函数列一致收敛性三

例1 试求下列函数列的收敛域与极限函数 (1) f n ( x ) x n , n 1,2, x (,) n n x 0 解 显然 x 1时, lim { x }收敛域为 (1,1] n n lim x x 1时, n 不存在, 极限函数 0,| x | 1 n x 1 x 1时, lim f ( x) n 1, x 1 n x 不存在 , x 1时, lim n 上页 下页 返回
1 k 1

0 s( x )dx 0,
1 1 n n
1
lim s n ( x )dx lim (1 e 0 n n
1
k 1 2 n n
) 1
un ( x )dx [0 un ( x )dx] 0 n 1
n1
1

1Hale Waihona Puke Baidu
为此引进一致收敛的概念
(2) f n ( x ) x n , n 1,2, x (1,1] 0,| x | 1 解 由前知 f n ( x) f ( x) 1, x 1, x (1,1] 当x 0时,| f n ( x ) f ( x ) || x |n 1 n10 故对n0 2, n0 N, x0 (1 ) 0 n0 | f n0 ( x0 ) f ( x0 ) || x0 |n0 (1 1 ) 1 n0 2 1 1 n10 即 0 , N N, 取n0 max{2, N }, x0 (1 ) , 2 n0 有 fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0
0
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2. 函数项级数的概念 (1) 定义5 设E上的函数列 {un ( x )}, 对其各项依次用“+”连接起来的表达式 记为 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) u3 ( x ) un ( x )
n1
称为E上的函数项无穷级数或简称为级数。 同时称 n sn ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) ui ( x ) 部分和. i 1 部分和实际是一个函数列. 特别地, x0 E ,函数项级数 un ( x0 )实际为一个数项级数 . n1 (2) 定义6 当x0 E ,级数 un ( x0 )收敛,则称x0为 un ( x )收敛点.
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(3) 定义3 若{ f n ( x )}在D上收敛,则可确定一个新的 函数f ( x ),x D. 则称f ( x )为函数列{ f n ( x )}的极限函数. 记为: lim f n ( x ) f ( x ), x D或x D, f n ( x ) f ( x ), n n
进一步讨论和函数的性质只在收敛条件下进行不够。
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又如：若 un ( x )的部分和{ sn ( x ) 2n xe
2 n1

n2 x 2
}, x (0,1]
s( x) 0, x (0,1] 连续, 可积,
由于 0 uk ( x )dx [0 uk ( x )dx]
n1
解 sn ( x ) x n
x (,) n 0,| x | 1 lim s ( x ) lim x n n n 1, x 1 0,| x | 1 和函数 f ( x) 1, x 1
收敛域 (1,1]
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问题：(1) 函数项级数的收敛域与和函数； (2) 和函数的分析性质。 对有限个连续、可积、可导函数的和仍相应是 连续、可积、可导,有很好的运算法则.
记为: f n ( x ) f ( x ),(n ), x D
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(1) 若f n ( x ) f ( x ),(n ), x D 命题： 则 f n ( x ) f ( x ),(n ), x D
由定义显然可得. (2) 反之不真. 即 若f n ( x ) f ( x ),(n ), x D f n ( x ) 在D上不一定一致收敛于 f ( x ),(n ).
当 un ( x0 )发散,则称x0为 un ( x )发散点.
n1 n1
即 lim sn ( x0 ) lim ui ( x0 )存在. n n
i 1
n1
n
n1
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(3) 定义7 若级数 un ( x )在D上收敛,则可确定一个新的
函数s( x ),x D. 则称s( x )为函数列 un ( x )的和函数. n1 记为: un ( x ) s( x ), x D
1. 函数列的定义: (1) 定义1 设函数f1 ( x ), f 2 ( x ),, f n ( x ),是定义在同 一个数集E上,则称其为E上的函数列. 记为: { f n ( x )}或f n ( x ), n 1,2, 特别地取定x x0 ,则函数列{ f n ( x )}为一个数列 { f n ( x0 )}.
对无限个连续、可积、可导函数的和仍相应是 连续、可积、可导？
由上例(2)知
n1
un ( x) x ( x x) ( x x
2 n
n1
0,| x | 1 ) f ( x) 1, x 1
0,| x | 1 f ( x) 在其收敛域上不连续 . 1 , x 1
sin nx , n 1,2, x (,) n sin nx 1 解 显然 f n ( x ) , n n sin nx sin nx lim 0 { }收敛域为(,) n n n 极限函数 f ( x) 0, x (,) (2) f n ( x )
即 lim f n ( x ) f ( x ) " N"定义 n x D, 0, N ( , x) N,当n N有 f n ( x ) f ( x ) (4) 定义4 函数列{ f n ( x )}收敛点的全体集合 , 称为{ f n ( x )}的收敛域.
0,| x | 1 从而 f n ( x ) f ( x) , x (1,1] 1, x 1 fn ( x) f ( x ),(n ), x D 0 0,N N, n0 N , x0 D,有 fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0
结论：即使和函数可积，求和函数的积分时也不能先 对每个函数积分后，再和. 上页 下页 返回
二、函数列的一致收敛
回顾： 函数f ( x )在数集E上连续 x E , f ( x )在x处连续 x E , 0, ( x, ) 0,当x U ( x, )有 | f ( x) f ( x ) | 函数f ( x )在数集E上一致连续 0, ( ) 0, x, x E ,当 | x x | 时, 有 | f ( x) f ( x) | lim fn ( x) f ( x) n x D, 0, N( , x) N,当n N有 f n ( x ) f ( x ) 1 定义9 设D上函数列{ f n ( x )}, f ( x ),满足 0, N( ) N,当n N , x D, 有 f n ( x ) f ( x ) 则称函数列 { f n ( x )}在D上一致收敛于f ( x )
n1

级数 un ( x )收敛点的全体集合 , 称为 un ( x )的收敛域.
n1 n1

{ sn ( x )}的收敛域. un ( x )的收敛域本质上是
可通过部分和函数列讨论级数的收敛域与和函数.
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例2 试求下列级数的收敛域与和函数
(1) x n , x (,) n1 n n x ( 1 x ) k x (,) 解 sn ( x ) x 1 x k 1 x n , x 1 x ( 1 x ) 1 x lim sn ( x ) lim n n 1 x 发散, x 1 x n 在( 1,1)内 x 收敛于 1 x n 1 (2) un ( x ) x ( x 2 x ) ( x n x n1 ) , x (,)
f n ( x ) 在D上不一致收敛于f ( x ),(n ). fn ( x) f ( x ),(n ), x D 0 0,N N, n0 N , x0 D,有 fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0
例3 判断下列函数列在给定的区间上的一致收敛性 sin nx (1) f n ( x ) , n 1,2, x (,) 0, 1 n 取N [ ]即可. f n ( x ) f ( x ) 0, x ( ,) 解 lim n sin nx 0, x R sin nx 1 fn ( x) f ( x) ,n N, n n n 上页 下页 返回
(2) 定义2 若数列{ f n ( x0 )}收敛,则称{ f n ( x )}在x0点收敛, 也称x0为{ f n ( x )}的收敛点. 若数列{ f n ( x0 )}发散,则称{ f n ( x )}在x0点发散.
若数列{ f n ( x )}在D上的每一点均收敛 , 则称{ f n ( x )}在D上收敛. 上 页
第十三章 函数列与函数项级数
一、点态收敛的概念 二、一致收敛性及其判别法 三、一致收敛的函数列 与函数项级数的性质
§1 一致收敛性
一、函数列与函数项级数 二、函数列一致收敛性 三、函数项级数一致收敛性
一、函数列与函数项级数的的概念
收敛数列(数项级数)可表示、定义一个数； 试用函数列、函数项级数来表示、定义一个函数。
k 1 k 1 1 n n 1
1 un ( x )dx 0[lim u ( x ) ] dx 0 n s k 0[lim n ( x )]dx n k 1 1 n
1
1
n
uk ( x )dx lim [0 uk ( x )dx] [0 un ( x )dx] lim 0 n n n1
0,| x | 1 如： lim x f ( x) f ( x )在x 1处不连续. n 1, x 1 因此，保持连续性只有收敛的条件是不够的。
n
问题：(1) 函数列{ f n ( x )}收敛域的判别 ; (2) 极限函数f ( x )的分析性质(连续、可积、可导 ). 是不是所有的连续函数列的极限函数 在其收敛域上也连续。 即x lim f ( x) ？ f ( x0 ) lim f n ( x0 ) 结论是：不一定 x n
即 lim sn ( x ) s( x ) " N"定义 n x D, 0, N ( , x) N,当n N有 sn ( x ) s( x)
n1 n1

若 un ( x )收敛与s( x ), x D
n1

余项 Rn ( x ) s( x ) sn ( x ) un i ( x ) i 1 (4) 定义8