一致收敛判别法总结

学年论文

题目：一致收敛判别法总结

学院：数学与统计学院

专业：数学与应用数学

学生姓名：***

学号：************

指导教师：***

一致收敛判别法总结

学生姓名：张学玉 指导教师：陶菊春

摘要： 函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点，为了开阔思路，更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳、总结。首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究,介绍了函数项级数一致收敛的充要条件,近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。并通过例题的讨论说明这些判别法的可行性及特点。

Abstract ：Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysis

of the difficulties, in order to broaden their thinking, to better understand and master the functions Seies Convergence approach, this paper uniformly convergent series of functions of several discriminant method were analyzed, summarized, summary. First, determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied, introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions, while providing nearly proved uniformly convergent series of functions of the general method. Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act. And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics.

关键词： 函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法

Keywords: series of functions; function sequence; uniform convergence; Criterion

引言： 函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点，教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。初学者需用灵活的思维以便在使用时选出正确又快捷的证明方法和技巧。为了更好的培养我们这方面的能力，总结出了函数项级数一致收敛性的若干证明方法。

一、定义

设(){}x S n 是函数项级数

()x u n

∑的部分和函数列.若(){}x S n

在数集D 上一致收敛

于函数()x S ，则称函数项级数

()x u n

∑在D 上一致收敛于函数()x S ，或称函数项级数

()x u n

∑在D 上一致收敛.

定理：若对∀n ，∃n a >0使得()()n n a x S x S ≤-()D x ∈∀,并且当∞→n 时有

0→n a .则当∞→n 时()x S n 一致收敛于()x S .

例1：若()x f n 在[]b a ,上可积， ,2,1=n ，且()x f 与()x g 在[]b a ,上都可积

()()⎰=-∞→b

a

x n n d x f x f 0lim .设()()()()()()⎰⎰==x

a

t n x a n t d t g t f x h d t g t f x h ，则在[]b a ,上

()x h n 一致收敛于()x h .

证明： ()()x h x h n - = ()()()()⎰

⎰-x

a

x

a

t n t d t g t f d t g t f

=

()()()()⎰-x a

t

n

d

t g t f t f ≤

()()()⎰-x

a

t

n

d

t g t f t f

≤ ()()()2

12

212⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫

⎝⎛-⎰⎰x

a t x

a t n d t g d t f t f

≤ ()()()2

12

2

12

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫

⎝⎛-⎰⎰b

a t b

a

t n d t g d t f t f 0→ ()∞→n

所以∞→n 时，()x h n 一致收敛于()x h .

二、函数项级数一致收敛的柯西收敛原理 函数项级数

()∑∞

=1

n n x u 在D 上一致收敛的充分必要条件是对于任意给定的ε>0，存在正

整数()εN N =，使()()()x u x u x u m n n ++++21<ε. 对一切正整数m>n>N 与一切x ∈D 成立.

证明：（必要性） 设

()∑∞

=1n n x u 在D 上一致收敛.记和函数为()x S ，则对任意给定的ε>0，

存在正整数()εN N =.使得对一切n>N 与一切D x ∈ 成立

()()∑=-n

k k x S x u 1

<2ε

于是对一切m>n>N 与一切x ∈D ，成立 ()()()x u x u x u m n n ++++21=

()()∑∑==-m k n

k k

k

x u x u 11

=()()()()()()()()∑∑∑∑====⎪⎭

⎫

⎝⎛---=+--m

k n k k k m

k n

k k k x S x u x S x u x S x u x S x u 1111

()()()()∑∑==-+-≤

n

k k

m k k

x S x u x S x u 1

1

<ε

（充分性） 设对任意给定的ε>0，存在正整数()εN N =，使得对一切m>n>N 与一