3第三章 集中趋势和离散趋势

f
2
Sm1 i
fm
式中： U ——中位数所在组的上限
Sm1 ——大于中位数组的各组次数之和
中位数最大的特点是：它是序列中间1项或2项的平均数，不受极 端值的影响，所以在当一个变量数列中含有特大值与特小值的情 况下，采用中位数较为适宜。正式由于中位数的这一特点，在统 计研究中，当遇到掌握统计资料不多而且各标志值之间差异程度 较大或频数分布有偏态时，为避免计算标志值所得的算术平均数 偏大或偏小，就可利用中位数来表示现象的一般水平。
返回本章
返回总目录
4. 中位数
中位数是一种按其在数列中的特殊位置而决定的平均数。把总 体各单位标志值按大小顺序排列后，处在中点位次的标志值就 是中位数，它将全部标志值分成两个部分，一半标志值比它大， 一半标志值比它小，而且比它大的标志值个数和比它小的标志 值个数相等。
要求得中位数，首先要确定中位数的位次。
返回本章
返回总目录
用偏度系数准确地测定分布的偏斜程度和进行比较分析。
※ Pearson偏度系数，用SK 表示。
SK X MO
SK 为无量纲的系数，通常取值在-3~+3之间。绝对值越大，
说明分布的倾斜程度越大。
SK =0 SK > 0 SK < 0
对称分布 右偏分布 左偏分布
返回本章
返回总目录
过给定的范围，就说明有不正常情况产伤。但极差受到极端是的影响，测
定结果往往不能反映数据的实际离散程度。
返回本章
返回总目录
2. 四分位差
四分位差是根据四分位数计算的。首先把变量各单位标志值从 小到大排序，再将数列四等分，处于四分位点位次的标志值就 是四分位数，记作 M1，M2，M3 ，M1 为第一四分位数（也称为下 四分位数），M2 为第二四分位数，就是中位数 Me ，M3 为第三 四分位数。 四分位差的计算公式为： 四分位差 M3 M1
1. 极差
极差是指一个数列中两个极端值即最大值与最小值之间的差异。 根据极差的大小能说明标志值变动范围的大小。其计算公式为：
极差＝最大标志值－最小标志值
根据组距数列求极差的计算公式为：
极差＝最高组上限－最低组下限
在实际工作中，极差可以用于检查产品质量的稳定性和进行质量控制。
在正常生产的条件下，产品质量稳定，极差在一定范围内波动，若极差超
n
n 1
用于估计总体标准差 。
在小样本的情况下，
S X X 2 较 S X X 2 为总体标准差 的更优
n 1
n
良的估计量 。
返回本章
返回总目录
5. 离散系数
上述的各种标志变异度指标，都是对总体中各单位指标 值变异测定的绝对量指标。而离散系数是测定总体中各 单位标志值变异的相对量指标，以消除不同总体之间在 计量单位、平均水平方面的不录
利用平均数、中位数、众数的位置关系大致判断分布是否 对称：
f
f
f
X
Mo Me X
X Me Mo
对称分布
X
X Me Mo
X Me Mo
左偏分布
X
Mo Me X
X Me Mo
右偏分布
偏态分布情况下平均数、中位数、众数有近似的关系：
M e M o 2( X M e )
在用几何平均数法计算平均数时，如果 N 大于2， 可采用对数法计算。计算公式为：
ln
XG

1 N
ln
X1
ln
X2
ln
X3
ln
Xn


1 N
ln X
返回本章
返回总目录
需要指出的是，当把几何平均数应用于经济现象时，必须注 意经济现象本身的特点。只有当标志总量表现为各个标志值 的连乘积时，才适合采用几何平均数方法来计算平均标志值。 一般来说，计算社会经济现象在各个时期的平均发展速度时， 要采用几何平均数。例如，工农业总产值年平均发展速度、 全国人口年平均发展速度等。
4
n 1 不是整数，则用 插值法 计算四分位数。
4
相邻位次上的标志值的加 权算术平均数
返回本章
返回总目录
（2）由分组资料计算四分位数。
第 i 四分位数的计算公式为：
i
M i Li
f
4
Smi1
f mi
di
(i 1, 2, 3)
式中：
Li ——第 i 四分位数所在组的下限； fmi ——第 i 四分位数所在组的次数；
i ——众数组的组距
返回本章
返回总目录
计算众数的上限公式为：
M0

U

d1
d1 d2
i
式中： U ——众数组的上限
众数的计算只适用于单位数较多，且存在明显的集中趋势的 情况，否则，计算众数时没有意义的。
返回本章
返回总目录
离散趋势的测度
离散趋势的测度，在统计学中也称为指标变异指标，是用来描述数 列中指标值的离散趋势与离散程度的。常用的标志变异指标有极差、 平均差和标准差等。
返回本章
返回总目录
5. 众数
众数是一种位置平均数。众数是总体单位中，标志值出现次 数最多的那个数值。 为了确定众数的具体数值，可以利用 下限公式或上限公式加以计算。
计算众数的下限公式为：
M0
L d1 i d1 d2
式中： M0 ——众数
L ——众数组的下限
d1 ——众数组次数与上一组次数之差 d2 ——众数组次数与下一组次数之差
f ——总次数，即各组次数总和；
Smi1 ——小于第 i 四分位数所在组的各组次数之和；
di ——第i 四分位数所在组的组距。
返回本章
返回总目录
四分位差与极差相比较： 四分位差是对极差的一种改进。与极差相比，四分位差因不受 极值的影响，在反映数据的离散程度方面比极差准确，具有较 高的稳定性；同时，对于存在开口的组距数列，不能计算极差， 但可以计算四分位差。 四分位差和极差一样，不能充分利用数据的全部信息，也无法 反映标志值的一般变动。
※ 动差法（或称矩法）计算偏度系数，用 表示。
定义变量X关于A的K阶矩（对未分组资料）： M=∑(X-A)K/n
• 当 A=0，即以原点为中心，M 称为K 阶原点矩，用MK表示。 K=1，2，3时，有： 一阶原点矩M1=∑(X-0)1/n=∑X/n 二阶原点矩M2=∑(X-0)2/n=∑X2/n 三阶原点矩M3=∑(X-0)3/n=∑X3/n
•当 A= X ，即以 X 为中心，M 称为K 阶原点矩，用mK表示。
K=1，2，3时，有： 一阶中心矩 二阶中心矩 三阶中心矩
m1 ( X X )1 / n 0 m2 ( X X )2 / n
m3 ( X X )3 / n
返回本章
返回总目录
偏度系数 的计算公式：
i1
返回本章
返回总目录
2. 调和平均数
调和平均数又称“倒数平均数”，它是根据各标志值的倒数 来计算的平均数，即各个标志值倒数的算术平均数的倒数。 调和平均数也分简单调和平均数和加权调和平均数。
简单调和平均数的计算公式为：
1

1 X1

1 X2

1 X3

1 Xn
即
XH
N
X H
1
XX f A.D. f
返回本章
返回总目录
4. 方差和标准差
未分组资料时，方差的公式为：
2
2
X X
N
标准差的公式为：

X X 2
N
分组资料时，方差的公式为：
2
2
XX f
f
标准差的公式为：

X X 2 f
f
式中： X
X N
1
N 1

1

N 1
X1 X2 X3
Xn
X
设m为权数，则加权调和平均数的计算公式为：
1

m1 m2 m3 mn
X1 X2 X3
Xn
则
XH
m1 m2 m3 mn
n
X H
m1 m2 m3 mn m1 m2 m3 mn
返回本章
返回总目录
（1）简单算术平均数
将总体的各个单位标志值简单相加，然后除以单位个数，求出
的平均标志值，叫做简单算术平均数。简单算术平均数的计算
公式为：
n
X X1 X 2 X3 X n i1 Xi
N
N
式中：
X ——算术平均数
X i ——第i个单位的标志值，i＝1，2，3,…,n

mi
i1
n mi
X1 X 2 X 3
X n X i1 i
返回本章
返回总目录
3. 几何平均数
几何平均数是计算平均比率和平均速度最适用的一种方法。 几何平均数有简单几何平均数和加权几何平均数之分。 简单几何平均数是 N 个标志值连乘积的 n 次方根。
其计算公式为： X G n X1 X 2 X 3 X n N X
数主要有平均差离散系数 VA.D. 和标准差离散系数 V
其公式分别为：
V
A.D.
A.D. 100% X

V X 100%
返回本章
返回总目录
6. 偏度和峰度
（1）偏度
偏度是用来反映变量数列分布偏斜程度的
指标。
对称分布
右偏分布
变量数列的
（或称正偏分布）
单峰钟形分布
非对称分布
（或称偏态分布） 左偏分布