收敛函数

若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
数
条件收敛 .
例如
： (1)n1
n1
1 n
为条件收敛
.
(1)n1
n1
n 10n
均为绝对收敛.
定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设
收敛 , 令
vn
1 2
(
un
un
)
(n 1, 2, )
显然vn 0且, vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
un
1 nn
p
1
(n
)
p 1, 级数收敛 ; 但
p 1, 级数发散 .
例如, 设级数
1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0 (n )
级数收敛.
例6：判定级数
n1
2
一、正项级数及其审敛法
1.定义:如果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
部分和数列 {sn }为单调增加数列.
s1 s2 sn
2.正项级数收敛的充要条件:
定理1正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
如果正项级数 un发散， 则它的部分和数列 Sn ,
n1
n2 en
绝对收敛.
小结
例 10 性.
判别级数
n1
(1)n
1 2n
(1
1 )n2 n
的收敛
解： un n1
n 1
1 2n
(1
1 )n2 n
lim n
n
un
lim
n
n
1 (1 1 )n2 2n n
lim 1 (1 1 )n
n 2
n
e 1 2
则un 0(n ), 因此所给级数发散
*四、绝对收敛级数的性质
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.
*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.
*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )
(P203 定理9)
设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 S, ,
则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数
也绝对收敛,其和为 S . (P205 定理10)
(证明见 P203～P205)
n un
n 1 np
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1,或不存在，且不是无穷大 时不能用
比值审敛法;
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
u1 数列 s2n是有界的 ,
lim n
s2n
s
u1 .
lim
n
u2n1
0,
lim n
s2n1
lim(
n
s2n
u2n1 )
s,
级数收敛于和 s, 且s u1. 余项 rn (un1 un2 ),
rn un1 un2 ,
满足收敛的两个条件, rn un1 .
定理证毕.
例如交错级数:
(1)n1 1 1 1 1 1 (1)n1 1
n1
n 234
n
满足:
(1)un
1 n
n
1
1
(
un1
)
(2)
lim
n
un
lim
n
1 n
0
收敛 且其和s u1 1
若sn
1
1 2
1 3
(1)n1
1 n
作为s的近似值，
所产生的误差rn
1 n 1
un 1 (n
1,2,
)
例 5 判别级数 (1)n n 的收敛性.
un 2vn un
n1
un , 2 vn 收敛
n1
n1
un 也收敛
Βιβλιοθήκη Baidu
n1
一般，如果级数 un 发散, 不能断定级数 un也发散
n 1
n 1
但，如果用比值审敛法 或根值审敛法
根据lim un1 1
n un
或 lim n n
un
1
判定级数 un 发散，则可以断定级数 un必定发散
即 un (n )
n1
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
证:因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
n 1(1 cos )的收敛性
n1
n
3
3
解：lim n
n
2un
lim
n
n
2
n 1(1 cos )
n
lim n2
n 1 1 ( )2
2
n
n 2n
2
所给级数收敛
定理5 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n un
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
n
lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1
1
0
rn
(n
1 1)n1
(n
1 2)n2
1 (n 1)n1
1
1
1 n1
1 n (n 1)n
作业p206 1(2)(5) ；2(1)(3) ；3(2)(4)；4(4)(5)(6)
二、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
n1
n
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
2)
特别取vn
1 np
,对正项级数un , 可得如下结论
:
0l
lim
n
n pun
l
p 1, 0l
un 发散 un 收敛
解：lim n
n
2un
lim
n
n2
ln(1
1 n2
)
lim
n
n2
1 n2
1
p 21
所给级数收敛
例5：判定级数
当x 1时,
定理6. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设
级数,
且
lim n
n
un
,则
为正项
(2) 当 1时, 级数可能收敛 可能发散;
证明提示:
lim n n
un
,
对任意给定的正数
存在N N,
n un
1 1
即
( )n un ( )n 1 1
(2) 当 1或 时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un ,
lim
n
un
0.
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
1
例如, p – 级数
lim un1 lim (n1) p 1
不能用比值审敛法, 改用其它方法
(2n
1 1)
2n
1 n2
,
级数
n1
1 n2
收敛,
故级数
n1
2n
1 (2n
1)
收敛.
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
lim un1 n un
lim n
(n 1) xn n xn1
x
根据定理4可知:
当0 x 1时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ;
n1 n(n 1)
练习:判定下列级数的敛散性
1
(1)
;
n1 ln(1 n)
(2) n1 sin 3n ;
(3)
n1
1 ;
n(n2 1)
x ln(1 x) n sin n
n ln n
(x 1)
比较审敛法常 用的不等式
解：(3)
1 n(n2 1)
1 nn2
1
3
;
n2
而p级数
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un
un1
(n
1,2,3,
)
;(ⅱ)lim n
un
0,
则级数收敛,且其和s u1,其余项rn 的绝对值
rn un1.
证明 un1 un 0, s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 s2n是单调增加的 , 又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
vn
n1
(2) 当l = 0时,
由定理2 知
若 vn收敛 ,
n1
(3) 当l = ∞时,
即
un vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n1
例 3 判定下列级数的敛散性:
1
(1) sin ; n1 n
1
(2) n1 3n n ;
解 (1)
sin 1 lim n n 1
1, 而级数 1;发散
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(2) 当 1 时, 级数可能收敛 可能发散; 证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 ,
un
即 un1 (n N )
un
(1) 当 1时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
收敛
,
n1
sin n
n4
收敛
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2) 令
(n 1)2
lim un1 lim en1 n un n n2
en
(2)
n1
(1)n
n2 en
lim 1 n 12 1 1 n e n e
n1
(1)n
n2 en
收敛,
因此
n1
(1)n
n1 n
故原级数发散.
n1
(2)
lim
n
3n 1
3n
n
lim
n
1
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
是两个正项级数,
(1) 当0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0 且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
也发散 .
注:
例5：判定级数
n 1(1 cos )的收敛性
1
3
；中p
n2
3 2
1,收敛
a 2 b2 2ab ( a 0,b 0)原级数收敛
解：(1) ln(1 n) n;
1 1 ln(1 n) n
而级数
1;发散；
n1 n
原级数发散
而解：(2n)1s3i1nn；3n收敛3n，;比须较有审参敛考法级的数不. 便:
n1
sin
3n
收敛
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定义: 对任意项级数
若
收敛 , 则称原级
数
绝对收敛 ；
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
解
(1)
un1 un
(n 1)! 1
1
n1
0
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n1 n!
(2)
un1 un
(n 1)! 10n1
10n n!
n1 10
(n ),
故级数
n! n1 10n
发散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
满足 lim un l,则有 n vn
(1) 当 0 < l <+∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =+∞ 证: 据极限定义,
(l ) vn un (l ) vn
(n N)
(1) 当0 < l <∞时,
由定理 2 可知
同时收敛或同时发散 ;
(1)
n
的敛散性
2n
解： lim n n
un
lim n n
2 (1)n 2n
lim 1 n 2 (1)n n 2
1 2
所给级数收敛
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n un
n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 令. rn S Sn , 则所求误差为
(1) 若强级数 收敛, 则有
因此对一切
有
由定理 1 可知, 弱级数 也收敛 .
(2) 若弱级数 因此
发散, 则有 这说明强级数
可用反证法 也发散 .
可用反证法
(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
则
n
sn
不是有界数列
vn发散. 定理证毕.
n1
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.( p
0)
解
设 p 1,
1 np
1, n
则P 级数发散.
y
设 p 1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
y
1 xp
(
p
1)
2 dx
n dx
1 1 x p x n1 p
o 1 234
x
1
n dx 1 xp
1
n1
n1
1时 lim un1 1
n un
N,使得n N时 un1 un 则un （ 0 n ）
从而un
（0 n
）则级数
u
发散
n
n1
例7. 证明下列级数绝对收敛 :
(1)
sin n
n1 n4
;
(2)
(1)n
n1
n2 en
.
证: (1)
sin n
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
p
1
1
(1
1 n p1
)
1
1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1 发散,
n1 n 1
级数
1 发散.