2019年北约自主招生报名入口

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篇一：2019年自主招生模拟试卷(北约)数学及答案WORD

2019年自主招生模拟试卷（北约）

1．已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则S?PQRS?ABC

的最小值为．

解答：如图5-1所示，

A

P H

B图5-1 图5-2

（1）当?PQR的直角顶点在?ABC的斜边上，则P,C,Q,R四点共圆，

?APR??CQR?180??BQR,所以sin?APR?sin?BQR.在?APR,?BQR中分别应

用正弦定理得

PRARQRBR

?,?.又?A??B?45,故PR?QR,故sinAsinAPRsinBsinBQR

AR?BR即R为AB的中点.

S?PQR1

BC,所以2S?ABC

1

(BC)2

PR1???,此22BCBC4

2

过R作RH?AC于H，则PR?RH?

时

S?PQRS?ABC

的最大值为

1

. 4

（2）当?PQR的直角顶点在?ABC的直角边上，如图5-2所示，设

BC?1,CR?x(0?x?1),?BRQ??(0???

在Rt?CPR中，PR?

?

2

),则?CPR?90??PRC??BRQ??.

CRx

?, sin?sin?

x3

,?RQB????QRB??B????, sin?4x

PQRB1?x