传感器与测试技术课件第三章测试系统特性3-动态特性

则 y (t) Y sin t( ) Yj( te )
将输入、输出的各阶导数代入线性微分方程，可得
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第3章 测试系统的特性
H(jω)为复变量函数，有相应的模和相角
频率响应特性
H( j) A()ej()
幅频特性A() Y ~
X
相频特性 () ~
模A()反映了线性时不变系统在正弦信号激励
H (j)Y(j)/X (j)或 H()Y()/X()
当系统的初始条件为零时，对微分方程进行傅 立叶变换，可得频率响应函数为
H (j) Y X ( (jj) ) b a m n ( (j j) )m n a b n m 1 1 ( (jj) ) n m 1 1 a b 1 1 ( (jj) ) a b 0 0
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第3章 测试系统的特性
一阶系统适用于测量缓变或低频被测量；为了减小系统
的动态误差，增大工作频率范围，应尽可能采用时间常数 小的测试系统。
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第3章 测试系统的特性
【例1】设一阶系统的时间常数τ＝0.1s，问：输入信号 频率ω为多大时其输出信号的幅值误差不超过6％？
H (s)
Y (s) X (s)
a2
s
2
当b0 n
a1s1
3;
a0
高
阶
系
统
的
传
递
函
数
。
当 n0零阶系统的传递函数 H(s) Y(s) b0 即为静态灵敏度 X(s) a0
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第3章 测试系统的特性
3）频率响应函数
定义：系统的初始条件为零时，输出y(t)的傅立叶 变换Y(jω)和输入x(t)的傅立叶变换X(jω)之比称为 系统的频率响应函数，记为H(jω)或H(ω) 。
其中传递函数、频率响应函数、脉冲响应函数三者 之间存在着—一对应的关系。h (t)和传递函数H(s)
是一对拉普拉斯变换对；h(t)和频率响应函数H(ω)
又是一对博里叶变换对。
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动态特性数学描述的几点结论：
第3章 测试系统的特性
频率响应函数的含义是一系统对输入与输出皆为正 弦信号传递关系的描述。它反映了系统稳态输出与 输入之间的关系，也称为正弦传递函数。
位，得到幅值比Ai、相位差φi。
频率响应函数是描述系统的简谐输入和其稳态 输出的关系，在求解系统频率响应函数时，必须在 系统响应达到稳态阶段时才测量。
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第3章 测试系统的特性
从系统最低测量频率fmin到最高测量频率fmax，逐步 增加正弦激励信号频率f，记录下各频率对应的幅值 比和相位差，绘图就得到系统幅频和相频特性。
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第3章 测试系统的特性
4）阶跃响应函数
若系统输入信号为单位阶跃信号，即x(t)=u(t)， 则X(s)=1/s，此时Y(s)=H(s)/s，拉氏反变换即可 得到输出y(t)
H(S)
时域特性参数识别
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5）脉冲响应函数
第3章 测试系统的特性
若系统的输入为单位冲击δ(t)，因δ(t)的傅立 叶变换为1，有：
将s=jω代入传递函数公式具有同样的形式，因此， 频率响应函数是传递函数的特例。
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第3章 测试系统的特性
线性系统的频率响应函数H(jω)实际上就等于用 虚数指数函数表示的正弦输出与正弦输入之比，因 此也将频率响应函数称为正弦传递函数。
依据：频率保持性
若 x(t)Xsi ntXj et
Y(S)=H(S)，则y(t)=F-1[H(S)]＝h(t) h(t)称为冲击响应函数（脉冲响应函数）
H(S)
傅立叶 变换
固有频率、阻尼等
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动态特性数学描述的几点结论：
第3章 测试系统的特性
➢在复频域用传递函数H(s)来描述；
➢在频域用频率响应函数H(ω)描述；
➢在时域可用微分方程、阶跃响应函数和脉冲响应 函数h(t)。
A()max2
1
12
(0 0.707)
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第3章 测试系统的特性
－频率响应与固有频率ω0有关：固有频率越高，保 持动态误差在一定范围内的工作频率范围越宽，反之
越窄。
对二阶系统通常推荐采用阻尼比ξ＝0.7左 右，且可用频率在0～0.6ω0范围内变化，测试 系统可获得较好的动态特性，其幅值误差不超 过5％，同时相频特性接近于直线，即测试系统 的动态特性误差较小。
传递函数是系统对输入是正弦信号，而输出是正弦 叠加瞬态信号传递关系的描述。它反映了系统包括 稳态和瞬态输出与输入之间的关系。
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动态特性数学描述的几点结论：
第3章 测试系统的特性
如只研究稳态过程的信号，则用频响函数来分析系 统。如研究稳态和瞬态全过程信号，则用传递函数 来分析系统。
测试系统通常是由若干个环节所组成，系统的传递 函数、频率响应函数与各环节的传递函数、频率响 应函数之间的关系取决于各环节之间结构形式。
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串联
第3章 测试系统的特性
当串联环节间无能量交换时，串联后系统的传递函数：
频率响应函数
幅频特性 相频特性
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并联
第3章 测试系统的特性
由其傅里叶变换X(ω)和Y(ω)求得频率响应函数 H(ω)=Y(ω)／X(ω)。
2）传递函数法
在初始条件为零时，求取系统的传递函数H(s)， 将s=jω代入即得。
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第3章 测试系统的特性
3）实验法——正弦激励法
依次用不同频率fi的简谐信号去激励被测系 统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值、相
下，其稳态输出与输入的幅值比随频率的变化， 称为系统的幅频特性；
幅角()反映了稳态输出与输入的相位差随频
率的变化，称为系统的相频特性。
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第3章 测试系统的特性
频率响应特性的图形描述：
直观地反映了测试系统对不同频率成分输入信号 的扭曲情况——输出与输入的差异。
A
幅频特性曲线
相频特性曲线
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2）二阶系统 加速度 F
第3章 测试系统的特性
称重(应变片)
压电式传感器
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第3章 测试系统的特性
d2y(t) d(ty) a2 d2ta1 dta0y(t)b0x(t)
0
a0 a2
a1
2 a0a2
S b0 a0
d2 d y2 (tt)2 0 dd (ty )t0 2y(t)S 0 2x(t)
动态特性的数学描述： 1）微分方程 2）传递函数 3）频率响应函数 4）阶跃响应函数等
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第3章 测试系统的特性
1、动态特性的数学描述
1）线性微分方程
微分方程是最基本的数学模型，求解微分方程， 就可得到系统的动态特性。
对于一个复杂的测试系统和复杂的测试信号， 求解微分方程比较困难，甚至成为不可能。为此， 根据数学理论，不求解微分方程，而应用拉普拉斯 变换求出传递函数、频率响应函数等来描述动态特 性。
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第3章 测试系统的特性
实际作图时，常对自变量取对数标尺，幅值坐标
取分贝数，即作 20lg A() ~lg () ~lg
对数幅频特性曲线 伯 德 图
对数相频特性曲线
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频率响应函数的求法：
第3章 测试系统的特性
1）定义——傅立叶变换法
在初始条件为零时，同时测得输入x(t)和输出y(t)，
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第3章 测试系统的特性
幅频特性A(ω)和相频特性(ω)表示输入和输出之 间的差异，称为稳态响应动态误差。
实际应用中常限定幅值误差
A()A(0)10% 0 A()110% 0 某 个 给 定
A(0)
一阶系统的特性： －低通性质：幅值比A(ω)随输入频率ω的增大而减小。
－系统的工作频率范围取决于时间常数 。当ω 较小 时，幅值和相位的失真都较小。当ω 一定时， 越 小，测试系统的工作频率范围越宽。
则传递函数
H (s)Y X ((ss))b a m ns sm n a bn m 1 1 ssn m 11 a b 1 1 ss a b 0 0
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第3章 测试系统的特性
传递函数的特点：
➢H(s)与输入信号x(t)及系统的初始状态无关，系统 的动态特性完全由H(s) 决定。
➢H(s)只反映系统传输特性，而和系统具体物理结构
无关。即同一形式的传递函数可表征具有相同传输特 性的不同物理系统。
➢ H(s)的分母取决于系统的结构（分母中s的幂次n
代表系统微分方程的阶数），分子则和系统与外界之 间的关系，如输入（激励）点的位置、输入方式、被 测量及测点布置情况有关。
➢传递函数与微分方程完全等价，可以相互转化。
解： A() 1 1
1()2
A()110 % 0 6%
A()0.94
将τ＝0.1带入A(ω)中得到 3.6r3a/sd
结论：一阶系统τ确定后，若规定一个允许的幅值误差 ε，则可确定其测试的最高信号频率ωh ，该系统的可 用频率范围为0～ωh 。
反之，若要选择一阶系统，必须了解被测信号的幅 值变化范围和频率范围，根据其最高频率ωh和允许的幅 值误差去选择或设计一阶系统。
并联后系统的传递函数： 频率响应函数：
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2、常见测试系统的频率响应
1）一阶系统
第3章 测试系统的特性
温度
酒精
湿度
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例如：弹簧－阻尼机械系统
第3章 测试系统的特性
k
c
y(t) b0 x(t) =F(t) 一阶系统
dy a1 dta0yb0x
弹性系数 阻尼系数
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第一篇 工程测试技术基础
第3章 测试系统的特性
第3章 测试系统的特性
1.建立测试系统的概念 2.掌握描述测试系统静态特性的方法 3.掌握描述测试系统动态特性的方法 4.掌握实现系统不失真测试的条件
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第3章 测试系统的特性
3.3 测试系统的动态特性
测试系统的动态特性不仅取决于系统的结构参数， 而且与输入信号有关。研究测试系统的动态特性实 质就是建立输入信号、输出信号和系统结构参数三 者之间的关系——数学建模。
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第3章 测试系统的特性
H(s)是在复频域中表达系统的动态特性，而微分 方程则是在时域表达系统的动态特性，而且这两种动
态特性的表达形式对于任何输入信号形式都适用。
当 n 1 一阶系统的传递函数
H (s)
Y (s) X (s)
b0 ； a1s1 a0
当 n 2二阶系统的传递函数
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第3章 测试系统的特性
在动态测试时，必须了解测试系统的可用 频率范围——与允许的幅值误差ε和阻尼比ξ 有关。 ——允许的幅值误差ε越小，其可用频率范围 越窄；反之，其可用频率范围越宽。 ——ξ＝0.7左右时，也有较宽的可用频率范 围。
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第3章 测试系统的特性
a1dd(yt)ta0y(t)b0x(t)
取S＝1
dy(t)y(t)Sx(t)
H(s) 1
dt
s 1
A()
1
1()2
()arc(tg )
H(j) 1 j1
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幅 频 和 相 频 曲 线
伯 德 图
第3章 测试系统的特性
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第3章 测试系统的特性
二阶系统的特性： －低通特性
－频率响应与阻尼比ξ有关
1)当0.70时 7,A（） 1, 无谐振 A（， ）随 增加而单调 2)当0.70时 7,在0 1处（谐振频率 谐处 振A） （ ， ） 产有 生峰 3)当0，在 r 0处， A()
由 dA() 0 d
得谐振频 r 率 0 122
H(s)s22020s02
H(j)[1()21]2j
0
0
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A()
1
[1()2]242()2
0 2 ( )
0
()
arctg
1
(
0 )2
0
幅 频 、 相 频 曲 线
第3章 测试系统的特性
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二 阶 系 统 伯 德 图
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第3章 测试系统的特性
2）传递函数
定义：系统的初始条件为零时，输出y(t)的拉氏变 换Y(s)和输入x(t)的拉氏变换X(s)之比称为系统的 传递函数，记为H(s)。
H (s)Y(s)/X(s) sj称为拉氏变换算子
当系统的初始条件为零时，对微分方程进行拉 氏变换，可得
( a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0 ) Y ( s ) ( b m s m b m 1 s m 1 b 1 s b 0 ) X ( s )