第三讲 描述离散趋势的指标
描述数据离散的指标
描述数据离散的指标
数据的离散指标是用来衡量数据分布的离散程度和变异程度的
统计量。
它们提供了关于数据集中值的分散程度的重要信息。
以下
是一些描述数据离散性的指标：
1. 范围（Range），范围是数据集中最大值和最小值之间的差值。
它提供了数据的全局分布范围，但并未考虑数据的分布情况。
2. 方差（Variance），方差是每个数据点与数据集均值之差的
平方的平均值。
它衡量了数据点与均值之间的离散程度，数值越大
表示数据的离散程度越高。
3. 标准差（Standard Deviation），标准差是方差的平方根，
它衡量了数据集合的离散程度，是最常用的衡量数据离散程度的指
标之一。
4. 四分位数（Quartiles），四分位数将数据集分为四个部分，分别是最小值、第一四分位数、中位数和第三四分位数。
通过四分
位数可以了解数据的分布情况，包括中间50%的数据分布情况。
5. 离散系数（Coefficient of Variation），离散系数是标准差与均值的比值，它用于比较不同数据集的离散程度，因为它将标准差标准化到了均值的相对比例上。
这些指标可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，从而对数据进行更准确的分析和解释。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的离散指标是非常重要的，以便更好地理解和解释数据的特征。
描述数据离散趋势的常用统计量
描述数据离散趋势的常用统计量
很多时候，我们需要分析数据之间的关系，或者希望从重要数据中挖掘出有用
的信息。
而离散趋势就恰恰可以满足这样的需求。
那么，我们又该如何描述离散趋势呢？
一般而言，当涉及离散趋势描述时，常使用的统计量有极差(Range)、均值(Mean)、中位数(Median)、众数(Mode)、四分位距(Quartile Deviation)、变异系数(Variance)等。
例如，极差可以描述一组数据分布的宽度，它通过将数据中最大值与最小值进
行差值可以获得，它对于对立信息的分析非常有用，例如评价用户的活跃度。
均值又称均数，它表达的是一组数据的平均值，即所有数据的加权平均值，它非常有用，可以在不同变量之间考察有关关系。
而中位数表示的是数据中第50%的值，可用来剔除偏离的异常值，以便对正常
数据进行更为合理的分析。
众数指的是在一一定数据集中重复出现次数最多的值，它揭示了相同变量值出现的比例，有助于我们认识用户偏好。
四分位距描述的是一组数据大小关系，即四分位点，经常被用来反映大量用户数据的分布情况，例如分析一个网站的用户阅读量分布情况。
变异系数也就是标准差，用来描述一组数据变化的幅度，可用于评估指定网站的流量波动情况，对正常及异常活动的检测是必不可少的。
总结而言，我们描述离散趋势的常用统计量，可以用来衡量用户行为特征，从
而为流量分析提供重要参考依据，进而改善用户体验，实现业务竞争优势。
卫生统计学--离散趋势的统计描述(衡量离散程度的指标、正态分布及应用、医学参考值范围)
课后习题：
3、将一组计量资料整理成频数表的目的（ ） A、化为计数资料 B、便于计算 C、提供原始数据 D、为能够更精确的检验 E、描述数据的分布特征
4、6人接种流感疫苗一个月后，测定抗体 滴度为1:20、1:40、1:80、1:80、1:160、 1：320，求平均滴度应选用的指标是（ ）
表2-7 282名正常人尿汞值（ g/L ）测量结果
尿汞值
频 数f
累计频数 f
累计频率（%）
0～
45
45
16.0
8.0～
64
109
38.6
16.0～
96
205
72.7
24.0～
38
243
86.2
32.0～
20
263
93.3
40.0～
11
274
97.2
48.0～
5
279
98.9
56.0～
2
281
99.6
统计学方法是（ ）
A、用均数评价 B、用中位数评价 C、用几何均数评价D、用变异系数评价 E、用医学参考值范围评价
2.用于计算变异系数 3.用于计算标准误 4.结合均值与正态分布的规律，估计参考值范
围
第一节 衡量离散程度的指标 （五）变异系数(coefficient of variation)
变异系数常用于比较度量单位不同或均数相 差悬殊的两组(或多组)资料的变异程度。
S CV 100%
X
例题：某地7岁男孩身高的均数为 123.10cm，标准差为4.71cm；体重 均数为22.29kg，标准差为2.26kg, 比较其变异度？
随机变量X N（，2）
拓展
Z X
第3章离散趋势的描述
离散趋势的统计描述
学习目的和要求：
掌握:
描述数据分布离散趋势的指标；正态分布的概念和 特征、标准正态分布下面积分布规律。
熟悉:
医学参考值范围的意义和计算；
了解：
正态分布表、正态分布的应用。
描述数值变量资料的分布特征必须从集中趋势和离 散趋势两方面来进行，缺一不可。
例: 三组同年龄女大学生体重(kg)如下,试分析其分 布特征。
95 99
表3-3 参考值范围所对应的正态分布区间 百分范围(%) 单侧 双侧(对称) 下限 上限 下限 上限 x -1.645s x+1.645s x -1.96s x +1.96s 95 99 x -2.33s x+2.33s x -2.58s x +2.58s
（二）离均差平方和
(X (X
X)
2
X)
2
X
2
( X ) n
2
(三)方差与标准差
2
(X )
N
2
S
2
( X x)
n 1
2
(X )
N
2
S
( X x)
n 1
2
N-1 称自由度 Degree of freedom
S
x x
Q=135.7-63.2=72.5(mg/dl)
例2.4 某地630名正常女性血清甘油三酯含量的频数表 甘油三酯（mg/dl) 频数 累积频数 累积频率 （1） （2） （3） （4） 10～ 27 27 4.3 40～ 169 196 31.1 70～ 167 363 57.6 100～ 94 457 72.5 130～ 81 538 85.4 160～ 42 580 92.1 190～ 28 608 96.5 220～ 14 622 98.7 250～ 4 626 99.4 280～ 3 629 99.8 310～ 1 630 100.0 合计 630 － －
离散趋势指标范文
离散趋势指标范文离散趋势指标是用于描述和分析数据集中的离散程度和趋势特征的统计指标。
在数据分析和统计学领域中，离散趋势指标被广泛用于描述数据的分布形态、波动情况和变异程度，从而更好地理解和解释数据的特征和规律。
本文将介绍常用的离散趋势指标，并详细解释其含义和应用场景。
1. 极差（Range）：极差是描述数据变异程度的最基本的统计指标，表示数据集中最大值和最小值之间的差异。
在实际应用中，极差可以用来判断数据的波动程度。
例如，在销售数据中，如果一些产品的销售额极差较大，则说明该产品的销售波动较大，需要进一步分析原因和采取相应的措施。
2. 四分位数（Quartiles）：四分位数是将数据集分为四个等分的统计指标，分别是第一四分位数、中位数和第三四分位数。
其中，第一四分位数是将数据集按照大小排序，处于25%位置的数值；中位数是处于50%位置的数值；第三四分位数是处于75%位置的数值。
四分位数可以用来判断数据的分布形态和集中程度。
例如，在学生成绩数据中，如果第一四分位数和第三四分位数之间的差距较大，说明学生成绩分布较为分散；反之，如果差距较小，说明学生成绩分布较为集中。
3. 方差（Variance）：方差是用于描述数据集中离散程度的统计指标，表示数据集中各个数据点与数据集均值之间的差异。
方差越大，说明数据的分布越分散；反之，方差越小，说明数据的分布越集中。
方差可以用来评估数据的波动性和变异性。
例如，在股票市场中，如果只股票的收益方差较大，说明该股票的价格波动较大，投资风险也相应较高。
4. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，用于描述数据集中离散程度的统计指标。
标准差的计算公式为方差的平方根。
标准差越大，说明数据的分布越分散；反之，标准差越小，说明数据的分布越集中。
标准差可以用来评估数据的波动性和变异性，并且常用于进行数据的标准化和比较。
例如，在生产线的质量管理中，如果一些工序的产品质量标准差较大，说明该工序的生产质量波动较大，需要进一步分析生产环节并进行改进。
离散趋势的统计描述
离散趋势的统计描述离散趋势是描述数据分布时考虑数据离散程度的统计量。
它反映了数据在离散分布上的分散程度，即数据点之间的差异性。
在统计学中，离散趋势的统计描述包括极差、方差、标准差、百分位数和四分位数等。
首先，极差（Range）是离散趋势中最简单的测量指标。
它是最大值与最小值的差值，反映了数据的全局分布范围。
然而，极差对极端值非常敏感，容易受到异常值的干扰，因此常常会受到极值的干扰。
其次，方差（Variance）是离散趋势的重要指标之一。
它是各个数据与均值偏差的平方的平均值。
方差的计算过程中涉及到每个数据点与均值的差异，因此可以有效地描述数据的分散性。
方差越大，数据的分布越分散；方差越小，数据的分布越集中。
然而，方差的单位和原数据的单位平方相同，不是直观易懂的量纲，因此通常使用标准差作为方差的平方根来度量。
标准差（Standard Deviation）是方差的平方根，也是离散趋势的常用度量。
标准差描述了数据相对于均值的分散程度，是离散趋势的最具代表性的统计量之一。
标准差越大，数据的分布越分散；标准差越小，数据的分布越集中。
标准差的单位与原数据的单位相同，而且在计算中是有限的和正数，因此更加直观和易于解释。
另外，百分位数（Percentile）和四分位数（Quartile）是描述离散趋势的重要统计量。
它们是将数据按照大小进行排序后，将数据分为若干个部分的量。
百分位数表示数据中有百分之p的数据小于或等于此数值，例如中位数就是50%分位数。
四分位数将数据分为四个部分，分别是上四分位数（数据小于最大小于或等于四分之一的数值）、中位数和下四分位数（数据小于四分之三的数值）。
四分位数的计算可以通过计算百分位数获得。
四分位数可以较好地描述数据的整体分布情况和数据的离散程度。
在实际应用中，离散趋势的统计描述可以根据具体问题选择合适的指标进行计算和分析。
极差可以用来初步了解数据分布的范围。
方差和标准差可以用来衡量数据的波动程度，分析数据集的稳定性和可靠性。
离散趋势测度指标
离散趋势测度指标离散趋势测度指标是用来反映数据分布的离散程度的一类统计指标。
在统计学中，数据分布的离散程度是评价数据变异程度的重要指标之一。
本文将详细介绍常用的离散趋势测度指标，包括极差、方差、标准差、四分位数间距等。
一、极差极差是一组数据中最大值与最小值之间的差值。
它可以简单地反映出数据整体范围。
计算公式如下：$$R = X_{max} - X_{min}$$其中，$X_{max}$表示样本中最大值，$X_{min}$表示样本中最小值。
二、方差方差是衡量样本离均值偏离程度的指标。
它可以反映出数据分散程度大小。
计算公式如下：$$S^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i - \bar{X})^2}{n-1}$$其中，$X_i$表示第$i$个观测值，$\bar{X}$表示样本均值，$n$表示样本容量。
三、标准差标准差是方差的平方根，它具有与原始观测数据相同的单位。
计算公式如下：$$S = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i - \bar{X})^2}{n-1}} $$四、四分位数间距四分位数是将一组数据分成四个等份的值，其中第一、二、三个四分位数分别为$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$。
四分位数间距是指上下四分位数之差，即：$$IQR = Q_3 - Q_1$$五、离散系数离散系数是用标准差与均值的比值来衡量数据的离散程度。
当离散系数越大时，数据的变异程度也就越大。
计算公式如下：$$CV = \frac{S}{\bar{X}} \times 100\%$$其中，$S$表示标准差，$\bar{X}$表示均值。
六、变异系数变异系数是用标准差与均值的比值来衡量数据的相对离散程度。
它可以用于比较不同样本之间的变异程度。
计算公式如下：$$V = \frac{S}{\bar{X}}$$七、峰度和偏度峰度和偏度是描述数据形态特征的指标。
偏度反映了数据分布的偏斜程度，峰度则反映了数据分布的峰态程度。
反映离散趋势的量数
反映离散趋势的量数量数是用来反映离散趋势的一个统计量。
它主要是通过计算数据集中各个数据点与数据集的平均值之间的差异来度量数据的离散程度。
量数通常包括方差、标准差和极差等。
首先，方差是一种常用的量数。
方差表示各个数据点与数据集平均值之间的差异的平均值。
通过计算每个数据点与平均值的差的平方，并将这些差的平方求和后再除以数据的个数，就可以得到方差。
方差越大，则表示数据的离散越大，各个数据点之间的差异越大。
其次，标准差是方差的平方根。
标准差是度量数据集的离散程度的常用统计量。
标准差的计算公式和方差类似，但是最后需要对方差的结果开方。
标准差与方差具有相同的有向性，即标准差越大，数据的离散程度越大。
另外，极差也是常用的量数之一。
极差是用来度量数据集的离散程度的一种简单方法。
极差是数据集中最大值和最小值之间的差值。
极差越大，数据的离散程度越大。
除了方差、标准差和极差，还存在其他一些量数可以用来反映离散趋势。
例如，四分位数是将数据集按照数值从小到大排序后，将数据集分为四个等分的划分点。
第一四分位数是将数据集分为四等分后的第一个划分点，表示有25%的数据小于等于该值。
第三四分位数是将数据集分为四等分后的第三个划分点，表示有75%的数据小于等于该值。
两者之间的差值被称为四分位距，可以用来度量数据的离散程度。
此外，离散系数也是一种常用的量数。
离散系数是标准差除以平均值的绝对值，用来度量数据的离散程度与数据的绝对大小之间的关系。
离散系数越大，表示数据的离散程度越大。
总之，量数是用来反映离散趋势的统计量。
方差、标准差和极差是常用的量数，可以通过计算数据点与平均值的差异来度量数据的离散程度。
另外，四分位数和离散系数等也可以用来反映数据的离散趋势。
通过使用这些量数，我们可以更好地了解数据集的离散程度，从而有助于进行进一步的分析和决策。
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主要内容
疾病统计常用指标 动态数列及其指标
一、疾病统计常用指标
疾病统计的意义 疾病统计资料的来源 疾病和死因分类 常用疾病统计指标
二、动态数列及其分析指标
表3-10
年份 （1） 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1998 2000 2001 2002 符号 （2） a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
三组儿童体重的离散程度
平均数与变异度
• 平均数所表示的集中性与变异度所表示的离 散性，从两个不同的角度阐明计量资料的特 征！ • 均数&标准差 • 中位数&四分位数间距 • 变异度小，则均数代表性好！ • 变异度大，数据分散，则均数代表性差！
描述离散趋势的指标
极差(Range)
四分位数间距(interquartile range)
描述离散趋势的指标3：方差
X
离均差
( X )
2
( X )2 N
离均差平方和的均数
离均差平方和
方 差
方差、标准差适用于：对称分布的资料，尤其是正态分布 资料。
描述离散趋势的指标3：方差
方差(variance) 也称均方差，观察值的离均差平
方和的算术均数。表示一组数据的平均离散程 度。 2 总体方差
• 四分位间距适用于：任何分布资料。
组 段 (1) 6～ 8～ 10～ 12～ 14～ 16～
频 数 (2) 1 3 6 8 12 20
频率(％) (3) 0.83 2.50 5.00 6.67 10.00 16.67
累计频数 (4) 1 4 10 18 30 50
累计频率(％) (5) 0.83 3.33 8.33 15.00 25.00 41.67
• 丙组 26 28 30 32 34
极差优点和缺点
优点：简便
缺点：1. 只利用了两个极端值 2.n大，R也会大 3.不稳定
描述离散趋势的指标2：四分位数间距
• P75 、 P 25分别表示上、下四分位数 • 四分位数间距(quartile range) Q ＝ P75 － P 25 • 四分位数间距反映数据的变异程度比极差稳 定。
CV
s X
100%
量纲不同变量间变异度的比较
均数 青年男子 身高 体重 170 cm 60 kg 标准差 6 cm 7 kg 变异系数 3.5％ 11.7％
均数差别较大的变量间变异度比较
不同年龄组男子身高（cm）的变异度
年龄组 3~3.5岁 30~35岁
均数 96.1 170.2
标准差 3.1 5.0
≥65 岁人口数 男性人口数
≤14 岁人口数 女性人口数
100% 100%
相对比 相对比
指标 某病发病率 时点患病率 期间患病率 残疾患病率 治愈率 生存率
分子 期内新发生的某病病例数 时点现患疾病人数 期内现患疾病人数 残疾患者人数 治愈人数 活满特定时期的人数
分母 年平均人口数× 年 1 检查人口数 检查人口数 检查人数 接受治疗人数 期初存活的人数
正确应用(2)
• 极差：适用于任何分布资料
•
•
四分位间距：适用于任何分布资料
标准差：适用于对称分布资料
•
变异系数：常用于量纲不同的变量间或均数相
差较大的变量间变异度的比较
本章小结
1. 频数表、频率分布图：
描述资料的分布特征（集中趋势与离散趋势）
分布类型（对称或偏峰） 2. 描述性统计量：定量地刻画统计分布的特征。 （1）集中趋势：算术均数、几何均数、中位数； （2）离散趋势：极差、四分位数间距、方差(标准差) 和变异系数； 3. 百分位数是一种位置参数
18～
20～ 22～ 24～ 26～ 28～30 合 计
27
18 12 8 4 1 120
22.50
15.00 10.00 6.67 3.33 0.83 100.00
77
95 107 115 119 120
64.17
79.17 89.17 95.83 99.17 100.00
P25 16 P75 21.44 Q P75 P25 5.44
基数 10 万/10 万 10 万/10 万 10 万/10 万 100% 100% 100%
类型 强度 (近似) 频率 频率 频率 频率 频率
发病率（incidence rate，IR）： “时期”通常用年或月。发病率的分母泛指一般的观察 人年数, 可由平均人口数×1年来近似。
新发病例数：新发生某种疾病，以第一次就诊为准。
3. 正确地合并估计
例 甲医院治疗某类患者100人，40人有效； 乙医院治疗同类患者90人，30人有效 如果两医院总体有效率的确相等, 合并估计：
40 30 有效率 36.8% 100 90
1 40 30 有效率 （ ） 2 100 90
不可将两个频率相加除以2：
4. 相对数间的比较要具备可比性 注意以下几个方面： 观察对象 同质？ 研究方法 相同？ 观察时间 一致？
某大学1992-2002年本科专业招生动态变化
学生 人数 （3） 4200 4500 4800 4900 5150 5320 5510 5780 5950 6000 6200 绝对增长量 累计 逐年 （4） （5） 300 600 700 950 1120 1310 1580 1750 1800 2000 300 300 100 250 170 190 270 170 50 200 发展速度% 定基比 环比 （6） （7） 100.0 107.1 114.3 116.7 122.6 126.7 131.2 137.6 141.7 142.9 147.6 107.1 106.7 102.1 105.1 103.3 103.6 104.9 102.9 100.8 103.3 增长速度% 定基比 （8） =（6）-100 7.1 14.3 16.7 22.6 26.7 31.2 37.6 41.7 42.9 47.6 环比 （9） =（7）-100 7.1 6.7 2.1 5.1 3.3 3.6 4.9 2.9 0.8 3.3
（三）相对比型指标
任何两个相关联的变量A与B之比
A 相对比型指标 B
• 相对于B的一个（或十个、百个、千个等）单
位，A有多少个单位 • A和B可以是绝对数,也可是相对数 • A和B的量纲可以不同，也可相同，但A和B互 不包含
（四）应用相对数应注意的事项
1. 防止概念混淆 不少指标命名混乱: “某某率”满天飞! • 某些指标，实质上只是相对比，其名称却是 某某率； • 更多指标以某某率的模式命名，笼统地称它 们为“率” ----分不清究竟是频率还是强度
主要内容
三类相对数指标 医学人口统计常用的指标
一、常用的相对数指标
• 除了用频率分布全面反映一个定性变量外,有时， 也可用其它相对数指标从某个侧面来描述定性 变量。
相对数指标大致有三种类型： 频率 (Frequency）有的书称比率（Proportion) 强度 (intensity）有的书称速率（rate) 相对比 (ratio)
用于探讨疾病的危险因素，评价疾病防治效果。
2. 计算相对数时分母应有足够数量 例 甲医院治疗某类患者100人，40人有效； 乙医院治疗同类患者5人，2人有效 有效频率均为40% !？
如果资料的总例数过少，计算得到的相对数 偏差可能会很大，直接报告原始数据更为可取： 甲医院有效率40% 乙医院有效 2/5
变异系数 3.2％ 0.3％
描述分布形态的统计指标
1、偏度系数: coefficient of skewness
2、峰度系数：coefficient of kurtosis
正确应用(1)
• 算数均数：适用于对称分布资料； • 几何均数：适合于对数正态分布资料； • 中位数和百分位数：适用于任何分布的资料； • 中位数和百分位数在样本含量较少时不稳定，越靠 两端越不稳定；因此，当资料适合计算均数或几何 均数时，不宜用中位数表示其平均水平。
第三讲 描述离散趋势的指标
Outline 主要内容
描述离散趋势的统计指标
描述分布形态的统计指标
只用平均数描述资料的弊病
• 甲组 26 29 30 31 34 • 乙组 24 27 30 33 36 • 丙组 26 28 30 32 34 甲
乙
均数30kg 均数30kg 均数30kg
丙
24 26 28 30 32 34 36
2
X
N
( X X )2 ∑ n 1
样本方差 S
2
X X ＝
2
2
n
n 1
只能取正值；
方差越大，意味着个体间变异越大；反之亦然。
描述离散趋势的指标4：标准差
标准差(standard deviation) ，方差的平方根
总体标准差
( ∑X ) N
596 人 院内感染率 0 . 0047 人 / 人 日 127859 人 1日
平均每天有0.47%的病人将在医院发生感染。
一般地，
某事件发生的个体数 强度型指标 K (可能发生某事件的个体数 时间)
其中比例基数K同上。
• 分母含有“时间”，并不是一般的速率，而是单位时 间内的频率。 统计学和流行病学本质：频率强度或概率强度的近似 值。
粗死亡率的定义式近似地写成
粗死亡率 同年内死亡人数 K 当年平均人口数 1年
粗死亡率
同年内死亡人数 K 当年年中人口数 1年
以上说明同样适用于年龄组死亡率、粗出生率和粗发 病率等，不再赘述。