第二节可测函数的收敛性续19316
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第四章 可测函数
第四节 依测度收敛
1. 依测度收敛的定义及例子
例1：依测度收敛但处处不收敛的函数列 例2：几乎处处收敛但不依测度收敛的函数列
2. Riesz定理 及勒贝格定理
Riesz定理 若 fn f于E ,则必有{fn}的子列 {fnk} ， 使得 fnk f a.e.于E
3. 收敛间的关系
再由Lebesgue定理（mE ）,得fnkij gnkij fg 于E，
这与（*）式矛盾，所以 fn gn f g于E
注：上述结果的证明也可通过依测度收敛的等价描述证明 任取 {fn gn} 的子列{fnk gnk} ，找 {fnk gnk} 的子列 {fnki gnki} 使得 f g nki nki fg a.e.于E
fn (x) gn (x) f (x) g(x) 于E
证明：由于 | ( fn (x) gn (x)) ( f (x) g(x)) || fn (x) f (x) | | gn (x) g(x) |
0, mE mE mE 故
[|( fn gn )( f g )| ]
[| fn f |2 ]
条件mE<+∞对(3)来说不可少
例
设
fn
(x)
x
1 n
,
f (x) x, 则fn f于E
但
f
2 n
不依测度收敛于f
2于R
注：令
gn (x)
x n
,
g(x)
0
，则 gn不依测度收敛于g
对0
1,
有
lБайду номын сангаасm
n
mE[|gn
g|
]
lim m(n， )
n
依测度收敛的等价描述 令mE<+∞，则 fn f于E 对{fn} 的任意子列 {fnk} ,存在{fnk}的子列 {fnki} ，使得 fnki f a.e.于E
fn f a.e.于E
子列
叶果洛夫
Riesz定理
逆定理
Lebesgue定理
叶果洛夫定理 mE<+∞
mE<+∞
fn f于E
子列
fn f a.u.于E
⒋依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）
定理：令mE<+∞ ， fn f于E, gn g于E ，则 (1) 若又有 fn h于E , 则f(x)=h(x) a.e.于E。
[|gn g|2 ]
令n ，即得 mE 0 [|( fn gn )( f g )| ]
所以fn (x) gn (x) f (x) g(x)于E
注:(1),(4)的证明类似，只要利用|| fn (x) | | f (x) ||| fn (x) f (x) |
| f (x) h(x) || ( fn (x) f (x)) ( fn (x) h(x)) || fn (x) f (x) | | fn (x) h(x) |
m(E
Fn )
1 n
0(n
0)
即gn (x) f (x)于E
再由Riesz定理，存在{gn(x)} 的子列 {gni(x)}
使gni(x)→f(x) a.e.于E，
令 fi (x) gni (x) ，即得我们所要的结果。
例 对 E=R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在 E上的连续函数列{fi(x)}使fi(x)→f(x) a.e.于E
证明：由鲁津定理的推论知
1 n
, 闭集F
n
E，及E上的连续函数gn
(x)
使在Fn上gn (x)
f (x)且m(E Fn )
1 n
从而
0, mE[|gn f | ]
（3）证明
若fnf于E,gng于E,则fngn fg于E
证明：假设 fn gn f g于E 不成立，则
0, 0, N 0, n N , 使E[|fngn fg| ]
故 0, 0,和一自然数列{nk}, 使E[| fnk gnk fg| ] （*）
由fnk f于E,知存在{ fnk }的子列{ fnki }，使fnki f a.e.于E 由gnki g于E,知存在{gnki }的子列{gnkij }，使gnkij g a.e.于E 从而f g nkij nkij fg a.e.于E，
证明：（必要性）任取 {fn}的子列 {fnk} ，
由于 fn f于E 当然有 fnk f于E
由Riesz定理知，存在 {fnk}的子列 {fnki} ，
使得 fnki f a.e.于E
反之：假设 fn f于E 不成立，则
0, 使mE[| fn
f
|
不收敛于
]
0
充分性
即 0, 0, N 0, n N , 使mE[| fn f | ]
(2) fn gn f g于E
(3) fn gn f g于E
注：(1),(2),(4)当mE=+∞
(4) | fn || f | 于E 时,也成立；条件mE<+∞
对(3)来说不可少.
（2）的证明：设 {fn} 与 {gn} 是E上几乎处处有限的可测函数
列, fn (x) f (x) 于E，gn (x) g(x) 于E, 则
故存在 {fn}的子列 {fnk} ，使得
mE [| fnk f | ] (k 1, 2,3, )
显然 {fnk}的任何子列 {fnki}都不依测度收敛与f， 再由Lebesgue定理(mE<+∞)的逆否命题知，显然 {fnk}的任何子列 {fnki}都不几乎处处收敛与f ，
这与条件矛盾，从而fn f于E
第四节 依测度收敛
1. 依测度收敛的定义及例子
例1：依测度收敛但处处不收敛的函数列 例2：几乎处处收敛但不依测度收敛的函数列
2. Riesz定理 及勒贝格定理
Riesz定理 若 fn f于E ,则必有{fn}的子列 {fnk} ， 使得 fnk f a.e.于E
3. 收敛间的关系
再由Lebesgue定理（mE ）,得fnkij gnkij fg 于E，
这与（*）式矛盾，所以 fn gn f g于E
注：上述结果的证明也可通过依测度收敛的等价描述证明 任取 {fn gn} 的子列{fnk gnk} ，找 {fnk gnk} 的子列 {fnki gnki} 使得 f g nki nki fg a.e.于E
fn (x) gn (x) f (x) g(x) 于E
证明：由于 | ( fn (x) gn (x)) ( f (x) g(x)) || fn (x) f (x) | | gn (x) g(x) |
0, mE mE mE 故
[|( fn gn )( f g )| ]
[| fn f |2 ]
条件mE<+∞对(3)来说不可少
例
设
fn
(x)
x
1 n
,
f (x) x, 则fn f于E
但
f
2 n
不依测度收敛于f
2于R
注：令
gn (x)
x n
,
g(x)
0
，则 gn不依测度收敛于g
对0
1,
有
lБайду номын сангаасm
n
mE[|gn
g|
]
lim m(n， )
n
依测度收敛的等价描述 令mE<+∞，则 fn f于E 对{fn} 的任意子列 {fnk} ,存在{fnk}的子列 {fnki} ，使得 fnki f a.e.于E
fn f a.e.于E
子列
叶果洛夫
Riesz定理
逆定理
Lebesgue定理
叶果洛夫定理 mE<+∞
mE<+∞
fn f于E
子列
fn f a.u.于E
⒋依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）
定理：令mE<+∞ ， fn f于E, gn g于E ，则 (1) 若又有 fn h于E , 则f(x)=h(x) a.e.于E。
[|gn g|2 ]
令n ，即得 mE 0 [|( fn gn )( f g )| ]
所以fn (x) gn (x) f (x) g(x)于E
注:(1),(4)的证明类似，只要利用|| fn (x) | | f (x) ||| fn (x) f (x) |
| f (x) h(x) || ( fn (x) f (x)) ( fn (x) h(x)) || fn (x) f (x) | | fn (x) h(x) |
m(E
Fn )
1 n
0(n
0)
即gn (x) f (x)于E
再由Riesz定理，存在{gn(x)} 的子列 {gni(x)}
使gni(x)→f(x) a.e.于E，
令 fi (x) gni (x) ，即得我们所要的结果。
例 对 E=R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在 E上的连续函数列{fi(x)}使fi(x)→f(x) a.e.于E
证明：由鲁津定理的推论知
1 n
, 闭集F
n
E，及E上的连续函数gn
(x)
使在Fn上gn (x)
f (x)且m(E Fn )
1 n
从而
0, mE[|gn f | ]
（3）证明
若fnf于E,gng于E,则fngn fg于E
证明：假设 fn gn f g于E 不成立，则
0, 0, N 0, n N , 使E[|fngn fg| ]
故 0, 0,和一自然数列{nk}, 使E[| fnk gnk fg| ] （*）
由fnk f于E,知存在{ fnk }的子列{ fnki }，使fnki f a.e.于E 由gnki g于E,知存在{gnki }的子列{gnkij }，使gnkij g a.e.于E 从而f g nkij nkij fg a.e.于E，
证明：（必要性）任取 {fn}的子列 {fnk} ，
由于 fn f于E 当然有 fnk f于E
由Riesz定理知，存在 {fnk}的子列 {fnki} ，
使得 fnki f a.e.于E
反之：假设 fn f于E 不成立，则
0, 使mE[| fn
f
|
不收敛于
]
0
充分性
即 0, 0, N 0, n N , 使mE[| fn f | ]
(2) fn gn f g于E
(3) fn gn f g于E
注：(1),(2),(4)当mE=+∞
(4) | fn || f | 于E 时,也成立；条件mE<+∞
对(3)来说不可少.
（2）的证明：设 {fn} 与 {gn} 是E上几乎处处有限的可测函数
列, fn (x) f (x) 于E，gn (x) g(x) 于E, 则
故存在 {fn}的子列 {fnk} ，使得
mE [| fnk f | ] (k 1, 2,3, )
显然 {fnk}的任何子列 {fnki}都不依测度收敛与f， 再由Lebesgue定理(mE<+∞)的逆否命题知，显然 {fnk}的任何子列 {fnki}都不几乎处处收敛与f ，
这与条件矛盾，从而fn f于E