习题反常积分的收敛判别法
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习 题 8.2 反常积分的收敛判别法
⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；
⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞
+a dx x )(ϕ和
⎰
∞
+a
dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况.
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数.则
当⎰∞
+a dx x )(ϕ收敛时⎰
∞+a
dx x f )(也收敛；
当⎰
∞
+a
dx x f )(发散时⎰∞
+a
dx x )(ϕ也发散.
证 当⎰∞
+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：K
dx x A A ε
ϕ<
⎰'
)(.
于是
≤
⎰'
A A
dx x f )(εϕ<⎰'
A A dx x K )(，
所以⎰
∞+a
dx x f )(也收敛；
当⎰
∞+a
dx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：
εK dx x f A A ≥⎰'
)(.
于是
≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1
ε≥⎰'
A A dx x f K ，
所以⎰∞
+a dx x )(ϕ也发散.
（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)
()(lim
=+∞→x x f x ϕ.则当⎰∞
+a dx x f )(发散
时，⎰∞
+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞
+a dx x f )(收敛时，⎰∞
+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散.
例如21)(x x f =
，)20(1
)(<<=p x
x p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ.显然有
⎰∞
+1
)(dx x f 收敛，而对于⎰∞
+1)(dx x ϕ，则当21<
发散.
设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且+∞=+∞→)
()(lim
x x f x ϕ.则当⎰∞
+a dx x f )(收
敛时，⎰∞
+a dx x )(ϕ也收敛；但当⎰∞
+a dx x f )(发散时，⎰∞
+a dx x )(ϕ可能发散，也可能收敛.
例如x
x f 1)(=
，)21
(1)(>=
p x x p
ϕ，则
+∞=+∞→)()(lim x x f x ϕ.显然有 ⎰∞
+1
)(dx x f 发散，而对于⎰∞
+1)(dx x ϕ，则当
12
1
≤
p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）.
证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数. ⑴ 若f x K
x p
()≤
，且p >1，则⎰∞+a dx x f )(收敛； ⑵ 若f x K
x
p ()≥，且p ≤1，则⎰∞+a dx x f )(发散.
推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，且
lim ()x p x f x l →+∞
=，
则
⑴ 若0≤<+∞l ，且p >1，则⎰∞
+a dx x f )(收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则⎰
∞
+a
dx x f )(发散.
证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ϕ取为
p x
1
. ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：
⑴
1
1
3
21
x e
x dx x
-++-+∞
⎰ln ; ⑵
⎰
∞
++1
3
1tan arc dx x
x
; ⑶
1
10
++∞
⎰x x dx |sin |
;
⑷
x x dx
q p
11
++∞
⎰（+
∈R q p ,）.
解 （1）当+∞→x 时，
1
ln 1
23++--x e
x x
～
2
31
x ，
所以积分1
1
321
x e x dx x -++-+∞
⎰ln 收敛.
（2）当+∞→x 时，
3
1arctan x
x +～32x π， 所以积分⎰
∞
++131tan arc dx x
x
收敛. （3）因为当0≥x 时有
x
x x +≥+11
sin 11，
而积分dx x
⎰∞
++0
11
发散，所以积分110
++∞⎰x x dx |sin |发散. （4）当+∞→x 时，
p
q
x
x +1～q p x -1， 所以在1>-q p 时，积分x x
dx q
p
11
++∞
⎰收敛，在其余情况下积分 x x dx q
p
11
++∞
⎰发散. ⒋ 证明：对非负函数f x ()，)cpv (f x dx ()-∞+∞
⎰收敛与f x dx ()-∞+∞
⎰收敛是等价的. 证 显然，由f x dx ()-∞+∞
⎰收敛可推出)
cpv (f x dx ()-∞+∞
⎰收敛，现证明当0)(≥x f 时
可由)cpv (f x dx ()-∞+∞
⎰收敛推出f x dx ()-∞+∞
⎰收敛.
由于)cpv (f x dx ()-∞+∞
⎰收敛，可知极限
+∞
→A lim =)(A F +∞→A lim
⎰
-A
A
dx x f )(
存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，
0>∀ε，00A ∃>，0,A A A ≥'∀：ε<-)'()(A F A F ，
于是0,A A A ≥'∀与0',A B B ≥∀，成立