一致收敛判别法总结

学年论文题目：一致收敛判别法总结学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：***学号：************指导教师：***一致收敛判别法总结学生姓名：张学玉 指导教师：陶菊春摘要： 函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点，为了开阔思路，更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳、总结。

首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究,介绍了函数项级数一致收敛的充要条件,近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。

同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。

并通过例题的讨论说明这些判别法的可行性及特点。

Abstract ：Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysisof the difficulties, in order to broaden their thinking, to better understand and master the functions Seies Convergence approach, this paper uniformly convergent series of functions of several discriminant method were analyzed, summarized, summary. First, determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied, introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions, while providing nearly proved uniformly convergent series of functions of the general method. Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act. And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics.关键词： 函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法Keywords: series of functions; function sequence; uniform convergence; Criterion引言： 函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点，教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。

初学者需用灵活的思维以便在使用时选出正确又快捷的证明方法和技巧。

为了更好的培养我们这方面的能力，总结出了函数项级数一致收敛性的若干证明方法。

一、定义设(){}x S n 是函数项级数()x u n∑的部分和函数列.若(){}x S n在数集D 上一致收敛于函数()x S ，则称函数项级数()x u n∑在D 上一致收敛于函数()x S ，或称函数项级数()x u n∑在D 上一致收敛.定理：若对∀n ，∃n a >0使得()()n n a x S x S ≤-()D x ∈∀,并且当∞→n 时有0→n a .则当∞→n 时()x S n 一致收敛于()x S .例1：若()x f n 在[]b a ,上可积， ,2,1=n ，且()x f 与()x g 在[]b a ,上都可积()()⎰=-∞→bax n n d x f x f 0lim .设()()()()()()⎰⎰==xat n x a n t d t g t f x h d t g t f x h ，则在[]b a ,上()x h n 一致收敛于()x h .证明： ()()x h x h n - = ()()()()⎰⎰-xaxat n t d t g t f d t g t f=()()()()⎰-x atndt g t f t f ≤()()()⎰-xatndt g t f t f≤ ()()()212212⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰xa t xa t n d t g d t f t f≤ ()()()212212⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰ba t bat n d t g d t f t f 0→ ()∞→n所以∞→n 时，()x h n 一致收敛于()x h .二、函数项级数一致收敛的柯西收敛原理 函数项级数()∑∞=1n n x u 在D 上一致收敛的充分必要条件是对于任意给定的ε>0，存在正整数()εN N =，使()()()x u x u x u m n n ++++21<ε. 对一切正整数m>n>N 与一切x ∈D 成立.证明：（必要性） 设()∑∞=1n n x u 在D 上一致收敛.记和函数为()x S ，则对任意给定的ε>0，存在正整数()εN N =.使得对一切n>N 与一切D x ∈ 成立()()∑=-nk k x S x u 1<2ε于是对一切m>n>N 与一切x ∈D ，成立 ()()()x u x u x u m n n ++++21=()()∑∑==-m k nk kkx u x u 11=()()()()()()()()∑∑∑∑====⎪⎭⎫⎝⎛---=+--mk n k k k mk nk k k x S x u x S x u x S x u x S x u 1111()()()()∑∑==-+-≤nk km k kx S x u x S x u 11<ε（充分性） 设对任意给定的ε>0，存在正整数()εN N =，使得对一切m>n>N 与一切D x ∈ 成立()()()x u x u x u m n n ++++21=()()∑∑==-m k nk kkx u x u 11<2ε固定D x ∈,则函数项级数()∑∞=1n n x u 满足可惜收敛原理，因而收敛。

设()()D x x u x S n n ∈=∑∞=,1在()()∑∑==-mk nk kkx u x u 11<2ε中，固定n. 令m>∞，则得到()()21ε≤-∑=nk k x S x u <ε对一切D x ∈成立. 因而()∑∞=1n n x u 在D 上一致收敛于()x S可以相应的得出函数序列一致收敛的柯西收敛原理：函数序列(){}x S n 在D 上一致收敛⇔对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当m ＞n ＞N 时，对一切D x ∈,都有()()x S x S n m -＜ε例2： 若在区间I 上，对任何正整数n, ()()x U x M n n ≤. 证明：当()∑x U n在I 上一致收敛时，级数()∑x U n 在I 上也一致收敛.证明：因为()∑x U n在I 上一致收敛. 故对任给的ε>0，总存在N ＞0,使得当n ＞N 时，对任意I x ∈ 及任意+∈z p ，有()()()≤++++++x U x U x U p n n n 21()()()x U x U x U p n n n ++++++ 21＜ε 从而由 ()()x U x M n n ≤ 得()()()x U x U x U p n n n ++++++ 21 ≤ ()x U n 1++()()x U x U p n n ++++ 2＜ ()()()x U x U x U p n n n ++++++ 21＜ε所以，由柯西准则知，级数()∑x U n在I 上一致收敛.三、设函数序列(){}x S n 在集合D 上点态收敛于()x S ，定义()x S n 与()x S 的距离为 ()S S d n ,=()()x S x S n Dx -∈sup则(){}x S n 在D 上一致收敛于()x S 的充分必要条件是: ()S S d n n ,lim ∞→=0.证明： 设(){}x S n 在D 上一致收敛于()x S ，则对任意给定的ε＞0，存在()εN N =, 当n ＞N 时，()()x S x S n -<2ε 对一切D x ∈成立. 于是对n ＞N ，()S S d n ,2ε≤<ε， 这就说明 ()S S d n n ,lim ∞→=0.反过来，若 ()S S d n n ,lim ∞→=0 则对任意给定的ε＞0，存在()εN N =，当n ＞N 时，()S S d n , < ε， 此式表明()()x S x S n -<ε. 对一切 D x ∈成立.所以 (){}x S n 在D 上一致收敛于 ()x S . 例3：设()x S n =221xn x+，则(){}x S n 在()+∞∞-,上收敛于极限函数()0=x S . 证明：由于 ()()x S x S n - =221x n x +n 21≤等号成立当且仅当 nx 1+=.可知 ()S S d n ,=021→n()∞→n 因此 (){}x S n 在()+∞∞-,上一致收敛于()0=x S . 例4:证级数∑∞=0n nx在()1,1+-上不一致收敛但在()1,1+-上内闭一致收敛.证明：()()()x S x S n x -+-∈1,1sup =()≥-+-∈1sup1,1x xnx ()111+-+n nn n n=∞→⎪⎭⎫⎝⎛+-11n n n n ()∞→n ，知道级数∑∞=0n nx在()1,1+-不一致收敛.对任意 a （0<a <1），[]()()x S x S n a a x -+-∈,sup =[]xx na a x --+-∈1sup ,=01→-a a n ()∞→n 可得 级数∑∞=0n nx在()1,1+-上内闭一致收敛.四、魏尔斯特拉斯判别法： 设()∑x u n为一个函数项级数，若存在一个收敛的正项级数∑nM，且∃0N ，当n ＞0N ，D x ∈时，有()n n M x u ≤. 则函数项级数()∑x u n 一致收敛.证明: ∵正项级数∑nM收敛∴ 对任意的ε＞0 存在N ，当n ＞N 时，对任意的p 有≤++++++p n n n M M M 21p n n n M M M ++++++ 21＜ε又 ∵()n n M x u ≤ 故 对任意的D x ∈，有()()()≤++++++x u x u x u p n n n 21()()()x u x u x u p n n n ++++++ 21 ≤p n n n M M M ++++++ 21＜ε ∴ 函数项级数()∑x u n一致收敛例5： 函数项级数nx n ae x-∞=∑1（a ＞1）在［0，+∞）上一致收敛.证明 ： 记 ()x M n =nxae x -， 则()x u n '=nxa ex--1()nx a -.于是容易知道()x u n 在na x =外达到最大值()a ane a1，即 ()≤≤x u n 0()a ane a1，∈x ［0，+∞）. 由于a ＞1，正项级数()a an ne a 11∑∞=收敛. 由魏尔斯特拉斯判别法nx n ae x-∞=∑1（a ＞1）在［0，+∞）上一致收敛.五、阿贝尔判别法： 设（Ⅰ）()∑x u n在区间I 上一致收敛；（Ⅱ）对于每一个I x ∈，(){}x v n 是单调的；（Ⅲ）(){}x v n 在I 上一致有界，即对一切I x ∈和正整数n ，存在正整数M ，使得 ()M x v n ≤， 则 级数()()∑x v x u nn在I 上一致收敛.证明： 由（Ⅰ），任给ε>0，存在某正数N ，使得当n >N 及任何正整数p ，对一切I x ∈，有 ()()x u x u p n n ++++ 1＜ε又由（Ⅱ），（Ⅲ）及阿贝尔引理 得到()()()()x v x u x v x u p n p n n n ++++++ 11()()()εεM x v x v p n n 321≤+≤++.于是根据函数项级数一致收敛的柯西准则，得级数()()∑x v x u nn在I 上一致收敛.例6：设∑∞=1n na收敛，则∑∞=1n n nx a在[]1,0上一致收敛.证明：显然{}nx关于n 单调， 且 1≤nx，[]1,0∈x .对一切n 成立；∑∞=1n na是数项级数，它的收敛性就意味着关于x 的一致收敛性.由 阿贝尔判别法，得到 ∑∞=1n n nx a在[]1,0上一致收敛.六、狄利克雷判别法： 设 （Ⅰ）()∑x u n的部分和函数列 ()x U n=()∑=nk kx u 1() ,3,2,1=n 在I 上一致有界；（Ⅱ）对于每一个I x ∈，(){}x v n 是单调的；（Ⅲ）在I 上()x v n 一致收敛于0 ()∞→n ， 则 级数()()∑x v x u nn在I 上一致收敛.证明：由（Ⅰ），存在正数M ，对一切I x ∈，有()M x U n ≤.因此当p n ,为任何正整数时，()()()()M x U x U x u x u n p n p n n 21≤-=+++++对任何一个I x ∈ ，再由（Ⅱ）及阿贝尔引理，得到()()()()x v x u x v x u p n p n n n ++++++ 11()()()x v x v M p n n +++≤221再由（Ⅲ），对任给的ε>0，存在正数N ，当n >N 时，对一切I x ∈，有()x v n <ε,所以 ()()()()x v x u x v x u p n p n n n ++++++ 11<()εεεM M 622=+ 于是由一致收敛性的柯西准则，得级数()()∑x v x u nn在I 上一致收敛.例7：设{}n a 单调收敛于0，则∑∞=1cos n nnx a与∑∞=1sin n n nx a 在()π20，上内闭一致收敛.证明： 数列{}n a 收敛于0，意味着关于x 一致收敛于0. 另外，对任意0＜δ＜π 当 []δπδ-∈2,x 时，∑=nk kx 1cos =2sin 12sin22sin 21sin δ≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x n ；∑=nk kx 1sin =2sin 12sin22cos 21cos δ≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x n ； 由狄利克雷判别法，得到∑∞=1cos n nnx a与∑∞=1sin n n nx a 在[]δπδ-2,上一致收敛，故∑∞=1cos n nnx a与∑∞=1sin n n nx a 在()π20，上内闭一致收敛.七、设函数序列(){}x S n 在闭区间[]b a ,上点态收敛于()x S ，如果 （1）()x S n () ,3,2,1=n 在[]b a ,上连续； （2）()x S 在[]b a ,上连续；（3）(){}x S n 关于n 单调，即对任意固定的[]b a x ,∈，(){}x S n 是单调数列.则 (){}x S n 在[]b a ,上一致收敛于()x S .证明： 用反证法。