“北约”“华约”年自主招生数学模拟试题

“北约”“华约”年自主招生数学模拟试题

（满分150分）

5. 设P 是抛物线2

440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是.

第二部分：解答题（共5小题 每题20分） 1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围

2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个

3. 设平面向量(3,1)a =-,13(,22b =.若存在实数(0)m m ≠和角((,))22

ππθθ∈-, 使向量2(tan 3)c a b =+-,tan d ma b θ=-+,且c d ⊥.

(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.

4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.

(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.

5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,222

2θπθθn b a A b a ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求

证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数

参考答案

一、选择题

1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=

,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=

有22

22560450

a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3.直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.

)2201515(2)22015()22015(22 +⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个

位数字为零.

因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.025

5220155

220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<

【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.

4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤8

5.

又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877

n n k n --=

=+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．

5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.

二、解答题

1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<．

当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅得03a <<；

当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A

B ≠∅得1a >-； 当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A

B ≠∅不符． 综上所述，()()1,00,3a ∈-

2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。这些集合中没有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在m A A A ,,,21 中至多有A （所有P 条建议所组成的集合）的1222

1-=⨯P P 个子集，所以.21-≤P m

3. 解:(I)由c d ⊥,13102a b ⋅=⋅=,得

2[(tan 3)][tan ]c d a b ma b θθ⋅=+-⋅-+

=223(tan 3tan )0ma b θθ-+-=,即22

3(tan 3tan )m a b θθ=-,得 31(tan 3tan )()422

m ππθθθ=--<<. (II)由tan t θ=,得31()(3),4

m g t t t t R ==-∈ 求导得''23()(1)4

m g t t ==-,令'()0g t =,得11t =-,21t = 当(,1)t ∈-∞-,'()0g t >,()g t 为增函数;当(1,1)t ∈-时,'()0g t <,()g t 为减函数; 当(1,)t ∈+∞时,'()0g t >,()g t 为增函数.

所以当1t =-,即4πθ=-

时,()m g t =有极大值12;当1t =,即4πθ=时,()m g t =有极小 值12

-.

4．解:(I)1(1,0)F ,12AF BF ==设2(,)F x y 则

121220AF AF BF BF a -=-=>,去掉绝对值号有两种情况,分别得2F 的轨迹

方程为1x =和22

(1)(2)184

x y --+=(0,4y y ≠≠) (II)直线1l :1x =,2l :y x m =+,D(1,4),椭圆Q:22

(1)(2)184

x y --+= ①若2l 过点1F 或D,由1F ,D 两点既在直线1l 上,又在椭圆Q 上,但不在2F 的轨迹上,