北约自主招生数学试题

2013年北约自主招生数学试题与答案

2013-03-16

（时间90分钟，满分120分）

(33312(7)(232)2(63)40g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=

70

2320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨

+++=⎩ 即方程组：420

(1)

20(2)

70

(3)2320(4)630

(5)

a c e

b d a b

c

d

e a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪

+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x 2312-2312为两根的有理系数多项式的次数最小为5.

1． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只

有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400

解析：先从6行中选取3行停放红色车，有3

6C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；

最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位

置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有3

6654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法. 2． 已知2

2

25,25x y y x =+=+，求3

2

2

3

2x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：

32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---

由2

2

25,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-

①若x y =则2

25x x =+，解得1x =±于是知1x y ==+1x y ==

当1x y ==+

3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----

3870108x =--=--.

当1x y ==

3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---

22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.

（2）若x y ≠，则根据条件知：2

2

(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是2

2

(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，

进而知222()()

12

x y x y xy +-+=

=-. 于是知：3

2

2

3

2415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.

综上所述知，3223

2x x y y -+的值为108-±或16-.

3． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a . A. 3019⨯2

2012

B. 3019⨯2

2013

C. 3018⨯2

2012

D.无法确定

解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=.

所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.

又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-，

则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即1

1232n n n a a -+-=⋅.

对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以1

2n +，有

113224n n n n a a ++-=，即113

224

n n n n a a ++=+.令2n n

n a c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331

(1)244

n n c n -=+-=.所以

231,2(31)24

n

n n n a n --==-⋅.于是知：201120122013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.

5．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由. A. BM+CN>MN B. MN +CN

解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以BM CN BM BE ME MN +=+>=.

6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求

AB BC CA

A B C

++++的模长.

A. -1/2

B. 1

C. 2

D.无法确定 解析：根据公式z z z =

⋅1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：

AB BC CA

AB BC CA AB BC CA

A B C

A B C A B C

++++++=

⋅

++++++()()

()()

ABCC ABCC BCAA BCAA C ABB CABB AABB BBCC CCAA AB AB BC BC C A CA AA BB CC ++++++++=

++++++++