无穷积分的性质与收敛判别法
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§2 无穷积分的性质与收敛判别法
教学目的与要求：
掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点：
无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。
教学内容：
本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质
由定义知道，无穷积分
()dx x f a
⎰
+∞
收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u
a
⎰在u →+∞时是否存在
极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。
定理11.1 无穷积分()dx x f a
⎰
+∞
收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便
有
()()()2
1
2
1
u u u a
a
u f x dx f x dx f x dx ε-=
<⎰
⎰⎰
。
证明: 由于
()lim a
u f x dx +∞
→+∞
=⎰
()dx x f u
a
⎰=(),lim u F u →+∞
所以
()dx x f a
⎰
+∞
收敛⇔()lim u F u →+∞
存在⇔0,G ε∀>∃≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有
()()()2
2
1
1
21|()()|.u u u u a
a
f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=-<⎰
⎰⎰
此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。 性质1 (线性性质) 若
()dx x f a
⎰
+∞
1与()dx x f a
⎰
+∞
2都收敛，k 1、k 2为任意常数，则
()()[]dx x f k x f k a
⎰+∞
+2
2
11 也收敛，且
()()[]dx x f k x f k a ⎰+∞
+2211=()()dx x f k dx x f k a
a
⎰
⎰+∞
+∞
+2211。 （1）
证明: 记()()111lim u a
a
u J f x dx f x dx +∞
→+∞
==⎰
⎰, ()()222lim u
a
a
u J f x dx f x dx +∞→+∞
==⎰
⎰,
则
()()[]dx x f k x f k a
⎰+∞
+2
2
1
1=()()1122lim u
a
u k f x k f x dx →+∞
+⎡⎤⎣⎦⎰
=
1122[()()]lim u
u
a
a
u k f x dx k f x dx →+∞
+⎰⎰
=1
122()()lim lim u
u
a
a
u u k f x dx k f x dx →+∞
→+∞
+⎰
⎰
=1122k J k J +=1
122()().a
a
k f x dx k f x dx +∞
+∞
+⎰
⎰
□
性质2 若f 在任何有限区间[a ，u]上可积，a ＜b ，则()dx x f a
⎰
+∞
与()dx x f b
⎰
+∞
同敛态（即同时收
敛或同时发散），且有
()()()dx x f dx x f dx x f b
b a
a
⎰
⎰⎰
+∞
+∞
+=， （2）
其中右边第一项是定积分。 证明: 由于()dx x f a
⎰
+∞
收敛⇔
()lim u
a
u f x dx →+∞
⎰存在.
又
()lim u
a
u f x dx →+∞
⎰
=()()()lim b u a
b
u f x dx f x dx →+∞
+⎰⎰
=()()lim b
u
a
b
u f x dx f x dx →+∞
+⎰⎰, 其中右边第一项是定积分。
所以
()dx x f a
⎰
+∞
与()dx x f b
⎰
+∞同敛态（即同时收敛或同时发散），且有
()()()dx x f dx x f dx x f b
b a
a
⎰
⎰⎰
+∞+∞
+=. □
说明: (1) 性质2相当于定积分的积分区间可加性;
(2) 由性质2及无穷积分的收敛定义可推出()dx x f a
⎰
+∞
收敛的另一充要条件: 任给ε＞0，存在G ≥
a ，当u ＞G 时，总有
()u
f x dx ε+∞
<⎰
。
事实上，
()dx x f a
⎰
+∞
收敛⇔J=()lim u a
u f x dx →+∞
⎰存在
⇔0,,G a ε∀>∃≥ 当u G >时,()u
a f x dx J
ε-<⎰
⇔0,,G a ε∀>∃≥ 当u G >时,()()()()u u
a
a
u
f x dx f x dx f x dx ε+∞
-+<⎰⎰⎰
⇔0,,G a ε∀>∃≥ 当u G >时,
()u
f x dx ε+∞<⎰
性质3 若f 在任何有限区间[a ，u] 上可积，且有
()dx x f a
⎰
+∞
收敛，则()dx x f a
⎰
+∞
亦必收敛，并有
()dx x f a
⎰
+∞
≤()dx x f a
⎰
+∞
。 （3）
证明: 由()dx x f a
⎰
+∞
收敛，根据柯西准则（必要性），任给ε＞0，存在G ≥a ，当u 2＞u 1＞G 时，
总有
()()2
2
1
1
||,u u u u f x dx f x dx ε=<⎰⎰
利用定积分的绝对值不等式，又有
()21
u u f x dx ≤
⎰
()2
1u u f x dx ε<⎰
.
再由柯西准则（充分性），证得
()dx x f a
⎰
+∞
收敛