数据的集中趋势与离散程度非常全面

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数据的集中趋势与离散程度

数据的集中趋势与离散程度统计学中，描述和衡量数据分布特征的两个重要方面是集中趋势和离散程度。

集中趋势指的是数据集中在哪个数值附近，而离散程度描述了数据的分散程度。

在本文中，我将详细介绍集中趋势和离散程度的定义、常用的衡量指标和如何应用。

一、集中趋势集中趋势是指数据集中在哪个数值处的趋势或位置，常用的衡量指标包括均值、中位数和众数。

1. 均值均值是数据集所有观测值的算术平均数。

它是最常用的衡量集中趋势的指标。

计算均值的方法是将所有观测值相加，再除以观测值的个数。

均值受极端值的影响较大。

2. 中位数中位数是将数据集按照大小排序后，位于中间位置的观测值。

如果数据集的个数是奇数，则中位数就是排序后位于中间的观测值；如果数据集的个数是偶数，则中位数是中间两个观测值的平均数。

中位数对极端值不敏感，更能反映数据的典型情况。

3. 众数众数是数据集中出现频率最高的观测值。

一个数据集可能存在一个众数，也可能存在多个众数，或者没有众数。

众数主要用于描述离散型数据。

二、离散程度离散程度是描述数据分散程度的指标，常用的衡量指标包括极差、方差和标准差。

1. 极差极差是数据集中最大观测值和最小观测值之间的差值。

极差越大，表示数据的离散程度越大；极差越小，表示数据的离散程度越小。

极差对极端值非常敏感。

2. 方差方差是数据集观测值与均值之差的平方的平均值。

方差衡量了数据与其均值之间的离散程度，数值越大表示数据的离散程度越大，反之亦然。

方差对极端值非常敏感。

3. 标准差标准差是方差的平方根，用于衡量数据集的离散程度。

标准差具有与原始数据相同的度量单位，比方差更容易解释和理解。

标准差越大，表示数据的离散程度越大，反之亦然。

三、应用集中趋势和离散程度的概念和指标在各个领域具有广泛的应用。

在金融领域，通过分析股票价格的均值和离散程度，可以评估股票的风险和收益。

在市场调研中，通过分析产品价格的中位数和标准差，可以了解市场需求和产品价值的稳定性。

专题：数据的集中趋势与离散程度

专题：数据的集中趋势与离散程度※知识梳理一．数据的集中趋势1、平均数(1)定义：有n个数x1，x2，…x n，则x=叫这n个数的平均数．(2)意义：平均数是反映一组数据的．(3)结论：若x1，x2，…，x n的平均数是x，则ax1，ax2，…，ax n的平均数是；x1+b，x2+b，…，x n+b的平均数是；ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的平均数是．2、众数(1）定义：一组数据中的数据叫这组数据众数．(2)意义：众数反映的是一组样本数据的.(3)一组数据中的众数有时不唯一.3、中位数(1)定义：将一组数据按大小依次排列，把处在或叫这组数据的中位数．(2)意义：反映一组数据的，一组数据中的中位数是唯一的．二．数据的离散程度1、极差(1)定义：一组数据中叫做这组数据的极差，即极差= .(1)意义：极差能够反映数据的变化范围。

极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值影响较大. 2、方差与标准差(1)定义：在一组数据x1，x2，…，x n中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，•叫做这组数据的方差．通常用“S2”表示，即S2= ．方差的叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即S= ．(2)意义：方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小。

(3)解困：若x1，x2，…，x n的方差是s2，标准差是s，则ax1，ax2，…，ax n的方差是，标准差是；x1+b，x2+b，…，x n+b的方差是，标准差是；ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的方差是，标准差是．※题型讲练【例1】为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(单位：cm)，分组情况如下：(1)将上表中的数据补充完整．(2)画出频数分布直方图．(3)估计该地区高一年级男生身高的众数，中位数和平均数.【例2】某鞋店销售了9双鞋，各种尺码的销售量如下：鞋的尺码20 21 22 23销售量（双） 1 2 4 2（1）计算这9双鞋尺码的平均数、中位数和众数.（2）哪一个指标是鞋厂最感兴趣的指标？哪一个指标是鞋厂最不感兴趣的？变式训练1：1.为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表：根据上表中的数据，回答下列问题：（1）该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？（2）这组数据的中位数、众数分别是多少?每周做家务的时间（小时）0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4人数（人） 2 2 6 8 12 13 4 3 分组151.5～158.5 158.5～165.5 165.5～172.5 172.5～179.5频数 6 2l频率0.1【例3】数据0、1、2、3、x 的平均数是2，求这组数据的极差和标准差.变式训练2：1.若1，2，3，a的平均数是3，且4，5，a，b的平均数是5，则样本0，1，2，3，4，a，b的标准差是多少？【例4】从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm）甲：21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙：27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差、方差和标准差.(2)哪种玉米的苗长得高些;(3)哪种玉米的苗长得齐. 【例5】某区为了了解七年级学生的身高情况（单位：cm），随机抽查了部分学生的身高，将所得数据处理后分成七组（每组只含最低值，不含最高值），并制成下列两个图表（部分）：请根据以上信息，回答下列问题：(1)该区抽查了多少名学生的身高情况？答：(2)被抽查学生身高的中位数落在第组；(3)扇形图中第六组所在扇形的圆心角是度；(4)如果该区七年级学生共有5000名，则身高不低于160cm的学生约有名；(5)能否以此估计该区高一年级学生的身高情况？为什么？答：．。

集中和离散趋势指标

集中和离散趋势指标1.引言1.1 概述概述部分将介绍集中和离散趋势指标的基本概念和背景。

集中趋势指标和离散趋势指标是统计学中常用的分析工具，用于描述和度量数据集中和离散程度的重要指标。

在实际问题中，我们经常遇到需要描述和分析数据集中和离散程度的情况。

集中趋势指标主要关注数据的中心值，用于度量数据集中在何处，以及数据的均匀分布程度。

而离散趋势指标则用于度量数据的分散程度，即数据的离散程度有多大。

集中趋势指标和离散趋势指标在统计学、经济学、金融学等领域被广泛应用。

例如，在统计学中，我们常常使用平均值、中位数、众数等指标来描述数据的集中趋势；而方差、标准差、极差等指标则用于度量数据的离散趋势。

本文将分别介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义和解释，并列举一些常见的集中趋势指标和离散趋势指标的示例。

通过对这些指标的应用和分析，我们能够更加客观地了解数据的分布特征，为后续的数据分析和决策提供依据。

在下一章节的正文部分，我们将详细介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义、计算方法和使用场景。

希望通过本文的介绍，读者能够对集中和离散趋势指标有一个全面的认识，并能够在实际应用中灵活运用这些指标，提高数据分析的精确性和准确性。

接下来，我们将开始介绍集中趋势指标的相关内容，包括定义和解释等方面的内容。

敬请关注！1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将围绕集中和离散趋势指标展开讨论。

首先，在引言部分进行概述，介绍集中和离散趋势指标的基本概念和作用。

然后，通过分析文章目录可以看出，正文部分将重点介绍集中趋势指标和离散趋势指标，包括它们的定义和解释以及常见的指标类型。

最后，在结论部分对集中趋势指标和离散趋势指标的应用进行总结。

具体而言，在正文部分，我们会首先介绍集中趋势指标，包括其定义和解释。

随后，会详细介绍一些常见的集中趋势指标，例如均值、中位数和众数等。

这些指标能够反映数据集中在某个位置或数值上的趋势，有助于我们对数据的整体特征进行理解和分析。

数据的集中趋势与离散程度

数据的集中趋势与离散程度在我们的日常生活和各种工作领域中，数据无处不在。

无论是研究经济趋势、评估学生的考试成绩，还是分析市场销售数据，了解数据的特征都是至关重要的。

而数据的集中趋势和离散程度就是两个关键的特征，它们能帮助我们更好地理解数据所蕴含的信息。

先来说说数据的集中趋势。

简单来讲，集中趋势就是数据呈现出的一种“聚集”的特点，反映了数据的中心位置或者一般水平。

最常见的用于描述集中趋势的指标有平均数、中位数和众数。

平均数，大家应该都很熟悉。

就是把一组数据的所有数值加起来，然后除以数据的个数。

比如说，一个班级里五位同学的数学考试成绩分别是 80 分、90 分、85 分、75 分和 95 分，那么他们的平均成绩就是（80 ＋ 90 ＋ 85 ＋ 75 ＋ 95）÷ 5 ＝ 85 分。

平均数很容易计算，也能直观地反映出这组数据的大致水平。

中位数呢，是将一组数据按照从小到大或者从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的那个数就是中位数；如果数据的个数是偶数，那么中间两个数的平均值就是中位数。

比如，还是上面那五个同学的成绩，从小到大排列为 75 分、80 分、85 分、90 分、95 分，因为数据个数是奇数，所以中位数就是 85 分。

中位数的优点在于，它不受极端值的影响。

比如，如果有一个同学考了20 分，那么这组数据的平均数就会被拉低很多，但中位数却不会受到太大影响。

众数则是一组数据中出现次数最多的那个数值。

比如说，一组数据是 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，那么众数就是 4。

众数可以反映出数据中最常见的情况。

了解了数据的集中趋势，我们再来看数据的离散程度。

离散程度反映的是数据的分散情况，也就是数据相对于中心位置的偏离程度。

常见的描述离散程度的指标有极差、方差和标准差。

极差是一组数据中的最大值减去最小值。

比如，一组数据是 10，20，30，40，50，那么极差就是 50 10 ＝ 40。

数据的集中趋势与离散程度知识梳理及典型问题

数据的集中趋势与离散程度知识梳理及典型问题作者：薛飞来源：《初中生世界·九年级》2016年第10期《数据的集中趋势与离散程度》这一章中我们主要学习了体现数据集中趋势的三种“数”——平均数、中位数和众数以及体现数据离散程度的两种“差”——极差与方差.平均数分“算术平均数”与“加权平均数”，我们重点理解加权平均数.加权平均数重在理解什么是“权”.课本中是这样定义“权”的：一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据的“重要程度”的数值叫做“权”.例1 学校食堂午餐供应3元、4元和5元三种价格的盒饭，根据食堂某月销售午餐盒饭的统计图，计算该月食堂销售午餐盒饭的平均价格.【分析】这个题目给出的两组数据分别是：①午餐盒饭的价格为3元、4元和5元；②不同价格的盒饭所占的比例.题目最后要求的是午餐盒饭的平均价格，也就是说第①组数据是题目研究的数据对象，第②组数据中盒饭所占的比例是“权”.解：该月食堂销售午餐盒饭的平均价格为[15%×5+25%×3+60%×415%+25%+60%]=3.9（元）.答：该月食堂销售的午餐盒饭的平均价格为3.9元.求中位数的一般步骤：①把数据从小到大排列；②若该数据含有奇数个数，位于中间位置的数是中位数，若该数据含有偶数个数，位于中间位置的两个数的平均数就是中位数.例2 有奇数个数据10，20，80，40，30，90，50，40，50，40，60，求这一组数据的中位数.【分析】把这组数据按从小到大的顺序排列10、20、30、40、40、40、50、50、60、80、90，该数据含有奇数个数，位于中间位置的数是中位数，所以该组数据的中位数为40.例3 一组数据分别为1，2，8，4，3，9，5，4，5，6，求这组数据的中位数.【分析】首先把这组数据按从小到大的顺序排列1，2，3，4，4，5，5，6，8，9，该组数据共有10个，所以第5个和第6个数据的平均数4.5为中位数.【点评】中位数的求法一定要注意先排序，后根据总数的奇偶来找出中位数，从例3中可以看出中位数4.5并不是原始数据，所以中位数也不一定是原始数据中的一个.一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.众数可以没有，可以只有一个，也可以有多个.例3 一次数学测验后，老师将全班40名学生的成绩整理后绘制成频数分布直方图，判断下列命题正确的是.①全班成绩的中位数在84～96这一组；②全班成绩的众数在84～96这一组.【分析】命题①正确，命题②在判断众数的时候往往会掉入陷阱，看到84～96这一组最高，所以众数确定就在这一组.举个反例便知错在哪里：84～96之间一共是12人，其中84分，85分，86分，87分各3人，而72～84这一组中的9人分数都是80分，显然全班成绩的众数不在84～96这一组，所以这题正确的只有命题①.极差概念简单，通俗地说就是最大数据与最小数据的差，反映了一组数据的变化范围.例4 某位射击运动员射击5次命中的环数分别为6，7，9，10，8，求极差.【分析】找出最大值和最小值即可，最大值为10环，最小值为6环，所以极差为10-6=4.描述一组数据的离散程度还有方差，方差的计算公式：s2=[ （x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2n].例6 为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：甲：8，7，10，7，8；乙：9，5，10，9，7.（1）将下表填写完整：（2）根据以上信息，若你是教练，选择谁参加射击比赛，理由是什么？（3）若乙再射击一次，命中8环，则乙这6次射击成绩的方差会 .（填变大或变小或不变）【分析】通过计算得出甲乙两人的平均数都是8环，但是甲的极差比乙小，更重要的是甲的方差也比乙小，方差越小越稳定，所以教练会选择发挥较为稳定的甲参加比赛.第（3）问的解决需要用到方差的计算公式，原来5次射击的方差是这样计算的s2（5次）=[ （x1-8）2+（x2-8）2+…+（x5-8）25]，增加一次8环的射击后，方差计算变成s2（6次）=[ （x1-8）2+（x2-8）2+…+（x5-8）2+（8-8）5+12].不难发现分子虽然增加了一项，但是分子的值并没有变化，但是分母却变大了，所以分子不变，分母变大，最终方差变小.（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）。

集中趋势与离散趋势

交互式数据探索
允许用户自定义查询条件、筛选数据和调整图表参数，以便更深入地探索数据的内在规律和关联关系。
数据动画
将数据变化过程以动画形式展现出来，帮助用户更直观地理解数据的变化趋势和动态特征。
06 总结与展望
CHAPTER
主要发现与结论
集中趋势描述
通过平均数、中位数和众数等指标，可以有效地描述数据的集中趋势，反映数据分布的中心位置。
众数
一组数据中出现次数最多的数。众数可能不唯一，也可能不存在。众数适用于分类数据和顺序数据，对于数值型数据，如果数据分布的波动性较大，众数可能不能很好地代表数据的集中趋势。
03 离散趋势
CHAPTER
定义与概念
离散趋势
指一组数据中各数值之间的差异程度或离散程度，是数据分布的另一个重要特征。
直方图（Histogram）
将数据按照一定范围进行分组并用矩形条表示，通过矩形条的高度和宽度反映数据的分布规律。
散点图（Scatter Plot）
用点的位置表示两个变量之间的关系，可通过观察点的分布情况和趋势线分析数据的集中和离散趋势。
动态数据可视化在趋势分析中的应用
1 2 3
时间序列分析
通过动态展示数据随时间变化的情况，揭示数据的长期趋势、季节波动和周期性规律。
• 关注数据质量和异常值处理：在实际数据分析中，异常值和数据质量问题是不可忽视的。未来的研究可以关注如何有效地处理异常值和数据质量问题，以提高集中趋势和离散趋势分析的准确性和可靠性。例如，可以采用稳健的统计方法或者数据清洗技术对异常值进行处理，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
谢谢
THANKS
Tableau
功能强大的数据可视化工具，支持交互式数据分析和动态图表展示，适用于大数据处理。

数据的集中趋势和离散程度内容解读

数据的集中趋势和离散程度内容解读作者：何春华来源：《初中生世界·九年级》2015年第10期数据的集中趋势和离散程度包括两方面内容，一是表示一组数据集中趋势的统计量，有平均数、中位数和众数；二是表示一组数据离散程度（刻画数据的波动大小）的统计量，有极差和方差，今天何老师就带领大家一起走进数据的世界，正确认识“三数”和“两差”.一、平均数1. 算术平均数：数据x1，x2，x3，…，xn的算术平均数为=（x1+x2+…+xn），这是最简单的平均数，平均数反映的是一组数据中各个数据的平均水平，它与这组数据中的每个数据都有关系.例1 （2014·江苏盐城）数据-1，0，1，2，3的平均数是（）.A. -1B. 0C. 1D. 5【解析】直接利用算术平均数公式求解，得=1，故选C.2. 加权平均数：一般地，如果一组数据中共有n个不同的值，记它们分别为x1，x2，…，xn，并且x1有w1个，x2有w2个，……，xn有wn个，则w1，w2，…，wn分别叫作x1，x2，…，xn的权，数值=叫作这n个数值的加权平均数.例2 （2015·浙江湖州）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范评比活动中，10位评委给某校的评分情况如下表所示：则这10位评委评分的平均数是_______分.【解析】由于本题中这10位评委给某校的评分情况的“权重”不同，因此本题需用加权平均数公式计算.这10位评委评分的平均数是=89（分）.【点评】算术平均数是加权平均数的特例，加权平均数实质上就是考虑不同权重问题的平均数，当加权平均数中各项的权相等时，就变成了算术平均数.二、中位数把n个数据从小到大排列，相同的数重复进行排列.当n是奇数时，处于正中间位置的数叫作这n个数的中位数；当n是偶数时，处于中间位置的两个数的平均数叫作这n个数的中位数.中位数体现了一组数据中间位置的数据水平，它反映了具有不确定性的研究对象在中等状态下的水平.例3 （2015·山东东营）在一次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83. 则这组数据的中位数为_______.【解析】将这组数据从小到大排列为：72，77，79，81，81，81，82，83，85，89，处于中间位置的第5、6个数据的平均数就是这组数据的中位数，即×（81+81）=81.【点评】由于一组数据的中位数与最大和最小的数据无关，因此，确定一组数据的中位数只需将这组数据从小到大排列（即使相等的数也要全部参加排序），然后根据数据个数的奇偶性确定中位数的值.三、众数一组数据中出现的次数最多的数，叫作这组数据的众数. 众数表现了一组数据的热点，当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势.例4 （2015·江苏扬州）小亮上周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，10，7，10，9，9.这组数据的众数是_______.【解析】∵数据中9出现的次数最多，∴这组数据的众数是9.【点评】众数是一组数据“多数水平”的重要数据代表，一组数据的众数有时不止一个，若几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，则这几个数据都是这组数据的众数.四、极差与方差1. 极差一组数据中最大值与最小值的差叫作极差，它反映了一组数据的变化范围.例5 （2014·四川凉山）某班数学学习小组某次测验成绩（单位：分）如下：63，72，70，49，66，81，53，92，69，则这组数据的极差是（）.A. 47B. 43C. 34D. 29【解析】这班数学学习小组某次检测成绩数据中，最大值是92，最小值是49，所以这组数据的极差是92-49=43.故选B.【点评】极差只跟一组数据中的两个极端数据（最大值、最小值）有关，跟其他数据无关，因此极差只能粗略地反映数据的离散程度.2. 方差为了精确地反映一组数据的离散程度，我们把一组数据中的全部n个数据x1，x2，…，xn的平均数作为基准，计算各数据与的差的平方，这些平方的平均数s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]就叫作这组数据的方差. 方差可以从整体上反映数据偏离平均数的程度，所以它成了反映研究对象离散程度的数值.例6 （2015·山东莱芜）有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是_______.【解析】数据2，3，a，5，6的平均数是4，所以2+3+a+5+6=20，解得a=4，因此这组数据的方差s2=[（2-4）2+（3-4）2+（4-4）2+（5-4）2+（6-4）2]=2.【点评】计算方差的步骤是先计算该组数据的平均数，然后代入方差公式进行计算.例7 （2015·江苏连云港）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（）.A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【解析】从表格中可知乙、丙的平均成绩要比甲、丁高，而乙的方差比丙小，说明乙的成绩比较稳定，所以应选择学生乙，故选B.【点评】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.最后，同学们在学习这部分知识时应注意结合一些具体事例去理解它们，要逐步体会这些知识在实际生活中的应用，而不是仅仅关注一些具体的计算.（作者单位：江苏省海门市实验学校初中部）。

第三章数据的集中趋势和离散程度教案

第三章数据的集中趋势和离散程度教案教案：第三章数据的集中趋势和离散程度一、教学目标：1.理解数据的集中趋势和离散程度的基本概念和含义；2.掌握计算和应用数据的集中趋势和离散程度的方法；3.能够利用数据的集中趋势和离散程度进行数据分析和决策。

二、教学内容：1.集中趋势的度量：众数、中位数、均值；2.离散程度的度量：极差、方差、标准差。

三、教学过程：1.导入（5分钟）教师简要介绍数据的集中趋势和离散程度的概念和定义，激发学生的学习兴趣。

2.集中趋势的度量（20分钟）（1）众数：a.理解众数的概念：数据中出现次数最多的值；b.计算众数的方法：统计数据各项的频数，找出频数最大的数据项。

（2）中位数：a.理解中位数的概念：将数据从小到大排序，中间的数；b.计算中位数的方法：①如果数据个数为奇数，中位数可直接取排序后的中间值；②如果数据个数为偶数，中位数可取排序后的中间两个数的平均值。

（3）均值：a.理解均值的概念：数据的算术平均值；b.计算均值的方法：将数据项相加，再除以数据的个数。

3.离散程度的度量（30分钟）（1）极差：a.理解极差的概念：数据的最大值与最小值之差；b.计算极差的方法：将数据按升序排列，最大值减去最小值。

（2）方差：a.理解方差的概念：数据偏离均值的平均平方差；b.计算方差的方法：将每个数据与均值之差的平方相加，再除以数据个数。

（3）标准差：a.理解标准差的概念：方差的正平方根；b.计算标准差的方法：取方差的正平方根。

4.应用案例分析（25分钟）教师提供实际数据，并引导学生运用所学知识计算数据的集中趋势和离散程度，分析数据的特点和规律。

例如，一个班级的学生成绩：70、75、80、85、90，学生的身高：160cm、165cm、170cm、175cm、180cm。

5.总结（5分钟）教师对本节课所学内容进行总结，并强调数据的集中趋势和离散程度对数据分析和决策的重要性。

同时，鼓励学生在实践中灵活应用所学知识。

理解数据的集中趋势与离散程度

理解数据的集中趋势与离散程度数据是我们生活中不可或缺的一部分，无论是在科学研究、商业决策还是个人生活中，我们都需要处理和分析大量的数据。

在数据分析过程中，了解数据的集中趋势和离散程度是非常重要的，它们能够帮助我们更好地理解数据的分布和特征。

一、集中趋势集中趋势是指数据分布中心的位置，常用的集中趋势度量指标有均值、中位数和众数。

均值是一组数据的平均值，通过将所有数据相加再除以数据个数得到。

均值能够反映数据的总体水平，但受到极端值的影响较大。

例如，考虑一个班级的学生成绩，大部分学生的成绩在70-90分之间，但有一个学生得了100分，这个极端值会使得均值偏高。

中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数值。

中位数不受极端值的影响，更能反映数据的典型值。

在上述例子中，中位数仍然能够准确地反映学生的典型成绩水平。

众数是一组数据中出现次数最多的数值，它代表了数据分布的最高峰。

众数适用于描述离散型数据，如人口统计中的年龄分布。

二、离散程度离散程度是指数据分布的分散程度，常用的离散程度度量指标有范围、方差和标准差。

范围是一组数据的最大值与最小值之间的差距，它能够直观地反映数据的离散程度。

然而，范围只考虑了极端值，没有考虑其他数据的分布情况。

方差是一组数据与其均值之差的平方的平均值，它能够反映数据与均值之间的差异。

方差越大，数据的离散程度越高。

标准差是方差的平方根，它具有与原始数据相同的单位。

标准差能够衡量数据的离散程度，并且与均值具有相同的量纲，因此更容易进行比较和解释。

三、应用举例理解数据的集中趋势和离散程度在各个领域都有广泛的应用。

在金融领域，我们可以通过分析股票的收益率来了解市场的集中趋势和离散程度。

均值和中位数能够帮助我们了解市场的平均收益水平，而标准差则能够反映市场的波动性。

这些指标对于投资者制定投资策略和管理风险非常重要。

在医学研究中，我们可以通过分析患者的生命体征数据来了解疾病的发展趋势和离散程度。

数据的集中趋势离散程度

数据的集中趋势离散程度数据的集中趋势是指数据分布的中心位置，可以通过测量数据的均值、中位数和众数来描述。

数据的离散程度是指数据集中趋势的分散程度，可以通过测量数据的范围、方差和标准差来描述。

首先，数据的集中趋势可以通过均值来衡量。

均值是将所有数据加总后除以数据的个数得到的平均值。

它将数据集中在一个中心位置，可以反映数据的整体水平。

然而，均值容易受到极值的影响，因此需要结合其他指标综合考虑。

中位数是将数据按照大小排序后位于中间位置的值，可以将数据集合分为两部分。

中位数不受极值的影响，适用于有极值存在的情况。

中位数能反映数据的中间位置，相对稳定。

众数是在数据集中出现频率最高的值。

众数可以反映数据的最常见取值，适用于描述离散数据。

其次，数据的离散程度可以通过范围来衡量。

范围是最大值减去最小值，它反映了数据集的变化幅度。

范围简单直观，但不稳定，容易受到极值的影响。

方差是每个数据与均值差的平方的平均数，可以描述数据集与均值的偏离程度。

方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。

方差让我们能够了解数据集内部的差异。

标准差是方差的平方根，它与均值具有相同的量纲，能更直观地反映数据的离散程度。

标准差比方差更常用，因为它的单位与原始数据相同，易于理解。

数据的集中趋势和离散程度是相互关联的，它们一起能够提供一个完整的数据描述。

例如，在比较两组数据的差异时，可以通过比较均值和标准差来判断其集中趋势和离散程度。

总体而言，数据的集中趋势和离散程度是统计分析中常用的指标，能够提供重要的数据特征，帮助我们理解数据的分布情况，从而进行决策和预测。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的指标，并结合其他分析方法来综合评价数据的集中趋势和离散程度。

数据的集中趋势与离散程度

（一）知识要点知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。

知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。

极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。

知识点3：生活中与极差有关的例子在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。

一家公司成员中最高收入与最低收入的差。

知识点4：平均差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数即T=叫做这组数据的“平均差”。

“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。

知识点5：方差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。

知识点6：标准差方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。

知识点7：方差与平均数的性质若x1，x2，…x n的方差是S2，平均数是，则有①x1+b，x2+b…x n+b的方差为S2，平均数是+b②ax1，ax2，…ax n的方差为a2s2，平均数是a③ax1+b，ax2+b，…ax n+b的方差为a2s2，平均数是a+b同步练习：1为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑知识进行了10次测试，成绩如下：（单位：分）甲的成绩76849086818786828583乙的成绩82848589798091897479回答下列问题：（1）甲学生成绩的众数是分，乙学生成绩的中位数是分。

（2）若甲学生成绩的平均数为，乙学生成绩的平均数为，则与的大小关系是。

（3）经计算知=13.2，=26.36，这说明。

初中数学知识归纳统计数据的集中趋势和离散程度

初中数学知识归纳统计数据的集中趋势和离散程度统计学是一门研究数据收集、处理、分析和解释的学科，它在生活中的应用非常广泛。

在统计学中，我们常常需要描述数据的集中趋势和离散程度。

本文将介绍几种常见的数据集中趋势和离散程度的统计量以及它们的含义和计算方法。

一、数据的集中趋势数据的集中趋势是指一组数据向某个中心值靠拢的趋势。

常用的统计量有均值、中位数和众数。

1. 均值（Mean）均值是指一组数据的总和除以数据的个数。

它是最常用的集中趋势统计量，用于表示数据的平均水平。

计算均值的方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。

2. 中位数（Median）中位数是指一组数据中处于中间位置的值。

当数据集的个数为奇数时，中位数就是数据排序后的中间值；当数据集的个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值。

计算中位数的方法是将数据从小到大排序，然后找到中间位置的值。

3. 众数（Mode）众数是指一组数据中出现次数最多的数值。

一个数据集可能有一个或多个众数，也可能没有众数。

计算众数的方法是统计每个数值出现的频数，然后找到频数最大的数值。

二、数据的离散程度数据的离散程度是指一组数据的分散程度或波动程度。

常用的统计量有极差和标准差。

1. 极差（Range）极差是指一组数据的最大值与最小值之间的差值。

它是最简单的离散程度统计量，可以直观地反映数据的变化范围。

计算极差的方法是将最大值减去最小值。

2. 标准差（Standard Deviation）标准差是指一组数据偏离平均值的程度。

它通过计算每个数据与均值的差的平方，并求平均值来衡量数据的离散程度。

标准差越大，数据的离散程度越大。

计算标准差的方法包括计算均值、计算每个数据与均值的差的平方，并求平均值再开方。

三、应用举例现在我们来举两个实际问题的例子，通过计算集中趋势和离散程度的统计量来分析数据。

例1：小明的五次数学考试成绩分别是85、92、88、79和90，求这五次考试成绩的均值、中位数、众数、极差和标准差。

专题3.1数据的集中趋势和离散程度(章节复习能力强化卷)学生版

20232024学年苏科版九年级上册册章节知识讲练专题3.1 数据的集中趋势和离散程度（章节复习+能力强化卷）知识点01：平均数1.算术平均数一般地，如果有n 个数，那么=12+nx x x n++…叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数.“”读作“x 拔”.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”.细节剖析：平均数的大小与一组数据里的有关系，其中任一数据的变动都会引起的变动，所以平均数容易受到的影响. 2.加权平均数一组数据的平均数，不仅与这组数据中的值有关，而且与各个数据的有关.我们把衡量各个数据叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做.12n x ,x ,x ,…x x加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则（其中n=+++…+） “权”越大，对平均数的影响就 .加权平均数的分母恰好为细节剖析：（1）越大，表示的个数越多，“权”就越重，也就越 .（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的知识点02：众数和中位数1.众数叫做这组数据的众数.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述细节剖析：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能（2）众数是一组数据中据而不是 2.中位数一般地，将一组数据按排列，如果数据的个数是奇数，那么处于叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于叫做这组数据的中位数.当一组数据中，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势.细节剖析：（1）一组数据的中位数是的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据知识点03：平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、中位数和众数都反映了区别：平均数容易受的影响；中位数与有关，个别数据的波动对没影响；众数主要研究各，当一组数据中出现时，可用众数来描述.在一组存在极端值的数据中，用作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际.1x 1f 2x 2f 3x 3f k x k f x 1f 2f 3f k f k f k x一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•惠来县模拟）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（）A．160 B．165 C．170 D．1752．（2分）（2023•鼓楼区校级开学）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2，4，3，2，5，2，3．则这组数据的众数和中位数分别是（）A．2，2 B．2，2.5 C．2，3 D．3，33．（2分）（2023春•松北区期末）某班学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙两组的平均成绩相同，但S甲2＜S乙2，则考核成绩比较稳定的是（）A．甲组B．乙组C．甲、乙两组一样稳定D．无法确定4．（2分）（2023•凤凰县三模）随着人们对垃圾分类的认识不断增强，垃圾分类的知识不断被普及，我国的垃圾分类的水平也日益提高，一些高科技含量的垃圾箱也应运而生，例如：智能垃圾箱就分为“有害垃圾、可回收垃圾”等若干箱体．居民通过刷卡、号、人脸识别等身份识别方式进行自动开箱投放，自动进行称重，然后换算出可以现金提现或在礼品兑换机兑换实物礼品的积分．已知某小区7个家庭一周换算的积分分别为23，25，25，23，30，27，25，关于这组数据，中位数和众数分别是（）A．25，23 B．25，25 C．23，25 D．23，235．（2分）（2023•惠城区校级开学）在今年的八年级期末考试中，我校（1）（2）（3）（4）班的平均分相同，方差分别为＝20.8，＝15.3，＝17，＝9.6四个班期末成绩最稳定的是（）A．（1）班B．（2）班C．（3）班D．（4）班6．（2分）（2023•徐州二模）为计算某样本数据的方差，列出如下算式S2＝，据此判断下列说法错误的是（）A．样本容量是4 B．样本的平均数是4C．样本的众数是3 D．样本的中位数是37．（2分）（2023•朝阳）学校篮球队队员进行定点投篮训练，每人投篮10次，其中5名队员投中的次数分别是：6，7，6，9，8，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．6，6 B．7，6 C．6，7 D．7，88．（2分）（2023春•通州区期末）方差的统计含义：表示一组数据的每个数（）A．偏离它的众数的差的平均值B．偏离它的平均数的差的绝对值的平均值C．偏离它的中位数的差的平方数的平均值D．偏离它的平均数的差的平方数的平均值9．（2分）（2023•梁溪区模拟）某水果店“五一”假期每天销售某种水果的数量（单位：kg）分别为：58，62，60，64，62．则这组数据的众数、中位数分别为（）A．62，62 B．64，62 C．62，60 D．64，6010．（2分）（2023•绍兴模拟）为更好地学习贯彻“第十四届全国人大会议”精神，牢记使命担当，奋进新时代，筑梦新征程．某校举办了“第十四届全国人大会议”知识竞赛，某班参赛的6名同学的成绩（单位：分）分别为：82，84，85，87，88，90．则这组数据的中位数是（）A．84 B．85.5 C．86 D．86.5二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•崇川区校级开学）如果一组数据a1，a2，…，a6的方差是7，那么一组新数据2a1+5，2a2+5，…，2a6+5的方差是．12．（2分）（2023春•巴南区期末）某校招募校园活动主持人，甲候选人的综合素质、普通话、才艺展示成绩如表所示．测试项目综合素质普通话才艺展示测试成绩90 86 91根据实际需求，该校规定综合素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5：3：2的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为分．13．（2分）（2022秋•道县期末）今年8月，我市为了缓解旱情，发射人工降雨火箭，实施人工降雨工作，在一场人工降雨中，道县测得10个面积相等区域（区域用①～⑩表示）的降水量如下表所示，则可估计道县这次的平均降雨量为 mm ．区域 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 降水量（单位：mm ）1112131420181617101914．（2分）（2023•平遥县二模）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s 甲2，s 乙2，那么s 甲2s 乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）15．（2分）（2023•罗山县三模）为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某县开展了跳绳比赛．某校为选拔一名1分钟跳绳比赛运动员，组织了几次预选赛，其中甲、乙、丙、丁四名运动员较为突出，他们在几次选拔赛中成绩平均数与方差如下表．根据表中数据，学校要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择运动员．（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁）”一甲乙丙丁平均数/个195 190 195 190方差 3.6 3.6 7.4 7.416．（2分）（2023•遵义模拟）据了解，遵义市将在2023年8月举行全市中学生运动会，某校准备从甲、乙两名学生中选一名学生参加100m项目，两人选拔赛的成绩如下表，根据表格信息，选一名发挥稳定的学生参加比赛，则选择运动员应为．（填“甲”或“乙”）甲乙平均数12″06 12″06方差方差S2 3.2 2.817．（2分）（2023•李沧区一模）为了了解某班学生每天使用零花钱数（单位：元）的情况，小王随机调查了15名同学，结果如下表：每天使用零花钱数 1 2 3 5 6人数 2 5 4 3 1则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是．18．（2分）（2023春•柯桥区期中）已知一组数据x1，x2，x3，......x20的方差7，则2x1﹣1，2x2﹣1， (2x20)﹣1的方差为．19．（2分）（2023•容县一模）将一组数据按照从小到大的顺序排列为：﹣1，0，4，x，6，8，若中位数为5，则这组数据的众数为．20．（2分）（2023•余姚市二模）在垃圾分类知识竞赛中，10名学生得分情况如表，那么这10名学生所得分数的众数是．人数（人） 3 4 2 1得分（分）80 85 90 95三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•泰山区校级期末）甲、乙两班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，根据两个班选手的进球数，制作了如下统计图及数据分析表．班级平均数中位数众数甲7 b c乙a7 7（1）写出表格中a，b，c的值：a＝，b＝，c＝；（2）已知甲班选手进球数的方差为2.6，求乙班选手进球数的方差；（3）如果要从这两个班中选出一个班参加学校的投篮比赛，你认为应该选择哪个班比较合适？为什么？22．（6分）（2023•鼓楼区校级开学）综合与实践【问题情境】数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10芒果树3.8 3.7 3.5 3.4 3.84.0 3.6 4.0 3.6 4.0叶的长宽比2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9荔枝树叶的长宽比【实践探究】分析数据如下：平均数中位数众数方差3.74 m4.0 0.0424芒果树叶的长宽比1.912.0 n0.0669荔枝树叶的长宽比【问题解决】（1）上述表格中：m＝，n＝．（2）通过数据，同学们总结出了一些结论：①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的形状差别比荔枝树叶”．（填“小”或者“大”）②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的倍．”（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．23．（8分）（2023春•宜州区期末）为了解某年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），并制作了如下所示的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次随机抽查的学生人数为，m＝；（2）抽取得分数据中，平均数为分，众数为分，中位数为分；（3）若该年级有800名学生，估计该年级理化生实验操作得满分的有多少人？24．（8分）（2023•龙华区一模）习近平指出：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为了解学生的阅读情况，佳佳从七、八年级分别随机抽查了40名学生（已知两个年级学生人数相同），调查了他们在校期间的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：年级参加阅读人数星期一星期二星期三星期四星期五七年25 30 a40 30级20 26 24 30 40八年级合计45 56 59 70 70 Array（1）a＝；（2）八年级参加阅读学生的平均阅读时间的中位数为；（3）七年级学生参加阅读人数的众数为；（4）估计该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数．25．（8分）（2023•海淀区校级开学）第19届亚运会将于今年9月23日在杭州开幕，中国将再次因体育盛会引来全球目光，同时也掀起了运动热潮．某校举办了一场游泳比赛，9年级初选出10名学生代表．将10名学生代表200米自由泳所用时间数据整理如下：a.10名学生代表200米自由泳所用时间（单位：秒）：260，255，255，250，248，246，246，246，220，205b．10名学生代表200米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数（单位：秒）：平均数中位数众数243.1 m n（1）写出表中m，n的值；（2）部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若5次日常训练的平均用时低于10名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．①甲乙两位同学5次日常训练的用时如下表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是（填“甲”或“乙”）；第一次第二次第三次第四次第五次甲同学日常训练用时246 255 227 266 236乙同学日常训练用时246 255 239 240 250②丙同学前4次训练的用时为270，255，249，240，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角度考虑，则第5次训练的用时t的要求为：．26．（8分）（2023春•番禺区期末）如图统计的是一个路口某时段来往车辆的车速情况，请运用你所学的统计知识，写一份简短的报告，让交警知道在这个时段，该路口来往车辆的车速情况（如最大车速，车速数据的中位数、众数、平均数等），并对数据作一个简要分析．27．（8分）（2023•遵义模拟）2023年全国双手采茶大赛在我省遵义市湄潭县举行，各参赛代表队以茶为媒、以茶会友．下表是甲、乙两个代表队各10名选手的采茶量（单位：克），并进行了数据整理和分析．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲队401 412 394 412 420 438 449 438 458 438 乙队420 404 398 426 433 435 435 453 461 435平均数中位数众数甲队426 429 a乙队430 b435根据表中数据，解答下列问题．（1）表中a的值是，b的值是；（2）根据以上数据分析，甲、乙两支参赛队中，哪支队更容易获奖，请说明理由；（3）为尽可能获奖，请你为选手写一条合理的建议．28．（8分）（2023•绿园区校级模拟）为了解某年25个地区第一季度快递业务收入的情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入（单位：亿元）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．a．排在前5位的地区第一季度快递收入的数据分别为：534.9，437.0，270.3，187.7，104.0．b．其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：快递业务收入x0≤x＜20 20．≤x＜40 40≤x＜60 60≤x＜80 一频数 6 10 1 3c．第一季度快递业务收入的数据在20≤x＜40这一组的是：20.2，20.4，22.4，24.2，26.1，26.5，28.3，34.4，39.1，39.6．d．排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下表：前5位的地区其余20个地区全部5个地区平均数306.78 29.9 n中位数270.3 m x根据以上信息，解答下列问题：（1）表中m的值为，x的值为．（2）在下面3个数中，与表中n的值最接近的是（填序号）：①3s②85③150（3）根据（2）中的数据，预计这25个地区这一年全年快递业务总收入是亿元．。

理解数据的集中趋势与离散程度

理解数据的集中趋势与离散程度数据在现代社会中扮演着重要的角色，无论是科学研究、商业决策还是社会分析，都离不开数据的支持。

然而，仅仅拥有大量的数据还不足以使我们做出准确的判断和决策，我们还需要理解数据的集中趋势与离散程度。

本文将探讨如何理解数据的集中趋势与离散程度，并介绍一些常用的统计指标和方法。

一、集中趋势集中趋势是用来描述数据的中心位置的统计指标。

常用的集中趋势指标有平均数、中位数和众数。

平均数是最常见的集中趋势指标，它是一组数据的总和除以数据的个数。

平均数可以反映数据的总体水平，但在存在离群值的情况下，平均数可能会被拉偏。

中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数值。

中位数不受离群值的影响，更能反映数据的典型特征。

众数是一组数据中出现频率最高的数值。

众数常用于描述离散型数据的集中趋势，如衣服尺码、颜色等。

二、离散程度离散程度是用来描述数据的分散程度的统计指标。

常用的离散程度指标有极差、方差和标准差。

极差是一组数据的最大值与最小值之间的差异。

极差越大，数据的离散程度越大。

方差是一组数据与其平均数之差的平方和的平均数。

方差可以衡量数据的离散程度，值越大表示数据越分散。

标准差是方差的平方根，它和方差具有相同的度量单位。

标准差是最常用的衡量数据离散程度的指标，它能够直观地反映数据的离散程度。

三、常用的统计方法除了上述的指标外，还有一些常用的统计方法可以帮助我们更好地理解数据的集中趋势与离散程度。

箱线图是一种常用的可视化方法，它能够直观地展示数据的集中趋势和离散程度。

箱线图由一个箱体和两条线组成，箱体表示数据的四分位数，上下两条线表示数据的最大值和最小值，异常值可以通过箱线图来观察和判断。

正态分布是一种常见的概率分布，它的均值和标准差可以完全描述数据的集中趋势和离散程度。

通过正态分布的偏度和峰度指标，我们可以判断数据是否符合正态分布。

回归分析是一种常用的统计方法，它可以帮助我们建立数据的数学模型，进而预测和解释数据的集中趋势和离散程度。

【个人精编】数据集中趋势和离散程度笔记

数据的集中趋势和离散程度笔记一、知识点梳理知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。

（1）平均数算术平均数（简称为平均数）：121()n xx x x n（公式一）①一般地，如果在一组数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，……，x k 出现f k 次，（f 1，f 2，…f k 为正整数），则这组数据的平均数：当n 个数据中某些数据反复出现时，用该公式较简洁； f 1+f 2+…+f k =n （数据的总个数）。

②一般地，如果一组数据都在某个数a 上下波动时，就可以采用把原来每个数据都减去a ，得一组新数据，再算得这组新数据的平均数'x ，这样原来数据的平均数是：x ＝a ＋'x （公式三）平均数定义公式和两个简化计算公式都很重要，应根据具体情况，恰当选用。

特别的：一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，①若每个数据都扩大a 倍，即ax 1，ax 2，…，ax n ，则平均数也扩大a 倍，即a x ； ②若每个数据都增加b ，即x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b ，则平均数增加b ，即x ＋b ； ③若每个数据都扩大a 倍后又都增加b ，则平均数也扩大a 倍后增加b ，即a x ＋b ．当数据组中数据较大又在某个数值左右波动或数据之间存在某种倍数关系时，利用这些规律求平均数比较直接、简便。

加权平均数在计算数据的平均数时，往往根据其重要程度，分别给每个数据一个“权”，由此求出平均数叫做加权平均数。

恒量各个数据“重要程度”的数值叫做权。

相同数据的个数叫做权，这个“权”含有所占分量轻重的意思。

ω1越大，表示x 1的个数越多，于是x 1的“权”就越重。

若n 个数x 1，x 2，…，x n 的权是分别是ω1，ω2，…，ωn ，则x ＝nnn x x x ωωωωωω++++++ 212211① 当ω1＝ω2＝…＝ωn ，即各项的权相等时，加权平均数就是算术平均数。

数据的集中趋势与离散程度

数据的集中趋势与离散程度数据在现代社会中扮演着重要的角色，它们不仅可以揭示事物的本质和规律，还可以为决策提供支持。

在数据分析中，我们经常会关注数据的集中趋势和离散程度，这些指标能够帮助我们更好地理解数据的特征和分布。

本文将探讨数据的集中趋势和离散程度，并介绍一些常用的统计量和方法。

一、集中趋势集中趋势是描述数据分布中心位置的指标，它能够反映数据的平均水平。

常见的集中趋势统计量有均值、中位数和众数。

均值是数据的算术平均值，它是将所有数据相加后再除以数据个数得到的结果。

均值能够反映数据的总体水平，但受极端值的影响较大。

例如，一个班级的学生年龄平均值是15岁，但如果班级中有一个20岁的学生，那么平均值就会被拉高。

因此，在计算均值时需要注意数据的分布情况。

中位数是将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。

中位数能够较好地反映数据的中心位置，不受极端值的影响。

例如，一个班级的学生年龄中位数是14岁，即有一半学生的年龄小于等于14岁，另一半学生的年龄大于等于14岁。

众数是数据中出现次数最多的数值。

众数能够反映数据中的典型值，但可能存在多个众数或无众数的情况。

例如，一个班级的学生身高众数是160cm，即身高为160cm的学生最多。

二、离散程度离散程度是描述数据分布的分散程度的指标，它能够反映数据的波动情况。

常见的离散程度统计量有范围、方差和标准差。

范围是数据的最大值与最小值之间的差异。

范围能够简单地反映数据的离散程度，但容易受极端值的影响。

例如，一个班级的学生成绩范围是60分到100分，范围为40分，但如果有一个学生得了0分或者满分150分，范围就会变得不够准确。

方差是数据与均值之间差异的平方的平均值。

方差能够较好地反映数据的离散程度，但计算过程较为繁琐。

方差越大，数据的离散程度越高。

例如，一个班级的学生成绩方差为100，说明学生成绩波动较大。

标准差是方差的平方根，它与方差具有相同的度量单位。

标准差能够在方差的基础上更好地理解数据的离散程度。

数据分析中的中心趋势及离散程度分析

决策制定
中心趋势及离散程度分析在决策制定中的应用，可以帮助企业了解数据的分布情况，从而做出更准确的决策。
通过中心趋势及离散程度分析，可以评估不同方案的风险和不确定性，为决策者提供更加全面的信息。
在制定战略规划时，中心趋势及离散程度分析可以用于评估市场趋势和竞争态势，从而制定更加有效的战略计划。
中心趋势及离散程度分析有助于发现市场中的机会和威胁，为制定营销策略提供依据
在市场调研中，中心趋势及离散程度分析可以与其他统计方法结合使用，以更全面地了解市场状况
质量控制
质量控制：中心趋势及离散程度分析用于评估生产过程中的产品质量，识别异常值并采取相应措施。
质量控制：通过分析数据分布和离散程度，确定产品规格和公差，确保产品质量符合要求。
在投资决策中，中心趋势及离散程度分析可以帮助投资者了解投资组合的风险情况，从而做出更加明智的投资决策。
Part 05
中心趋势及离散程度分析的优缺点
优点
中心趋势及离散程度分析可以直观地展示数据的分布情况，帮助我们了解数据的集中趋势和离散程度。
通过中心趋势及离散程度分析，我们可以快速地发现异常值和离群点，这对于数据清洗和预处理非常重要。
中心趋势及离散程度分析可以提供关于数据稳定性和可靠性的信息，有助于我们做出更准确的预测和决策。
中心趋势及离散程度分析是一种非常通用的方法，可以应用于各种不同的领域和场景，具有广泛的应用价值。
缺点
计算复杂：中心趋势及离散程度分析需要计算多个统计量，计算过程较为复杂。
对异常值敏感：离散程度分析对异常值较为敏感，异常值可能会对分析结果产生较大影响。

数据的集中趋势和离散程度知识点

数据的集中趋势和离散程度知识点文章一：《啥是数据的集中趋势？》朋友们，咱今天来聊聊数据的集中趋势。

比如说，咱班这次考试的成绩。

要是大部分同学都考了 80 分左右，那 80 分就可能是这个成绩数据的集中趋势。

再比如，咱去菜市场买菜。

一堆苹果，大多数都在半斤左右，那半斤就是这堆苹果重量数据的集中趋势。

像平均数、中位数和众数，都是能帮咱找到数据集中趋势的好帮手。

就拿平均数来说，一家人一个月的水电费，把所有费用加起来除以天数，得到的那个数就是平均数，能大概反映出这家人每天用水电的平均情况。

数据的集中趋势能让咱一下子就明白一堆数据的中心在哪儿，是不是挺有用？文章二：《走进数据的集中趋势》亲爱的小伙伴们，今天咱们来探索一下数据的集中趋势。

想象一下，学校运动会上，大家跑步的时间。

如果很多同学都在2 分钟左右跑完，那 2 分钟差不多就是跑步时间这个数据的集中趋势啦。

还有，大家一起收集树叶，看看树叶的大小。

要是多数树叶的面积都差不多，那这个差不多的大小就是树叶面积数据的集中趋势。

咱举个例子哈，一个班级同学的身高，把所有人的身高加起来除以人数，得到的那个数就是平均身高。

这个平均身高就能让咱知道这个班同学大概的身高水平。

再比如说，一组数字 3、5、5、7、8，这里面 5 出现的次数最多，那 5 就是众数，也是这组数据的集中趋势之一。

所以说，了解数据的集中趋势能帮咱快速抓住重点，是不是很有意思？文章三：《数据的集中趋势，你懂了吗？》朋友们好呀！今天咱们要说的数据的集中趋势，其实不难理解。

比如说，咱们去超市买零食，看各种零食的价格。

要是大部分零食都在 5 块钱左右，那 5 块钱就是这些价格数据的集中趋势。

再比如，咱们统计一个月里每天的气温。

如果有好多天的气温都在 25 度上下，那 25 度就可能是这个气温数据的集中趋势。

就拿咱班同学的零花钱来说吧，把大家的零花钱都加起来，再除以人数，算出来的那个数就是平均零花钱。

通过这个平均零花钱，咱能大概知道同学们零花钱的一般情况。

数据的集中趋势和离散程度

数据的集中趋势和离散程度作者：***来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第06期客觀事物带有各种信息，这些信息的表现形式和载体叫作数据.例如，测量温度、湿度、气压、风力、风向等所产生的各种记录，都是研究气象问题离不开的数据，统计过程主要分为三步：第一步是收集数据;第二步是整理数据，即对收集的原始数据进行整理、加工，从中提取出数据的代表;第三步是分析数据，即通过数据的代表研究数据中蕴涵的规律，从而研究已发生的事或预测将发生的事.一、数据的集中趋势分析数据时，通常关注“一组数据围绕哪个中心数值分布”.这个问题关系到一组数据的平均水平或一般情况，对发现事物的内在规律有重要参考价值，在统计学中，把一组数据向某一中心数值靠拢的情形，称为这组数据的集中趋势，为描述数据的集中趋势，可以选择不同的数据代表.如果从数据取值大小的角度描述，可用平均数作为数据代表：如果从数据排列位置的角度描述，可用中位数作为数据代表;如果从不同数据出现次数的角度描述，可用众数作为数据代表.这三个数据代表从不同角度反映数据的集中趋势，它们各有各的作用，分别适合于不同情况的数据分析.例1 为比较A，B两个玉米品种，将它们分别种植在面积相等的多块试验田中，每块试验田只种一种玉米，下表记录了两种玉米收获后的产量分布情况.表中第一行为单块试验田产量，下面两行分别为A，B两个品种中与第一行产量对应的试验田的块数.根据表中的数据解答下列问题：（1）分别求A，B两种玉米单块试验田产量的平均数，并说明其意义;（2）分别求A.B两种玉米单块试验田产量的中位数，并说明其意义：（3）分别求A，B两种玉米单块试验田产量的众数，并说明其意义.解：（1）从表中可知.A种玉米单块试验田产量（单位：kg）为700，750，800，850，900，950的试验田块数分别为4，20，26，20，18 ，12.通过计算加权平均数，得A种玉米单块试验田产量的平均数为XA=832 kg.同理，B种玉米单块试验田产量的平均数为xB≈ 827 kg.从计算结果可知，在单块试验田平均产量上A比B高5 kg.加权平均数与通常的算术平均数本质相同，即n个数之和除以n的结果，只是加权平均数计算起来更简捷.（2）将A的全部单块试验田产量（共100个）从小到大依次排列，相同的数据重复写，这100个数据中处于正中间位置的是第50个数据800和第51个数据850，这两数的平均数（800+850）÷2=825为A种玉米单块试验田产量的中位数，将B的全部单块试验田产量（共99个）从小到大依次排列，相同的数据重复写，这99个数据中处于正中间位置的是第50个数据850，它为B种玉米单块试验田产量的中位数.从计算结果可知，A的数据中小于825的和大于825的各占50个;B的数据中第50个数据850之前和之后的数据各占49个.这说明825 kg和850 kg可以分别作为A，B两种玉米单块试验田产量的中等水平的代表.中位数可以不是原始数据.排序时既可以从小到大，也可以从大到小，两种排法找出的中位数相同.（3）A的全部数据（共100个）中，出现次数最多的是800 kg（26次），800 kg即这组数据的众数.B的全部数据（共99个）中，出现次数最多的是800 kg（25次）和850 kg （25次），800 kg和850 kg都是这组数据的众数.从计算结果可知，虽然各块试验田中产量不尽相同，但也可能有规律存在，即在一般情形下，A的单块试验田产量是800 kg的可能性较大，B的单块试验田产量是800 kg或850 kg的可能性较大.可以看出，一组数据的众数可能是一个，也可能不止一个.众数是原始数据中的数据.平均数是最常用的一个数据代表，它通常能反映一组数据的平均水平.平均数的计算，要用到原始数据中的每一个数据.因此，一组数据中如有极端值（与多数数据相比过大或过小的个别数据）时，极端值可能对平均数影响较大.这种情形下如仍用平均数作为数据代表，往往与多数数据的大小产生较大偏差，不能恰如其分地反映一组数据的中心数值，这时，选择中位数或众数作为数据代表，或更能客观地反映一组数据的中心数值，例2 下表为某地9月份每天空气中细颗粒物（即PM 2.5）的测定值及相应的天数.（1）分别求表中数据的平均数、中位数和众数.（2）所得的平均数能客观反映该地9月份空气中细颗粒物的含量吗？解：（l）平均数约为34.9 yg/m3，中位数为24μg/m3，众数为24 μg/m3.（2）观察表中数据不难发现，30天中有29天的测定值都不超过25 μg/m3，它们与平均数差距较大;30天中只有1天的测定值360μLg/m3远高过平均数，这可能是由于一次突发事故造成了空气严重污染.显然，因为有360这个极端值，才使得平均数的值很大.如果以平均数34.9 μg/m3作为数据代表，则不能客观反映该地9月份空气中细颗粒物含量的一般状况.而以中位数或众数24μg/m3作为数据代表，则能较好地反映客观实际.二、数据的离散程度“一组数据中各个数据与这组数据的中心数值的偏离程度有多大？”这是数据分析所关注的另一个主要问题，由它能从整体上描述这组数据的聚散状态.在统计学中，把一组数据中各个数据与这组数据的中心数值的偏离程度，称为这组数据的离散程度或离中程度.它反映一组数据大小的波动状态，从而描述了这组数据的稳定性.方差是表示离散程度的常用数据代表，它的计算方法是，先计算一组数据的平均数，再计算各数据与所得平均数之差的平方和，最后用所得平方和除以这组数据的个数，这个结果被用于反映一组数据与平均数的偏离程度，对数据的变化幅度给予了定量的刻画.例3 分别计算例1中A.B两组数据的方差，由所得方差你能看出哪种可能性？解：s2=4 876，s2≈5 061.从两个方差看，B的略大于A的，即B的数据比A的数据的离散程度略高，也即B的数据起伏略大，而A的数据相对来说略为稳定.同学们可能会想：为什么计算方差要用各数据与平均数之差的平方和？如果直接把各数据与平均数之差相加岂不更简单？一般情况下，一组数据中可能有些数据比平均数大，有些数据比平均数小.如果直接用它们减平均数，则这些差会有正有负，如果再把这些差相加，就会出现正负相抵，例如，一组数据为2，2，3，3，4，4，其平均数为3，各数据与平均数之差分别为一1，-1，0，0，1，1.这些差之和为0.但这并不意味着这组数据都是紧靠平均数的.使用各数据与平均数之差的平方和，则利用了平方的非负性，防止做加法时出现正负相抵而隐藏了相关数据对平均数的偏离.方差名称中的“方”正是“平方”的简称.你也许会问：为什么不用差的绝对值，而要用差的平方来分析离散程度呢？直接用绝对值不是也可以避免出现负数吗？不使用绝对值，是因为取绝对值在运算上要考虑差的正负，取差的平方则不需要考虑差的符号，而且只要四则运算即可获得避免正负相抵的效果.所以人们选择用差的平方来计算方差.观察下图，图1中数据的方差应大于图2中数据的方差，这一结论可通过测量距离或运用方差公式计算来证明.。