第五章 统计分布特征的描述：集中趋势和离散趋势
第五章离散趋势的测量
• QU＝（1500＋1630）÷2＝1565（元） QU＝（1500＋1630） 1565（元） • QL和QU之间包含了50%的数据，因此，我 QL和QU之间包含了50%的数据，因此，我
们可以说有一半的家庭人均月收入在815～ 们可以说有一半的家庭人均月收入在815～ 1565元之间。 1565元之间。 • 根据例3.2资料计算上下四分位数，那么家 根据例3.2资料计算上下四分位数，那么家 庭人均月收入的四分位差为： • QU—QL=? QU—
• 三、变异指标的作用 • 变异指标是描述数据分布的一个很重要的
特征值，因此，它在统计分析、统计推断 特征值，因此，它在统计分析、 中具有很重要的作用。 中具有很重要的作用。具体可以概括为以 下几点： 下几点：
• 1.反映总体各单位变量值分布的均衡性 1.反映总体各单位变量值分布的均衡性 • 一般来说，标志变异指标数值越大，总体 一般来说，标志变异指标数值越大，
• 2. 加权平均法 • 在资料分组的情况下，应采用加权平均式： 在资料分组的情况下，应采用加权平均式：
• 平均差计算简便，意义明确，而且平均差 平均差计算简便，意义明确，
是根据所有变量值计算的，每个数据均参 是根据所有变量值计算的， 与了计算，因此它能够准确地、 与了计算，因此它能够准确地、全面地反 映一组数值的变异程度。但是， 映一组数值的变异程度。但是，由于平均 差是用绝对值进行运算的， 差是用绝对值进行运算的，它不适宜于代 数形式处理， 数形式处理，所以在实际应用上受到很大 的限制。 的限制。
• [例3.13] 某厂甲、乙两组工人生产某种产
品的产量资料如表3.8所示。 品的产量资料如表3.8所示。
• 从计算结果看，甲、乙两组平均生产件数 从计算结果看，
定量资料统计描述——集中趋势与离散程度
度量单位不同资料之间离散度的比较； 均数相差悬殊的资料之间离散度的比较。
【例4-11】
某研究收集了100例7岁男孩的身高和体重的资料，身高均数为 123.10cm，标准差为4.71cm；体重均数为22.92kg，标准差为 2.26kg，比较这100例7岁男孩的身高和体重的变异度。
身高 CV
4.71 100 % 3.83 %
M X n1
当n为奇数时，
() 2
， 位置居中的观察值
当n为偶数时，
M
(X n ()
X n )/ ( 1)
2 ，计算出位次居中的两个观察值的均数
2
2
例:7名病人患某病的潜伏期分别为2,3,4,5,6,9,16天，求其中位数。
本例n=7,为奇数
M X 71 X 4 5(天 ) () 2
例:8名患者食物中毒的潜伏期分别为1,2,2,3,5,8,15,24小时，求其中位数。
本例n=8,为偶数
M
1
2
X 8
() 2
X 8
( 1) 2
1 2
X
4
X5
1 3 5 4(小时)
2
(二) 中位数的应用
中位数可用于各种分布的资料，在正态分布资料中，中位数等于 均数，在对数正态分布资料中，中位数等于几何均数。
中位数不受极端值的影响，因此，实际工作中主要用于不对称分 布类型的资料、两端无确切值(>100)或分布不明确的资料。
患者编号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 117 118 119 120 住院天数：1 2 2 2 3 3 4 4 5 ... 40 40 42 45
n=120，120*5%=6，为整数：
P5
数据分布特征的三个统计描述维度
数据分布特征的三个统计描述维度现如今生活处处有数据，而我们接触到的数据可以分为连续型数据或者离散型数据。
连续数据的取值范围是可以取连续值的区间，即连续值可以是区间内的任意值，一般都有度量单位。
离散数据的范围由有限数量的值或序列组成。
对数据集使用合适的描述性指标，可以帮助我们探索庞大无序的数据背后隐藏的事实。
描述数据集的三个维度是指对数据集中趋势的描述、对数据分散程度的描述和对数据分布形式的描述。
一、集中趋势描述1.算术平均数 Arithmetic Mean：所有数值的和除以数值的个数。
用于描述一组数据在数量上的平均水平。
计算公式：优缺点：算术平均数是能够充分运用已有信息的代表性数值，每个数值大小的改变都会引起其变化。
也因此容易受极值的影响，并且会掩盖数据的差异性。
示例：最近更新了2018年度深圳在岗职工的月平均工资，达到了9309元。
这就是一个算术平均值的实际应用。
还是要保持进步，争当排头兵而非吊车尾呀。
2.几何平均数 Geometric Mean：对各数值的连乘积开项数次方根。
一般用于当总成果为各个阶段（环节）的连乘积时，求各个阶段（环节）的一般成果。
计算公式：优缺点：几何平均数受极端值的影响比均值小。
但仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。
示例：连续作业的车间求产品的平均次品率。
一个产品的生产由三个环节组成。
每个环节都会产生一定的次品。
次品率依次为5%、2%、6%，求这个产品的平均次品率。
因为每个环节都是依次发生的，需要完成上一个环节的合格产品才能进入下一个环节，所以每个环节的不良率是一个产品关系。
依照上式结果可知，该产品整个生产环节的平均次品率为3.91%。
3.中位数 Median：将数值从小到大依次排列，最中间的数值为中位数。
若数值个数为奇数个时，为中间位置的数值；若数值个数为偶数个时，为中间两个数的算术平均数。
优缺点:不受极值影响，通过丢失一些信息来换取指数的稳定性。
但对极值缺乏敏感性，样本量较小时中位数不稳定。
集中趋势和离散趋势计量资料统计描述
有8份抗体血清的抗体效价分别为1： 5，1：10，1：20，1：40，1：80， 1：160，1：320，1：640， 求平均 抗体效价。
16
2.几何均数
意义：N个数值的乘积开N次方即为这N 个数
的几何均数。
表示：G = n x1x2...xn = ㏒-1∑ ㏒X
n
计算：
应用：原始数据分布不对称，经对数转换后 呈对称分布的资料。例如抗体滴度。
布 D.任何分布
3.正态分布曲线下，从均数u 到u +1.96的面积为； A.95% B.45% C. 97.5% D.47.5%
41
P22
1976年美国8岁男孩的平均身高为146厘米，标 准差为8厘米，问95%的人身高在什么范围内。 估计在该研究中有%多少的男孩平均身高在138 与154之间？又有多少在130到162之间？
即（156.41 cm , 171.27 cm )
例题：某市1982年100名7岁男童的身高
已知：x = 119.95cm, s = 4.72cm.
试问: (1) 估计该地7岁男童身高在110cm以下者 占该地7岁男童的百分比。
(2) 估计该地7岁男童身高在身高在130cm 以上者占该地7岁男童的百分比。
5
主要内容
频数表 集中趋势 离散趋势 正态分布 正常值范围估计
原始资料（变量与变量值，资料性质）
7
一. 频 数 表
频数：当汇总大量的原始数据时，把 数据按类型分组，其中每个组的数据个 数，称为该组的频数。
频数表（频数分布）：表示各组及它们 对应的组频数的表格称为频数表或频数 分布。
1998年100名18岁健康女大学生身高的频数分布
估计的方法： 1、正态分布法 2、百分位数法
第5章：数据分布的特征描述
*关于特殊分布情况下的众数：
案例：求兔子的平均速度 龟兔第一次赛跑中，兔子的平均速度是 V1 ，第二次在同样的跑道上，兔子的平均 速度是V2，求兔子两次赛跑的平均速度。
调和平均数的种类：
1）简单调和平均数
2）加权调和平均数
调和平均数的特点：
1 ）调和平均数易受极端值的影响，且受极小值得的 影响比受极大值的影响更大。
2）只要有一个变量为0，就不能计算调和平均数。 3 ）当组距数列有开口组时，其组中值即使按相邻组 组据计算了，其假定性也很大，这时，调和平均数的 代表性就很不可靠。 4 ）调和平均数调和范围较小，在实际中，往往由于 缺乏总体单位数的资料而不能直接计算算术平均数， 这时候需要用调和平均数法来求得平均数。
数据来源：世界银行集团网站
问题：
1）计算表中各国的平均人口数。 2）计算表中的人均GDP。
算术平均数的性质：
1）各变量值与算术平均数的离差之和等于0，即：
2）各变量值与其算术平均数的离差平方和为最小值， 即：
2.2 调和平均数
概念： 调和平均数是数值平均数的一种，他是总体 各单位数量标志值倒数的算术平均数的倒数。 由于它是根据标志值的倒数计算的，所有又 称倒数平均数，常用XH表示。
众数的特点：
1）对分布数列的代表性较强，不受极大值或极小值的 影响（马云和一般人的财富的均值）；
2）当分布数列没有任何一组的次数占多数，而是近似 于均匀分布时，则该次数分布数列没有众数； 3）如果与众数组相毗邻的上下两组的次数相等，则众 数组的组中值就是众数值，反之，偏上或偏下； 4）没有利用全部数据信息，缺乏敏感性。
案例2/3：卖草莓的老人A
校门口有 个卖草莓的 老人，草莓 价格1元1斤， 2元3斤， 3 元 4 斤， 4 元 5 斤，假如你 是一个喜欢 吃草莓的人， 你会选择哪 种购买方式？
正态分布的集中趋势和离散统计指标
正态分布的集中趋势和离散统计指标在统计学中，正态分布是一种非常重要且常见的概率分布，也被称为高斯分布。
它具有许多重要特性，其中包括集中趋势和离散统计指标。
在本文中，我们将探讨正态分布的集中趋势和离散统计指标，以及它们在实际应用中的意义和重要性。
1. 集中趋势指标正态分布的集中趋势指标是描述数据集中取值位置的统计量。
常见的集中趋势指标包括均值、中位数和众数。
其中，均值是所有数据值的平均数，是最常用的集中趋势指标之一。
在正态分布中，均值通常位于分布的中心位置，并且具有对称性。
除了均值，中位数和众数也是描述集中趋势的重要指标。
中位数是将数据集等分为两部分的数值，而众数则是数据集中出现最频繁的数值。
在实际应用中，集中趋势指标可以帮助我们理解数据分布的中心位置，判断数据的平均水平，并做出相应的决策。
在财务报表分析中，我们可以利用均值来评估企业的盈利水平，进而制定财务策略和规划预算。
在医学研究中，研究人员也常用中位数来描述疾病的发病率，以便做出治疗方案和预防措施。
2. 离散统计指标除了集中趋势指标外，正态分布还具有离散统计指标，用于描述数据的分散程度和波动性。
常用的离散统计指标包括标准差、方差和极差。
标准差是数据偏离均值的平均距离，是描述数据离散程度的重要统计量。
方差则是标准差的平方，用于衡量数据的波动性和离散程度。
另外，极差是描述数据取值范围的统计量，可以帮助我们了解数据的最大和最小取值之间的差异程度。
在实际应用中，离散统计指标可以帮助我们评估数据的波动性和风险程度，从而制定相应的风险管理和控制策略。
在金融投资中，我们可以利用标准差来衡量资产价格的波动性，进而评估投资风险并调整投资组合。
在生产制造中，研究人员也常用方差来评估生产过程的稳定性和一致性，以便提高生产效率和质量。
个人观点和理解对于正态分布的集中趋势和离散统计指标，我认为它们在数据分析和决策制定中起着至关重要的作用。
集中趋势指标可以帮助我们理解数据的中心位置，从而判断平均水平和典型取值。
集中和离散趋势指标
集中和离散趋势指标1.引言1.1 概述概述部分将介绍集中和离散趋势指标的基本概念和背景。
集中趋势指标和离散趋势指标是统计学中常用的分析工具，用于描述和度量数据集中和离散程度的重要指标。
在实际问题中，我们经常遇到需要描述和分析数据集中和离散程度的情况。
集中趋势指标主要关注数据的中心值，用于度量数据集中在何处，以及数据的均匀分布程度。
而离散趋势指标则用于度量数据的分散程度，即数据的离散程度有多大。
集中趋势指标和离散趋势指标在统计学、经济学、金融学等领域被广泛应用。
例如，在统计学中，我们常常使用平均值、中位数、众数等指标来描述数据的集中趋势；而方差、标准差、极差等指标则用于度量数据的离散趋势。
本文将分别介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义和解释，并列举一些常见的集中趋势指标和离散趋势指标的示例。
通过对这些指标的应用和分析，我们能够更加客观地了解数据的分布特征，为后续的数据分析和决策提供依据。
在下一章节的正文部分，我们将详细介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义、计算方法和使用场景。
希望通过本文的介绍，读者能够对集中和离散趋势指标有一个全面的认识，并能够在实际应用中灵活运用这些指标，提高数据分析的精确性和准确性。
接下来，我们将开始介绍集中趋势指标的相关内容，包括定义和解释等方面的内容。
敬请关注！1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将围绕集中和离散趋势指标展开讨论。
首先，在引言部分进行概述，介绍集中和离散趋势指标的基本概念和作用。
然后，通过分析文章目录可以看出，正文部分将重点介绍集中趋势指标和离散趋势指标，包括它们的定义和解释以及常见的指标类型。
最后，在结论部分对集中趋势指标和离散趋势指标的应用进行总结。
具体而言，在正文部分，我们会首先介绍集中趋势指标，包括其定义和解释。
随后，会详细介绍一些常见的集中趋势指标，例如均值、中位数和众数等。
这些指标能够反映数据集中在某个位置或数值上的趋势，有助于我们对数据的整体特征进行理解和分析。
集中趋势与离散趋势
允许用户自定义查询条件、筛选数据和调整图表 参数，以便更深入地探索数据的内在规律和关联 关系。
数据动画
将数据变化过程以动画形式展现出来，帮助用户 更直观地理解数据的变化趋势和动态特征。
06 总结与展望
CHAPTER
主要发现与结论
集中趋势描述
通过平均数、中位数和众数等指标，可以有 效地描述数据的集中趋势，反映数据分布的 中心位置。
众数
一组数据中出现次数最多的数。众数可能不唯一，也可能不存在。众数适用于分类数据和顺序数据，对于数值型 数据，如果数据分布的波动性较大，众数可能不能很好地代表数据的集中趋势。
03 离散趋势
CHAPTER
定义与概念
离散趋势
指一组数据中各数值之间的差异程度 或离散程度，是数据分布的另一个重 要特征。
直方图（Histogram）
将数据按照一定范围进行分组并用矩形条表示，通过矩形条的高度和宽度反映数据的分布 规律。
散点图（Scatter Plot）
用点的位置表示两个变量之间的关系，可通过观察点的分布情况和趋势线分析数据的集中 和离散趋势。
动态数据可视化在趋势分析中的应用
1 2 3
时间序列分析
通过动态展示数据随时间变化的情况，揭示数据 的长期趋势、季节波动和周期性规律。
• 关注数据质量和异常值处理：在实际数据分析中，异常值和数据质量问题是不 可忽视的。未来的研究可以关注如何有效地处理异常值和数据质量问题，以提 高集中趋势和离散趋势分析的准确性和可靠性。例如，可以采用稳健的统计方 法或者数据清洗技术对异常值进行处理，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
谢谢
THANKS
Tableau
功能强大的数据可视化工具，支持交互式数据分析和动态图表展示， 适用于大数据处理。
集中趋势和离散趋势PPT教案
数据分布的特征
集中趋势 (位置)
离散趋势 (分散程度)
偏态和峰度 （形状）
第1页/共94页
数据分布的特征和测度
数据的特征和测度
集中趋势
离散程度
分布的形状
众 数 Mode 中位数 Median 均 值 Mean
极差 四分位差 方差和标准差 离散系数
Range
偏态
Skewness
峰度
第31页/共94页
众数
(众数的不唯一性)
•无众数
原始数据:
8 一个众数 原始数据:
10 5 9 12 6 659855
多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
第32页/共94页
定类数据的众数
X i Fi Fi
第12页/共94页
调和平均数
(算例)
【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三 种蔬菜该日的平均批发价格
表 某日三种蔬菜的批发成交数据
蔬菜 名称
甲 乙 丙
批发价格(元) Xi
1.20 0.50 0.80
成交额(元) XiFi 18000 12500 6400
成交量(公斤) Fi
第20页/共94页
中位数
(概念要点)
1. 集中趋势的测度值之一
2. 排序后处于中间位置上的值
50%
50%
3. 不受极端值的影响 Me
4. 主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定 类数据
5. 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即
n
X i M e min
i 1
第21页/共94页
中位数
未分组资料时，中位数位次＝ N 1
[5]第五章 集中与离散趋势测定指标.
![[5]第五章 集中与离散趋势测定指标.](https://img.taocdn.com/s3/m/810ab8b0b9d528ea81c77970.png)
表5-3
月收入（元）
3000～3500 3500～4000 4000～4500 4500～5000 5000～5500 5500～6000 6000～6500
∑
某单位职工月收入分组表
组中值（元）
xi
3250 3750 4250 4750 5250 5750 6250
第一，平均指标在时间上的差异的对比分析作用。 平均指标可以反映同一总体现象在不同时期的一般发 展变化水平，揭示现象的变动趋势和规律性。如：由 于不同时期同一研究总体的农民家庭人口结构会发生 变动，若要考察农民纯收人变化，只能用农民平均纯
收人指标来反映。
第二，平均指标在空间上的差异的对比分析作用。 利用平均指标比较在某一时期同类现象在不同地区、 不同单位的一般水平，用以评价总体各单位的工作质 量和效果。如：由于城乡每一户居民人口规模不同， 要用人均居住面积而不能用城乡每户居住总面积来考 察城乡居民居住状况的差异。
n
xi fi
x
i 1 n
fi
i 1
式中：xi 表示分布数列中第i
值；
组的变量值或组中
fi 表示分布数列中第i 组的单位个数。
上式还可以变形为:
x
n
xi
fi
n
Hale Waihona Puke i1fii 1
式中：fi 称为分布数列中第i 组的频数或权数；
fi
n
称为分布数列中第i 组的频率或权数
系数。
fi
1．简单算术平均数（Simple arithmetic mean）
简单算术平均数适用于未分组的分布数列，它是 将总体各单位同类标志值直接汇总，然后与总体单位 总数相除所求得。简单算术平均数的计算公式为：
集中趋势和离散趋势课件
03
实时数据分析
在实时数据分析中，快速准确地计算集中趋势和离散趋势对于及时做出
决策具有重要意义。研究者们正在研究如何利用新的计算方法提高实时
数据分析的效率和准确性。
对决策的影响研究
决策支持
集中趋势和离散趋势的计算结果可以为决策提供重要支持，如市场预测、风险 评估等。研究者们正在研究如何更好地利用这些结果为决策提供依据。
新的计算方法
随着统计学的发展，新的计算方 法不断涌现，如机器学习算法、 人工智能技术等，这些方法可以 更快速、准确地计算集中趋势和
离散趋势。
算法优化
针对现有计算方法的不足，研究 者们正在不断优化算法，提高计 算效率和准确性，以满足日益增
长的数据处理需求。
可解释性研究
为了更好地理解计算结果，研究 者们正在研究如何提高计算方法 的可解释性，使非专业人士也能
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
集中趋势和离散趋势的 应用
在数据分析中的应用
描述数据分布情况
通过计算数据的集中趋势和离散 趋势，可以了解数据的分布情况 ，从而更好地理解数据的特点和
规律。
识别异常值
通过离散趋势分析，可以识别出数 据中的异常值，这些异常值可能对 数据分析结果产生重大影响，需要 特别关注。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
集中趋势和离散趋势 课件
目录
CONTENTS
• 集中趋势 • 离散趋势 • 集中趋势和离散趋势的应用 • 集中趋势和离散趋势的比较 • 集中趋势和离散趋势的未来发展
REPORT
数据分布特征的统计描述
数据分布特征的统计描述数据分布是指一组数据值在数值上的分布情况。
统计描述是用数学统计方法对数据分布进行概括和描述的过程。
通过对数据分布的统计描述，可以揭示数据的一些基本特征和规律，从而帮助我们更好地理解和分析数据。
常见的数据分布特征的统计描述包括：中心趋势、离散程度和形态特征。
中心趋势是指一组数据值的集中或平均水平。
常用的统计量有均值、中位数和众数。
均值是一组数据值的算术平均值，通过将所有数据值相加然后除以数据个数得到。
均值可以很好地反映数据的集中程度，但对于有离群值的数据分布，均值可能会受到影响。
中位数是一组数据值按照大小排列后中间的那个值。
中位数的计算不受数据的具体取值影响，适用于有离群值的数据分布。
中位数可以用来描述数据的集中程度，同时还可以提供关于数据的排序信息。
众数是一组数据值中出现次数最多的值，可以用来描述数据的集中程度。
众数可以存在多个或不存在。
离散程度是指一组数据值的分散或变异程度。
常用的统计量有极差、方差和标准差。
极差是一组数据值的最大值和最小值之间的差异。
极差不能提供关于数据的分布形态的信息，但可以描述数据的全局离散程度。
方差是一组数据值与其均值之间的差异的平方和的均值。
方差可以反映数据的整体离散程度，但由于计算中使用了平方运算，所以方差的单位与原数据不一致。
标准差是方差的平方根，具有与原数据相同的单位。
标准差可以更直观地度量数据的离散程度，且方便与均值进行比较。
形态特征是指数据分布的形态或形状。
常用的统计描述包括偏度和峰度。
偏度是数据分布的对称性的度量。
偏度为0表示数据分布呈现对称分布，大于0表示数据分布右偏，小于0表示数据分布左偏。
偏度可以帮助我们了解数据的偏斜程度，从而选择合适的数据分析方法。
峰度是数据分布的尖峰或平坦程度的度量。
峰度大于3表示数据分布具有尖峰形态，峰度小于3表示数据分布具有平坦形态。
峰度可以帮助我们判断数据是否存在异常值或是否符合正态分布的假设。
在实际应用中，以上的统计描述方法常常是结合使用的。
第五章统计分布特征的描述：集中趋势和离散趋势
(2)相对权数
X
n
Xi
fi
n
i1
fi
i 1
1.45 20% 1.55 30% 1.65 20% 1.75 20% 1.8510%
1.62(米)
例3：某班英语成绩整理如下,求学生英语平均成绩.
成绩 90以上 80~90 70~80 60~70 60以下
某某班学生基本情况调查表姓名性别民族年龄身高政治面貌张三男汉21152中共党员李四女汉21143中共党员王五男回23158团员贾六女汉23151团员刘七男汉22169团员杨小男回21175中共党员孙非男回20181团员王继男满23165团员赵可女汉23165中共党员武思男汉21176团员兰第女汉23148中共党员拉达女汉23143团员向乐男回22158中共党员项于女汉21161团员可人男汉23171团员梁草女回23152团员保安男汉20146中共党员马宝男汉20182团员姜清女满20158中共党员林可男满20173团员精品资料?班级平均年龄
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算术平均数和强度相对指标的区别：
(1)含义和作用不同：
强度相对指标表明现象程度发展的强度、密度或普遍程 度；
而平均指标则表明同类现象在一定时间、地点条件下所 达到的一般水平。
(2)计算方法不同。
强度相对指标的分子与分母分别来自不同的总体，一般 没有直接的依存关系，且有的强度相对指标分子分母可 以对换，即强度相对指标可以计算正指标或逆指标；
按年龄分组（岁） 人数（人）
比重（％）
20
5
25
21
5
25
22
2
10
23
8
40
【个人精编】数据集中趋势和离散程度笔记
数据的集中趋势和离散程度笔记一、知识点梳理知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。
（1）平均数算术平均数（简称为平均数）：121()n xx x x n（公式一）①一般地，如果在一组数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，……，x k 出现f k 次，（f 1，f 2，…f k 为正整数），则这组数据的平均数：当n 个数据中某些数据反复出现时，用该公式较简洁； f 1+f 2+…+f k =n （数据的总个数）。
②一般地，如果一组数据都在某个数a 上下波动时，就可以采用把原来每个数据都减去a ，得一组新数据，再算得这组新数据的平均数'x ，这样原来数据的平均数是：x ＝a ＋'x （公式三）平均数定义公式和两个简化计算公式都很重要，应根据具体情况，恰当选用。
特别的：一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，①若每个数据都扩大a 倍，即ax 1，ax 2，…，ax n ，则平均数也扩大a 倍，即a x ； ②若每个数据都增加b ，即x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b ，则平均数增加b ，即x ＋b ； ③若每个数据都扩大a 倍后又都增加b ，则平均数也扩大a 倍后增加b ，即a x ＋b ． 当数据组中数据较大又在某个数值左右波动或数据之间存在某种倍数关系时，利用这些规律求平均数比较直接、简便。
加权平均数在计算数据的平均数时，往往根据其重要程度，分别给每个数据一个“权”，由此求出平均数叫做加权平均数。
恒量各个数据“重要程度”的数值叫做权。
相同数据的个数叫做权，这个“权”含有所占分量轻重的意思。
ω1越大，表示x 1的个数越多，于是x 1的“权”就越重。
若n 个数x 1，x 2，…，x n 的权是分别是ω1，ω2，…，ωn ，则x ＝nnn x x x ωωωωωω++++++ 212211① 当ω1＝ω2＝…＝ωn ，即各项的权相等时，加权平均数就是算术平均数。
集中趋势、离散趋势的描述
频数 (2) 1 3 6 8 17 20 17 12 9 5 2 1 101
1´2.45 3´2.75 L1´5.75 409.75 X 4.06(mmol/L) 1 3L 1 101
2014-12-2 延安大学医学院计量资料统计描述 29
2、知识点：
①均数应用于呈正态分布或近似正态分布的计量资 料。 ②当资料呈正态分布时，均数位于分布的中心。 ③每个观察值都加一个常数A，则均数为原均数加
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延安大学医学院计量资料统计描述
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二、平均水平（集中趋势）指标
统计上使用平均数（average）这一指标体
系来描述一组变量值的集中位置或平均水平。
常用的平均数有:
算术均数
几何均数 中 位 数
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众 数 调和均数
延安大学医学院计量资料统计描述
24
（一）算术均数
算术均数：简称均数（mean）
13.5
19.5
25.5
31.5
37.5
43.5.
血清转氨酶（mmol/L）
图2-2 115名正常成年女子血清转氨酶的频数分布
115名正常成年女子血清转氨酶（mmol/L）含量分布
转氨酶含量 12～ 15～ 18～ 21～ 24～ 27～ 30～ 33～ 36～ 39～ 42～45
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4．划记并统计频数
逐一划记
L X U
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延安大学医学院计量资料统计描述
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101名正常成年女子的血清总胆固醇（mmol/L）频数分布
组 段
(1) 2.30～ 2.60～ 2.90～ 3.20～ 3.50～ 3.80～ 4.10～ 4.40～ 4.70～ 5.00～ 5.30～ 5.60～5.90 合 计
统计学集中趋势和离散趋势的度量
统计学集中趋势和离散趋势的度量
统计学中有多种方式用于度量数据的集中趋势和离散趋势。
以下是其中一些常用的度量方法：
集中趋势的度量：
1. 平均值（Mean）：将所有数据点相加，然后除以数据的个数。
2. 中位数（Median）：将数据按照大小排序，取中间位置的值（当数据个数为偶数时，取中间两个数的平均值）。
3. 众数（Mode）：出现次数最多的数值。
4. 加权平均值（Weighted Mean）：对数据点进行加权处理，每个数据点乘以相应的权重，然后求和并除以权重总和。
离散趋势的度量：
1. 方差（Variance）：计算每个数据点与平均值的差的平方，然后求平均值。
2. 标准差（Standard Deviation）：方差的平方根，用于衡量数据点与平均值之间的差异程度。
3. 平均绝对偏差（Mean Absolute Deviation，简称MAD）：计算每个数据点与平均值的绝对值的平均值。
4. 四分位间距（Interquartile Range，简称IQR）：将数据按照大小排序，并计算上四分位数和下四分位数之间的差距。
这些统计学度量方法能够帮助我们更好地理解数据的集中趋势和离散趋势，从而
对数据进行更准确的描述和分析。
数据的集中趋势和离散程度知识点
数据的集中趋势和离散程度知识点文章一：《啥是数据的集中趋势？》朋友们，咱今天来聊聊数据的集中趋势。
比如说，咱班这次考试的成绩。
要是大部分同学都考了 80 分左右，那 80 分就可能是这个成绩数据的集中趋势。
再比如，咱去菜市场买菜。
一堆苹果，大多数都在半斤左右，那半斤就是这堆苹果重量数据的集中趋势。
像平均数、中位数和众数，都是能帮咱找到数据集中趋势的好帮手。
就拿平均数来说，一家人一个月的水电费，把所有费用加起来除以天数，得到的那个数就是平均数，能大概反映出这家人每天用水电的平均情况。
数据的集中趋势能让咱一下子就明白一堆数据的中心在哪儿，是不是挺有用？文章二：《走进数据的集中趋势》亲爱的小伙伴们，今天咱们来探索一下数据的集中趋势。
想象一下，学校运动会上，大家跑步的时间。
如果很多同学都在2 分钟左右跑完，那 2 分钟差不多就是跑步时间这个数据的集中趋势啦。
还有，大家一起收集树叶，看看树叶的大小。
要是多数树叶的面积都差不多，那这个差不多的大小就是树叶面积数据的集中趋势。
咱举个例子哈，一个班级同学的身高，把所有人的身高加起来除以人数，得到的那个数就是平均身高。
这个平均身高就能让咱知道这个班同学大概的身高水平。
再比如说，一组数字 3、5、5、7、8，这里面 5 出现的次数最多，那 5 就是众数，也是这组数据的集中趋势之一。
所以说，了解数据的集中趋势能帮咱快速抓住重点，是不是很有意思？文章三：《数据的集中趋势，你懂了吗？》朋友们好呀！今天咱们要说的数据的集中趋势，其实不难理解。
比如说，咱们去超市买零食，看各种零食的价格。
要是大部分零食都在 5 块钱左右，那 5 块钱就是这些价格数据的集中趋势。
再比如，咱们统计一个月里每天的气温。
如果有好多天的气温都在 25 度上下，那 25 度就可能是这个气温数据的集中趋势。
就拿咱班同学的零花钱来说吧，把大家的零花钱都加起来，再除以人数，算出来的那个数就是平均零花钱。
通过这个平均零花钱，咱能大概知道同学们零花钱的一般情况。
数据分布特征的描述
数据分布特征的描述1.中心趋势中心趋势主要是指数据分布的中心位置，通常使用均值、中位数和众数等统计量来描述。
-均值：均值是将所有数据相加后除以样本容量的结果，它代表了数据的平均水平。
均值对于不受异常值干扰的数据集是一个较好的描述。
-中位数：中位数是将数据按照大小排列后位于中间位置的值，它不受异常值的影响，更能反映数据的典型值。
-众数：众数是数据集中出现频率最高的值，它适用于描述具有明显峰值的分布。
2.离散程度离散程度是指数据分布的分散程度，常用统计量有范围、标准差和方差等。
-范围：范围是最大值与最小值之间的差异，它简单直观地描述了数据的离散程度。
-标准差：标准差是数据离均值的平均距离，它度量了数据的分散程度，标准差越大，数据越分散；反之，标准差越小，数据越集中。
-方差：方差是数据与均值之间偏离的平方和的平均值，它也是衡量数据离散程度的重要统计量。
3.形状形状是指数据分布的外部轮廓或曲线形状，可以通过直方图、密度图和箱线图等工具来观察。
-直方图：直方图是一种将数据划分为若干等宽区间，并统计每个区间内数据频数的图表。
通过直方图可以初步判断数据的分布形态和峰度。
-密度图：密度图可以与直方图类似地展示数据分布，但是它将每个区间内频数除以区间宽度，得到频率密度，从而更清晰地反映了概率分布。
-箱线图：箱线图主要用于描述数据的分布形态和离群点情况。
箱线图包含了最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值等统计量。
除了上述常见的描述方法，还可以使用偏度和峰度来描述数据分布的形态特征。
-偏度：偏度度量了数据分布的不对称程度。
当偏度为0时，表示数据分布是对称的；当偏度为正值时，表示数据分布右偏；当偏度为负值时，表示数据分布左偏。
-峰度：峰度度量了数据分布的尖锐程度。
峰度为正值时，表示数据分布比正态分布要尖锐；峰度为负值时，表示数据分布比正态分布要平缓。
综上所述，数据分布特征的描述主要包括中心趋势、离散程度和形状等方面的统计描述，通过这些描述可以更好地理解数据的特征，为后续的数据分析提供基础。
第五章数据分布特征的描述
某公司下属18个企业，计划完成相对数如下
产值计划完 成程度 （%） 80—90 90—100 100—110 110—120 合计 组中值 （%） 85 95 105 115 —— 企业数 （个） 2 3 10 3 18 计划产值 (万元） 800 2500 17200 4400 24900 实际产值 （万元）xf 680 2375 18060 5060 26175
105~110 110~115 115~120 120~125 125~130 130~135 135~140 合计
14 8 M0 5 123 ( 个 ) 120 (14 8 ) (14 10 )
按成绩分 组（分） 60以下 60—70 70—80 80—90 90—100 合计
只有在总体单位充分多，且又有明显的集中趋 势时才可能确定众数。在较小的总体范围内， 确定众数没有意义。 可能没有众数或有几个众数 主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值 型数据
无众数 原始数据: 8
一个众数 原始数据: 6
10
5
9 12
6
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(4)计量单位表示不同。 强度相对指标一般为复名数，有时为无名数；平 均指标则为单名数。
（二）、算术平均数的计算 1.简单算术平均数 计算公式:
X 1 X 2 X N X N
X
i 1
N
i
N
适用条件:未分组的原始资料
例1：
某企业一生产班组共5人，他们在2000年9月的月工 资分别为1700元，1900元，1500元，1850元，2200 元。则他们的月平均工资为 X X1 X 2 Xm
m
式中： H 为调和平均数; m为变量值 X X 的个数； i 为第 i 个变量值。
适用条件:已知各组的代表变量值和标志总量,且各 组的标志总量恰好相等.
计算举例1：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午为0.4元/斤、 晚上为0.25元/斤。现早、中、晚各买1斤，求平均价格。 例2：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午为0.4元/斤、晚上为 0.25元/斤。现早、中、晚各买1元，求平均价格。 在例1中，用简单算术平均数
某班英语成绩 人数f(人) 频率(%) 5 10 13 26 16 32 11 22 5 10 50 100
组中值 95 85 75 65 55 —
解(1)绝对权数
X
X
i 1 n
n
i
fi
i 1
7 5.4(分)
fi
(2)相对权数
X Xi
i 1 n
fi
f
i 1
n
75.4(分)
(四).算术平均数的数学性质:
⒈变量值与其算术平均数的离差之 和衡等于零，即：
( x x ) 0
⒉变量值与其算术平均数的离差平 方和为最小，即：
( x x ) min
2
三、调和平均数(Harmonic Mean)
㈠调和平均数:是总体各单位标志值倒数的 算术平均数的倒数，又叫倒数平均数. (二)简单调和平均数 计算公式:
(3)计算方法不同。 强度相对指标的分子与分母分别来自不同的总体， 一般没有直接的依存关系，且有的强度相对指标 分子分母可以对换，即强度相对指标可以计算正 指标或逆指标； 而平均指标的分子是总体总量指标，分母则是同 一总体内的总体单位总量，两者具有密切的关系， 且平均指标的分子分母不能互换。
五、众数 六、中位数
七、各种平均数之间的相互关系
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一、平均指标的概念和作用
㈠概念：平均指标是指将同质总体内各 单位的数量差异抽象化，反映总体一般 水平或集中趋势的统计指标 所谓集中趋势，指一组数据向某一中心 值靠拢的倾向，测度集中趋势，也就是 寻找数据的一般水平的代表值或中心值。
（三）平均指标的种类 数值平均数：根据统计数列中的各项数据计 算出的平均数。主要有：算术平均数、 调 和平均数、几何平均数。 位置平均数：将各单位标志值排序后，取得 某一位置的标志值作为反映一般水平的代表 值。有:众数、中位数。
二、算术平均数（Arithmetic Mean）
㈠基本公式
总体标志总量 算术平均数 总体单位总量 例如：
(2)相对权数
X Xi
i 1 n
fi
f
i 1
n
i
20 25% 21 25% 22 10% 23 40% 21.65
例2：组距式数列（等距数列） 某班学生身高情况表
按身高分组（米） 组中值 1.45 1.4－1.5 1.55 1.5－1.6 1.65 1.6－1.7 1.75 1.7－1.8 1.85 1.8－1.9 —— 合计
（3）加权算术平均数有两种变形： 当权数用相对数时
xf x f x f f
当f1=f2=f3=……=fn时，权数的作用消失，加 权平均数 = 简单平均数 （4）组距数列计算加权算术平均数时，假定 该组标志值是完全均匀分布的，以各组的组 中值为各组变量值，计算的平均数是近似值。
算术平均数的缺点：易受极端值的影响
张庄有个张千万， 九个邻居穷光蛋； 平均起来算一算， 个个都是张百万。
去掉一个最高分 去掉一个最低分 三号选手最后得 分…..
小案例：有一种无聊叫平均工资
国家统计局二十九日宣布，前三季度中国城镇单位在岗职工平均工资为19731元人民币，比上年同 期增加3056元，同比增长18.3%，其中，北京（39663元）、上海（39004元）、西藏（32436元） 位列前三位。 每次统计局一公布平均工资，接着便是质疑数据失真的一片争议，这几乎已经成为一种惯例，这次 自然也不会例外。平均工资的统计数据为何如此偏离公众切身感受？对此，统计专家非常清楚，赶 忙向公众解释说一是因为所公布的数据是“平均数”，二是因为统计口径上不包括私企员工和农民 工。 有网络民谣曰：张家有财一千万，九个邻居穷光蛋，平均起来算一算，个个都是张百万。这种在收 入差距上不做如何区分统计的简单平均，本身已经毫无科学性可言；加之在统计口径上又不包括基 本处在收入水平最底层的私企员工和农民工，“顶级富人参与平均、底层穷人不参与平均”的平均 工资，无论在任何经济困难时期大概也会呈现出可喜的大幅增长状态。 依据不同人群之间明显的收入差距，做更为细致的平均工资统计，其实纯粹只是一个数学问题，基 本没有什么技术含量；将私企员工、农民工的工资数据纳入统计呢，事实上工作都已经完成了，却 因为“考虑到数据的敏感性”，而粗暴剥夺了公众的知情权，没有向社会公布。 现在的情形就是这样的：谁都明白统计平均工资的巨大漏洞在哪里，谁都知道现在的平均工资统计 数据严重偏离公众感受，但这种失真的统计工作却照旧进行不误，并且乐此不疲地接连公布“成 果”。那么我们不禁要问：明知失真却照旧统计不误的平均工资，究竟是为了什么？是为了让数据 反映社会现实，还是只为了要一个好看的数据？或者，只是为了逗公众玩？拜托，纳税人都不富裕， 还享受不起这种昂贵的“娱乐”，更何况，这其实一点都不好玩。 原本十分严肃的平均工资统计，公众却必须以娱乐事件的眼光来看到，这既很无奈，也很无聊。我 们理解，统计工作应该是很辛苦的，但辛苦工作换来的如果只是一种“数字上涨、感觉没涨”的普 遍质疑，统计专家还得一遍又一遍向公众解释“为何感觉不到涨工资”，那这项统计工作的意义是 需要打问号的。尤其是，依据这样的统计数据来指导决策，是很容易误事的。 知道不足就应该马上改进，知道了统计漏洞就应该马上着手改革，这才是正途所在。否则，前期该 做的辛苦统计工作也许一样没少，却在最后数学计算的时候如此粗糙，“不精确”也好，“敏感” 也罢，在民众看来实际都意味着“统计失败”。而且，经过公众连续不断的质疑和批评仍然我行我 素不思改进，那么我们真的只能摇头感叹：有一种无聊叫统计平均工资。
分组 组中值
人数（人） 4 6 4 4 2 20
频数
比重（％） 20 30 20 20 10 100
频率
求学生的平均身高 解:(1)绝对权数
X
X
i 1 n i 1
n
i
fi
i
f
1.45 4 1.55 6 1.65 4 1.75 4 1.85 2 46442 1.62(米)
班级平均年龄：
X
X
i 1
N
i
N
21 21 23 20 20 21.65(岁) 20
班级平均身高：
X
X
i 1
N
i
N
1.52 1.43 1.58 1.58 1.73 1.6135 米) ( 20
㈢加权算术平均数 计算公式:
0.5 0.4 0.25 x 0.38元 n 3
x
在例2中，先求早、中、晚购买的斤数。
早 1/0.5=2(斤）中 1/0.4=2.5(斤）晚 1/0.25=4(斤）
x 111 3 0.35元 1 1 1 8.5 0.5 0.4 0.25
实际上，例2是用下列公式计算：
第五章 统计分布特征的描述： 平均指标和变异指标
安徽财经大学统计与应用数学学院
第五章 统计分布特征的描述
第一节 集中趋势的测度：平均指标 第二节 离散趋势的测度：变异指标
第一节 集中趋势的测定：平均指标
一、平均指标的概念和作用
二、算术平均数 三、调和平均数
四、几何平均数
X
i 1 m i 1 m i
X f X 2 f 2 X m f m X 1 1 f1 f 2 f m
fi
i
f
Xi
i 1
m
fi
f
i 1
m
i
式中：X为算术平均数; f i为第 i 组的次数； 为 m 组数； i为第 i 组的标志值或组中值。 X
n 1700 1900 1500 1850 2200 5 1830(元)
x x
例2： 某某班学生基本情况调查表
姓名 张三 李四 王五 贾六 刘七 杨小 孙非 王继 赵可 武思 兰第 拉达 向乐 项于 可人 梁草 保安 马宝 姜清 林可 性别 男 女 男 女 男 男 男 男 女 男 女 女 男 女 男 女 男 男 女 男 民族 汉 汉 回 汉 汉 回 回 满 汉 汉 汉 汉 回 汉 汉 回 汉 汉 满 满 年龄 21 21 23 23 22 21 20 23 23 21 23 23 22 21 23 23 20 20 20 20 身高 1.52 1.43 1.58 1.51 1.69 1.75 1.81 1.65 1.65 1.76 1.48 1.43 1.58 1.61 1.71 1.52 1.46 1.82 1.58 1.73 政治面貌 中共党员 中共党员 团员 团员 团员 中共党员 团员 团员 中共党员 团员 中共党员 团员 中共党员 团员 团员 团员 中共党员 团员 中共党员 团员