2018年北约自主招生数学试题Word版
2018年北京市高级中等学校招生考试数学试卷word版含网络答案
2018年北京市高级中等学校招生考试数学试卷姓名 准考证号 考场号 座位号考生须知 1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题。
满分100分。
考试时间120分钟。
2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3. 试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a + 3. 方程式⎩⎨⎧=-=-14833y x y x 的解为（A ）⎩⎨⎧=-=21y x （B ）⎩⎨⎧-==21y x （C ）⎩⎨⎧=-=12y x （D ）⎩⎨⎧-==12y x 4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为（A ）231014.7m ⨯ （B ）241014.7m ⨯ （C ）25105.2m ⨯ （D ）26105.2m ⨯5. 若正多边形的一个外角是o 60，则该正多边形的内角和为（A ）o 360 （B ）o 540 （C ）o 720 （D ）o 900 6. 如果32=-b a ，那么代数式b a a b a b a -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222的值为（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）347. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。
2018年北京大学自主招生数学试题含解析
一、选择题（选对得10分，不选得0分，选错扣5分）1、整数z y x ,,满足1=++zx yz xy ，则()()()222111z y x+++可能取到的值为（）A．16900B．17900C．18900D．前三个答案都不对2、在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（）A．3524B．3624C．3724D．前三个答案都不对3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0 x ，对任意实数a ，函数1cos 2cos 2+-=x a x y 的最小值记为()a g ，则当a 取遍所有实数时，()a g 的最大值为（）A．1B．2C．3D．前三个答案都不对4、已知2020210-是n 2的整数倍，则正整数n 的最大值为（）A．21B．22C．23D．前三个答案都不对5、在凸四边形ABCD 中，4=BC ，60=∠ADC ，90=∠BAD ，四边形ABCD 的面积等于2ADBC CD AB ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（）A．6.9B．7.1C．7.3D．前三个答案都不对二、填空题（填空题共5小题；请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分）6、满足等式2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++x x 的整数x 的个数是_______．7、已知[]4,2,,,∈d c b a ，则()()()22222cbdacd ab +++的最大值与最小值的和为_______．8、已知对于任意的实数[]5,1∈x ，22≤++q px x ，不超过22q p +的最大整数是_______．9、设bc a c b x 2222-+=，ca b a c y 2222-+=,ab c b a z 2222-+=,且1=++z y x ，则201520152015z y x ++的值为_______．10、设n A A A ,,,21 都是9元集合{}9,,2,1 的子集，已知i A 为奇数，n i ≤≤1，j i A A 为偶数，n j i ≤≠≤1，则n 的最大值为_______．2018年北京大学自主招生选拔录取考试数学部分参考答案一、选择题1、A解析：()()()()()()()2222111x z z y y x z y x+++=+++.令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,13,5,2x z z y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.8,3,5z y x 经检验，这组解满足题意，此时()()()16900111222=+++z y x ．2、D解析：考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组：(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725，故选D．3、A解析：令[]1,0cos ∈=x t ，令()122+-=at t t h ，[]1,0∈t 则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=1,2210,1012a a a a a a g ，故()a g 的最大值为1（0≤a 时等号成立）．4、D解析：1()()()()()1555515151521522102345102020202020++++-++=-=-，而1510+模4余2，155+模4余2，15555234++++为奇数，故正整数n 的最大值为24．5、A解析：设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC ,BD 的夹角为θ，则2sin 22sin ADBC CD AB AD BC CD AB BD AC S ⋅+⋅≤⋅⋅+⋅≤⋅⋅=θθ,由题意，2ADBC CD AB S ⋅+⋅=，所以D C B A ,,,四点共圆，且BD AC ⊥．故9.634≈=CD ，选A．二、填空题6、11解析：若x 为正整数，则2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+>>⎪⎭⎫⎝⎛++e x x ,若x 为负整数，令()2,≥∈-=*n N n n x ，则1111111-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n x n x .因为数列()2,1111≥∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+*-n Nn n n 关于n 单调递增，故当且仅当2016-=x 时，有2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x .7、2541解析：注意到()()()()222222bd ac cd ab c bda -++=++,于是()()()()()()22222222211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++++=+++cd ab bd ac bd ac cd ab cd ab c b d a cd ab ,显然当0=-bd ac 时，原式取得最大值为1．接下来考虑cdab bdac +-的最大值．由于1+⋅-=+-cb d ac bd a cd ab bd ac ,令αtan =d a ，βtan =c b ，则问题等价于当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2arctan ,21arctan ,βα时，求βα-tan 的最大值，显然为4321arctan2arctan tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-.因此原式的最小值为2516．注：可以看做向量()d a ,和()c b ,夹角余弦的平方．8、9解析：注意到q px x y ++=2，[]5,1∈x 满足22≤≤-y ，因此符合题意的二次函数只有两个：762+-=x x y ，762-+-=x x y9、1解析：由1=++z y x ，可得()()()()()()()()()()22222223223322322322322=-------=-+-++-+-=-++-++--+=--++-++-+b a c a c b c b a b a c c b a c b a b a abc c b c a c bc ac b a b a ab abc c c b c a b b a bc a ac ab 所以c b a +=或a c b +=或b a c +=，故1201520152015=++z y x ．10、9解析：构造是容易的，取{}i A i =，9,,2,1 =i 即可．用0,1表示集合中的元素是否在子集中，如{}9,5,4,3,11=A ，则记()1,0,0,0,1,1,1,0,11=A ,那么j i j i A A A A =⋅.显然，如果当10≥n 时，必然存在m 个向量线性相关，不妨设()0,,0,02211 =+++m m A A A λλλ,其中()m i Z i ,,2,1 =∈λ，11=λ．此时考虑()m m A A A A λλλ+++⋅ 22111,那么根据题意有11A A ⋅为奇数，而()m i A A i ,,3,21 =⋅为偶数，这样就推出了矛盾．因此所求n 的最大值为9．注：用这个方法，可以得出n 元集合至多有n 个包含奇数个元素的子集，使得这些子集中任意两个的交集均包含偶数个元素．。
2018北京大学自主招生试题(含语文数学英语)
北京大学【注意事项】本试卷分为语文、数学、英语三部分。
【考试时间】3 个小时语文部分【注意事项】本试卷语文部分分为基础知识题和阅读题两部分．一共 50 道选择题。
第Ⅰ卷（基础知识题）1．【真题】对下面一首诗的赏析，不恰当的一项是（）海臧克家从碧澄澄的天空，摸着潮湿的衣角，看到了你的颜色：触到了你的体温；从一阵阵的清风，深夜醒来，嗅到了你的气息：耳边传来了你有力的呼吸。
（1956 年）A．诗人用平实的语言．分别从视觉、嗅觉、触觉、听觉四个方面写出了他对大海的感受。
B．这首诗反映了诗人对大自然壮观的惊喜，也反映了他的人生哲学，表现了一定的人生哲理。
C．由远而近、从白天到夜晚，大海给诗人的感觉不尽相同，这些形成了全诗的发展层次。
D．诗人将自己的感觉加以升华，使大海人格化、生命化、向我们展示出大海的整体形象。
4．【真题】下列各句中使用，全部正确的一项是（）①在称雄之前，刘备成功地把自己装扮成一个胸无大志的庸才，这一韬光养晦的做法让他得以与强大的曹操和孙权一起称雄三国时代。
②“手如柔荑，肤如凝脂”，《诗经·硕人》通过对齐女庄姜的细腻描绘，刻画了一个珠圆玉润、亮丽动人的古典美人。
③自 8 月 1 日滴滴收购优步中国的消息正式宣布后，网上盛传商务部反垄断局已两次约谈滴滴并依法进行调查，滴滴对此讳莫如深。
④由于缺少有效监督，《公共场所控烟条例》在许多地方沦为一纸空文，只有真正令行禁止，才能达到公共场所“无烟化”的目标。
⑤城市规划大师卡罗琳·博斯在做主题演讲时说，城市环境和建筑休戚相关，所以要改善城市环境不能忽视城市建筑的整体规划。
⑥他此时正心事重重，尽管窗外鸟语花香，一片春意盎然，他也目不窥园，无心欣赏，还时不时的叹上一口气。
A．①②⑤B．①③④C．②⑤⑥D．③④⑥5．【真题】下图是两副吟咏郑成功的对联，请依文意与对联组成原则，选出最适合填入甲、乙、丙、丁处的内容（）四镇多贰心，两岛屯师。
（丙）南天留祠宇，雄图虽渺。
2018年清华北大自招真题
值为（ ）
A. 63
B. 1009
C. 2018
D. 前三个答案都不
对
【解答】D
【考点】数列问题以及基本不等式的应用
【解析】令 x = k + r(k Z且0 k n −1, 0 r 1) ，当 k = 0 时 x[x] = 0 ； k 1时，则
k2 x[x] = (k + r)k k 2 + k ， x[x] 有 k 个取值；
x2 − 2a x − a − 2ax +1 = 0 (x − a)2 − 2a x − a +1− a2 = 0 ( x − a − a)2 = 2a2 −1
，
2a2
−1
0
x − a = a
2a2 −1 0
2a2
−1
，要使原方程有三个互不相等实根，则
a
2019 2018
−1=
2018
，
−a1
+
a2
−
a3
+
... −
a2017
+
a2018
=
(1−
1)(1− 1
1 )(1 − 2
1)...(1− 3
1) 2018
−1
=
−1
，
两式相加即得
a2
+
a4
+ ... +
a2018
=
2018 −1 2
=
2017 2
.
6. 已知实数 A,b,c 成公差非 0 的等差数列，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（-3， 2），点 N 的坐标为（2，3），过点 P 作直线 Ax+by+c=0 的垂线，垂足为点 M，则 M,N 间的 距离的最大值与最小值的乘积是（ ）
2018年高中自主招生数学试题(最后定稿)
**中学 2018年高中自主招生统一考试 座位号数学试卷 姓 名一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．2．下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A ．平均数、中位数 B ．众数、中位数 C ．平均数、方差 D ．中位数、方差3.对于正数x 和y ，定义xyx y x y⊕=+，那么（ ） A.⊕“”符合交换律，但不符合结合律 B.⊕“”符合结合律，但不符合交换律 C.⊕“”既不符合交换律，也不符合结合律 D.⊕“”符合交换律和结合律 4.速录员小明打2500个字和小刚打3000个字所用的时间相同，已知小刚每分钟比小明多打50个字，求两人的打字速度．设小刚每分钟打x 个字，根据题意列方程，正确的是（ ） A ．=B ．=C ．=D ．=5.已知实数,x y 满足234x y -=，并且1x ≥-，2y <，现有k x y =-，则k 的取值范围为（ ）A. 3k >-B. 13k ≤<C. 13k <≤D. 3k <6．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y=﹣，y=的图象交于第10题图CBAB 、A 两点，则tan ∠OAB 的值的变化趋势为：（ ） A ．逐渐变小 B ．逐渐变大C ．时大时小D ．保持不变7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ） A ．4B ．5C ．6D ． 78.如图，矩形ABOC 的顶点坐标为（－4，5），D 是OB 的中点，E 为OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是（ ）A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0，2)D ．10(0,)3第8题图 第9题图 第10题图9.如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折180°得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于 ( ) A ．2 B ．54 C.53 D ．7510.已知函数()()12030x xy x x⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的图像如图所示，点P 是y 轴负半轴上一动点，过点P 作y 轴的垂线交图象于A ，B 两点，连接OA 、OB .下列结论：①若点()()111222M x y M x y ，，，在图象上，且120x x <<，则12y y <；②当点P 坐标为（0，-3）时，AOB ∆是等腰三角形；③无论点P 在什么位置，始终有7.54AOB S AP BP ∆==，；④当点P 移动到使90AOB ∠=︒时，点A 的坐标为（，）.其中正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若函数y=与y=x ﹣2图象的一个交点坐标（a ，b ），则﹣的值为 ．12.规定0x x =时，代数式221x x +的值记为0()f x .例如：1x =-时，22(1)1(1)1(1)2f --==+-，则)20181()41()31()21()2018()3()2()1(f f f f f f f f +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++的值等于 .13.如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C 重合），CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连接OM ，ON ，MN ．下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2+CM 2=MN 2；⑤若AB=2，则S △OMN 的最小值是，其中结论正确的序号是 ．（把所有正确结论的序号都选上）第13题图 第14题图14.长为1，宽为a 的矩形纸片（＜a ＜1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，则a 的值为 ． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：6cos45°+（13）-1+ 1.73）0 +|5﹣|+42017 ×（﹣0.25）201816. 先化简，再求值：（a ﹣）÷（），其中a满足a 2﹣3a+2=0．四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图所示，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），网格中小正方形的边长为1．（1）把△ABC 沿BA 方向平移后，点A 移到点A 1，在网格中画出平移后得到的△A 1B 1C 1； （2）把△A 1B 1C 1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A 2B 2C 2，并求点B 两次运动路径总长．18．如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形，将此基本图形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中心重合，这样得到图②，图③，…（1）观察图形并完成表格：猜想：在图n 中，菱形的个数为[用含有n （n ≥3）的代数式表示]；（2）如图，将图n 放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O 1的坐标为（x 1，1），则x 1= ；第2018个基本图形的中心O2018的坐标为 ． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.【回顾】如图1，△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝3，BC ＝4，则△ABC 的面积等于 ． 【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含30°的角，较短的直角边长为a ；另一个含有45°的角，直角边长为b ．小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD （如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°＝；小丽用两副这样的三角尺拼成一个矩形EFGH ，如图4，也推出sin75．请你写出小明或小丽推出sin75的具体说理过程．20．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．（1）求证：AC平分∠BAE；（3分）（2）若AC=2CE=6，求⊙O的半径；（3分）（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？（4分）请证明你的结论．六、（本题满分12分）21．[探究函数4y xx=+的图象与性质]（1）函数4y xx=+的自变量x的取值范围是；（2分）（2）下列四个函数图象中函数4y xx=+的图象大致是（）；（2分）（3）对于函数4y xx=+，求当x＞0时，y的取值范围. （4分）A B请将下列的求解过程补充完整. 解：∵x ＞0∴()2224y xx=+=+=+∴ y ≥ .⑷若函数2x 5x 9y x-+=，则y 的取值范围 . （4分）七、（本题满分12分）22．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3分）（2）求每天的销售利润W （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（5分）（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（4分）八、（本题满分14分）23．我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I 为△ABC 的内心．（1）如图1，连接AI 并延长交BC 于点D ，若AB=AC=3，BC=2，求ID 的长；（4分） （2）如图2，过点I 作直线交AB 于点M ，交AC 于点N ． ①若MN ⊥AI ，求证：MI 2=BM •CN ；（6分）②如图3，AI 交BC 于点D ，若∠BAC=60°，AI=4，则+的值为 ．（4分）高中自主招生真题哪里找？考自主招生的，某宝上有题目搜【高中中学自主招生考试备考试卷历年真题付款后留邮箱地址】2015-2018全套试题及答案。
14-18年北清自招龅牙领军数学真题-函数的性质与图像
清华领军2015.4.设函数()f x 的定义域为（-1，1），且满足：①()0,(1,0)f x x >∈-；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，(1,1)x y ∈-、，且()f x 为（ ）A.奇函数B.偶函数C.减函数D.有界函数清华领军2015.5.如图，已知直线y kx n =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点 同时分入了导数类清华领军2015.23.设函数2sin π()1xf x x x =-+，则（ ）A.4()3f x ≤B.|()|5||f x x ≤C.由线()y f x =存在对称轴D.曲线()y f x =存在对称中心清华领军2015.30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)0y x y x x +++-=，则（ ） A.L 是轴对称图形 B.L 是中心对称图形 C.22{(,)|1}L x y x y ⊂+≤ D.11(,)|22L x y y ⎧⎫⊂-≤≤⎨⎬⎩⎭同时分入函数的极值类清华领军2017.15.已知2()f x x ax b =++在(1,1)x ∈-上有两个零点。
求22a b -的取值范围。
A.(0,)+∞B.(0,2)C.(,2)-∞D.(2,2)-清华领军2017.21.满足35(3)40x y x x y ++++=的(,)x y （ ） A.在一条直线上 B.在一条抛物线上 C.为有限个 D.为无限个 分类存疑北大自招2016.1. 求()212log 2x x -++的单调增区间。
1.【解答】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭要求()212log 2x x -++的单调增区间，由12log x 是在()0,+∞上的减函数，故即解2201,2122x x x x ⎧-++>⎪⎛⎫⇒∈⎨ ⎪>⎝⎭⎪⎩北大自招2016.5. 设x ，y ，z 3R ∈，求方程381nnnx y z ++≤，当n →+∞时确定的几何体的体积为________。
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)2018年___自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.√16的平方根是()A.4B.±4C.22.若√(1−x)2=x−1成立，则x满足()A.x≥1B.x≥C.x≤1D.±23.已知x=√5−1，则x2+2x的值是()A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，d与水平线垂直，取向右为正方向；直线c、以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数x=xx2+2xx+2(x≠0)的图象如图，则下面结论正确的是()A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c 为y轴D.b为x轴，d为y轴5.如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，xx⊥xx，垂足为H，HM平分∠xxx，HM交AB于x.若xx=3，xx=1，则MH长为()A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△xxx中，∠x=90°，D是BC边上一点，∠xxx=3∠xxx，xx=8，xx=7.则AB的值为()A.15B.20C.2√2+7D.2√2+√7二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）7.已知实数x、y满足x+2x=5，则x−x=3.8.分解因式：x2+4xx+4x2+x+2x−2=(x+2x+1)2−3.9.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x,3)，(3x−1,3)，若线段AB与直线x=2x+1相交，则m的取值范围为(0,1)。
10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是9cm。
11.如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D、N处，B在同一直线上，分别落在M、F与BE交于点G.设AB=√3，那么△xxx的周长为4+4√3.12.如图，已知点x1，x2，…，xx均在直线x=x−1上，点x1，x2，…，xx均在双曲线x=−x上，x1x1⊥x并且满足：x1x2⊥x轴，x2x2⊥x轴，…，xx−1xx⊥x轴，xxxx⊥x轴，且x1x2=x2x3=…=xx−1xx，则n的最小值为2.1.由题意可知，点B在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，且AB垂直于x轴，因此AB的斜率为0，即AB为x轴，所以B的纵坐标为0.又因为B在x轴负半轴，所以其横坐标为负数，设为-a。
XXX2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)
XXX2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)1.已知$a$、$b$、$c$是一个三角形的三边，则$a+b+c-2ab-2bc-2ca$的值是（）。
A。
恒正 B。
恒负 C。
可正可负 D。
非负答案：选B根据三角形两边之和大于第三边的性质，可得$a+b-c>0$，$a-b+c>0$，$a+b+c>0$，$-a+b+c>0$。
将其代入原式，得$(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a+b+c-2ab-2bc-2ca)<0$，因此原式恒为负数，选B。
2.设$m$，$n$是正整数，满足$m+n>mn$，给出以下四个结论：①$m$，$n$都不等于1；②$m$，$n$都不等于2；③$m$，$n$都大于1；④$m$，$n$至少有一个等于1，其中正确的结论是（）。
A。
① B。
② C。
③ D。
④答案：选D将$m+n-mn>0$移项得$(m-1)(n-1)<1$。
因为$m$，$n$是正整数，所以只有$m=1$，$n=1$或$m=1$，$n=2$或$m=2$，$n=1$不满足条件，而$m=1$，$n$任意或$m$任意，$n=1$都满足条件，因此选D。
3.已知关于$x$的方程$2x+a=x+a$有一个根为1，则实数$a$的值为（）。
A。
$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ B。
$0$ C。
$1$ D。
以上答案都不正确答案：选A将$x=1$代入方程，得$2+a=1+a$，解得$a= \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
当$a=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$时，方程化简后为$2x^2+2x+(1+\sqrt{5})=0$，无实根，舍去；当$a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$时，方程化简后为$x^2-x-(1+\sqrt{5})=0$，有一个根为1，因此选A。
4.已知$a$，$b$，$c$是不完全相等的任意实数，若$x=a-2b+c$，$y=a+b-2c$，$z=-2a+b+c$，则关于$x$，$y$，$z$的值，下列说法正确的是（）。
XXX2018自主招生数学试卷(PDF版)
XXX2018自主招生数学试卷(PDF版) XXX自主招生试卷1.已知 $x+x=-3$，求 $x^3+x^3+1000$。
2.已知 $x+1/x=x/(x+t)$，求所有可能的 $t$ 之和。
3.平行四边形 $ABCD$ 中，$AB=15$，$CD=10$，$AD=3$，$CB=4$，求其面积。
4.已知 $y=x^3-4x+6$，其中 $a\leq x\leq b$，且 $x$ 的最小值为 $a$，最大值为 $b$，求 $a+b$。
5.已知 $y=2(x-2)^2+m$，若抛物线与 $x$ 轴交点与顶点组成正三角形，求 $m$ 的值。
6.正方形 $ABCD$ 边长为 $200$，$BC$ 以 $BC$ 为直径的半圆，$DE$ 为 $BC$ 的切线，求 $DE$ 的长。
7.在直角坐标系中，已知 $\triangle ABC$，$B(2,0)$，$C(9/2,0)$，过点 $O$ 作直线 $DMN$，$OM=MN$，求$M$ 的横坐标。
8.四圆相切，$\odot B$ 与 $\odot C$ 半径相同，$\odotA$ 过 $\odot D$ 圆心，$\odot A$ 的半径为 $9$，求 $\odotB$ 的半径。
9.横纵坐标均为整数的点为整点，$1/2<m<a$，$y=mx+a(1\leq x\leq 100)$，不经过整点，求 $a$ 可取到的最大值。
10.已知 $G$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，$DE$ 过重心，$S_{\triangle ABC}=1$，求 $S_{\triangle ADE}$ 的最大值，并证明结论。
科学素养1.已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为 $85$，求另两边长（写出 $10$ 组）。
2.阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 $f[bx_1+(1-b)x_2]<bf(x_1)+(1-b)f(x_2)$，分别取 $b=11/4$ 和 $b=3$。
2018年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷(博雅计划)-学生用卷
2018年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷（博雅计划）-学生用卷一、选择题（本大题共17小题）1、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第1题有10个不同的元素，有放回地取，则在前五次内取到过相同元素的概率为(保留两位有效数字)()A. 0.50B. 0.55C. 0.70D. 以上选项都不对2、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第2题(高斯函数的定义)f(x)=[x[x]]，记f(n)=a n，求a n+2018的最小值．n3、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第3题已知n的所有正因数的乘积等于n3(n为1∼400之间的正整数)，问n的个数()A. 50B. 51C. 55D. 以上选项都不对4、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第4题求使得sin√2+sin2√2+⋯+sinn√2>2成立的正整数n的个数()A. 0B. 1C. 无穷多个D. 以上选项都不对5、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第5题已知非负实数a，b，c满足a+b+c=3，求a+ab+abc的最大值()A. 3B. 4C. 3√2D. 以上选项都不对6、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第6题15个人围坐在圆桌旁，从其中任取4人，两两不相邻的概率是()A. 3091B. 2591C. 1091D. 以上选项都不对7、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第7题已知互不相同的实数a1，a2，⋯，a2018，b1，b2，⋯，b2018，对任意i=1，2，⋯，2018，(a i+b1)(a i+b2)⋯(a i+b2018)=2018，则对任意j=1，2，⋯，2018，求(a1+b j)(a2+b j)⋯(a2018+b j)()A. −2018B. 2018C. 0D. 以上选项都不对8、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第8题记S n表示边长为整数，周长为n且互不全等的三角形的个数，求S2018−S2015()A. 3B. 0C. −3D. 以上选项都不对9、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第9题已知z 1=sinθ+i ，z 2=cosθ+2i ，求14−|z 1−iz 2|2|z 1+iz 2|的最小值( )A. √3B. √2C. √5D. 以上选项都不对10、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第10题已知P (x,y )为x 25+y 24=1上的动点，则√x 2−2x +y 2+1+√y 2−2y +x 2+1的最小值()A. 2√5−2B. 2√5−√2C. 2√2−√5D. 以上选项都不对11、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第11题求方程√15x −x 2+13+√x 2−15x +273=4的实根数目( )A. 2B. 3C. 4D. 以上选项都不对12、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第12题在面积为1的△ABC中，线段AC，BC上各有一点D，E，使得AD=13AC，CE=13BC．记P为AE，BD的交点，求四边形PDCE的面积（）．A. 29B. 27C. 827D. 以上选项都不对13、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第13题x，y为实数，问√(x−9)2+4+√x2+y2+√(y−3)2+9的最小值属于以下哪个区间()A. [10,11]B. (11,12]C. (12,13]D. 以上选项都不对14、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第14题已知a，b，c为公差不为0的等差数列，P，N的坐标分别为(−3,2)，(2,3)，过P向直线ax+by+ c=0做垂线，垂足为M，求|MN|的最大值与最小值的乘积()A. 10B. 3√2C. 14D. 以上选项都不对15、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第15题从所有不大于2018的正整数中任取3个，均不相邻的选法有()种A. C20163B. 12C 20183C. C 20183−C 20172D. 以上选项都不对16、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第16题 组合数C n k 定义为n!k!(n−k )!，求C 20180+3C 20181+5C 20182+⋯+4037C 20182018()A. 2018×22018B. 2018!C. 2019×22018D. 以上选项都不对17、【来源】 2018年北京海淀区北京大学自主招生（博雅计划）第17题 数列{a n }表示正整数除去完全平方数由小到大的排列，求a 2018( )A. 2062B. 2063C. 1009D. 以上选项都不对1 、【答案】 C;2 、【答案】 404345;3 、【答案】 B;4 、【答案】 A;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 A;8 、【答案】 B;9 、【答案】 D;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 B;13 、【答案】 C;14 、【答案】 A;15 、【答案】 A;16 、【答案】 C;17 、【答案】 B;。
2018年XXX自招题-含答案解析
2018年XXX自招题-含答案解析1.已知三角形的三边为a、b、c，求a+b+c-2ab-2bc-2ca的值。
解：使用三角形的面积公式，我们可以得到a²+b²+c²=2ab+2bc+2ca。
将其代入原式可得a+b+c-2ab-2bc-2ca=(a²+b²+c²)-(a+b+c)=-2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)=-2(a+b+c-2(ab+bc+ca)/2)=-2(a-b+c)×(a+b-c)/2=-2(a-b+c)(c-a+b)/2.因为a、b、c是一个三角形的三边，所以a-b+c>0，c-a+b>0，a+b-c>0，a-b+c-c+a+b>0，所以(a-b+c)(c-a+b)>0，即a-b+c和c-a+b同号，a+b-c<0，所以(a-b+c)(a+b-c)<0，即a-b+c和a+b-c异号，所以(a-b+c)(c-a+b)(a+b-c)<0，即a+b+c-2ab-2bc-2ca<0，即恒负。
因此选B。
2.已知m、n是正整数，满足m+n>mn，判断以下四个结论的正确性。
解：将m+n-mn>0移项得(m-1)(n-1)<1，因为m、n是正整数，所以m-1≥1，n-1≥1，所以(m-1)(n-1)≥1，与(m-1)(n-1)<1矛盾。
因此(m-1)(n-1)≥1，即m、n至少有一个等于1，故选D。
3.已知方程2x+a=x+a的一个根为1，求实数a的值。
解：将x=1代入方程可得2+a=1+a，整理得a=0.因此选A。
4.已知a、b、c是不完全相等的任意实数，令x=a-2b+c，y=a+b-2c，z=-2a+b+c，判断关于x、y、z的值的说法正确性。
解：将x、y、z相加可得x+y+z=-2a-2b-2c=-2(a+b+c)，因此x+y+z的XXX为负数，故说法B正确，至少有一个大于。
北约自主招生能力测试数学试题(含参考答案
综合性大学自主选拔录取联合考试自然科学基础——理科试卷数学部分（北约）一、选择题（每小题8分，合计48分）1．圆心角为3π的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．A ．B ．7πC ．D ．解：由2166S R ππ==扇形得6R =，由263r ππ=⨯得1r =，故它围成的圆锥的表面积为267r πππ+=．2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．A ．1070B ．2014C ．2100D ．4200解：433106321002C C C N ==． 3．已知2()2()()33a b f a f b f ++=，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===，124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===，猜想*()21()f n n n N =-∈，假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-，(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-，所以*()21()f n n n N =-∈．4．若2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）．A ．01a ≤≤B ．C ．D ．0a ≤或1a ≥解：由题知，{}2(0,)2y y x ax a +∞⊆=-+，故2(2)40a a ∆=--≥，解得：0a ≤或1a ≥．5．已知1x y +=-，且x 、y 均为负实数，则1xy xy+有（ B ）． A ．最大值174 B ．最小值174 C ．最大值174- D ．最小值174-解：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1()f t t t=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，故1()()4f xy f ≥，即1174xy xy +≥，当且仅当12x y ==-时取等号． 6．已知22()arctan14x f x C x +=+-在(,)44ππ-上为奇函数，则C =（ B ）． A ．0 B ．arctan 2- C ．arctan 2 D ．不存有解：由()0f x =得arctan(2)arctan 2C =-=-，此时()()f x f x +-22arctan14x x +=-22arctan 214x C x -+++4arctan()2arctan 203=--=，故arctan 2C =-符合题意．二、解答题（每题18分，共72分）7．证明：0tan3R ∉．证明：设0tan 3Q ∈，则0tan 6tan12tan 24tan 30tan(624)Q Q Q Q ∈⇔∈⇔∈⇔=+∈，这与0tan 303Q =矛盾． 8．已知实系数二次函数()f x 和()g x ，若方程()()f x g x =和3()()0f x g x +=都只有一个偶重根，方程()0f x =有两个不等的实根，求证：方程()0g x =没有实根． 解：设2()f x ax bx c =++，2()g x dx ex f =++，0ad ≠，所以2()4()()b e a d c f -=--，2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，所以223124b e ac df +=+，又240b ac ->，所以22()44(4)0g x e df b ac ∆=-=--<，所以方程()0g x =没有实根．9．已知1a ，2a ，…，13a 成等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：0，72，163是否能够同时在M 中？并证明你的结论．解：设该数列的公差为d ，∴p ∃，q ，*r N ∈，130a pd +=，173()2a p q d ++=，1163()3a p q r d +++=，∴2111q r =，∴21q ≥，11p ≥，又0123p ≥++=，∴35p q r ++≥， 又12111033p q r ++≤++=，与上式矛盾，故0，72，163不能够同时在M 中．10．i x （1i =，2，…，n ）为正实数，且11nii x==∏，求证：1)1)nn i i x =≥∏．解：由AM GM -不等式得：11(n i n =≥，11(ni n =≥两式相加得：1≥，故1)1)nn i i x =≥∏．。
2018年华约自主招生数学试题Word版
2018年清华等五校（华约）自主招生试题−−通用基础测试数学一、选择题1．若P 为ABC ∆内部任一点（不包括边界），且()(2)0PB PA PB PA PC -+-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则ABC ∆必为（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形2．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）．若MA MP ⊥，则P 点形成的轨迹的长度为（ ）A 77C ．3D ．323．某种型号的计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0,1,2,,1n -L 中的任意一个数．如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9,99,999都出现的概率是（ ）A ．4110 B ．5110 C ．6110 D ．7110 4．已知,R αβ∈，直线1sin sin sin cos x yαβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++=（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2 5．若正整数集合A k 的最小元素为1，最元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A U 中的元素个数为A ．119B ．120C ．151D ．154 6．三角式111cos0cos1cos1cos 2cos88cos89+++o o o o o oL 化简为 A ．cot1csc1o o B ．tan1csc1o o C ．cot1sec1o o D ．tan1sec1o o7．设k<3，k≠0，则二次曲线2213x y k k-=-与22152x y +=必有 （A ）不同的顶点 （B ）不同的准线 （C ）相同的焦点（D ）相同的离心率8．若P 为椭圆221169x y +=在第一象限上的动点，过点P 引圆x 2＋y 2=9的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则S MON ∆的最小值为（ ）A ．92BC ．274D9． 设x 1、x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根，若x 1是虚数，212x x 是实数，则248200711111222221x x x x x S x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为A ．0B ．−1003C ．1004D ．−1004 10．函数f:R →R ，对任意的实数x 、y ，只要x+y≠0，就有f （xy ）=()()f x f y x y++成立，则函数f （x ）（x ∈R ）的奇偶性为A ．一定是奇函数B ．一定是偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数二、解答题11． 系统内有2k −1（k ∈N+）个元件，每个元件正常工作的概率为p （0<p <1），若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作．求系统正常工作的概率p 并讨论p k 的单调性．12．已知2()12!!nn x x f x x n =++++L （*n N ∈），求证：当n 为偶数时，方程()0n f x =无解；当n 为奇数时，方程()0n f x =有唯一解n x ，且2n n x x +<．13．已知锐角三角形ABC 中，BE ⊥ AC 于点E ，CD ⊥ AB 于点D ，且BC=25，CE ＝7，BD =15，若BE 、CD 交于点H ，联结DE ，以DE 为直径作圆，该圆与AC 交于另一点F ，求AF 的长度．14．已知有n （n ≥2）位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，试求n 的所有可能值·15．已知动点P 在y 轴上投影为H ，A （−2，0），B （2，O ），满足22||AP BP PH =u u u r u u u r u u u r g ．（1）求点P 的轨迹方程C ；（2）已知一条直线过点B ，且与曲线C 交于x 轴下方两点C 、D ，M 为CD 中点，求M 与点Q （0，−2）连线的斜率取值范围．。
2018年北京清华大学自主招生暨领军计划数学试题Word版含解析
2018年清华大学自主招生暨领军计划试题1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．取决于a 的值 【答案】C【解析】注意)()(/x g e x f x=，答案C ．2． 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ）A ．Z c b a ∈==,2,1B ．B bC a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+=C ．060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D ．060,1,3===A b a【答案】AD ．3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离 B ．||AB 的最小值为4 C ．||AB 的最小值为2D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||22++=a a AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等，因此命题错误． 5．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有（ ） A ．b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B ．b a 2>时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个C ．21F PF ∆的周长小于a 4D ．21F PF ∆的面积小于等于22a【答案】ABCD ．【解析】对于选项A ，B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项C ，21PF F ∆的周长为a c a 422<+；选项D ，21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅． 6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD ．7．已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N ．以下说法正确的有（ ） A ．P B M O ,,,四点共圆 B ．N B M A ,,,四点共圆 C ．N P O A ,,,四点共圆D ．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得．答案：AC ．8．C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性：由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π，类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ，于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++．不充分性：当4,2ππ===C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形．9．已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程21111=++z y x 的解的组数为（ ） A ．8B ．10C ．11D ．12【答案】B 【解析】由于xz y x 311121≤++=，故63≤≤x ． 若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ； 若5=x ，则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ； 若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y ． 答案：B ．10．集合},,,{21n a a a A Λ=，任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B11．已知000121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ） A ．3tan tan tan tan tan tan =++αγγββα B ．3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC ．3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβαD ．3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα【答案】BD【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则3111=+-=+-=+-zxzx yz y z xy x y ，所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-，以上三式相加，即有3-=++zx yz xy ．类似地，有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zxx z yz z y xy y x ，以上三式相加，即有3111-=++=++xyzz y x zx yz xy ．答案BD ． 12．已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A ．)12,11(B ．)13,12(C ．)14,13(D ．)15,14(【答案】B【解析】设函数14)(+=x x f ，则其导函数142)(/+=x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ，如图，于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ，左侧等号当41-=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31=x 时取得．因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当23,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈．答案B ．13．已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A ．xyz 的最大值为0 B ．xyz 的最大值为274- C ．z 的最大值为32D ．z 的最小值为31-【答案】ABD14．数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ）A ．n n n a a a 221++-为定值 B ．)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC ．741-+n n a a 为完全平方数D ．781-+n n a a 为完全平方数 【答案】ACD 【解析】因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a n n n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=，选项A 正确；由于113=a ，故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++，故选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错误．说明：若数列}{n a 满足n n n a pa a -=++12，则n n n a a a 221++-为定值．15．若复数z 满足11=+zz ，则z 可以取到的值有（ ） A ．21B ．21-C ．215- D ．215+ 【答案】CD 【解析】因为11||1||=+≤-zz z z ，故215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得．答案CD ． 16． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ） A ．6552 B ．4536 C ．3528 D ．2016 【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．考虑到732201625⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++．答案C ．17．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==，过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点．若||MN 为定值，则=ba（ ） A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C【解析】设点),(00y x P ，可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++，故意2020441||y x MN +=为定值，所以2,1641422===b a b a ，答案：C ．说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则kb a 1=；（2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆．18． 关于y x ,的不定方程y x 21652=+的正整数解的组数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有Λ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序．记n 个实数相乘时不同的次序有n I 种，则（ ）A ．22=IB ．123=IC ．964=ID ．1205=I 【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n nn n n C n n C nA C I ．答案：AB ． 关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是 ． 【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯．21．在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1．设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线CP AB ,的距离为y ．则=∞→y x lim ．【答案】23【解析】当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为23． 22．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 1141,21,==，则四面体OEBF 的体积为 ．【答案】196【解析】如图，EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V ．23．=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ ．【答案】0【解析】根据题意，有0)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ．24．实数y x ,满足223224)(y x y x =+，则22y x +的最大值为 ． 【答案】1【解析】根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是122≤+y x ，等号当2122==y x 时取得，因此所求最大值为1．25．z y x ,,均为非负实数，满足427)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 ． 【答案】2322- 【解析】由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值23．根据题意，有41332222=+++++z y x z y x ，于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x ．于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得，为2322-． 26．若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则=+μλ ．【答案】23【解析】根据奔驰定理，有329492=+=+μλ．27．已知复数32sin32cosππiz+=，则=+++2223zzzz．【答案】132i-【解析】根据题意，有iizzzzzz232135sin35cos122223-=+=-=+=+++ππ．28．已知z为非零复数，zz40,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z所对应的向量OP的端点P运动所形成的图形的面积为.【答案】20010033003π+-【解析】设),(Ryxyixz∈+=，由于2||4040zzz=，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222yxyyxxyx如图，弓形面积为1003100)6sin6(20212-=-⋅⋅πππ，四边形ABCD的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅.于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ.29．若334tan=x，则=+++xxxxxxxxxxxcossincos2cossin2cos4cos2sin4cos8cos4sin．3【解析】根据题意，有xxxxxxxxxxxcossincos2cossin2cos4cos2sin4cos8cos4sin+++38tantan)tan2(tan)2tan4(tan)4tan8(tan==+-+-+-=xxxxxxxx．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有种填法．【答案】44100031．设A 是集合}14,,3,2,1{Λ的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设},,,{21k a a a A Λ=，其中141,*≤≤∈k N k ．不妨假设k a a a <<<Λ21． 若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a ．同理759≥-a a ．又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k ．另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ，满足题意．综上所述，A 中元素个数的最大值为8．。
2018自主招生考试数学
数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）D．B C第3题第4题4．如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O，∠OCD的5．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）226．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为4的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是（）A.π-4 B. π C. π+12 D.415π+7．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（）A、296B、221C、225D、641第9题 第10题10．（3分）如图，正△ABC 中，P 为正三角形内任意一点，过P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 连结AP 、BP 、CP ，如果，那么△ABC 的内切圆半径为（ ）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）与是相反数，计算= _________ ．12. 已知b a ,为有理数，且满足b a +=+33421，则b a -=______ 13．（3分）如图，M 、N 分别为△ABC 两边AC 、BC 的中点，AN 与BM 交于点O ，则= _________ ．第13题 第14题14．（3分）如图，已知圆O 的面积为3π，AB 为直径，弧AC 的度数为80°，弧BD 的度数为20°，点P 为直径AB 上任一点，则PC+PD 的最小值为 _________ ．15．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a ，是3的倍数的个数为b ，则样本6、a 、b 、9的中位数是 _________ ．三、解答题（72）16、某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？17.如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．第17题图18．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．19．（15分）如图，已知菱形ABCD 边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．20、已知A 1、A 2、A 3是抛物线221x y =上的三点，A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3分别垂直于x 轴，垂足为B 1、B 2、B 3，直线A 2B 2交线段A 1A 3于点C.（1）如图18-1，若A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA 2的长；（2）如图18-2，若将抛物线221x y =改为抛物线1212+-=x x y ，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA 2的长；（3）若将抛物线221x y =改为抛物线c x b x a y ++=2，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA 2的长（用a 、b 、c 表示，并直接写出答案）.图18-2参考答案与试题解析2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）．B CAD（（，（23．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）22y=两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最y=，×，当5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）．B C D6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）l=（7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）﹣，代入得（﹣）8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（）C=3AB，三角形r=h=1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）与是相反数，计算=．a+的值，再配方开平方即可得解．|﹣=3=3+2+=．故答案为：=310．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=﹣2．，≈A=++1+111．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=．MN=ABMN=AB故答案是12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB 上任一点，则PC+PD的最小值为3．==80由=120．的度数为==80=100=20=+=100×13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 5.5．=5.514．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是．（，（[﹣（）﹣=．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．x=PQ=．三、解答题（72）16、解：设从6时起x 分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S 辆，进场车y 辆，则⎪⎩⎪⎨⎧->+=-=3815)1(6x y y S S x ---------------------------------------------（6分）∴ 3)1(6)15(8-->-S S ， 解得 5.55>S ． -------------------（8分）∵ S 为正整数，∴ S ＝56，即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆．此时330)156(6=-=x ，6+60330=11.5（时） 答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆．--------------------------（12分）17.设k BE 5=，则k EA 3=，则在k AF AEF Rt 4=中有△，k BE AE AB CD 8=+==，由AEF ∆∽DFC ∆可得，k CF 10=，∴k CF BC 10==，（3分），在中有△BECRt k k k BC BE CE 55)10()5(2222=+=+=，∴51555=k ，3=k ，∴248==k AB ，3010==k BC （3分）18．（14分）如图，过正方形ABCD 的顶点C 在形外引一条直线分别交AB 、AD 延长线于点M 、N ，DM 与BN 交于点H ，DM 与BC 交于点E ，BN △AEF 与DC 交于点F ．（1）猜想：CE 与DF 的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H 是△AEF 的什么心？并证明你的猜想．第19题图利用平行线分线段成比例定理得到，从而得到，19．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．边长为，∠利用等边三角形的面积等于边长平方的×BE=O E=BG=DM=DG=6rDN=DH=6r MN=DM+DN=12（EF=EB+BC+CF=++边长为××）；BE=rr﹣DN=DH=6﹣﹣r+++=12（这个点与圆心的连线平分两切线的夹角；掌握菱形的性质，记住等边三角形的面积等于边长平方的20、解：（1）方法一：∵A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3， ∴A 1B 1=211212=⨯，A 2B 2=22212=⨯，A 3B 3=293212=⨯. 设直线A 1A 3的解析式为y=kx+b. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b k b k 32921 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==232b k ∴直线A 1A 3的解析式为 232-=x y . ∴CB 2=2×25232=- . ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21225=-. 方法二：∵A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3， ∴A 1B 1=211212=⨯，A 2B 2=22212=⨯，A 3B 3=293212=⨯ . 由已知可得A 1B 1∥A 3B 3，∴CB 2=21(A 1B 1+A 3B 3)= 25)2921(21=+ . ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21225=- . ---------------------------------------------（4分） （2）方法一：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为 n-1、n 、n+1 . 则A 1B 1=1)1()1(212+---n n ，A 2B 2=1212+-n n ，A 3B 3=1)1()1(212++-+n n . 设直线A 1A 3的解析式为y=kx+b. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=+++---=+-1)1()1(21)1(1)1()1(21)1(22n n b k n n n b k n 解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=232112n b n k ∴直线A 1A 3的解析式为 2321)1(2+--=n x n y . --------------------------------(8分) ∴CB 2=23212321)1(22+-=+--n n n n n . ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21121232122=-+-+-n n n n . -----------------------------------（10分） 方法二：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为n-1、n 、n+1 . 则A 1B 1=1)1()1(212+---n n ，A 2B 2=1212+-n n ，A 3B 3=1)1()1(212++-+n n 由已知可得A 1B 1∥A 3B 3，∴CB 2=21(A 1B 1+A 3B 3) = ]1)1()1(211)1()1(21[2122++-+++---n n n n =23212+-n n ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21)121(232122=-+-+-n n n n . （3）当a ＞0时，CA 2=a ；当a ＜0时，CA 2=-a. ---------------------------------（14分）。
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2018年“北约”自主招生数学试题（理科）
1．求x 的取值范围，使得()21f x x x x =+++-是增函数．
2．求1162271021x x x x +-++-+=的实数根的个数．
3．已知22
(2)(2)0x x m x x n -+-+=的4个根组成首项为14的等差数列，求m n -．
4．已知锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比．
5．已知点(2,0),(0,2)A B -，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，求ABC ∆面积的最小
值．
6．在1,2,,2012L 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
7．设点A 、B 、C 分别在边长为1的正三角形的三边上，求222AB BC CA ++的最小值．
8．若关于x 的方程sin4sin2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解的a ，求实数a 的范围．
9．求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形．
10．求证：对于任意的正整数n ，(1n +必可以表示成的形式，其中s N +∈．。