函数列的几种收敛性

函数列的几种收敛性

王佩

（西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070）

摘要: 讨论和总结函数列的收敛、一致收敛、处处收敛，几乎处处收敛、几乎处处一致收敛、依测度收敛、近乎收敛、近乎一致收敛、强收敛及其它们之间的关系和相关命题.

关键词：函数列；收敛；

Several kinds of convergence for the sequence of funcations

Wang pei

(College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou

730070,China)

Abstract:This article discusses and summarizes the relationship between the convergence, uniform convergence,everywhere convergence,almost everywhere convergence,almost everywhere uniform convergence,convergence in measure,nearly convergence,nearly uniform convergence and strong convergence for the sequence of funcations.

Key words: the sequence of funcations; convergence;

一、几种收敛的定义

1、收敛的定义

定义1：设{}n a为数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有ε

<

-a

n

a,则称数列{}n a收敛于a，定数a称为数列{}n a的极限，

并记作lim

n→∞

a

n

=

a,或()∞

→

→n

a

a

n

.

定义2：设f为定义在[)

+∞

,a上的函数，A为定数.若对任给的ε>0，存在正数M（≥a），使得当x>M时有 |f(x)-A|<ε,则称函数f当x趋于+ ∞时以A 为极限，记作lim

x→∞

f(x)=A或f(x)→A(x→+ ∞).用c.表示.

2、一致收敛的定义

设函数列{f

n

(x)}与函数f(x)定义在同一数集E上，若对任意的ε>0,总存在

自然数N，使得当n>N时，对一切x∈E都有| f

n

(x)- f(x)|<ε,则称函数列

{f

n (x)}在E上一致收敛于f(x)，记作f

n

(x)→ f(x)，（n→∞）x∈E.用u.c.

表示.

3、几乎处处收敛的定义

设函数列{f

n (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{f

n

(x)}在E

上满足mE（f

n (x)→ f(x)）=0，（其中“→”表示不收敛于），则称{f

n

(x)}在

E上几乎处处收敛于f(x)，记作lim

n→∞ f

n

(x)= f(x)a.e.于E，或f

n

→fa.e.于

E.用a.c.表示.

4、几乎处处一致收敛

设函数列{f

n (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{f

n

(x)}在E

上满足mE（f

n (x)−→

−uc f(x)）=0，（其中“−→

−uc”表示不一致收敛于），

则称{f

n (x)}在E上几乎处处一致收敛于f(x)，记作lim

n→∞

f

n

(x)= f(x)a.e.于

E，或f

n

−→

−uc f a.e.于E.用a.u.c.表示.

5、依测度收敛

设函数列{f

n

(x)}是可测集E上一列a.e.有限的可测函数，若有E上一列a.e.

有限的可测函数f(x)满足下列关系：

对任意σ>0有lim

n

mE [|f n-f|≥σ]=0，则称函数列{f n}依测度收敛于f,或度

量收敛于f记为：f

n

(x)⇒ f(x).

6、近乎收敛

若νδ>0,∃ Eσ⊂E,使得m Eσ< δ,且f n(x)−→

−c f(x) (在E- Eσ上)，则称

函数列{f

n (x)}在E上近乎收敛于函数f(x)，记为f

n

(x)−→

−c n. f(x)或简记

为f

n

−→

−c n. f.用n.c.表示.

7、近乎一致收敛

若νδ>0,∃ Eσ⊂E,使得m Eσ< δ,，且f n(x)−→

−c u. f(x)在E- Eσ上），则

称函数列{f

n (x)}在E上近乎一致于函数f(x)，记为f

n

(x)−

−→

−c u n.. f(x)或

f n

−

−→

−c u n.. f.用n.u.c.表示.

8、强收敛

设f

n (x)，f(x)属于L p,若f

n

(x)，f(x)得距离)

(

)

(

f x

f

x

n

-敛于0（当n→+ ∞）,

则称f

n (x)强收敛于f(x),简记为：f

n−→

−强 f.

二、几中收敛的关系

1 一致收敛与处处收敛、几乎处处收敛的关系

若{f

n

(x)}在E上一致收敛，则在E上逐点收敛，即处处收敛，处处收敛一定几乎处处收敛.但几乎处处收敛不一定处处收敛，处处收敛也不一定一致收敛.

2 处处收敛、几乎处处收敛与依测度收敛的关系

2.1依测度收敛不论是在有限可测集上，还是在一般可测集上，即“从整体上”推不出几乎处处收敛.

例1 依测度收敛而处处不收敛的函数.

取E=(]1,0,将E等分，定义两个函数：

f（1）

1(x)=

⎧

⎨

⎩

⎥⎦

⎤

⎝

⎛

∈

⎥⎦

⎤

⎝

⎛

∈

1,

2

1

x,0

,

2

1

,0

1x

，

f（1）

2

(x)=

⎧

⎨

⎩.1,

2

1

,1

,

2

1

,0

x

⎥⎦

⎤

⎝

⎛

∈

⎥⎦

⎤

⎝

⎛

∈

x

，

然后将(]10，四等分、八等分等等.一般地，对每个n,作2n个函数：