集中趋势与离散趋势
研究生统计学 集中和离散趋势的描述
从频数分布可见 大多数观察值集 中在小值一端， 102名患者中有 79.41%的人的 发铜值在10μg/g 以下，呈正偏态 分布。
102名男性脑卒中患者发铜分布
发铜（μg/g） 2～ 4～ 6～ 8～ 10～ 12～ 14～ 16～ 18～ 20～ 22～ 24～ 26～ 合计
频数 3 9 38 31 6 5 2 1 2 1 1 2 1
所在组的频数
Px
L
i (n
x% fL) fm
(nx%fL) i; fm位数应用
• 确定医学参考值范围 (reference range)： 如95％参考值范围＝P97.5－P2.5； 表示有95％正常个体的测量值在此范围。
• 中位数M与四分位数间距一起使用，描述偏 态分布资料的特征。
Glg 1
flfg Xl
g 1
flg X n
X可为单个对数值或组中值
某医院神经科用火焰原子吸收光谱法测定了102名男性脑 卒中患者头发中微量元素铜（Cu）的含量（μg/g）,资 料如下，求平均含量。
2.3 5.7 6.7 7.2 7.7 8.4 9.1 9.6 12.6 25.2 3.3 6.1 6.7 7.2 7.8 8.5 9.1 9.8 12.8 25.6 3.4 6.2 6.8 7.3 7.8 8.6 9.2 9.8 13.4 26.4 4.0 6.3 6.8 7.4 7.8 8.6 9.3 9.9 13.8 4.1 6.3 6.9 7.5 7.8 8.7 9.4 10.1 15.3 4.2 6.4 7.0 7.5 7.9 8.7 9.4 10.2 15.6 4.4 6.5 7.1 7.5 8.0 8.8 9.4 10.6 17.4 5.1 6.5 7.1 7.6 8.1 8.8 9.5 10.9 18.5 5.4 6.5 7.1 7.6 8.2 8.9 9.6 11.0 18.7 5.5 6.5 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 11.6 20.3 5.7 6.7 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 12.5 23.2
集中趋势和离散趋势
集中趋势和离散趋势集中趋势和离散趋势是描述数据分布特征的两个重要概念。
集中趋势用于衡量数据的中心位置，一般用平均值、中位数和众数来表示；而离散趋势则用于量化数据的分散程度，常用的度量包括范围、方差和标准差等。
首先，集中趋势是指数据的中心位置，它反映了数据的一般水平。
平均值是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数，它具有高可操作性和表达性，但对于含有极端值的数据可能会有较大的偏差。
中位数是将一组数据按大小顺序排列后位于数列中间的数值，它对异常值不敏感，能够更好地展示数据整体分布情况。
众数是一组数据中出现频率最高的数值，常用于描述离散型数据的集中趋势。
其次，离散趋势是指数据的分散程度或分布的离散程度，它反映了数据的差异程度。
范围是数据的最大值和最小值之间的差异，它直观地反映了数据的波动范围。
方差是数据与平均值之间差异的平均值，它衡量了数据整体的离散程度，数值越大表示数据越分散。
标准差是方差的平方根，它具有与原始数据相同的度量单位，常用于度量连续型数据的离散趋势。
集中趋势和离散趋势在统计学中有广泛的应用。
在描述数据特征时，通过集中趋势可以直观地了解数据的中心位置和一般水平，从而具有参考价值。
而离散趋势则帮助我们了解数据的变异程度，通过度量数据的分散程度可以判断数据的稳定性和可靠性。
这两个概念相辅相成，共同构成了对数据特征的全面描述。
当进行数据分析和决策时，我们需要同时考虑数据的集中趋势和离散趋势。
集中趋势能够帮助我们了解数据的普遍水平，为个体或群体的表现提供参考，而离散趋势可以帮助我们判断数据的稳定性和差异程度，进而做出更加准确的决策。
总之，集中趋势和离散趋势是描述数据特征的两个重要概念。
集中趋势用于衡量数据的中心位置，离散趋势用于度量数据的分散程度。
它们互为补充，帮助我们全面了解数据的特征，从而更好地进行数据分析和决策。
正态分布的集中趋势和离散统计指标
正态分布的集中趋势和离散统计指标在统计学中，正态分布是一种非常重要且常见的概率分布，也被称为高斯分布。
它具有许多重要特性，其中包括集中趋势和离散统计指标。
在本文中，我们将探讨正态分布的集中趋势和离散统计指标，以及它们在实际应用中的意义和重要性。
1. 集中趋势指标正态分布的集中趋势指标是描述数据集中取值位置的统计量。
常见的集中趋势指标包括均值、中位数和众数。
其中，均值是所有数据值的平均数，是最常用的集中趋势指标之一。
在正态分布中，均值通常位于分布的中心位置，并且具有对称性。
除了均值，中位数和众数也是描述集中趋势的重要指标。
中位数是将数据集等分为两部分的数值，而众数则是数据集中出现最频繁的数值。
在实际应用中，集中趋势指标可以帮助我们理解数据分布的中心位置，判断数据的平均水平，并做出相应的决策。
在财务报表分析中，我们可以利用均值来评估企业的盈利水平，进而制定财务策略和规划预算。
在医学研究中，研究人员也常用中位数来描述疾病的发病率，以便做出治疗方案和预防措施。
2. 离散统计指标除了集中趋势指标外，正态分布还具有离散统计指标，用于描述数据的分散程度和波动性。
常用的离散统计指标包括标准差、方差和极差。
标准差是数据偏离均值的平均距离，是描述数据离散程度的重要统计量。
方差则是标准差的平方，用于衡量数据的波动性和离散程度。
另外，极差是描述数据取值范围的统计量，可以帮助我们了解数据的最大和最小取值之间的差异程度。
在实际应用中，离散统计指标可以帮助我们评估数据的波动性和风险程度，从而制定相应的风险管理和控制策略。
在金融投资中，我们可以利用标准差来衡量资产价格的波动性，进而评估投资风险并调整投资组合。
在生产制造中，研究人员也常用方差来评估生产过程的稳定性和一致性，以便提高生产效率和质量。
个人观点和理解对于正态分布的集中趋势和离散统计指标，我认为它们在数据分析和决策制定中起着至关重要的作用。
集中趋势指标可以帮助我们理解数据的中心位置，从而判断平均水平和典型取值。
集中和离散趋势指标
集中和离散趋势指标1.引言1.1 概述概述部分将介绍集中和离散趋势指标的基本概念和背景。
集中趋势指标和离散趋势指标是统计学中常用的分析工具，用于描述和度量数据集中和离散程度的重要指标。
在实际问题中，我们经常遇到需要描述和分析数据集中和离散程度的情况。
集中趋势指标主要关注数据的中心值，用于度量数据集中在何处，以及数据的均匀分布程度。
而离散趋势指标则用于度量数据的分散程度，即数据的离散程度有多大。
集中趋势指标和离散趋势指标在统计学、经济学、金融学等领域被广泛应用。
例如，在统计学中，我们常常使用平均值、中位数、众数等指标来描述数据的集中趋势；而方差、标准差、极差等指标则用于度量数据的离散趋势。
本文将分别介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义和解释，并列举一些常见的集中趋势指标和离散趋势指标的示例。
通过对这些指标的应用和分析，我们能够更加客观地了解数据的分布特征，为后续的数据分析和决策提供依据。
在下一章节的正文部分，我们将详细介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义、计算方法和使用场景。
希望通过本文的介绍，读者能够对集中和离散趋势指标有一个全面的认识，并能够在实际应用中灵活运用这些指标，提高数据分析的精确性和准确性。
接下来，我们将开始介绍集中趋势指标的相关内容，包括定义和解释等方面的内容。
敬请关注！1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将围绕集中和离散趋势指标展开讨论。
首先，在引言部分进行概述，介绍集中和离散趋势指标的基本概念和作用。
然后，通过分析文章目录可以看出，正文部分将重点介绍集中趋势指标和离散趋势指标，包括它们的定义和解释以及常见的指标类型。
最后，在结论部分对集中趋势指标和离散趋势指标的应用进行总结。
具体而言，在正文部分，我们会首先介绍集中趋势指标，包括其定义和解释。
随后，会详细介绍一些常见的集中趋势指标，例如均值、中位数和众数等。
这些指标能够反映数据集中在某个位置或数值上的趋势，有助于我们对数据的整体特征进行理解和分析。
3第三章 集中趋势和离散趋势
f
2
Sm1 i
fm
式中： U ——中位数所在组的上限
Sm1 ——大于中位数组的各组次数之和
中位数最大的特点是：它是序列中间1项或2项的平均数，不受极 端值的影响，所以在当一个变量数列中含有特大值与特小值的情 况下，采用中位数较为适宜。正式由于中位数的这一特点，在统 计研究中，当遇到掌握统计资料不多而且各标志值之间差异程度 较大或频数分布有偏态时，为避免计算标志值所得的算术平均数 偏大或偏小，就可利用中位数来表示现象的一般水平。
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4. 中位数
中位数是一种按其在数列中的特殊位置而决定的平均数。把总 体各单位标志值按大小顺序排列后，处在中点位次的标志值就 是中位数，它将全部标志值分成两个部分，一半标志值比它大， 一半标志值比它小，而且比它大的标志值个数和比它小的标志 值个数相等。
要求得中位数，首先要确定中位数的位次。
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用偏度系数准确地测定分布的偏斜程度和进行比较分析。
※ Pearson偏度系数，用SK 表示。
SK X MO
SK 为无量纲的系数，通常取值在-3~+3之间。绝对值越大，
说明分布的倾斜程度越大。
SK =0 SK > 0 SK < 0
对称分布 右偏分布 左偏分布
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过给定的范围，就说明有不正常情况产伤。但极差受到极端是的影响，测
定结果往往不能反映数据的实际离散程度。
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2. 四分位差
四分位差是根据四分位数计算的。首先把变量各单位标志值从 小到大排序，再将数列四等分，处于四分位点位次的标志值就 是四分位数，记作 M1，M2，M3 ，M1 为第一四分位数（也称为下 四分位数），M2 为第二四分位数，就是中位数 Me ，M3 为第三 四分位数。 四分位差的计算公式为： 四分位差 M3 M1
集中趋势与离散趋势
允许用户自定义查询条件、筛选数据和调整图表 参数，以便更深入地探索数据的内在规律和关联 关系。
数据动画
将数据变化过程以动画形式展现出来，帮助用户 更直观地理解数据的变化趋势和动态特征。
06 总结与展望
CHAPTER
主要发现与结论
集中趋势描述
通过平均数、中位数和众数等指标，可以有 效地描述数据的集中趋势，反映数据分布的 中心位置。
众数
一组数据中出现次数最多的数。众数可能不唯一，也可能不存在。众数适用于分类数据和顺序数据，对于数值型 数据，如果数据分布的波动性较大，众数可能不能很好地代表数据的集中趋势。
03 离散趋势
CHAPTER
定义与概念
离散趋势
指一组数据中各数值之间的差异程度 或离散程度，是数据分布的另一个重 要特征。
直方图（Histogram）
将数据按照一定范围进行分组并用矩形条表示，通过矩形条的高度和宽度反映数据的分布 规律。
散点图（Scatter Plot）
用点的位置表示两个变量之间的关系，可通过观察点的分布情况和趋势线分析数据的集中 和离散趋势。
动态数据可视化在趋势分析中的应用
1 2 3
时间序列分析
通过动态展示数据随时间变化的情况，揭示数据 的长期趋势、季节波动和周期性规律。
• 关注数据质量和异常值处理：在实际数据分析中，异常值和数据质量问题是不 可忽视的。未来的研究可以关注如何有效地处理异常值和数据质量问题，以提 高集中趋势和离散趋势分析的准确性和可靠性。例如，可以采用稳健的统计方 法或者数据清洗技术对异常值进行处理，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
谢谢
THANKS
Tableau
功能强大的数据可视化工具，支持交互式数据分析和动态图表展示， 适用于大数据处理。
集中趋势离散趋势分布形态
集中趋势离散趋势分布形态【最新版】目录1.什么是集中趋势和离散趋势2.集中趋势的度量指标3.离散趋势的度量指标4.集中趋势和离散趋势的应用正文集中趋势和离散趋势是统计学中常用的概念，用于描述一组数据的特征。
集中趋势是指一组数据所趋向的中心数值，而离散趋势则是指数据值之间的差异程度。
集中趋势的度量指标包括算术均数、几何均数、中位数和百分位数。
算术均数是一组数据所有数值的和除以数据个数，它对总体的平均水平具有代表性。
几何均数适用于描述正偏态分布的数据集，它是所有数据值的乘积的 n 次方根。
中位数是一组数据排序后位于中间位置的数值，它对总体的中心位置具有代表性。
百分位数则是将一组数据按照大小排序后，某个百分比位置的数值。
离散趋势的度量指标包括方差、标准差、范围、四分位差和离散系数。
方差是一组数据与其算术均值之差的平方和的平均值，它反映了数据的波动程度。
标准差是方差的平方根，它也是描述数据离散程度的一个常用指标。
范围是一组数据中最大值与最小值之差，它反映了数据的范围。
四分位差是一组数据中上四分位数与下四分位数之差，它用于描述数据的中间50% 范围内的离散程度。
离散系数是标准差与算术均值之比，它用于比较不同单位或量级的数据集的离散程度。
集中趋势和离散趋势在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，可以使用集中趋势度量指标来描述收入、财富或产量的分布情况，而离散趋势度量指标则可以用来评估经济不平等程度或市场竞争程度。
在生物学中，集中趋势和离散趋势可以用来描述生物种群的特征，如平均寿命、身高、体重等。
在教育学中，集中趋势和离散趋势可以用来评估学生的学术表现，如平均成绩、成绩分布等。
总之，集中趋势和离散趋势是描述数据特征的重要概念，它们在实际应用中有着广泛的应用价值。
第3章集中趋势和离散趋势lily
例
投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的，25年的年利 率分配是：有1年为3%，有4年为5%，有8年为8%，有10年为10%， 有2年为15%，求平均年利率。
利率(%) 3 5 8 10 15 合计 年数 1 4 8 10 2 25
平均本利率 1.031.05 1.08 1.1 1.15
• 例如：某企业共有8名高层管理人员，其月 工资分别为（单位：元）：2000、2050、 2150、2180、2200、2200、2500、2800，计 算该企业8位高层管理人员的平均工资。
平均工资 2000 2050 2150 2180 2200 2200 2500 2800 8 2260 （元）
• 一般情况下，几何平均数主要用于计算： • （1）流水生产线产品的平均合格率； • （2）按复利计息时，计算若干年的平 均利率； • （3）一定时期现象的平均发展速度。
五、中位数
Me
1.概念： 将总体中各单位标志值按大小顺序排列， 居于中间位置的那个标志值就是中位数。
2.中位数的计算方法
① 由未分组资料确定中位数
实际产值总额 （2）平均计划完成程度 计划产值总额 （各企业实际产值） 各企业实际产值 （ 各企业计划完成程度） 1140 13440 2300 1140 13440 2300 95% 105% 115% 16880 105.5% 16000
练习题
• 1、某企业职工工资资料如下表所示
中位数的位置 n1 2 ( n为总体单位数)
⑴ n为奇数时，则居于中间位置的那个标志值就是中位数。
例
有五个工人生产某产品件数，按序排列如下： 20，23，26，29，30 n 1 5 1 3 2 2 即，第3位工人日产26件产品为中位数：M e 26(件) 中位数位置
数据的集中趋势与离散程度
（一）知识要点知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。
知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。
极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。
知识点3：生活中与极差有关的例子在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。
一家公司成员中最高收入与最低收入的差。
知识点4：平均差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数即T=叫做这组数据的“平均差”。
“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。
知识点5：方差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。
知识点6：标准差方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。
知识点7：方差与平均数的性质若x1，x2，…x n的方差是S2，平均数是，则有①x1+b，x2+b…x n+b的方差为S2，平均数是+b②ax1，ax2，…ax n的方差为a2s2，平均数是a③ax1+b，ax2+b，…ax n+b的方差为a2s2，平均数是a+b同步练习：1为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑知识进行了10次测试，成绩如下：（单位：分）甲的成绩76849086818786828583乙的成绩82848589798091897479回答下列问题：（1）甲学生成绩的众数是分，乙学生成绩的中位数是分。
（2）若甲学生成绩的平均数为，乙学生成绩的平均数为，则与的大小关系是。
（3）经计算知=13.2，=26.36，这说明。
集中趋势和离散趋势课件
03
实时数据分析
在实时数据分析中，快速准确地计算集中趋势和离散趋势对于及时做出
决策具有重要意义。研究者们正在研究如何利用新的计算方法提高实时
数据分析的效率和准确性。
对决策的影响研究
决策支持
集中趋势和离散趋势的计算结果可以为决策提供重要支持，如市场预测、风险 评估等。研究者们正在研究如何更好地利用这些结果为决策提供依据。
新的计算方法
随着统计学的发展，新的计算方 法不断涌现，如机器学习算法、 人工智能技术等，这些方法可以 更快速、准确地计算集中趋势和
离散趋势。
算法优化
针对现有计算方法的不足，研究 者们正在不断优化算法，提高计 算效率和准确性，以满足日益增
长的数据处理需求。
可解释性研究
为了更好地理解计算结果，研究 者们正在研究如何提高计算方法 的可解释性，使非专业人士也能
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
集中趋势和离散趋势的 应用
在数据分析中的应用
描述数据分布情况
通过计算数据的集中趋势和离散 趋势，可以了解数据的分布情况 ，从而更好地理解数据的特点和
规律。
识别异常值
通过离散趋势分析，可以识别出数 据中的异常值，这些异常值可能对 数据分析结果产生重大影响，需要 特别关注。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
集中趋势和离散趋势 课件
目录
CONTENTS
• 集中趋势 • 离散趋势 • 集中趋势和离散趋势的应用 • 集中趋势和离散趋势的比较 • 集中趋势和离散趋势的未来发展
REPORT
集中和离散趋势
K n(n 1) ( xi x )4 3[ ( xi x )2 ]2 (n 1) (n 1)(n 2)(n 3)s 4
分组
K
4 ( M x ) fi i i 1
k
ns
4
3
峰度系数
K=0，数据服从标准正态分布 K>O，数据呈尖峰分布 K<0，数据呈平峰分布
总体方差
2
样本方差
2 ( X X ) i i 1
N
N
2 ( x x ) i i 1 n
s2
n 1
自由度
概念
一组数据中可以自由取值的个数 当样本数据的个数为n时，若样本均值 x 确 定后，只有n－1个数据可以自由取值，其中必 有一个数据不能自由取值，所以自由度为n－1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
A、B两组学生成绩
6 方差和标准差
方差（Variance）
各变量值与其平均数离差平方的平均数
图示 变量值 平均数 变量值 到均值 的距离
标准差（Standard
deviation，S.D.）
方差的平方根 标准差越大，变量值越分散，平均数解释力越低
方差的计算公式
小结
集中－离散
众数－异众比例 中位数－极差 四分位数－四分位差 平均数－方差、标准差、标准误、离散系数 选用哪组测度指标要根据掌握的数据的类型和分 析目的来确定
小结
表1 不同层次数据的集中趋势测量指标 众数 分 定类 变量值 类 定序 连 定距 变量值 续 组中值 定比 计算 中位数 平均数
集中趋势和离散趋势的作用和区别
集中趋势和离散趋势的作用和区别集中趋势和离散趋势是统计学中常用的概念，它们用于描述数据分布的特征。
集中趋势主要关注数据的中心位置，而离散趋势则关注数据的分散程度。
它们在统计分析中起着不同的作用，下面我将详细介绍集中趋势和离散趋势的作用和区别。
集中趋势，也称为中心趋势，用于度量数据分布的中心位置。
最常用的度量值包括均值、中位数和众数。
均值是所有观测值的总和除以观测值的个数，它反映了数据的平均水平。
中位数是将所有观测值按照大小顺序排列，然后找出中间位置的值，它可以用来表示数据的中间水平。
众数是数据中出现次数最多的值，它能够描述数据的典型水平。
这些集中趋势的度量值可以帮助我们了解数据的整体趋势，识别潜在的规律和特征，并进行比较和推断。
集中趋势的作用主要有以下几个方面。
首先，它可以提供数据的总体特征，帮助我们了解数据的平均水平和中间水平，从而更好地理解和分析数据。
其次，集中趋势可以用来进行数据的比较和推断。
通过比较不同数据集的均值、中位数和众数，我们可以判断两个数据集的差异和相似性，进而得出可能的结论。
此外，集中趋势还可以用来进行数据的预测和决策。
通过观察数据的中心位置，我们可以推断未来的趋势和发展方向，做出相应的决策。
离散趋势，也称为散布趋势，用于度量数据分布的分散程度。
最常用的度量值包括标准差、方差和范围。
标准差是观测值与均值之间差值的平方的平均值的平方根，它反映了数据的分散程度。
方差是标准差的平方，也是用于度量数据的离散程度。
范围是观测值的最大值和最小值之间的差，它可以用来描述数据的变化范围。
这些离散趋势的度量值可以帮助我们了解数据的分散程度，识别极值和异常值，并进行数据的采样和控制。
离散趋势的作用主要有以下几个方面。
首先，它可以帮助我们了解数据的分散程度和稳定性。
通过观察标准差、方差和范围的大小，我们可以得知数据的波动程度。
其次，离散趋势可以帮助我们识别异常值和极值。
通过观察数据的分散程度，我们可以判断是否存在异常情况，进而排除影响或做出相应的处理。
集中趋势和离散趋势
众数
(mode)
1. 2. 3.
出现次数最多的变量值
不受极端值的影响
一组数据可能没有众数或有几个众数
4.
主要用于分类数据，也可用于顺序数据 和数值型数据
The Mode 众数
1.
排序后处于中间位置上的值
50%
Me
50%
2. 不受极端值的影响 3. 主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能 用于分类数据
顺序数据的中位数
(例题分析)
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别
非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 甲城市
户数 (户)
24 108 93 45 30
累计频数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
位置 n 1 2 9 1 2 5
中位数 1080
数值型数据的中位数
(10个数据的算例)
【例】：10个家庭的人均月收入数据
排 位 序: 置: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
22 18 12 18 100
在所调查的50人中，购 买可口可乐的人数最多， 为15人，占总被调查人数 的30%，因此众数为“可 口可乐”这一品牌，即 Mo＝可口可乐
顺序数据的众数
(例题分析)
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 甲城市 户数 (户) 24 108 93 45 30 百分比 (%) 8 36 31 15 10
集中趋势、离散趋势的描述
频数 (2) 1 3 6 8 17 20 17 12 9 5 2 1 101
1´2.45 3´2.75 L1´5.75 409.75 X 4.06(mmol/L) 1 3L 1 101
2014-12-2 延安大学医学院计量资料统计描述 29
2、知识点：
①均数应用于呈正态分布或近似正态分布的计量资 料。 ②当资料呈正态分布时，均数位于分布的中心。 ③每个观察值都加一个常数A，则均数为原均数加
2014-12-2
延安大学医学院计量资料统计描述
23
二、平均水平（集中趋势）指标
统计上使用平均数（average）这一指标体
系来描述一组变量值的集中位置或平均水平。
常用的平均数有:
算术均数
几何均数 中 位 数
2014-12-2
众 数 调和均数
延安大学医学院计量资料统计描述
24
（一）算术均数
算术均数：简称均数（mean）
13.5
19.5
25.5
31.5
37.5
43.5.
血清转氨酶（mmol/L）
图2-2 115名正常成年女子血清转氨酶的频数分布
115名正常成年女子血清转氨酶（mmol/L）含量分布
转氨酶含量 12～ 15～ 18～ 21～ 24～ 27～ 30～ 33～ 36～ 39～ 42～45
2014-12-2 延安大学医学院计量资料统计描述
10
4．划记并统计频数
逐一划记
L X U
2014-12-2
延安大学医学院计量资料统计描述
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101名正常成年女子的血清总胆固醇（mmol/L）频数分布
组 段
(1) 2.30～ 2.60～ 2.90～ 3.20～ 3.50～ 3.80～ 4.10～ 4.40～ 4.70～ 5.00～ 5.30～ 5.60～5.90 合 计
四、单变量的描述统计离散趋势分析和集中趋势分析
解：Md位置
＝
成 绩 甲 乙 丙 丁 N
频 累计频次 次 cf 85 500 195 415 210 220 10 10 500 500
N＋ 1 2
500＋ 1 ＝ 2
＝250.5
中位值Md＝乙
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2、分组数据
根据统计表中的累积百分比，找出含有 50%的区间 找出含有50%区间的上界值U，下界值 L，上界累计百分数U%，下界累计百分 数L%以及组距等信息 根据线段对应成比例的原理，计算出累 计百分比为50%的变量值
O
fM
o
：众值的频次
44
异众比率(先找出众值.找到众值的频次分布)
表 1 家庭结构的频次分布表 家庭结构 频次 百分比 核心家庭 1050 49.3 直系家庭 720 33.8 联合家庭 110 5.2 其它 250 11.7 N 2130 100
【例1】：根据表1中 的数据，计算众值 和异众比率。
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n cf 2 Md L f
w
L：中位数组的下限 f：中位数组的频数 w：中位数组的组距 （U-L） cf：低于中位数组下 限的累加次数 n：全部个案数 Md位置=n/2 （上 下各50%的位置）
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ห้องสมุดไป่ตู้
例：分组数据：
首先将各组的次数累加起来
求中位数的位置： Md位置=n/2 =212/2=106
第106个位置在 25-35之间
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分组变量看作是一组连续的数值
10 25 94 12
?
106
35
124
30
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数据的集中趋势和离散程度知识点
数据的集中趋势和离散程度知识点文章一：《啥是数据的集中趋势？》朋友们，咱今天来聊聊数据的集中趋势。
比如说，咱班这次考试的成绩。
要是大部分同学都考了 80 分左右，那 80 分就可能是这个成绩数据的集中趋势。
再比如，咱去菜市场买菜。
一堆苹果，大多数都在半斤左右，那半斤就是这堆苹果重量数据的集中趋势。
像平均数、中位数和众数，都是能帮咱找到数据集中趋势的好帮手。
就拿平均数来说，一家人一个月的水电费，把所有费用加起来除以天数，得到的那个数就是平均数，能大概反映出这家人每天用水电的平均情况。
数据的集中趋势能让咱一下子就明白一堆数据的中心在哪儿，是不是挺有用？文章二：《走进数据的集中趋势》亲爱的小伙伴们，今天咱们来探索一下数据的集中趋势。
想象一下，学校运动会上，大家跑步的时间。
如果很多同学都在2 分钟左右跑完，那 2 分钟差不多就是跑步时间这个数据的集中趋势啦。
还有，大家一起收集树叶，看看树叶的大小。
要是多数树叶的面积都差不多，那这个差不多的大小就是树叶面积数据的集中趋势。
咱举个例子哈，一个班级同学的身高，把所有人的身高加起来除以人数，得到的那个数就是平均身高。
这个平均身高就能让咱知道这个班同学大概的身高水平。
再比如说，一组数字 3、5、5、7、8，这里面 5 出现的次数最多，那 5 就是众数，也是这组数据的集中趋势之一。
所以说，了解数据的集中趋势能帮咱快速抓住重点，是不是很有意思？文章三：《数据的集中趋势，你懂了吗？》朋友们好呀！今天咱们要说的数据的集中趋势，其实不难理解。
比如说，咱们去超市买零食，看各种零食的价格。
要是大部分零食都在 5 块钱左右，那 5 块钱就是这些价格数据的集中趋势。
再比如，咱们统计一个月里每天的气温。
如果有好多天的气温都在 25 度上下，那 25 度就可能是这个气温数据的集中趋势。
就拿咱班同学的零花钱来说吧，把大家的零花钱都加起来，再除以人数，算出来的那个数就是平均零花钱。
通过这个平均零花钱，咱能大概知道同学们零花钱的一般情况。
数据的集中趋势和离散程度
数据的集中趋势和离散程度作者：***来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第06期客觀事物带有各种信息，这些信息的表现形式和载体叫作数据.例如，测量温度、湿度、气压、风力、风向等所产生的各种记录，都是研究气象问题离不开的数据，统计过程主要分为三步：第一步是收集数据;第二步是整理数据，即对收集的原始数据进行整理、加工，从中提取出数据的代表;第三步是分析数据，即通过数据的代表研究数据中蕴涵的规律，从而研究已发生的事或预测将发生的事.一、数据的集中趋势分析数据时，通常关注“一组数据围绕哪个中心数值分布”.这个问题关系到一组数据的平均水平或一般情况，对发现事物的内在规律有重要参考价值，在统计学中，把一组数据向某一中心数值靠拢的情形，称为这组数据的集中趋势，为描述数据的集中趋势，可以选择不同的数据代表.如果从数据取值大小的角度描述，可用平均数作为数据代表：如果从数据排列位置的角度描述，可用中位数作为数据代表;如果从不同数据出现次数的角度描述，可用众数作为数据代表.这三个数据代表从不同角度反映数据的集中趋势，它们各有各的作用，分别适合于不同情况的数据分析.例1 为比较A，B两个玉米品种，将它们分别种植在面积相等的多块试验田中，每块试验田只种一种玉米，下表记录了两种玉米收获后的产量分布情况.表中第一行为单块试验田产量，下面两行分别为A，B两个品种中与第一行产量对应的试验田的块数.根据表中的数据解答下列问题：（1）分别求A，B两种玉米单块试验田产量的平均数，并说明其意义;（2）分别求A.B两种玉米单块试验田产量的中位数，并说明其意义：（3）分别求A，B两种玉米单块试验田产量的众数，并说明其意义.解：（1）从表中可知.A种玉米单块试验田产量（单位：kg）为700，750，800，850，900，950的试验田块数分别为4，20，26，20，18 ，12.通过计算加权平均数，得A种玉米单块试验田产量的平均数为XA=832 kg.同理，B种玉米单块试验田产量的平均数为xB≈ 827 kg.从计算结果可知，在单块试验田平均产量上A比B高5 kg.加权平均数与通常的算术平均数本质相同，即n个数之和除以n的结果，只是加权平均数计算起来更简捷.（2）将A的全部单块试验田产量（共100个）从小到大依次排列，相同的数据重复写，这100个数据中处于正中间位置的是第50个数据800和第51个数据850，这两数的平均数（800+850）÷2=825为A种玉米单块试验田产量的中位数，将B的全部单块试验田产量（共99个）从小到大依次排列，相同的数据重复写，这99个数据中处于正中间位置的是第50个数据850，它为B种玉米单块试验田产量的中位数.从计算结果可知，A的数据中小于825的和大于825的各占50个;B的数据中第50个数据850之前和之后的数据各占49个.这说明825 kg和850 kg可以分别作为A，B两种玉米单块试验田产量的中等水平的代表.中位数可以不是原始数据.排序时既可以从小到大，也可以从大到小，两种排法找出的中位数相同.（3）A的全部数据（共100个）中，出现次数最多的是800 kg（26次），800 kg即这组数据的众数.B的全部数据（共99个）中，出现次数最多的是800 kg（25次）和850 kg （25次），800 kg和850 kg都是这组数据的众数.从计算结果可知，虽然各块试验田中产量不尽相同，但也可能有规律存在，即在一般情形下，A的单块试验田产量是800 kg的可能性较大，B的单块试验田产量是800 kg或850 kg的可能性较大.可以看出，一组数据的众数可能是一个，也可能不止一个.众数是原始数据中的数据.平均数是最常用的一个数据代表，它通常能反映一组数据的平均水平.平均数的计算，要用到原始数据中的每一个数据.因此，一组数据中如有极端值（与多数数据相比过大或过小的个别数据）时，极端值可能对平均数影响较大.这种情形下如仍用平均数作为数据代表，往往与多数数据的大小产生较大偏差，不能恰如其分地反映一组数据的中心数值，这时，选择中位数或众数作为数据代表，或更能客观地反映一组数据的中心数值，例2 下表为某地9月份每天空气中细颗粒物（即PM 2.5）的测定值及相应的天数.（1）分别求表中数据的平均数、中位数和众数.（2）所得的平均数能客观反映该地9月份空气中细颗粒物的含量吗？解：（l）平均数约为34.9 yg/m3，中位数为24μg/m3，众数为24 μg/m3.（2）观察表中数据不难发现，30天中有29天的测定值都不超过25 μg/m3，它们与平均数差距较大;30天中只有1天的测定值360μLg/m3远高过平均数，这可能是由于一次突发事故造成了空气严重污染.显然，因为有360这个极端值，才使得平均数的值很大.如果以平均数34.9 μg/m3作为数据代表，则不能客观反映该地9月份空气中细颗粒物含量的一般状况.而以中位数或众数24μg/m3作为数据代表，则能较好地反映客观实际.二、数据的离散程度“一组数据中各个数据与这组数据的中心数值的偏离程度有多大？”这是数据分析所关注的另一个主要问题，由它能从整体上描述这组数据的聚散状态.在统计学中，把一组数据中各个数据与这组数据的中心数值的偏离程度，称为这组数据的离散程度或离中程度.它反映一组数据大小的波动状态，从而描述了这组数据的稳定性.方差是表示离散程度的常用数据代表，它的计算方法是，先计算一组数据的平均数，再计算各数据与所得平均数之差的平方和，最后用所得平方和除以这组数据的个数，这个结果被用于反映一组数据与平均数的偏离程度，对数据的变化幅度给予了定量的刻画.例3 分别计算例1中A.B两组数据的方差，由所得方差你能看出哪种可能性？解：s2=4 876，s2≈5 061.从两个方差看，B的略大于A的，即B的数据比A的数据的离散程度略高，也即B的数据起伏略大，而A的数据相对来说略为稳定.同学们可能会想：为什么计算方差要用各数据与平均数之差的平方和？如果直接把各数据与平均数之差相加岂不更简单？一般情况下，一组数据中可能有些数据比平均数大，有些数据比平均数小.如果直接用它们减平均数，则这些差会有正有负，如果再把这些差相加，就会出现正负相抵，例如，一组数据为2，2，3，3，4，4，其平均数为3，各数据与平均数之差分别为一1，-1，0，0，1，1.这些差之和为0.但这并不意味着这组数据都是紧靠平均数的.使用各数据与平均数之差的平方和，则利用了平方的非负性，防止做加法时出现正负相抵而隐藏了相关数据对平均数的偏离.方差名称中的“方”正是“平方”的简称.你也许会问：为什么不用差的绝对值，而要用差的平方来分析离散程度呢？直接用绝对值不是也可以避免出现负数吗？不使用绝对值，是因为取绝对值在运算上要考虑差的正负，取差的平方则不需要考虑差的符号，而且只要四则运算即可获得避免正负相抵的效果.所以人们选择用差的平方来计算方差.观察下图，图1中数据的方差应大于图2中数据的方差，这一结论可通过测量距离或运用方差公式计算来证明.。
03集中趋势与离散趋势
极差小表示资料比较集中，
极差大表示资料分散。 极差计算方便，但是由于它的值是由端点的变量值 决定的，因此个别远离群体的极值会极大的改变极 差，使它不能真正反映资料全体的分散程度。
（三）四分互差（Interquartile range）Q 用对应于c%↑为75%的变量值 Q和对应于 c%↑为25%的变 75 量值 Q相减，得到四分互差。 25
频次 累计频次
70 121 182 85 91 242 363 545 697 788
累计百分比C%↑
24.2 36.3 54.5 69.7 78.8
L(U % 25%) U (25% L%) Q25 U % L%
L(U % 75%) U (75% L%) Q75 U % L%
2、分组数据： 真实组界限
0.2-0.4 0.4-0.6 0.6-0.8 下界值L←0.8-1.0 →上界值U 1.0-1.2
频次 累计频次
累计百分比C%↑
121 182
363 545
36.3→下界累计百分比L% 54.5 →上界累计百分比U%
通过累计百分比中的50%点求出：
（1）根据统计表中的累计百分比， 找出含有50%的区间。
N f mo N
f mo 众值的频次。
异众比率越小，众值的代表性越好，信息量越 大。反之，一种比率越大，众值的代表性越差，所 提供的信息量越小。 异众比率是众值的补充。 例如：（男，10） 10 0 .2 50 （女，40）
（二）极差(range）R
——对定序以上变量分散程度的度量。 R=max-min（观察的最大值减去最小值） 例如：1，2，3，4，6 R=6-1=5
70
60
偏态分布的集中趋势和离散统计指标
偏态分布的集中趋势和离散统计指标我们来介绍偏态分布的集中趋势指标。
均值是最常用的集中趋势指标，它表示一组数据的平均值。
均值的计算方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
中位数是将一组数据按照从小到大的顺序排列，找出中间位置的数值，如果数据的个数为奇数，则中位数就是中间的那个数；如果数据的个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均值。
众数是一组数据中出现次数最多的数值，可能有一个或多个众数。
我们来介绍偏态分布的离散统计指标。
方差是衡量数据分散程度的指标，它表示一组数据与其均值的偏离程度。
方差的计算方法是将每个数据与均值的差的平方相加，然后除以数据的个数。
标准差是方差的平方根，它的计算方法和方差类似，但是标准差更常用，因为它和原始数据的单位一致。
偏态分布的集中趋势和离散统计指标对数据的分布特征有很大的影响。
对于正偏态分布，均值大于中位数，表示数据的右侧尾部较长；对于负偏态分布，均值小于中位数，表示数据的左侧尾部较长。
通过观察均值和中位数的关系，我们可以初步判断数据的偏斜方向。
而方差和标准差则可以衡量数据的离散程度，数值越大表示数据越分散，数值越小表示数据越集中。
在实际应用中，我们经常使用偏态分布的集中趋势和离散统计指标来描述和分析数据。
例如，在金融领域，我们经常使用均值来衡量资产的收益率，使用标准差来衡量资产的风险；在人口统计学中，我们使用中位数来描述人口的收入水平，使用方差来衡量人口的收入差距。
偏态分布的集中趋势和离散统计指标是统计学中重要的概念和工具，它们可以帮助我们理解和描述数据的分布特征，从而进行更准确的数据分析和决策。
通过合理选择和运用这些指标，我们可以更好地理解数据背后的规律，并将其应用到实际问题中。
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定量资料的统计描述
频数分布(frequency distrubution)
●1. 离散型变量资料的频数表编制：
●例：1998年某山区96名孕妇产前检查次数资料。
检查次数频数
0 1 2 3 4…4 7 11 13 26…
合计96
2. 连续型变量资料的频数表编制：
●（1）求极差（R）：极差=最大值－最小值。
●（2）划分组段：
●确定组段数（约10个）、组距（=R/10）、
组段上下限，将其分为若干组段。
●（3）清点各组段频数。
●（4）计算累计频数、累计频率。
R=173.6-154.7=18.9，组距= 18.9/10=1.89 ≈2
直方图
血型的频数分布表
血型频数频率(%) O20540.43 A112 22.09 B15029.59 AB407.89合计507100.00
频数分布图O A B AB
集中趋势（central ）的描述
●[定义]：
●描述一组观察值集中位置或平均水平的指标称为平均数（average）。
●[常用指标]：
●算术均数
●几何均数
●中位数
离散趋势（dispersion）描述●多组资料均数相同，只说明其集中趋势相同，还应考虑各组观察值相互之间距离情况。
●A 26 28 30 32 34
●B 24 27 30 33 36 ●C 26 29 30 31 34
变异系数的两个特点及相应的用途
●1、没有单位
–反映标准差占均数的百分比或标准差是均数的几倍–可用来比较度量衡单位不同的资料的变异度
●2、不受平均水平的影响
–反映的是以均数为基数的相对变异的大小
–比较均数相差悬殊的资料的变异度。