含参量反常积分一致收敛的判别法

题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名

学号

系别数学系

年级2010级

专业数学与应用数学

指导教师

职称

完成日期

摘要

含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法

Abstract

Improper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression.

Key words: Improper integral with variable;uniform convergence; discriminant analysis

目录

1引言 (1)

2基本概念 (1)

2.1含参量反常积分 (1)

2.2含参量反常积分一致收敛 (2)

3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (2)

3.1定义法 (2)

3.2柯西准则法 (3)

3.3变上限积分的有界性法 (3)

3.4确界法 (4)

3.5微分法 (5)

3.6级数判别法 (6)

3.7维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） (6)

3.8狄里克莱判别法 (8)

3.9阿贝尔判别法 (8)

4结束语 (1)

参考文献 (10)

致谢 (11)

含参量反常积分一致收敛的判别法

柯美蓉

（闽江学院数学系；福建福州350108）

1.引言

含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,是研究和表达函数，特别是非初等函数的有力工具.为了讨论含参变量反常积分的连续性、可微性和可积性，我们需要引进含参变量反常积分的一致收敛性的概念，它和函数项级数的一致收敛性的意义是相当的.

现行的数学分析教材[1-3、5]给出的含参量反常积分的一致收敛的判别法主要是一致收敛定义、柯西准则、维尔斯特拉斯判别法、狄里克莱判别法及阿贝尔判别法，它们都有一定的局限性，不适用于每种含参量反常积分的一致收敛性的判别.

为了更好的判别含参量反常积分的一致收敛性，本文研究、归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的九种方法:一致收敛定义、柯西准则法、变上限积分的有界法、确界法、微分法、级数辨别法、魏尔斯特拉斯M判别法、狄克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点，以便于人们的研究、理解.

2.基本概念

2.1 含参量反常积分

设函数),(y x f 定义在无界区域},),{(I y x a y x R ∈+∞<≤=上，其中I 为区间

[]d c ,,反常积分dx y x f a

⎰+∞

),(都收敛，则它的值是 y 在[]d c ,上取值的函数，当记

这个函数为)(y Φ时，则有

I y dx y x f y a

∈=Φ⎰+∞

,),()(， （2-1）

称dx y x f a

⎰

+∞),(式为定义在I 上的含参量y 的无穷限反常积分，

或简称含参量反常积分[1].

2.2 含参量反常积分一致收敛

若含参量反常积分dx y x f a

⎰

+∞),(与函数)(x Φ对任给的正数,存在某一实数

a N >，使得当N M >时,对一切[]d c y ,∈都有

ε<Φ-⎰

M

a

y dx y x f )(),(， （2-2）

即

ε<⎰

+∞

M

dx y x f ),(， （2-3）

则称含参量反常积分dx y x f a

⎰+∞

),(在I 上一致收敛于)(y Φ，或者简单的说含参量

积分dx y x f a

⎰+∞),(在I 上一致收敛.

3.含参量反常积分一致收敛的判别方法

3.1 定义法

定义判别法：根据以上2.2 关于含参量反常积分一致收敛的定义进行判别. 例3-1 证明：含参量反常积分dy xe xy ⎰+∞

-0在()+∞,0内不一致收敛，但是在[)+∞,α上

一致收敛（其中0>α）[2].

分析 由含参量反常积分一致收敛定义可知，含参量反常积分()dy y x f ⎰

+∞0

,在

()+∞,0上不一致收敛指：存在00>ε对任何实数00>A ,总存在0A A >和

()+∞∈,0x ，

st

()0,ε≥⎰

+∞

A

dy y x f . （3-1）

4.结束语

含参量反常积分是很重要的积分，研究它的连续性、可微性和可积性的关键在于研究它的一致收敛性.本文介绍一致收敛定义、柯西准则法、变上限积分的有界法、确界法、微分法、级数辨别法、魏尔斯特拉斯M判别法、狄克雷判别法和阿贝尔判别法这九种判别方法，这些方法适用于不同含参量反常积分一致收敛的判定，每个判别法都有它的优点，同时也存在着一定的局限，选用恰当的方法能使判定过程变得方便、简单.

然而，含参量反常积分一致收敛的判别法不只有这九种，还有很多方法等着人们去发现，去探讨，去挖掘.