小波分析 课程简介
小波分析 课程简介
小波分析课程名称：小波分析英文名称：Wavelets analysis课程编号码：070102X09适用专业：信息与计算科学课程类别：专业选修学时数：48 学分：3编写执笔人：高仕龙审定人：宋际平编写日期：2005年10月25日一、课程的性质、目的和任务本课程是信息科学的基础数学理论, 小波（wavelet）分析是一种在传统的Fourier分析的基础上发展起来的新分析方法，它由数学家和信息技术等领域的工程师各自独立发现，并共同推动而得以迅速的发展。
作为时间—频率分析方法，小波分析比Fourier分析有着许多本质性的进步，它提出了一种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法，无论分析低频或高频的局部信号，它都能自动调节时—频窗口，以适应实际分析的需要。
在局部时—频分析中具有很强的灵活性，能聚焦到信号时段与频段的任意细节，故被誉为时—频分析的显微镜。
小波快速算法则为分析和解决实际问题带来了极大的方便。
这些特点使时—频分析的方法和应用得到了辉煌的发展。
通过本课程的学习，要求学生理解小波分析的理论，掌握小波分析的方法，并能运用到实践中去。
二、课程教学内容及教学基本要求本课程分为七讲，概括小波分析的基本概念、基本理论和基本解题方法和技巧以及实验，并讲述了小波分析在其它诸多领域的应用，要求学生会用基本的数学的软件实现小波分析的相关应用实验。
每节包括知识、例题、习题及实验四部分内容。
第一章：小波预备知识（4学时）1、教学内容线性赋范空间,巴拿赫空间,希耳伯特空间等相关实函，距离空间, 基底和框架，反演公式，线性空间，泛函知识,,傅里叶级数的复数形式，傅里叶变换的定义，傅里叶变换的性质，窗口傅里叶变换的定义，局部化特征，窗函数，时频窗的概念。
2、教学目的及要求了解线性赋范空间,巴拿赫空间,希耳伯特空间等相关实函。
理解距离空间, 基底和框架，反演公式，线性空间。
掌握泛函知识,,傅里叶级数的复数形式，傅里叶变换的定义，傅里叶变换的性质，窗口傅里叶变换的定义，局部化特征，窗函数，时频窗的概念。
小波分析24
《小波分析》课程教学大纲课程名称：小波分析课程编号：学时/学分：24/1.5 开课学期：适用专业: 电子类各专业课程类别/性质：通识/选修一、课程的目的和任务通过本课程的学习，要使学生掌握小波分析的基本概念、基本理论和基本运算技能，对小波分析技术及其应用有一个较深入的了解，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、分析解决实际问题的能力。
二、课程的基本要求基本了解小波分析的基础理论；充分理解小波分析的背景思想及数学思想。
掌握小波分析的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的计算能力。
能较熟练地应用小波分析的思想方法解决实际应用问题。
三、课程基本内容和学时安排第一章预备知识（2学时）了解距离空间和函数空间的概念，熟悉几种常见的距离空间和函数空间，如R n空间、C[a,b]空间、L2(R)空间、2l空间等；理解基的概念；掌握Fourier变换与加窗Fourier变换；会使用MA TLAB小波工具箱。
第二章连续小波变换（4学时）理解小波母函数的概念；了解窗口宽度和Heisenberg测不准原理；理解连续小波变换的概念；掌握连续小波变换的意义及性质；掌握连续小波变换的逆变换。
第三章离散小波变换（4学时）理解离散小波变换的概念；掌握离散小波变换的性质；理解离散小波变换的意义；了解小波框架的概念；掌握二进小波变换第四章多尺度分析与正交小波变换（4学时）理解多尺度分析的概念；掌握尺度函数和小波函数的性质；掌握正交小波变换；掌握Mallat算法；了解离散序列的小波变换。
第五章正交小波基的构造（4学时）掌握Shannon采样定理；掌握正交小波基的构造第六章小波包及其应用（2学时）了解小波包的基本原理；掌握小波包的性质；掌握最优基准则及选取第七章二维小波变换及其应用（2学时）了解二维小波变换的基本概念；掌握二维小波变换的性质；理解二维多尺度分析；会二维波变换在图像处理中的应用第八章小波分析的应用（2学时）了解小波分析在图像处理中的应用，包括图像的小波分解、图像的数据融合、图像的边缘检测；了解小波分析在信号的去噪和信号的边缘检测中的应用。
《小波分析》课件
小波变换与其他数学方法的结合
小波变换与傅里叶分析的结合
小波变换作为傅里叶分析的扩展，能够提供更灵活的时频分析能力，适用于非平稳信号 的处理。
小波变换与数值分析的结合
小波变换在数值分析中可用于函数逼近、数值积分、微分方程求解等领域，提高计算效 率和精度。
小波变换在大数据分析中的应用
特征提取
小波变换能够提取大数据中隐藏的时间或频 率特征，用于分类、聚类和预测等任务。
正则性
小波基的正则性是指其在时频域的连续性和光滑 性，影响信号重构的精度和稳定性。
01
小波变换在信号处 理中的应用
信号的降噪处理
总结词
通过小波变换，可以将信号中的噪声成 分与有用信号分离，从而实现降噪处理 。
VS
详细描述
小波变换具有多尺度分析的特点，能够将 信号在不同尺度上进行分解，从而将噪声 与有用信号分离。在降噪处理中，可以选 择合适的小波基和阈值处理方法，对噪声 进行抑制，保留有用信号。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
图像的压缩编码
01
通用性强
02
小波变换的通用性强，可以广泛 应用于各种类型的图像压缩，包 括灰度图像、彩色图像、静态图 像和动态图像等。
图像的边缘检测
精确检测
小波变换具有多尺度分析的特性，能 够检测到图像在不同尺度下的边缘信 息，实现更精确的边缘检测。
图像的边缘检测
抗噪能力强
小波变换能够有效地抑制噪声对边缘 检测的影响，提高边缘检测的准确性 和稳定性。
信号的压缩编码
总结词
小波变换可以将信号进行压缩编码，减小存储和传输所需的带宽和空间。
详细描述
《小波分析》课程教学大纲
《小波分析》课程教学大纲课程名称小波分析Wavelet Analysis授课教师裘国永课程类别专业选修课先修课程高等数学，泛函分析适用学科范围计算机科学与技术开课形式讲解，论文选读开课学期第1学期学时40 学分 2 一课程目的和基本要求小波分析是在20世纪80年代初发展起来的一个应用数学分支，它是传统Fourier分析的改进与发展。
它一方面保留了Fourier分析的优点，更重要的是克服了Fourier分析不能在时域局部化的不足。
它是计算机应用、信号处理、图像分析、非线性科学和工程技术近几年来在方法上的重大突破。
实际上，小波分析在它产生、发展、完善和应用的整个过程中都广泛受惠于计算机科学、信号和图像处理科学、应用数学和纯粹数学、物理科学和地球科学等众多科学研究领域和工程应用技术领域的工作者们的共同努力。
原则上讲，传统上使用Fourier分析的地方，都可以用小波分析取代。
小波分析优于Fourier分析之处是：它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且对于高频成分采用逐渐精细的时域或空域取样步长，从而可以充分突出研究对象的任何细节。
在学习过程中以教师的专题讲解为主，学生结合自己的研究领域阅读若干小波分析应用的论文，了解和熟悉小波分析方法在本研究领域的应用现状、应用前景和重点。
要求学生最好有高等数学、线性代数和泛函分析的知识。
二课程主要内容本课程介绍离散型小波变换、连续型小波变换的基本理论、正交小波、Mallat分解和重构算法以及小波变换的应用背景。
课程主要内容：小波分析简介、数值泛函基础知识、连续小波变换和离散小波变换、MRA（多分辨率分析、多尺度分析）和小波函数构造、Mallat 算法和小波变换、小波分析应用等。
三课程主要教材[1]冯象初等编著. 数值泛函与小波理论，西安电子科大出版社[2]葛哲学等编著. 小波分析理论与MA TLAB R2007实现，电子工业出版社[3]J. Walker著. A Primer on Wavelets and Their Scientific Applications. 1四主要参考文献[1]Dwight F. Mix, Kraig J. Olejniczak著. 杨志华，杨力华译. 小波基础及应用教程. 机械工业出版社[2]Jaideva C. Goswami, Andrew K.Chan著. 许天周，黄春光译. 小波分析. 国防工业出版社[3]彭玉华著. 小波变换与工程应用. 科学出版社[4]徐长发，李国宽著. 实用小波方法. 华中科技大学出版社[5]杨福生著. 小波变换的工程与应用. 科学出版社[6] A. Boggess, F. J. Narcowich著. 芮国胜，康健译. 小波与傅里叶分析基础. 电子工业出版社[7]崔锦泰著，程正兴译. 小波分析导论. 西安交通大学出版社[8]孙延奎著. 小波分析及其应用. 机械工业出版社[9]陈武凡著. 小波分析及其在图像处理中的应用. 科学出版社[10]胡昌华等著. 基于MA TLAB的系统分析与设计—小波分析. 西安电子科技大学出版社五考核方式考核方式为笔试占50%，论文阅读报告占50%。
小波分析课程简介
《小波分析》课程简介06191120小波分析3Wavelet Analysis Theory 3-0预修要求：微积分，实变函数，泛函分析，复变函数面向对象：三、四年级本科生内容简介：小波变换是80年代后期发展起来的新的数学分支，在函数论、微分方程、信号分析与传输、图象处理方面有着重要的应用。
本课程作为小波分析理论的入门课程，主要介绍了小波变换，包括离散小波变换和连续小波变换理论，同时介绍了Gabor变换及测不准原理。
本课程还介绍了Mallat的迭代算法，Daubechies 的紧支集正交小波构造理论及小波包理论。
最后介绍了小波用于刻画函数空间及在微分方程中的应用。
选用教材或参考书：《小波变换及其应用》，李世雄，高等教育出版社，1997年《小波与算子》，Y. 迈耶著，尤众译，世界图书出版公司，1992年《小波分析》教学大纲06191120小波分析3Wavelet Analysis Theory 3-0预修要求：微积分，实变函数，泛函分析，复变函数面向对象：三、四年级本科生一、教学目的和基本要求：让学生掌握小波分析基本知识，了解小波分析的工程背景及与数学其他分支的联系；培养与开拓他们的视野。
二、主要内容及学时分配：1. 绪论 2学时小波分析基本概念、课程内容、组织与安排；2.Fourier 级数与 Fourier积分的基本概念、窗口Fourier变换、Gabor变换、连续小波变换 6学时温习Fourier 级数与 Fourier积分的基本性质；掌握窗口Fourier变换；掌握连续小波变换的内容。
课后练习：连续小波变换的性质，重构公式。
3. 离散的小波变换与正交小波 8学时：学习多尺度分析的概念；掌握Riesz基的概念；掌握函数稳定性的概念。
课后练习：找正交小波的例子。
4.紧支集正交小波的构造 6学时：了解Riesz引理；函数光滑性刻画。
课后练习：紧支集正交小波的构造关键技术。
5. 小波的光滑性6学时：刻画细分函数的光滑性；了解I.Daubechies正交小波。
小波分析课程设计
黔南民族师范学院小波分析课程设计题目：小波分析用于图像去噪姓名：朱义涛专业：信息与计算科学学号：2007051327班级：07信息（1）一、概述小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法。
其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标所顶，物理中的间断现象等。
而频域分析的着眼点在于区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量，典型应用包括细胞膜的识别，金属表面的探伤，金融学中快变量的检测，INTERNET的流量控制等。
从以上的信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。
这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是由于这类需求发展起来的。
在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。
但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。
其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。
换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。
所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。
而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。
《小波分析概述》课件
泛函分析
泛函分析是研究函数空间和算子的性 质及其应用的数学分支。
小波分析在泛函分析的框架下，将函 数空间表示为小波基的线性组合，从 而能够更好地研究函数空间的性质和 算子的行为。
03
小波变换的算法实现
《小波分析概述》ppt课件
目录
• 小波分析的基本概念 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波分析在图像处理中的应用 • 小波分析在信号处理中的应用 • 小波分析的未来发展与挑战
01
小波分析的基本概念
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的数学函数，具有局 部特性和可伸缩性，能够在时间和频 率两个维度上分析信号。
一维小波变换算法
一维连续小波变换算法
01
基于连续小波基函数的变换方法，通过伸缩和平移参数实现信
号的多尺度分析。
一维离散小波变换算法
02
将连续小波变换离散化，便于计算机实现，通过二进制伸缩和
平移实现信号的多尺度分析。
一维小波包变换算法
03
基于小波包的概念，对信号进行更精细的分解，提供更高的频
率分辨率和时间分辨率。
图像增强
图像平滑
小波分析能够去除图像中的噪声 ，实现平滑处理，提高图像的视 觉效果。
细节增强
通过调整小波变换的参数，可以 突出图像中的某些细节，增强图 像的对比度和清晰度。
边缘检测
小波变换能够快速准确地检测出 图像中的边缘信息，有助于后续 的图像分析和处理。
图像识别
特征提取
小波变换可以将图像分解成不同频率的子带，提取出与特定任务 相关的特征，为后续的图像识别提供依据。
《小波分析方法》课件
论文和研究报告
介绍一些发表在期刊和会议上 的相关论文和研究报告
小波分析工具和库
提供一些开放源代码的小波分 析工具和库的信息
Matlab工具箱
介绍基于Matlab的小波分析工具箱，讲 解如何使用该工具箱进行小波分析
小结和展望
1 小波分析方法的优点和局限性
总结小波分析方法相较于其他方法的优点并讨论其局限性
2 未来的研究和应用方向
展望小波分析方法在未来可能的研究方向和应用领域
参考资料
相关领域的经典书籍 和教材
推荐一些与小波分析相关的经 典书籍和教材
信号去噪和压缩
学习如何使用小波分析方法对信号进行去噪和压缩 处理
图像处理
探索小波分析在图像处理中的广泛应用
音频处理
了解如何利用小波分析进行音频特征提取和音频效 果处理
视频处理
发现小波分析在视频编解码和视频特征提取中的应用
小波分析算法实现
1
Python和其他编程语言
2
探讨使用Python和其他编程语言实现小 波分析的库和方法
《小波分析方法》PPT课 件
本课程将介绍小波分析方法的基本概念和应用场景，帮助您掌握信号分析的 强大工具。让我们一起开启这个精彩的学习之旅吧！
课程介绍
内容和目标
了解本课程将涵盖的内容和学习目标
小波分析方法
掌握小波分析方法的基本概念和它在实际应用 中的价值
信号分析基础
1 信号的分类
了解不同类型的信号及其 特点
2 傅里叶分析方法
介绍傅里叶分析方法的原 理和局限性
3 小波分析方法
探讨小波分析方法相较于 傅里叶分析的优点和适用 性
小波分析的数学基础
滤波器组和小波变换
小波分析理论ppt课件
S(w,t ) f (t)g*(w t ) eiwt d t R
(1.12)
25
其中，“*”表示复共轭；g(t)为有紧支集的函数；f(t)为被 分析的信号。在这个变换中，ejwt起着频限的作用，g(t)起 着时限的作用。随着时间t的变化，g(t)所确定的“时间窗” 在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。因此g(t)往往被称为
(1.4)
为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。 在式(1.4)中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频
率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶 变换序列{X(k)}是以2p为周期的，且具有共轭对称性。
9
若f(t)是实轴上以2p为周期的函数，即f(t)∈L2(0，2p) ，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即
(1.1)
F(w)的傅里叶逆变换定义为
f (t) 1 eiwt F (w)dw 2 π -
(1.2)
6
为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取f(t)在R 上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们 希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工 作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应 是有限长的。下面给出离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)的定义。
。将母函数y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序
列。
对于连续的情况，小波序列为
y a,b (t)
2
其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变 换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换 分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的 一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，
《小波分析及应用》课件
在本PPT课件中，我们将介绍小波分析及其广泛的应用。了解小波基础和小波 应用的重要概念。
小波分析及应用
1
第一部分：小波基础
了解小波变换的基本概念和时频表示方法，以及常用的基本小波函数。
2
第二部分：小波应用
探索小波在信号去噪、信号压缩和信号分析中的实际应用。
小波变换简介
信号压缩
1 压缩感知理论
基于信号的稀疏性，通过稀疏表示和重建算法实现信号的高效压缩。
2 小波稀疏表示
利用小波变换将信号转换为稀疏系数，实现信号的高效压缩和重建。
3 小波压缩算法
使用小波变换、阈值处理和反变换等技术实现信号的无损和有损压缩。
信号分析
1
小波能量谱分析
通过小波变换将信号分解为不同频带的能量谱，分析信号的频域特性。
2
小波分析在图像处理中的应用
利用小波变换处理图像，实现图像去噪、边缘检测等图像处理任务。
3
小波变换与神经网络结合应用
将小波变换与神经网络相结合，实现信号和图像的深度学习分析与处理。
Daubechies小波是一类紧支小波 函数，适用于信号分析和压缩。
Symlet小波
Symlet小波是对称小波函数系列， 适用于信号平滑和噪声去除。
小波分解算法
1
基于滤波器组的小波分解
通过一系列滤波器和下采样将信号分解为多个频带的近似和细节系数。
2
快速小波变换(FWT)
使用基于迭代的算法，快速计算信号的小波变换。
定义
小波是一种数学函数，用于描述信号在不同时间和频率上的变化。
时频表示
小波变换将信号分解为时域和频域信息，揭示了信号的局部特征。
小波分析讲稿
8. 离散小波变换
（1）一阶滤波：近似与细节
（2）离散小波旳多尺度分解
按照上述一阶滤波旳过程，信号旳低频部分能 够被继续分解，从而实现了小波旳尺度分解
举例：对一种实际旳信号进行小波分解
3.Wavelet Analysis
小波变换是时间－尺度（时间－频率）分析措施，具有多辨别率分析旳 特点，即窗口大小固定但其形状可变化，时间窗和频率窗可变化旳时频 局部化分析措施。 在低频部分具有较高旳频率辨别率和较低旳时间辨别率； 在高频部分具有较高旳时间辨别率和较低旳频率辨别率。 优点：适合探测正常信号中夹带旳瞬态反常现象并展示其成份，所以被 誉为分析信号旳显微镜，利用小波变换进行动态系统故障检测与诊疗具 有良好旳效果。
－－利用小波包旳多尺度分解能力，把信号分解到多种频率带， 经过检测各频率带信号旳能量变化，能够对点蚀故障进行辨认
实际应用
2.小波消噪 在实际信号测量中，传感器、传播线、电源等所带来旳背
景噪声，往往使测量成果产生误差，严重时甚至可能淹没有用 信号，使测量成果不能正确反应被测对象旳真实状态，降低了 信号分析旳可信度，所以信号消噪是信号处理旳首要问题。
白噪声旳小波变换系数模值随分解尺度旳增长而变旳越来 越小，而信号旳小波变换系数模值随分解尺度旳增长而变旳越 来越大，故可对若干尺度上旳小波系数设置阈值，将分解尺度 上旳噪声所相应旳小波系数进行阈值化置零，保存有效信号所 相应旳小波系数，然后进行重构，则重构后旳信号就是基于小 波变换旳消噪信号。
4、用于机器运营状态监测和故障诊疗
小波包能量谱监测。实际振动中某些常见旳摩擦、冲击等信号，一般 不能以某些正弦分量来表达。所以，有时采用按频带进行能量监测旳措 施，比频谱分析更为合理。
小波分析完美教程经典
小波分析完美教程经典小波分析是一种数学方法，用于在时间序列或信号中检测和描述局部的频率特征。
它具有在不同尺度上进行分析的能力，并且可以有效地处理非平稳和非线性的数据。
小波分析最早由法国数学家莫尔斯特尔在20世纪80年代提出，并且在信号处理、图像处理、模式识别等领域中得到了广泛的应用。
相对于傅里叶分析而言，小波分析更适用于局部信号特征的提取，因为它可以在时间和频率上同时进行分析。
小波分析主要包含以下几个步骤：1. 选择小波基函数：小波基函数是小波分析的基础，它决定了在不同尺度上对信号进行分析时的特征。
常见的小波基函数有Morlet小波、Haar小波、Daubechies小波等。
选择适合的小波基函数对于小波分析的结果具有重要的影响。
2.进行小波变换：小波变换是将信号在不同尺度上进行分解的过程。
通过将信号与小波基函数进行卷积，可以得到不同频率的小波系数。
小波变换可以分为连续小波变换和离散小波变换两种。
连续小波变换适用于连续信号，而离散小波变换适用于离散信号。
3.进行小波重构：小波重构是将小波系数重新组合成原始信号的过程。
通过将不同尺度上的小波系数进行反变换，可以得到原始信号的近似和细节部分。
小波重构的过程可以用于信号的降噪、压缩等应用。
在实际应用中，小波分析可以用于信号的时频分析、图像的压缩与去噪、模式识别等方面。
其优点在于可以提供更准确的局部信息，对非平稳和非线性信号具有更好的适应性，并且具有多尺度分析的能力。
然而，小波分析也存在一些问题。
首先，小波基函数的选择需要根据具体的应用场景进行判断，不同的小波基函数可能对信号的特征有不同的适应性。
其次，小波分析的计算量较大，对于大规模信号的处理可能会耗费较长的时间。
综上所述，小波分析是一种强大的信号处理工具，它可以在不同尺度上对信号进行分析，并且可以用于时频分析、图像处理、模式识别等领域。
通过选择合适的小波基函数和进行小波变换和重构，可以获得准确的局部信号特征。
小波分析简介
1 2
该窗函数所确定的频域窗 0 w ˆ , 0 w ˆ
2018/11/17 18
一个时域函数为窗函数，并不一定其 Fourier变换也为窗函数。只有当、同 时为窗函数时，才能在相空间确定一 个矩形窗口: t0 w , t0 w 0 w ˆ ,0 w ˆ
11
有限数字信号的 FT
正变换
ˆ m xn e X
n 0 N 1 i 2mn N
逆变换
1 ˆ me xn X N m 0
N 1
2mn i N
2018/11/17
12
FT在信号处理中的局限性 用傅立叶变换提取信号的频谱需要 利用信号的全部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的 变化信号频率成分的变化情况。
1. 分析原理
2. 算例
2018/11/17
7
有待讨论和进一步学习的问题
正交小波构造的进一步讨论 正交小波包 双正交小波变换 小波分析的更广泛应用
2018/11/17
8
谢 谢 ！
2003. 6. 5
信号时频分析的重要性：
时间和频率是描述信号的两个最 重要的物理量。 信号的时域和频域之间具有紧密 的联系。
2018/11/17
20
窗函数的举例
Gaussian 函数
1
2018/11/17
21
短时Fourier变换
ˆ 都是窗函数， 若wt , w 则短时Fourier变换定义为
~ (Gb f )
f t eit wt bdt
短时Fourier变换也叫窗口Fourier变换 短时FT是说明时频局部化分析思想的很好例子
小波分析和变换课程学习报告
小波分析和变换课程学习报告1 课程概述小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
与Fourier 变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。
有人把小波变换称为“数学显微镜”。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier 分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier 分析之后的又一有效的时频分析方法。
2 课程学习过程 2.1 绪论本节课，吴老师通过最基础的和差变换，深入浅出的指导我们初步认识到小波的基本知识面貌，在X(i)至Y(i)至Z(i)的变换与恢复过程中，我们认识到这其实是一种非常普遍的数据压缩与解压缩的过程，我们在生活和学习过程中经常会运用到。
引申到图像处理中，小波分析的运用更为直接和有效。
在该领域小波变换存在以下几个优点：a) 小波分解可以覆盖整个频域；b) 小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性；c) 小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率（宽分析窗口），在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率（窄分析窗口）；d) 小波变换实现上有快速算法（Mallat 小波分解算法）。
2.2 小波变化原理2.2.1 小波变换及小波函数的多样性小波是函数空间2()L R 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ：2ˆ().R C d ψψωωω+=<∞⎰式中，*{0}R R =-表示非零实数全体，ˆ()ψω是()x ψ的傅里叶变换，()x ψ成为小波母函数。
小波分析及其应用
采取的教学方法和教学手段包括：
1、课堂讲授在强化基本概念、基本方法的基础上，注重将实际问题引入数学的学习中，强调数学概念的几何感知、抽象方法的几何意义，同时辅以其他学科中的实际问题凸显数学概念、数学思想和方法的作用；
2、分组研讨班则以数学问题中总结和提升为主，强调从不同角度看待同一问题，从不同方式延伸和推广数学的思想和方法；
1)小波级数
2)离散小波变换和小波系数
3) (*)Mallat算法
4)(*)Mallat算法的数值实现(矩阵实现和卷积实现方法)
4小波算法的应用（18学时）
介绍小波分析方法在信号和图像处理以及其它领域中的应用，让学生具备用小波分析的方法解决某些实际问题的能力。
1)(*)小波阈值去噪
2)(*)基于小波的图像去噪方法
前修课程、能力和知识结构要求：
明确学生学习本门课程的先修课程，主要能力和知识结构。
前修课程包括数值分析、实变函数、复变函数、泛函分析；在学习本课程前，学生应该具备良好的数学分析功底，尤其是函数项级数的各种性质有很好的的掌握，同时对于实变函数中的测度理论有一定的了解，并对于泛函分析中的基本概念（稠密、完备性、紧性）等概念有很好的掌握，并对其中重要且相对容易的基本空间（p平方可以函数空间等）的性质有一定的掌握。
4)(*)Fourier级数与Fourier变换
2．多分辨分析（10学时）
引入多分辨分析的概念，从多分辨分析的角度理解小波分析的思想。
1)(*)多分辨分析
2) 从多分辨分析构造小波
3．小波级数、Mallat算法、小波变换（14学时）
引入小波级数的定义，给出离散小波变换和连续小波变换的概念，以及Mallat算法，并介绍Mallat算法的两种数值实现方法：矩阵实现和卷积实现方法，为后面的小波在工程中的应用奠定基础。
小波分析理论与Matlab7实现课程设计
小波分析理论与Matlab7实现课程设计背景介绍小波分析是一种时频分析方法，不仅是信号分析领域中的一个重要分支，也是现代数学、物理、工程技术和计算机科学等交叉学科中的一个热门研究方向。
在时间序列分析、图像处理、声音处理、信号压缩等领域都有广泛应用。
Matlab7是一款主要用于科学计算、数据分析、可视化和算法开发的数学软件，是小波分析实现的主要工具之一。
本课程设计将介绍小波分析的基本原理、算法和理论，以及如何基于Matlab7实现小波分析。
课程大纲1. 课程介绍•课程背景和目标•小波分析简介和应用领域2. 小波分析基本原理和理论•小波基函数及其性质•连续小波变换及离散小波变换•小波分析的时频分析能力3. 小波分析算法及实现•Mallat算法的原理和实现•面向对象编程的小波分析算法实现•利用Matlab7实现小波分析算法4. 小波分析在实际应用中的案例分析•时间序列分析、图像处理、声音处理和信号压缩等领域的应用案例•对于每个案例分析设计实现思路，并基于实现思路进行Matlab7程序实现5. 课程总结•小波分析理论和实践的结合•课程回顾和展望课程愿景本课程将介绍小波分析的基本理论和算法，以Matlab7实现为主要教学内容，结合实际案例分析，旨在让学生全面了解小波分析的理论和实践应用，掌握相应的技术和工具，为学生今后从事相关领域的研究和应用奠定良好的基础。
同时，本课程注重理论和实践相结合，帮助学生进行创新性思维的培养和实践项目的实现。
参考文献•Mallat,S.(1989).A theory of multiresolution signal decomposition:The wavelet representation.IEEE Transactions onPattern Analysis and Machine Intelligence, 11(7), 674-693.•Donoho,D. L., & Johnstone,I. M.(1994).Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage.Biometrika,81(3), 425-455.•Coifman, R.R., & Meyer, Y.(2003).Wavelets,calderon-Zygmund operators and multiscale signal processing.Notices of theAMS,50(2),336-341.。
201411234-小波分析-教学大纲
小波分析课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：201411234课程中文名称：小波分析课程英文名称：Wavelet Analysis课程性质：专业选修课程开课专业：数学与应用数学开课学期：6总学时：36 （其中理论28学时，上机8学时）总学分：1.5二、课程目标小波分析作为一个新兴的数学理论，是二十世纪数学发展史上的重要成果。
小波分析的出现，无论对数学本身的发展还是对数学在工程上的应用都产生了十分深远的影响。
目前，小波分析方法已经广泛应用于理论数学、应用数学、信号处理、图像处理与分析、语音识别、计算机视觉、模式识别、故障监控、通信与电子系统等众多学科。
由于小波分析提供了一种自适应的时域与频域同时局部化的方法，它能够自动调节时频窗口，以适应实际分析的需要，因而在局部时频分析中具有很强的灵活性，小波分析是当前数学的研究热点之一。
开设小波分析课程，就相当于在数学理论与数学理论在实际工程上的应用之间，架设一座桥梁，使愿意将数学理论应用于实际的学生，找到一个数学理论研究和实际应用相结合的突破点，为培养高质量的应用型人才，打下良好的基础，而这正是小波分析课程开设的目的所在。
三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）小波分析课程要求学生掌握如下内容：⑴了解小波分析的基本理论及其应用范围；⑵小波分析与多分辨分析的基本理论；⑶离散小波变换理论及其实现；离散小波变换在信号处理、图像处理中等方面的应用，并能够使用数学软件例如Matlab进行小波变换相关程序的编写。
学习完本门课程后，使学生能够利用小波分析的方法，结合小波分析方面的数学软件包，进行图像处理与信号处理方面的应用。
四、教学内容与学时分配小波分析课程的总教学学时为36学时，其中理论学时为28学时，小波分析与多分辨分析的数学理论，是小波分析课程的重点。
离散小波变换理论、离散小波变换在信号处理及图像处理中的应用，则是本课程的难点。
其教学内容与学时分配如下：1 小波分析综述（6学时）2 小波与多分辨分析的基本理论（10学时）3 离散小波变换理论及其实现（4学时）4 小波分析在信号处理及图像处理中的应用及程序设计（8学时）5 上机（8学时）五、教学方法及手段小波分析课程采用国外原版教材授课，并且以多媒体形式讲授，课堂上用PDF格式的电子教案向学生讲授。
小波分析入门PPT课件
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应用
在音频处理、图像处理、信号处理等领域有广泛应用 。
复数小波变换
定义
复数小波变换是指小波基函数为复数的小波变换，其变换结果也 为复数。
特点
复数小波变换具有更强的灵活性和表达能力，能够更好地描述信 号的复杂性和细节。
应用
在雷达信号处理、通信信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
04
CATALOGUE
小波变换的基本原理
小波变换的定义
小波变换是一种信号的时间-频率分析方法，通过将信号分解 成不同频率和时间的小波分量，实现对信号的时频分析和去 噪。
小波变换的原理
小波变换通过将信号与一组小波基函数进行内积运算，得到 信号在不同频率和时间上的投影，从而实现对信号的时频分 析和去噪。
小波变换的应用领域
小波变换的基本理论
一维小波变换
定义
实例
一维小波变换是一种将一维函数分解 为不同频率和时间尺度的过程，通过 小波基函数的平移和伸缩实现。
一维小波变换在图像压缩中广泛应用 ，如JPEG2000标准就采用了小波变 换技术。
作用
一维小波变换用于信号处理、图像处 理等领域，能够有效地提取信号中的 特征信息，实现信号的时频分析和去 噪等。
数值计算中的应用
数值求解偏微分方程
小波分析可以用于求解偏微分方程的数值解，通过小波变 换可以将方程转化为离散形式，便于计算。
数值积分与微分
小波分析可以用于数值积分与微分的计算，通过小波基函 数展开被积函数或被微分函数，可以快速计算积分或微分 值。
数值优化
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小波分析
课程名称：小波分析
英文名称：Wavelets analysis
课程编号码：070102X09
适用专业：信息与计算科学
课程类别：专业选修
学时数：48 学分：3
编写执笔人：高仕龙审定人：宋际平
编写日期：2005年10月25日
一、课程的性质、目的和任务
本课程是信息科学的基础数学理论, 小波（wavelet）分析是一种在传统的Fourier分析的基础上发展起来的新分析方法，它由数学家和信息技术等领域的工程师各自独立发现，并共同推动而得以迅速的发展。
作为时间—频率分析方法，小波分析比Fourier分析有着许多本质性的进步，它提出了一种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法，无论分析低频或高频的局部信号，它都能自动调节时—频窗口，以适应实际分析的需要。
在局部时—频分析中具有很强的灵活性，能聚焦到信号时段与频段的任意细节，故被誉为时—频分析的显微镜。
小波快速算法则为分析和解决实际问题带来了极大的方便。
这些特点使时—频分析的方法和应用得到了辉煌的发展。
通过本课程的学习，要求学生理解小波分析的理论，掌握小波分析的方法，并能运用到实践中去。
二、课程教学内容及教学基本要求
本课程分为七讲，概括小波分析的基本概念、基本理论和基本解题方法和技巧以及实验，并讲述了小波分析在其它诸多领域的应用，要求学生会用基本的数学的软件实现小波分析的相关应用实验。
每节包括知识、例题、习题及实验四部分内容。
第一章：小波预备知识（4学时）
1、教学内容
线性赋范空间,巴拿赫空间,希耳伯特空间等相关实函，距离空间, 基底和框架，反演公式，线性空间，泛函知识,,傅里叶级数的复数形式，傅里叶变换的定义，傅里叶变换的性质，窗口傅里叶变换的定义，局部化特征，窗函数，时频窗的概念。
2、教学目的及要求
了解线性赋范空间,巴拿赫空间,希耳伯特空间等相关实函。
理解距离空间, 基底和框架，反演公式，线性空间。
掌握泛函知识,,傅里叶级数的复数形式，傅里叶变换的定义，傅里叶变换的性质，窗口傅里叶变换的定义，局部化特征，窗函数，时频窗的概念。
第二章：小波变换的概念与性质（12学时）
1、教学内容
几类特殊的小波（DOG小波，Morlet小波，Marr小波）离散小波变换的概念，小波变换的反演公式。
连续小波变换的定义，小波框架，Reisz 基，卷积小波变换定义，二进小波变换的定义。
连续小波变换的性质（叠加性，平移性，尺度法则，乘法定理），小波变换的时频窗特性，小波变换的时频局部化能力，卷积小波变换性质（叠加性，平移性，尺度法则，乘法定理，反演公式），小波变换的稳定性条件和容许性条件，逆小波变换。
2、教学目的与要求
了解几类特殊的小波（DOG小波，Morlet小波，Marr小波）离散小波变换的概念，小波变换的反演公式。
理解连续小波变换的定义，小波框架，Reisz基，卷积小波变换定义，二进小波变换的定义。
掌握连续小波变换的性质（叠加性，平移性，尺度法则，乘法定理），小波变换的时频窗特性，小波变换的时频局部化能力，卷积小波变换性质（叠加性，平移性，尺度法则，乘法定理，反演公式），小波变换的稳定性条件和容许性条件，逆小波变换。
第三章：正交小波变换（6学时））
1、教学内容
正交小波变换的定义，Mallat快速算法。
Haar小波基，Littlewood-Paley小波基，正交小波基的构造，小波的多尺度分析和多分辨分析，尺度函数和小波函数的性质，两尺度方程及其频域特性，理解
函数的正交小波分解和多尺度逼近，小波的分解和重构公式。
2、教学目的与要求
了解正交小波变换的定义，Mallat快速算法。
理解Haar小波基，Littlewood-Paley小波基，正交小波基的构造，掌握小波的多尺度分析和多分辨分析，尺度函数和小波函数的性质，两尺度方程及其频域特性，理解函数的正交小波分解和多尺度逼近，小波的分解和重构公式。
第四章：紧支集小波（6学时）
1、教学内容
紧支集正交小波的构造，紧支集正交尺度函数的构造。
小波共轭滤波器的性质，Doubechies
小波的性质。
2、教学目的以及要求
理解紧支集正交小波的构造，紧支集正交尺度函数的构造。
掌握小波共轭滤波器的性质， Doubechies小波的性质。
第五章：函数的奇异性与小波变换的关系（10学时）
1、教学内容
函数奇异值的概念，函数奇异性在小波变换下的特性。
L指数，卷积小波变换与L指数的关系。
几种检测函数奇异性常用小波的性质，L指数的估计。
2、教学目的以及要求
了解函数奇异值的概念，函数奇异性在小波变换下的特性。
理解L指数，卷积小波变换与L指数的关系。
掌握几种检测函数奇异性常用小波的性质，L指数的估计。
第六章：小波分析在其它学科中的应用（10学时）
1、教学内容
检测瞬态突变，非平稳信号去噪，图象边缘检测。
2、教学目的以及要求
理解检测瞬态突变，非平稳信号去噪，图象边缘检测。
掌握检测瞬态突变，非平稳信号去噪，图象边缘检测。
三、课程教学环节
课程的教学环节主要包括课堂讲授、学生自学、课堂练习、上机实验、
课后作业、答疑、期未考试。
通过上述基本教学步骤，要求学生掌握小波的基本理论和思维方法，掌握基本的解题方法和技巧，掌握这门学科的基本框架和基本实验操作。
对问题的类型、解题思路和方法进行归纳、总结，探索规律，会应用基本数学软件实现相关实验。
本课程共48学时，其中讲授课34学时，习题课8学时，实验课6学时。
教学中适当运用CAI课件等形式，课后作业主要针对课堂讲解的内容，起到补充，巩固的作用。
考试方式是闭卷考试,主要是理论考试，时间2小时。
实验：主要是小波的性质和二维小波的应用；
作业：每一章节都有有相关作业，部分课后作业做为习题讲解，部分习题做为学生课后作业。
四、课时分配及教学方式和手段
五、本课程与其他课程的联系与分工
建议先修课：数学分析、高等代数。
后续课：信号处理，分形等。
六、建议教材及教学参考书：
教材：《分形与小波》李水根吴纪桃编著科学出版社 2002。
参考书：
[1] 《数学分析》（上、下册）华东师范大学数学系编，高等教育出
版社2001年6月第三版；
[2] 《分形与小波》科学出版社李水根吴纪桃著 2002；
[3] 《小波分析导论》西安交通大学出版社 [美] 崔锦泰著 1995；
[4] 《小波变换的工程分析与应用》科学出版社杨福生著 1999；
[5] 《实用小波方法》华中科技大学出版社徐长发，李国宽著 2001；。