好。 变异系数是一种相对的离散程度指标，它 无单位，用CV表示，其计算公式为：
CV S 100% X
例题
[ 例 1-11 ] 某地 20 岁男子 100 人，其身高均数为 166.06cm，标准差为 4.95cm ，其体重均数为 53.72kg ，标准差为 4.96kg 。请比较何者变异 度较大。 由于两者度量单位不同，不能直接比较标准差， 而应比较变异系数。 身高 CV 4.95 100% 2.98%
表14-1 102名健康人的钩端螺旋体 血清抗体平均滴度的计算
抗体滴度 人数 f (2) 7 19 34 29 13 102 滴度倒 数X lgX flgX
(1) 1:100 1:200 1:400 1:800 1:1600 合计
(3) 100 200 400 800 1600
(4) 2.000 2.301 2.602 2.903 3.204
lg 2 lg 4 lg 8 lg 8 lg16 lg 32 1 G lg1 lg 0.9031 8 6
几何平均滴度为1:8
加权法
加权法： 当样本含量较大时，可将资料整理 成频数表，用下式计算：
f lg X G lg f
二、四分位间距
(inter-quartile range)
四分位间距是两个特定的百分位数之 差，即第75百分数P75(上四分位数QU)和 第25百分位数P25(下四分位数QL)之差， 用Q表示，适用于任何分布的计量资料， 尤其适用于偏态分布的资料.
Q＝ QU － QL
四分位间距比全距稳定，但仍然未 考虑到每个观察值的变异。
三、平均偏差与离均差平方和
平均偏差（mean difference) ：每个观测值与 均数之差的绝对值相加，然后取平均。 离均差平方和：为了避免使用绝对值，采 用取平方的方法。 2 ( X ) 离均差平方和=
四、方差(variance)
为了消除观察值的总个数N的影响， 2 ( X ) 将 除以N，这就是总体方差，用 σ2表示。
(5)=(2)(4) 14.000 43.719 88.468 84.187 41.652 272.206
(三)中位数(median)
将一组观察值从小到大按顺序排列，位 次居中的观察值就称中位数。 中位数适用于任何一种分布的计量 数据，一般多用于描述偏态分布或数据 一端无界资料的集中趋势。中位数用M 表示。
直接法
样本含量较小时，可根据下式计算： M X n1 n为奇数时 2 n为偶数时
M X n X n 2 1 2 2
n 1 2
上式中n为一组观察值的总个数， 、 n n 及 1 均为下标，表示有序数列中观察 2 2 值的位次。
频数表法
样本含量较大时用此法
i n M L fL f2
L为本组(中位数所在组)下限， i为本组组距， f为本组频数， ΣfL为上一组的累计频数。 本组位置可根据累计频数的数值来判断。当某一 组的累计频数首先超过n/2时或累计频率首先 超过50%时，即定为本组。
例题
正态曲线下面积的分布规律
曲线下横轴上的总面积为100%或1。 下面是应用较多的三个区间的面积分布规 律。 （1）正态分布区间(-，+)下的面积，即 范围的面积占总面积为68.27%； （2）正态分布区间(-1.96，+1.96)，即 1.96范围的面积占总面积为95.00%； （3）正态分布区间(-2.58，+2.58)，即 2.58范围的面积为99.00%。(如图1-2)
预 防 医 学
Preventive Medicine
预防医学教研室 2004.06
第十四章
数值变量的统 计描述 蔡泳
频数表的编制方法
1．找全距：Range = Max － Min 2. 划分组段 （1）确定组数：8—15组，一般取10组 （2）确定组距：组距（i）= 全距 / 组段数 （ 3 ）确定各组段的上下限：各组的起点为下限， 终点为上限。 要求：（1）第一组含最小值 （2）最后组含最大值 3．归纳计数：划计法 4. 计算频率与累计频率
51
5
15.81
标准差应用
表示观察值的变异程度
在两组(或几组)均数相近、单位相同的条 件下，标准差大，表示变量值的变异度大，均 数的代表性较差；反之，标准差小，表示变量 组变异度小，数据多集中在均数周围，则均数 的代表性较好。 计算变异系数 结合均数描述频数分布的特征和制定医学参考 值范围。 计算标准误
2
(X ) N
2
对于样本资料，在对离均差平方和 取平均时分母用n-1代替n。
五、标准差(standard deviation)
方差的单位是原度量单位(如kg)的平方， 把总体方差开平方，这就是总体标准差，度量 单位与原始观察值一致，即 2
(X )
N
S
对于样本资料，样本标准差的计算公式为： 2 2 X 2 (X X) 可改写为： X
几何均数 适用于对数正态分布的资料，例如 抗体的平均滴度和平均效价。几何均数 用G表示。 例：5人的抗体滴度为： 1：10，1：100，1：1000，1：10000，1： 100000
直接法
直接法： 样本含量较小时，选用此法。有n个观察 值X1，X2，…Xn，几何均数的计算公式为：
G n X1 X 2 X n
i n 4 107 M L fL 29 36 10.41(m g/ L) f2 65 2
离散趋势的统计描述
计量数据的频数分布有两个重要特征：集 中趋势和离散趋势。必须指出，要把两者结合 起来才能全面地反映数据频数分布的基本特征。 [例1-8]两组计量数据如下，分析其分布特征。 甲组 98，99，100，101，102 X1 100 乙组 80，90，100，110，120
X2 100
式中，Σ是求和的符号 。
例题
例 14-1 10名12岁男孩身高(cm)分别为 125.5，126.0，127.0，128.5，147.0， 131.0，132.0，141.5.0，122.5，140.0。 求平均数。
X X n 125.5 126 ... 122.5 140 132.1 10
166.06
体重 结果表明该地20岁男子体重的变异大于身 高的变异。
4.96 CV 100% 9.23% 53.72
正态分布
正态分布的图形
图
频数分布逐渐接近正态分布状态
正态分布的特点
正态分布是一种很重要的连续型分 布。正态分布以均数为中心，左右两侧 对称，靠近均数两侧的频数较多，而距 均数两侧较远处，频数逐渐减少，形成 钟形分布。正态曲线下的面积分布有一 定的规律。
集中趋势
集中趋势： 表示数据的中心位置 。 集中趋势的指标 ： 平均数是一组统计指标，常用的有算 术均数、几何均数及中位数等。
平均数
平均数 是表示一组同质计量资料的集中趋 势或平均水平的统计指标，是计量资料 中非常重要的一个指标体系。医学研究 中常用的平均数有算术均数、几何均数 及中位数三种。这个平均数是广义的， 而日常人们所说的平均数是狭义的算术 均数。
一般采用对数形式计算:
lg X lg X 1 lg X 2 ... lg X n 1 G lg lg n n
1
式中lg为取常用对数的符号，lg-1为反对数。
例题
6 份血清抗体滴度为： 1:2 ， 1:4 ， 1:8 ， 1:8，1:16，1:32，求平均数。
Байду номын сангаас
X us
如制定95％参考值范围，双侧界值 u=1.96，单侧界值u=1.645。 双侧界值：x1.96s 单侧上界：x+1.645s 单侧下界：x-1.645s
例题
[ 例 1-12] 某地调查正常成年男子 144 人的红细胞 数近似正态分布，得均数＝5.38（1012/L）,标 准差 s=0.44 （ 1012/L ），试估计该地成年男子 红细胞数的95%参考值范围。 因红细胞数过多或过少均为异常，故按双 侧估计95%界值。 下限为：x - 1.96s=5.38-1.96 ×0.44 =4.52 (1012/L) 上限为：x + 1.96s=5.38+1.96×0.44 =6.24(1012/L) 故该地成年男子红细胞数的95%参考值范围 （4.52—6.24）1012/L
正态分布曲线下的面积
图1-2 正态分布曲线及其面积分布
正态分布的主要特征
1. 以均值μ为中心，左右对称。 2. X取值范围理论上没有边界。X离μ越远，函数 f(x)值越接近0，但不会等于0。 3. 正态分布曲线下的面积分布有一定的规律。 4. 正态分布完全由参数μ和决定。 μ是位置参数 （即平均水平），决定分布曲线在横轴的偏移 位置。当 一定后， μ 增大，曲线右移； 反之 μ减小，曲线左移。是变异参数，决定分布曲 线的形态。 越大，曲线的形态越“矮胖”， 表示数据分布越分散； 越小，曲线的形态越 “瘦高”，表示数据分布越集中。
（四）百分位数(percentile)
百分位数是一种位置指标，用PX表示。 百分位数是一个有序数列百等分的 分割值。第50百分位数(P50)也就是中位 数，中位数是一个特定的百分位数。 计算百分位数的计算公式为：
PX i L n x% fX
f
L
计算百分位数一般需计算累计频率 (%)，为各组段累计频数除以总例数n。
加权法
1.列出频数表 2.计算组中值 组中值X，计算方法是将本组下限和 下组下限相加除以2。 3.用加权法计算均数： fX f X f X ... f X X f f ... f f
1 1 2 2 m m 1 2 m
式中f为各组的频数，x为各组的组中值。
(二)几何均数(geometric mean)
（一）算术均数 （ mean）
算术均数 简称均数。用于说明一组观测值的 趋中位置或平均水平。 均数用于对称分布、正态或近似正 态分布的资料。x表示变量X的样本均数， (希腊字母)表示总体均数。 常用的计算方法是直接法和加权法。
直接法
当样本含量较小时，可选用此法。 有n个观察值，分别为X1，X2，……Xn， 均数的计算公式为：
n1
S
上式n-1称为自由度。
n1
n
例题
[例1-9]对例1-8的数据计算标准差 甲组：n=5， ΣX＝98+99+100+101+102=500 ΣX2＝982+992+1002+1012+1022＝50010
S甲
2 500 50010
51
5
1.58
S乙
2 500 51000
1
例题
[例1-4]某地102名健康人的钩端螺旋体血 清抗体滴度如表1-2，计算平均滴度。 f lg X 272.026 lg G lg 464 f 102
1 1
102 名健康人的钩端螺旋体血清滴度的几 何平均滴度为1:464
描述离散趋势的常用指标有全距、四分位 间距、方差和标准差等。
一、全距(range)
亦称极差，用R表示，是一组观察值 中最大值与最小值之差，反映个体差异 的范围。全距大，说明变异度大；反之， 说明变异度小。 如例1-8中甲组全距为 4，乙组全距为 40，表明乙组变异度大。 但全距易受个别数据的影响，稳定 性较差，抽样误差较大，而且还受n大小 的影响，一般n越大，全距越大。
标准正态分布
（standard normal distribution) 标准正态分布：是均数为0、标准差为1的 正态分布，即=0、=1 亦称u分布。 u变换 ：将均数为μ ，标准差为的正态分 布变换成标准正态分布。 u=(X-)/
正态分布的应用
医学参考值范围的估计
1．正态分布法估计参考值范围公式为：
六、变异系数
（coefficient of variation)
当单位不同时，均数相差较大时，用标准 差就不适宜了，此时用变异系数更好。 变异系数是一种相对的离散程度指标，它 无单位，用CV表示，其计算公式为：
CV S 100% X
例题
[ 例 1-11 ] 某地 20 岁男子 100 人，其身高均数为 166.06cm，标准差为 4.95cm ，其体重均数为 53.72kg ，标准差为 4.96kg 。请比较何者变异 度较大。 由于两者度量单位不同，不能直接比较标准差， 而应比较变异系数。 身高 CV 4.95 100% 2.98%
表14-1 102名健康人的钩端螺旋体 血清抗体平均滴度的计算
抗体滴度 人数 f (2) 7 19 34 29 13 102 滴度倒 数X lgX flgX
(1) 1:100 1:200 1:400 1:800 1:1600 合计
(3) 100 200 400 800 1600
(4) 2.000 2.301 2.602 2.903 3.204
lg 2 lg 4 lg 8 lg 8 lg16 lg 32 1 G lg1 lg 0.9031 8 6
几何平均滴度为1:8
加权法
加权法： 当样本含量较大时，可将资料整理 成频数表，用下式计算：
f lg X G lg f
二、四分位间距
(inter-quartile range)
四分位间距是两个特定的百分位数之 差，即第75百分数P75(上四分位数QU)和 第25百分位数P25(下四分位数QL)之差， 用Q表示，适用于任何分布的计量资料， 尤其适用于偏态分布的资料.
Q＝ QU － QL
四分位间距比全距稳定，但仍然未 考虑到每个观察值的变异。
三、平均偏差与离均差平方和
平均偏差（mean difference) ：每个观测值与 均数之差的绝对值相加，然后取平均。 离均差平方和：为了避免使用绝对值，采 用取平方的方法。 2 ( X ) 离均差平方和=
四、方差(variance)
为了消除观察值的总个数N的影响， 2 ( X ) 将 除以N，这就是总体方差，用 σ2表示。
(5)=(2)(4) 14.000 43.719 88.468 84.187 41.652 272.206
(三)中位数(median)
将一组观察值从小到大按顺序排列，位 次居中的观察值就称中位数。 中位数适用于任何一种分布的计量 数据，一般多用于描述偏态分布或数据 一端无界资料的集中趋势。中位数用M 表示。
直接法
样本含量较小时，可根据下式计算： M X n1 n为奇数时 2 n为偶数时
M X n X n 2 1 2 2
n 1 2
上式中n为一组观察值的总个数， 、 n n 及 1 均为下标，表示有序数列中观察 2 2 值的位次。
频数表法
样本含量较大时用此法
i n M L fL f2
L为本组(中位数所在组)下限， i为本组组距， f为本组频数， ΣfL为上一组的累计频数。 本组位置可根据累计频数的数值来判断。当某一 组的累计频数首先超过n/2时或累计频率首先 超过50%时，即定为本组。
例题
正态曲线下面积的分布规律
曲线下横轴上的总面积为100%或1。 下面是应用较多的三个区间的面积分布规 律。 （1）正态分布区间(-，+)下的面积，即 范围的面积占总面积为68.27%； （2）正态分布区间(-1.96，+1.96)，即 1.96范围的面积占总面积为95.00%； （3）正态分布区间(-2.58，+2.58)，即 2.58范围的面积为99.00%。(如图1-2)
预 防 医 学
Preventive Medicine
预防医学教研室 2004.06
第十四章
数值变量的统 计描述 蔡泳
频数表的编制方法
1．找全距：Range = Max － Min 2. 划分组段 （1）确定组数：8—15组，一般取10组 （2）确定组距：组距（i）= 全距 / 组段数 （ 3 ）确定各组段的上下限：各组的起点为下限， 终点为上限。 要求：（1）第一组含最小值 （2）最后组含最大值 3．归纳计数：划计法 4. 计算频率与累计频率
51
5
15.81
标准差应用
表示观察值的变异程度
在两组(或几组)均数相近、单位相同的条 件下，标准差大，表示变量值的变异度大，均 数的代表性较差；反之，标准差小，表示变量 组变异度小，数据多集中在均数周围，则均数 的代表性较好。 计算变异系数 结合均数描述频数分布的特征和制定医学参考 值范围。 计算标准误
2
(X ) N
2
对于样本资料，在对离均差平方和 取平均时分母用n-1代替n。
五、标准差(standard deviation)
方差的单位是原度量单位(如kg)的平方， 把总体方差开平方，这就是总体标准差，度量 单位与原始观察值一致，即 2
(X )
N
S
对于样本资料，样本标准差的计算公式为： 2 2 X 2 (X X) 可改写为： X
几何均数 适用于对数正态分布的资料，例如 抗体的平均滴度和平均效价。几何均数 用G表示。 例：5人的抗体滴度为： 1：10，1：100，1：1000，1：10000，1： 100000
直接法
直接法： 样本含量较小时，选用此法。有n个观察 值X1，X2，…Xn，几何均数的计算公式为：
G n X1 X 2 X n