第五章 统计分布特征的描述：集中趋势和离散趋势
第五章离散趋势的测量
• QU＝（1500＋1630）÷2＝1565（元） QU＝（1500＋1630） 1565（元） • QL和QU之间包含了50%的数据，因此，我 QL和QU之间包含了50%的数据，因此，我
们可以说有一半的家庭人均月收入在815～ 们可以说有一半的家庭人均月收入在815～ 1565元之间。 1565元之间。 • 根据例3.2资料计算上下四分位数，那么家 根据例3.2资料计算上下四分位数，那么家 庭人均月收入的四分位差为： • QU—QL=? QU—
• 三、变异指标的作用 • 变异指标是描述数据分布的一个很重要的
特征值，因此，它在统计分析、统计推断 特征值，因此，它在统计分析、 中具有很重要的作用。 中具有很重要的作用。具体可以概括为以 下几点： 下几点：
• 1.反映总体各单位变量值分布的均衡性 1.反映总体各单位变量值分布的均衡性 • 一般来说，标志变异指标数值越大，总体 一般来说，标志变异指标数值越大，
• 2. 加权平均法 • 在资料分组的情况下，应采用加权平均式： 在资料分组的情况下，应采用加权平均式：
• 平均差计算简便，意义明确，而且平均差 平均差计算简便，意义明确，
是根据所有变量值计算的，每个数据均参 是根据所有变量值计算的， 与了计算，因此它能够准确地、 与了计算，因此它能够准确地、全面地反 映一组数值的变异程度。但是， 映一组数值的变异程度。但是，由于平均 差是用绝对值进行运算的， 差是用绝对值进行运算的，它不适宜于代 数形式处理， 数形式处理，所以在实际应用上受到很大 的限制。 的限制。
• [例3.13] 某厂甲、乙两组工人生产某种产
品的产量资料如表3.8所示。 品的产量资料如表3.8所示。
• 从计算结果看，甲、乙两组平均生产件数 从计算结果看，
定量资料统计描述——集中趋势与离散程度
度量单位不同资料之间离散度的比较； 均数相差悬殊的资料之间离散度的比较。
【例4-11】
某研究收集了100例7岁男孩的身高和体重的资料，身高均数为 123.10cm，标准差为4.71cm；体重均数为22.92kg，标准差为 2.26kg，比较这100例7岁男孩的身高和体重的变异度。
身高 CV
4.71 100 % 3.83 %
M X n1
当n为奇数时，
() 2
， 位置居中的观察值
当n为偶数时，
M
(X n ()
X n )/ ( 1)
2 ，计算出位次居中的两个观察值的均数
2
2
例:7名病人患某病的潜伏期分别为2,3,4,5,6,9,16天，求其中位数。
本例n=7,为奇数
M X 71 X 4 5(天 ) () 2
例:8名患者食物中毒的潜伏期分别为1,2,2,3,5,8,15,24小时，求其中位数。
本例n=8,为偶数
M
1
2
X 8
() 2
X 8
( 1) 2
1 2
X
4
X5
1 3 5 4(小时)
2
(二) 中位数的应用
中位数可用于各种分布的资料，在正态分布资料中，中位数等于 均数，在对数正态分布资料中，中位数等于几何均数。
中位数不受极端值的影响，因此，实际工作中主要用于不对称分 布类型的资料、两端无确切值(>100)或分布不明确的资料。
患者编号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 117 118 119 120 住院天数：1 2 2 2 3 3 4 4 5 ... 40 40 42 45
n=120，120*5%=6，为整数：
P5
数据分布特征的三个统计描述维度
数据分布特征的三个统计描述维度现如今生活处处有数据，而我们接触到的数据可以分为连续型数据或者离散型数据。
连续数据的取值范围是可以取连续值的区间，即连续值可以是区间内的任意值，一般都有度量单位。
离散数据的范围由有限数量的值或序列组成。
对数据集使用合适的描述性指标，可以帮助我们探索庞大无序的数据背后隐藏的事实。
描述数据集的三个维度是指对数据集中趋势的描述、对数据分散程度的描述和对数据分布形式的描述。
一、集中趋势描述1.算术平均数 Arithmetic Mean：所有数值的和除以数值的个数。
用于描述一组数据在数量上的平均水平。
计算公式：优缺点：算术平均数是能够充分运用已有信息的代表性数值，每个数值大小的改变都会引起其变化。
也因此容易受极值的影响，并且会掩盖数据的差异性。
示例：最近更新了2018年度深圳在岗职工的月平均工资，达到了9309元。
这就是一个算术平均值的实际应用。
还是要保持进步，争当排头兵而非吊车尾呀。
2.几何平均数 Geometric Mean：对各数值的连乘积开项数次方根。
一般用于当总成果为各个阶段（环节）的连乘积时，求各个阶段（环节）的一般成果。
计算公式：优缺点：几何平均数受极端值的影响比均值小。
但仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。
示例：连续作业的车间求产品的平均次品率。
一个产品的生产由三个环节组成。
每个环节都会产生一定的次品。
次品率依次为5%、2%、6%，求这个产品的平均次品率。
因为每个环节都是依次发生的，需要完成上一个环节的合格产品才能进入下一个环节，所以每个环节的不良率是一个产品关系。
依照上式结果可知，该产品整个生产环节的平均次品率为3.91%。
3.中位数 Median：将数值从小到大依次排列，最中间的数值为中位数。
若数值个数为奇数个时，为中间位置的数值；若数值个数为偶数个时，为中间两个数的算术平均数。
优缺点:不受极值影响，通过丢失一些信息来换取指数的稳定性。
但对极值缺乏敏感性，样本量较小时中位数不稳定。
集中趋势和离散趋势计量资料统计描述
有8份抗体血清的抗体效价分别为1： 5，1：10，1：20，1：40，1：80， 1：160，1：320，1：640， 求平均 抗体效价。
16
2.几何均数
意义：N个数值的乘积开N次方即为这N 个数
的几何均数。
表示：G = n x1x2...xn = ㏒-1∑ ㏒X
n
计算：
应用：原始数据分布不对称，经对数转换后 呈对称分布的资料。例如抗体滴度。
布 D.任何分布
3.正态分布曲线下，从均数u 到u +1.96的面积为； A.95% B.45% C. 97.5% D.47.5%
41
P22
1976年美国8岁男孩的平均身高为146厘米，标 准差为8厘米，问95%的人身高在什么范围内。 估计在该研究中有%多少的男孩平均身高在138 与154之间？又有多少在130到162之间？
即（156.41 cm , 171.27 cm )
例题：某市1982年100名7岁男童的身高
已知：x = 119.95cm, s = 4.72cm.
试问: (1) 估计该地7岁男童身高在110cm以下者 占该地7岁男童的百分比。
(2) 估计该地7岁男童身高在身高在130cm 以上者占该地7岁男童的百分比。
5
主要内容
频数表 集中趋势 离散趋势 正态分布 正常值范围估计
原始资料（变量与变量值，资料性质）
7
一. 频 数 表
频数：当汇总大量的原始数据时，把 数据按类型分组，其中每个组的数据个 数，称为该组的频数。
频数表（频数分布）：表示各组及它们 对应的组频数的表格称为频数表或频数 分布。
1998年100名18岁健康女大学生身高的频数分布
估计的方法： 1、正态分布法 2、百分位数法
第5章：数据分布的特征描述
*关于特殊分布情况下的众数：
案例：求兔子的平均速度 龟兔第一次赛跑中，兔子的平均速度是 V1 ，第二次在同样的跑道上，兔子的平均 速度是V2，求兔子两次赛跑的平均速度。
调和平均数的种类：
1）简单调和平均数
2）加权调和平均数
调和平均数的特点：
1 ）调和平均数易受极端值的影响，且受极小值得的 影响比受极大值的影响更大。
2）只要有一个变量为0，就不能计算调和平均数。 3 ）当组距数列有开口组时，其组中值即使按相邻组 组据计算了，其假定性也很大，这时，调和平均数的 代表性就很不可靠。 4 ）调和平均数调和范围较小，在实际中，往往由于 缺乏总体单位数的资料而不能直接计算算术平均数， 这时候需要用调和平均数法来求得平均数。
数据来源：世界银行集团网站
问题：
1）计算表中各国的平均人口数。 2）计算表中的人均GDP。
算术平均数的性质：
1）各变量值与算术平均数的离差之和等于0，即：
2）各变量值与其算术平均数的离差平方和为最小值， 即：
2.2 调和平均数
概念： 调和平均数是数值平均数的一种，他是总体 各单位数量标志值倒数的算术平均数的倒数。 由于它是根据标志值的倒数计算的，所有又 称倒数平均数，常用XH表示。
众数的特点：
1）对分布数列的代表性较强，不受极大值或极小值的 影响（马云和一般人的财富的均值）；
2）当分布数列没有任何一组的次数占多数，而是近似 于均匀分布时，则该次数分布数列没有众数； 3）如果与众数组相毗邻的上下两组的次数相等，则众 数组的组中值就是众数值，反之，偏上或偏下； 4）没有利用全部数据信息，缺乏敏感性。
案例2/3：卖草莓的老人A
校门口有 个卖草莓的 老人，草莓 价格1元1斤， 2元3斤， 3 元 4 斤， 4 元 5 斤，假如你 是一个喜欢 吃草莓的人， 你会选择哪 种购买方式？
正态分布的集中趋势和离散统计指标
正态分布的集中趋势和离散统计指标在统计学中，正态分布是一种非常重要且常见的概率分布，也被称为高斯分布。
它具有许多重要特性，其中包括集中趋势和离散统计指标。
在本文中，我们将探讨正态分布的集中趋势和离散统计指标，以及它们在实际应用中的意义和重要性。
1. 集中趋势指标正态分布的集中趋势指标是描述数据集中取值位置的统计量。
常见的集中趋势指标包括均值、中位数和众数。
其中，均值是所有数据值的平均数，是最常用的集中趋势指标之一。
在正态分布中，均值通常位于分布的中心位置，并且具有对称性。
除了均值，中位数和众数也是描述集中趋势的重要指标。
中位数是将数据集等分为两部分的数值，而众数则是数据集中出现最频繁的数值。
在实际应用中，集中趋势指标可以帮助我们理解数据分布的中心位置，判断数据的平均水平，并做出相应的决策。
在财务报表分析中，我们可以利用均值来评估企业的盈利水平，进而制定财务策略和规划预算。
在医学研究中，研究人员也常用中位数来描述疾病的发病率，以便做出治疗方案和预防措施。
2. 离散统计指标除了集中趋势指标外，正态分布还具有离散统计指标，用于描述数据的分散程度和波动性。
常用的离散统计指标包括标准差、方差和极差。
标准差是数据偏离均值的平均距离，是描述数据离散程度的重要统计量。
方差则是标准差的平方，用于衡量数据的波动性和离散程度。
另外，极差是描述数据取值范围的统计量，可以帮助我们了解数据的最大和最小取值之间的差异程度。
在实际应用中，离散统计指标可以帮助我们评估数据的波动性和风险程度，从而制定相应的风险管理和控制策略。
在金融投资中，我们可以利用标准差来衡量资产价格的波动性，进而评估投资风险并调整投资组合。
在生产制造中，研究人员也常用方差来评估生产过程的稳定性和一致性，以便提高生产效率和质量。
个人观点和理解对于正态分布的集中趋势和离散统计指标，我认为它们在数据分析和决策制定中起着至关重要的作用。
集中趋势指标可以帮助我们理解数据的中心位置，从而判断平均水平和典型取值。
集中和离散趋势指标
集中和离散趋势指标1.引言1.1 概述概述部分将介绍集中和离散趋势指标的基本概念和背景。
集中趋势指标和离散趋势指标是统计学中常用的分析工具，用于描述和度量数据集中和离散程度的重要指标。
在实际问题中，我们经常遇到需要描述和分析数据集中和离散程度的情况。
集中趋势指标主要关注数据的中心值，用于度量数据集中在何处，以及数据的均匀分布程度。
而离散趋势指标则用于度量数据的分散程度，即数据的离散程度有多大。
集中趋势指标和离散趋势指标在统计学、经济学、金融学等领域被广泛应用。
例如，在统计学中，我们常常使用平均值、中位数、众数等指标来描述数据的集中趋势；而方差、标准差、极差等指标则用于度量数据的离散趋势。
本文将分别介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义和解释，并列举一些常见的集中趋势指标和离散趋势指标的示例。
通过对这些指标的应用和分析，我们能够更加客观地了解数据的分布特征，为后续的数据分析和决策提供依据。
在下一章节的正文部分，我们将详细介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义、计算方法和使用场景。
希望通过本文的介绍，读者能够对集中和离散趋势指标有一个全面的认识，并能够在实际应用中灵活运用这些指标，提高数据分析的精确性和准确性。
接下来，我们将开始介绍集中趋势指标的相关内容，包括定义和解释等方面的内容。
敬请关注！1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将围绕集中和离散趋势指标展开讨论。
首先，在引言部分进行概述，介绍集中和离散趋势指标的基本概念和作用。
然后，通过分析文章目录可以看出，正文部分将重点介绍集中趋势指标和离散趋势指标，包括它们的定义和解释以及常见的指标类型。
最后，在结论部分对集中趋势指标和离散趋势指标的应用进行总结。
具体而言，在正文部分，我们会首先介绍集中趋势指标，包括其定义和解释。
随后，会详细介绍一些常见的集中趋势指标，例如均值、中位数和众数等。
这些指标能够反映数据集中在某个位置或数值上的趋势，有助于我们对数据的整体特征进行理解和分析。
集中趋势与离散趋势
允许用户自定义查询条件、筛选数据和调整图表 参数，以便更深入地探索数据的内在规律和关联 关系。
数据动画
将数据变化过程以动画形式展现出来，帮助用户 更直观地理解数据的变化趋势和动态特征。
06 总结与展望
CHAPTER
主要发现与结论
集中趋势描述
通过平均数、中位数和众数等指标，可以有 效地描述数据的集中趋势，反映数据分布的 中心位置。
众数
一组数据中出现次数最多的数。众数可能不唯一，也可能不存在。众数适用于分类数据和顺序数据，对于数值型 数据，如果数据分布的波动性较大，众数可能不能很好地代表数据的集中趋势。
03 离散趋势
CHAPTER
定义与概念
离散趋势
指一组数据中各数值之间的差异程度 或离散程度，是数据分布的另一个重 要特征。
直方图（Histogram）
将数据按照一定范围进行分组并用矩形条表示，通过矩形条的高度和宽度反映数据的分布 规律。
散点图（Scatter Plot）
用点的位置表示两个变量之间的关系，可通过观察点的分布情况和趋势线分析数据的集中 和离散趋势。
动态数据可视化在趋势分析中的应用
1 2 3
时间序列分析
通过动态展示数据随时间变化的情况，揭示数据 的长期趋势、季节波动和周期性规律。
• 关注数据质量和异常值处理：在实际数据分析中，异常值和数据质量问题是不 可忽视的。未来的研究可以关注如何有效地处理异常值和数据质量问题，以提 高集中趋势和离散趋势分析的准确性和可靠性。例如，可以采用稳健的统计方 法或者数据清洗技术对异常值进行处理，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
谢谢
THANKS
Tableau
功能强大的数据可视化工具，支持交互式数据分析和动态图表展示， 适用于大数据处理。
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(4)计量单位表示不同。 强度相对指标一般为复名数，有时为无名数；平 均指标则为单名数。
（二）、算术平均数的计算 1.简单算术平均数 计算公式:
X 1 X 2 X N X N
X
i 1
N
i
N
适用条件:未分组的原始资料
例1：
某企业一生产班组共5人，他们在2000年9月的月工 资分别为1700元，1900元，1500元，1850元，2200 元。则他们的月平均工资为 X X1 X 2 Xm
m
式中： H 为调和平均数; m为变量值 X X 的个数； i 为第 i 个变量值。
适用条件:已知各组的代表变量值和标志总量,且各 组的标志总量恰好相等.
计算举例1：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午为0.4元/斤、 晚上为0.25元/斤。现早、中、晚各买1斤，求平均价格。 例2：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午为0.4元/斤、晚上为 0.25元/斤。现早、中、晚各买1元，求平均价格。 在例1中，用简单算术平均数
某班英语成绩 人数f(人) 频率(%) 5 10 13 26 16 32 11 22 5 10 50 100
组中值 95 85 75 65 55 —
解(1)绝对权数
X
X
i 1 n
n
i
fi
i 1
7 5.4(分)
fi
(2)相对权数
X Xi
i 1 n
fi
f
i 1
n
75.4(分)
(四).算术平均数的数学性质:
⒈变量值与其算术平均数的离差之 和衡等于零，即：
( x x ) 0
⒉变量值与其算术平均数的离差平 方和为最小，即：
( x x ) min
2
三、调和平均数(Harmonic Mean)
㈠调和平均数:是总体各单位标志值倒数的 算术平均数的倒数，又叫倒数平均数. (二)简单调和平均数 计算公式:
(3)计算方法不同。 强度相对指标的分子与分母分别来自不同的总体， 一般没有直接的依存关系，且有的强度相对指标 分子分母可以对换，即强度相对指标可以计算正 指标或逆指标； 而平均指标的分子是总体总量指标，分母则是同 一总体内的总体单位总量，两者具有密切的关系， 且平均指标的分子分母不能互换。
五、众数 六、中位数
七、各种平均数之间的相互关系
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一、平均指标的概念和作用
㈠概念：平均指标是指将同质总体内各 单位的数量差异抽象化，反映总体一般 水平或集中趋势的统计指标 所谓集中趋势，指一组数据向某一中心 值靠拢的倾向，测度集中趋势，也就是 寻找数据的一般水平的代表值或中心值。
（三）平均指标的种类 数值平均数：根据统计数列中的各项数据计 算出的平均数。主要有：算术平均数、 调 和平均数、几何平均数。 位置平均数：将各单位标志值排序后，取得 某一位置的标志值作为反映一般水平的代表 值。有:众数、中位数。
二、算术平均数（Arithmetic Mean）
㈠基本公式
总体标志总量 算术平均数 总体单位总量 例如：
(2)相对权数
X Xi
i 1 n
fi
f
i 1
n
i
20 25% 21 25% 22 10% 23 40% 21.65
例2：组距式数列（等距数列） 某班学生身高情况表
按身高分组（米） 组中值 1.45 1.4－1.5 1.55 1.5－1.6 1.65 1.6－1.7 1.75 1.7－1.8 1.85 1.8－1.9 —— 合计
（3）加权算术平均数有两种变形： 当权数用相对数时
xf x f x f f
当f1=f2=f3=……=fn时，权数的作用消失，加 权平均数 = 简单平均数 （4）组距数列计算加权算术平均数时，假定 该组标志值是完全均匀分布的，以各组的组 中值为各组变量值，计算的平均数是近似值。
算术平均数的缺点：易受极端值的影响
张庄有个张千万， 九个邻居穷光蛋； 平均起来算一算， 个个都是张百万。
去掉一个最高分 去掉一个最低分 三号选手最后得 分…..
小案例：有一种无聊叫平均工资
国家统计局二十九日宣布，前三季度中国城镇单位在岗职工平均工资为19731元人民币，比上年同 期增加3056元，同比增长18.3%，其中，北京（39663元）、上海（39004元）、西藏（32436元） 位列前三位。 每次统计局一公布平均工资，接着便是质疑数据失真的一片争议，这几乎已经成为一种惯例，这次 自然也不会例外。平均工资的统计数据为何如此偏离公众切身感受？对此，统计专家非常清楚，赶 忙向公众解释说一是因为所公布的数据是“平均数”，二是因为统计口径上不包括私企员工和农民 工。 有网络民谣曰：张家有财一千万，九个邻居穷光蛋，平均起来算一算，个个都是张百万。这种在收 入差距上不做如何区分统计的简单平均，本身已经毫无科学性可言；加之在统计口径上又不包括基 本处在收入水平最底层的私企员工和农民工，“顶级富人参与平均、底层穷人不参与平均”的平均 工资，无论在任何经济困难时期大概也会呈现出可喜的大幅增长状态。 依据不同人群之间明显的收入差距，做更为细致的平均工资统计，其实纯粹只是一个数学问题，基 本没有什么技术含量；将私企员工、农民工的工资数据纳入统计呢，事实上工作都已经完成了，却 因为“考虑到数据的敏感性”，而粗暴剥夺了公众的知情权，没有向社会公布。 现在的情形就是这样的：谁都明白统计平均工资的巨大漏洞在哪里，谁都知道现在的平均工资统计 数据严重偏离公众感受，但这种失真的统计工作却照旧进行不误，并且乐此不疲地接连公布“成 果”。那么我们不禁要问：明知失真却照旧统计不误的平均工资，究竟是为了什么？是为了让数据 反映社会现实，还是只为了要一个好看的数据？或者，只是为了逗公众玩？拜托，纳税人都不富裕， 还享受不起这种昂贵的“娱乐”，更何况，这其实一点都不好玩。 原本十分严肃的平均工资统计，公众却必须以娱乐事件的眼光来看到，这既很无奈，也很无聊。我 们理解，统计工作应该是很辛苦的，但辛苦工作换来的如果只是一种“数字上涨、感觉没涨”的普 遍质疑，统计专家还得一遍又一遍向公众解释“为何感觉不到涨工资”，那这项统计工作的意义是 需要打问号的。尤其是，依据这样的统计数据来指导决策，是很容易误事的。 知道不足就应该马上改进，知道了统计漏洞就应该马上着手改革，这才是正途所在。否则，前期该 做的辛苦统计工作也许一样没少，却在最后数学计算的时候如此粗糙，“不精确”也好，“敏感” 也罢，在民众看来实际都意味着“统计失败”。而且，经过公众连续不断的质疑和批评仍然我行我 素不思改进，那么我们真的只能摇头感叹：有一种无聊叫统计平均工资。
分组 组中值
人数（人） 4 6 4 4 2 20
频数
比重（％） 20 30 20 20 10 100
频率
求学生的平均身高 解:(1)绝对权数
X
X
i 1 n i 1
n
i
fi
i
f
1.45 4 1.55 6 1.65 4 1.75 4 1.85 2 46442 1.62(米)
班级平均年龄：
X
X
i 1
N
i
N
21 21 23 20 20 21.65(岁) 20
班级平均身高：
X
X
i 1
N
i
N
1.52 1.43 1.58 1.58 1.73 1.6135 米) ( 20
㈢加权算术平均数 计算公式:
0.5 0.4 0.25 x 0.38元 n 3
x
在例2中，先求早、中、晚购买的斤数。
早 1/0.5=2(斤）中 1/0.4=2.5(斤）晚 1/0.25=4(斤）
x 111 3 0.35元 1 1 1 8.5 0.5 0.4 0.25
实际上，例2是用下列公式计算：
第五章 统计分布特征的描述： 平均指标和变异指标
安徽财经大学统计与应用数学学院
第五章 统计分布特征的描述
第一节 集中趋势的测度：平均指标 第二节 离散趋势的测度：变异指标
第一节 集中趋势的测定：平均指标
一、平均指标的概念和作用
二、算术平均数 三、调和平均数
四、几何平均数
X
i 1 m i 1 m i
X f X 2 f 2 X m f m X 1 1 f1 f 2 f m
fi
i
f
Xi
i 1
m
fi
f
i 1
m
i
式中：X为算术平均数; f i为第 i 组的次数； 为 m 组数； i为第 i 组的标志值或组中值。 X
n 1700 1900 1500 1850 2200 5 1830(元)
x x
例2： 某某班学生基本情况调查表
姓名 张三 李四 王五 贾六 刘七 杨小 孙非 王继 赵可 武思 兰第 拉达 向乐 项于 可人 梁草 保安 马宝 姜清 林可 性别 男 女 男 女 男 男 男 男 女 男 女 女 男 女 男 女 男 男 女 男 民族 汉 汉 回 汉 汉 回 回 满 汉 汉 汉 汉 回 汉 汉 回 汉 汉 满 满 年龄 21 21 23 23 22 21 20 23 23 21 23 23 22 21 23 23 20 20 20 20 身高 1.52 1.43 1.58 1.51 1.69 1.75 1.81 1.65 1.65 1.76 1.48 1.43 1.58 1.61 1.71 1.52 1.46 1.82 1.58 1.73 政治面貌 中共党员 中共党员 团员 团员 团员 中共党员 团员 团员 中共党员 团员 中共党员 团员 中共党员 团员 团员 团员 中共党员 团员 中共党员 团员