可测函数列常见的几种收敛

可测函数列常见的几种收敛

摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．

关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛

前言

在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内不一致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相辅相成的”[1]

1 可测函数列几种收敛的定义

1.1 一致收敛[3]

设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε∀>存在,K N +∈使得对于,k K x E ∀≥∀∈都有

()()k f x f x ε-<

则称}{()k f x 在E 上一致收敛到()f x ．记作： u k f f −−→(其中u 表示一致uniform)．

1.2 点点收敛

若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ⊂上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛．

例1 定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx

=+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 1,0,()0,0 1.

x f x x =⎧=⎨<≤⎩ 而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上不一致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ∀>在[,1]δ上一致收敛到()f x ．

1.3 几乎一致收敛[3]

设E 是可测集，若0,,E E δδ∀>∃⊂使得(\),m E E δδ<在E δ上有u k f f −−→则称

{()}k f x 在E 上几乎一致收敛与()f x ，并记作...a u k f f −−→(其中a.u ．表示几乎一致

almost uniform) ．

例2 定义在[]0,1E =上的函数

()k k f x x =

在[]0,1上收敛却不一致收敛．但是只要从[]0,1的右端点去掉任一小的一段使之成为[]()0,10,0δδδ->→则{()}k f x 在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在[]0,1E =上几乎一致收敛与0．

1.4 几乎处处收敛[3]

设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集n E R ⊂上的广义实值函数．若存在E 中点集Z ，有()0,m Z =及对于每一个元素\x E Z ∈，有

lim ()()k x f x f x →∞

= 则称{()}k f x 在E 上几乎处处收敛与()f x ，并简记为,.[]k f f a e E →或..a e k f f −−→

若上文的例1也可以称之为在[]0,1上几乎处处收敛与()f x ．

1.5 依测度收敛

例3在[0,1)上构造函数列{()}k f x 如下：对于k N +∈，存在唯一的自然数i 和j ，使得2,i k j =+其中02,i j ≤≤令

1[,)22()(),1,2,,[0,1).i i k j j f x x k x χ+==∈

任意给定的0[0,1),x ∈对于每一个自然数i ，有且仅有一个j ，使得01[

,)22i i j j x +∈．数列0{()}f x 中有无穷多项为1，有无穷多项为0．由此可知，函数列{()}k f x 在[0,1)上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．然而仔细观察数列0{()}k f x 虽然有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一事实可以用点集

测度语言来刻画．只要k 足够大，对于01,ε<≤点集

{[0,1)()0}

{[0,1)()1}

1[,)22k k i i

x f x x f x j j ε∈-≥=∈=+= 的测度非常小．事实上 1({[0,1)()0})2k i m x f x ε∈-≥=

． 这样对于任给的0,δ>总可以取到0,k 也就是取到0,i 使得当0k k >时，有

({[0,1)()0})1k m x f x εδ∈-<>-

其中02i δ-<．这个不等式说明，对于充分大的h ，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种现象称为函数列{()}k f x 在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义[3]：

设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数．若对于任意给定的0,ε>有

lim (())0,k x m E f f ε→∞

->= 则称{()}k f x 在E 上依测度收敛到函数()f x ，记为.m k f f −−→

2 可测函数列几种收敛的关系

2.1 点点收敛与一致收敛的关系

由上述定义我们可以知道u k f f −−→，必有{()}k f x 点点收敛于()f x ．如例1．

反之则不一定成立，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则()f x 也是可测函数．

2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系

由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛....()a u a e k k f f f f −−→⇒−−→．反之则不

然，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则极限函数()f x 也是可测函数．应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算和(R)