函数列及其一致收敛性

§9.2 函数项级数
一、函数列及其一致收敛性
1、定义： 设f1( x), f2( x), , fn( x), 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E上的函数列.
记为{ fn( x)} 或 fn( x), n 1, 2, . 2、函数列的收敛
设x0 E，以x 0代入{ fn ( x)}得数列：
设函数列{ fn ( x)}在区间I收敛于极限函数f ( x)，若 0,
N N ,n N ,x I , 有 | fn ( x) f ( x) | .
则称函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x).
{ fn ( x)}在区间I非一致收敛于极限函数f ( x) 0 0，N N ,
例4、判别下列函数列在区间[0，1]的一致收敛性：
nx
1){
}
1n x
解：x [0,1],有 lim nx x
n 1 n x 即极限函数f ( x) x.
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|
fn( x)
f ( x) || nx x | 1n x
x(1 x) 1n x
2 1 n
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使{ fn( x)}收敛的全体收敛点的集合，称为{ fn( x)}的收敛域.
3、函数列的极限
若对每一个x
I, 有 lim n
fn(
x)
f ( x),则称f ( x)为{ fn( x)}的
极限函数，或称{ fn ( x)}在区间I收敛于f ( x).
{ fn ( x)}在区间I收敛于f ( x)
n0 N , x0 I , 有 | fn0 ( x0 ) f ( x0 ) | 0 .
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例3 证明：函数列 fn( x) xn
1)在区间[0, ](0 1)一致收敛；
2)在区间[0,1)非一致收敛.
证：x [0,1),有 lim xn 0, n 即函数列 {xn}在[0,1)的极限函数f ( x) 0. 1) 0,x [0, ], 要使不等式
f1( x0 ), f2( x0 ), , fn( x0 ), . 若此数列收敛，则称{ fn ( x)}在x0收敛，x0为{ fn( x)}的 收敛点； 若此数列发散，则称{ fn ( x)}在x0发散，x0为{ fn( x)}的 发散点；
若{ fn( x)}在数集E上每一点都收敛，则称{ fn( x)}在数集E上收敛.
的所有曲线 y fn( x) (n N ),
都落在曲线 y f ( x) 与
y f (x) 所夹的带状区域内. O
y f (x) y f (x)
a
y f (x) y fn(x)
bx
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定理1 (函数列的柯西一致收敛准则) 函数列{ fn( x)}
ln x
ln x
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例2
设fn ( x)
1 n
, 证明其在(0,1)收敛. x
证：x (0,1),有 lim 1 0,
n n x
0, 要使不等式
|
fn( x)
f ( x) ||
1 n
x
0|
1 n
x
1 n
成立， 解得n 1 , 取N [ 1 ]
4、函数列的一致收敛
lim{sup |
n xI
fn(x)
f
( x) |} 0.
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证：必要性 函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x)
即 0, N N ,n N ,x I , 有 | fn ( x) f ( x) |
sup | fn( x) f ( x) | .
2) 0
1 3
0, N
N , n0
N , x0
(
1
)
1 n0
3
[0,1), 有
|
fn0 ( x0 )
f
(
x0
)
|
[(
1 3
)
1 n0
]n0
1 3
0.
即函数列{ xn }在区间[0,1)非一致收敛.
函数列 fn( x) 一致收敛于 f ( x) 的 y
几何意义：
0, N N , 对于序号大于N
sup |
x[ 0 ,1]
fn(x)
f
( x) |
2. 1n
显然，lim{ sup | n x[0,1]
fn(x)
f
( x) |}
0.
| fn ( x) f ( x) || xn 0 | xn n
成立，
解 得n
ln
, 取N
ln
[
]
ln
ln
于 是 ，
0, N
ln
[
ln
]
N ,n
N ,x [0,
],有 |
xn
0Baidu Nhomakorabea|
.
即函数列{ xn }在区间[0, ](0 1)一致收敛.
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xI
即lim{sup | n xI
fn(x)
f ( x) |} 0.
充分性
lim{sup |
n xI
fn(x)
f
( x) |}
0.
即 0, N N ,n N ,x I , 有 sup| fn( x) f ( x) |
xI
x I , 有 | fn( x) f ( x) |
函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x)
在区间I一致收敛 0, N N ,n N ,p N ,x I ,
有 | fn p( x) fn( x) | .
注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么, 只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致 收敛.
定理2 函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x)
对每一个x I， 0，N N ,n N , 有 | fn ( x) f ( x) | .
例1 设fn ( x) xn , 证明其在(0,1)收敛.
证：x (0,1),有 lim xn 0, n 0,要使不等式
| fn ( x) f ( x) || xn 0 | xn
成立， 解得n ln , 取N [ ln ]
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§9.2 函数项级数
函数列{ fn( x)}在区间I非一致收敛于极限函数f ( x)
lim{sup |
n xI
fn(x)
f
( x) |}
0.
方法：先求极限函数，一般将| fn ( x) f ( x) | 放大，即放大到
只含有n且容易求极限的时候，当不容易放大时，可转而
求最大值.