函数列一致收敛判别法

学士学位论文题目函数列一致收敛性判别法

学生许月

指导教师房维维讲师

年级 2008级

专业数学与应用数学

系别数学系

学院文理学院

哈尔滨师范大学

2012年4月

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

引言 (1)

一预备知识........................................................................................................ 错误！未定义书签。

1.1函数列一致收敛性定义 (1)

1.2函数列一致收敛性柯西准则 (1)

1.3函数列一致收敛性充要条件 (2)

二函数列一致收敛性判别法的应用 (2)

2.1利用函数列一致收敛性定义证明 (2)

2.2利用函数列一致收敛性柯西准则 (3)

2.3 利用函数列一致收敛性充要条件 (5)

3. 结束语 (6)

注释 (6)

参考文献 (7)

英文摘要 (8)

函数列一致收敛性判别法

许月

摘要: 在高等数学中一致收敛是函数列的一个重要性质，有效的判别函数列一致收敛性的方法，对研究函数列的性质起着重要的作用。其方法有定义法，柯西准则，充要条件等重要方法，通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，并对各种方法加以系统总结，以便学者熟练并灵活运用.

关键词： 函数列；一致收敛；判别法

引言

本文系统总结了有关函数列一致收敛性的若干证明方法与技巧，通过对例题的分析，回顾了几种常用的函数列一致收敛性判定方法，充分的分析各种判定方法的应用，并结合实例对不同方法进行具体应用，叙述了证明函数列一致收敛性判别方法，即函数列一致收敛性的定义，函数列一致收敛性的柯西准则，函数列一致收敛性的充要条件等方法证明函数列一致收敛性.这样对我们解题将会起到很大的作用.

一 预备知识

1.1函数列一致收敛的定义

定义1：设函数列｛n f ｝与函数()f x 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在一正整数N ，使得当n N >时，对一切x D ∈，都有()()n f x f x ε-<，则称函数列 ｛n f ｝在D 上一致收敛于f ，记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.

1.2 函数列一致收敛性的柯西准则

定理1（Cauchy ）函数列n f 在D 上一致收敛的充分必要条件上：对任意给定正数ε，总存在正数N ，使得当,n m N >时，对一切x D ∈，都有()()n m f x f x ε-<.

1.3函数列一致收敛性的充要条件

定理2 函数列｛n f ｝在D 上一致收敛的充要条件是：()()lim sup 0n n x D

f x f x →∞∈-=. 二 函数列一致收敛性判别法的应用

2.1利用函数列一致收敛性定义证明

例1：定义在(),-∞+∞上的函数列()sin ,1,2...n nx f x n n

==由于对任何实数x ，都有n

n nx 1sin ≤ 故对任给的0ε>，只要1

n N ε>=，就有sin 0,nx n ε-<所以函数列sin nx n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

收敛域为无限区间(),-∞+∞, 极限函数()0f x =.

注：对于函数列，仅停留在谈论在那些点上收敛是远远不够的，重要的是研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系。例如，能否由函数列每项的连续性，可导性，来判断出极限函数的连续性和可导性；或极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限，对这些更深刻问题的讨论，必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行。

例2：设在[],a b 上，()n f x 一致收敛于()f x ，()n g x 一致收敛于()g x 。若存在正数列{}[](),,,1,2,...n M x a b n ∈=。证明：()()n n f x g x ⋅在[],a b 上一致收敛于()()f x g x ⋅。

证明：先证(){}

n f x 一致有界。

因为()n f x 一致收敛于()f x ，所以0,0N ε'∀>∃>，当n N '>时 ()()[](),n f x f x x a b ε-<∈

特别地对1,ε=有()()1n f x f x -<，所以()()11,n n f x f x M ≤+≤+即()f x 是有界的。

记[]

()1,sup x a b M f x ∈'=，则当n N '>时，()()11,n n n f x f x M '≤+≤+取 {}

121max ,,...,1N M M M M M ''=+

则有对于任意的[](),,,n n N x a b f x M ∀∈∀∈≤同理可证()g x 是有界的，即0,M '∃>使得()[],,g x M x a b '≤∈，由于()n f x 一致收敛于()f x ，()n g x 一致收敛于()g x ，所以对0,0,N ε∀>∃>当n N >时对一切[],x a b ∈()()()(),22n n f x f x g x g x M M εε-<

-<'，

所以当n N >时有 ()()()()n n f x g x f x g x -

()()()()()()()()

n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ≤-+- ()()()()()()n n n f x g x g x g x f x f x ≤-+-22M M M M εεε'<⋅

+⋅=' 故()()n n f x g x 在[],a b 上一致收敛于()()f x g x .

2.2利用函数列一致收敛性的柯西准则

例3：设()n f n x =，1,2n =为定义在)(

,+∞-∞上的函数列，证明它的收敛域是(]1,1-，且有极限函数

0,1()1,1

{x f x x <== （3） 证明：任给0ε>，（不防设1ε<），当01x <<时，由于()()n n f x f x x -=，只要取()ln ,ln N x x

εε=，当n N >(),x ε时，就有()()n f x f x ε-<，当0x =和1x =时，则对任何正整数n ，都有()()000n f f ε-=<，()()110n f f ε-=<.这就证得｛n f ｝在(]1,1-上收敛，且有（3）式所表现的极限函数. 当1x >时，则有()n

x n →+∞→∞，当1x =-时，对应的数列为，1,1,1,1......-- 它显然是发散的。所以函数列{}n x 在区间(]1,1-外是发散的.

注：对于不等式中含有可考虑用的因子,)()(a f b f -拉格朗日中值定理先处理以下，利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理