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可测函数列常见的几种收敛

摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎 处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系.

关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛

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在数学分析屮我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的 极限过程和（R ）积分过程可交换次序等.可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便 证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2 函数f （x ）在收敛域［0,1］内不一致收敛，但对于一个/〉0当5 T 0时在［0,5］内一致收 敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛厉的同一性和矛 盾的斗争性是相联系的、相辅相成的” UJ

1可测函数列几种收敛的定义

1.1 一致收敛⑴

设…是定义在点集E 上的实值函数.若对于0£>0,存 在Kw "+，使得对于\fk>Kyx^E 都有 则称在E 上一致收敛到/O ） •记作：fk — /（其中u 表示一致uniform ）.

1.2点点收敛

若函数列/（力』⑴，和兀），…,£（力，…在点集QuE 上每一点都收敛，则称它在 D 上点点收敛.

例1定义在£ = ［0,1］上的函数列人⑴二一则厶（兀）在£上点点收敛到函数 \ + kx

而且还能看ilUAU ）｝在［0,1］上不一致收敛到/（%）,但对于v^>o,｛/,（%）｝在［5,1］上

fM = 1, x = 0, 0,0 < x < 1.

一致收敛到/（X）.

1.3几乎一致收敛®

设E是可测集,若05 > 0, BE, u E,使得m(E\ EJ<,在爲上有/,f则称｛f k(x)｝在E 上几乎一致收敛与f(x),并记作f k au' >/.(其中a.u.表示几乎一致almost uniform).

例2定义在E = ［0,l］上的函数

f k M = x k

在［0,1］上收敛却不一致收敛•但是只要从［0,1］的右端点去掉任一小的一段使之成为［0,1-灣(5>0,»T0)则｛£©)｝在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在E =［0,1］上儿乎一致收敛与0.

1.4几乎处处收敛⑶

设/(兀)J©),/；⑴,…，人⑴，…是定义在点集EuR"上的广义实值函数.若存在E中点集Z,有m(Z) = 0,及对于每一个元素xwE\Z ,有

lim f k(x) = f(x)

X—>00

则称｛/,«｝在E上几乎处处收敛与/(%),并简记为f k^f,a.e［E］或人亠若上文的例1也可以称之为在［0,1］上几乎处处收敛与/(%).

1.5依测度收敛

例3在［0,1) ±构造函数列｛£(%)｝如下：对于kwN+，存在唯一的自然数i和八

使得比=2，+厶其中05 7<2\4

力(尤)=力丄凹(兀)，R = 1,2,…，"[0,1). [产F)

任意给定的砖［0,1),对于每一个自然数儿有且仅有一个八使得兀0“厶,上=)・数列｛/(%())｝中有无穷多项为1，有无穷多项为0・由此可知，函数列｛/,(%))在［0,1)上点点不收敛.因此仅考虑点收敛将得不到任何信息.然而仔细观察数列｛/；(兀())｝虽然有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现.这一•事实可以用点集测度语言来刻画.只耍R足够大，对于OvwSl,点集

{xe[O,l)||A(x)-O|>^}

= {xe[O,l)|/Jx) = l}

的测度非常小.事实上

m(｛xe[0,l)||/,(x)-0|>£｝) = l.

这样对于任给的5 > 0,总可以取到心也就是取到心,使得当k > k.时，有

m(｛x e [0,1)(x) - 0| < ^｝) > 1 -

其中W・这个不等式说明，对于充分大的力，出现o的“频率”接近1・我们将把这样一种现象称为函数列｛/;.«｝在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义叫

设/(x),/,(x),/2(%),---,/,(%),…是可测集E上几乎处处有限的可测函数.若对于任意给定的£>0,有

limm(E(|A-/|>^)) = 0,

则称｛£©)｝在E上依测度收敛到函数/(兀)，记为人二^/.

2可测函数列几种收敛的关系

2.1点点收敛与一致收敛的关系

由上述定义我们可以知道/, f，必有｛/,W｝点点收敛于/(X).如例1・

反Z则不一定成立，如例2.而且还可以得到若｛£©)｝是可测集E上的可测函数列，则门兀)也是可测函数.

2.2几乎处处收敛与一致收敛的关系

由定义町知有一致收敛必几乎处处收敛(f k(,M > f => f k ae' >/) •反之则不然，如例

2.而且还可以得到若厲⑴｝是可测集E上的可测函数列，则极限函数于⑴ 也是可测函

数.应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算和(R)

积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序.

2.3几乎处处收敛与一致收敛的关系

叶果洛夫(EropoB)定理⑸：设m(E)0,存在子集E§uE,使｛%｝在•上一致 收敛，且m(E\E,)

注 定理中“ m(E) < g ”不可去掉如：例4定义在E = (0,+oo)的函数列

则九在(0,+oo)上处处收敛于1,但对于任何正数》及任何可测集£；,当时 m(E\EJ<6时,九在仗上不一致收敛于1・这是因为,当时m(E\EJ <&时,E, 不能全部含于(0,加]屮，必有兀” &仗r )o,+oo ),于是有f m (x m )=o.

su |^W-l|>|/JxJ-l| = l

所以九(对在上不一致收敛与1,也即定理中“加(E)voo”不可去掉⑷.

出定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立.但它们又有密切 的关系，即使上述立理告诉我们儿乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个 测度为任意小集合的子集上).

应用 由上述定理我们还可以得到“鲁津定理":

设/(兀)是E±a.e.有限的可测函数，则对于任意的》>0,存在闭子集F$uE, 使/(兀)在体上是连续函数，Km(E\F s )<3・

也就是说：在£±a.e.有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度为 任意小集合的子集上).也即我们可以用连续函数来逼近a.e.有限的可测函数.

2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系

例5取E = (0,l],将E 等分，定义两个函数:

1, XG (0,^-]

0, XG (-,1] 2 o, xe(0,i]

1, x e (0，

加］ (加= 1,2,…).