无穷积分的性质与收敛判别法
积分的无穷级数
积分的无穷级数积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于求解曲线下的面积、求解概率密度函数等问题。
而积分的无穷级数则是指一种特殊的级数，它由一列积分组成，而不是由一列数值组成。
这种无穷级数的研究对于理解积分的性质和应用非常有帮助。
在介绍积分的无穷级数之前，我们先需要回顾一下一般的无穷级数的定义：设有实数列${a_n}$，则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$为收敛的，如果其部分和数列有极限，即$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$存在。
否则，称级数发散。
积分的无穷级数是由一列积分组成的级数。
具体来说，设$f(x)$在区间$[a,b]$上可积（或可积于Riemann-Stieltjes意义下），则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_n(x)dx$为收敛的，如果其部分和数列有极限，即$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\int_{a}^{b}f_i(x)dx$存在。
否则，称级数发散。
需要注意的是，积分的无穷级数并不是对于所有的可积函数都存在的。
事实上，对于某些函数族，它们的无穷级数可能会发散。
下面我们将介绍一些积分的无穷级数的性质和判别法。
1. 比较判别法比较判别法是判断级数的敛散性的一种常用方法。
类似地，我们可以将其推广到积分的无穷级数上。
比较判别法的基本思想是：将待定极限与已知级数或积分进行比较，如果待定极限的模长小于等于已知极限的模长，并且已知级数或积分收敛，则待定极限收敛。
例：比较级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\sin^2n}$和级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$的敛散性。
解：设$f_n(x)=\frac{1}{n+n\sin^2n}$，则有$\int_{0}^{\pi}f_n(x)dx=\frac{\pi}{2n(1+\frac{1}{2}\sin^2n)}\geq \frac{\pi}{4n}$又由于级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是发散的，因此可以利用比较判别法得出，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\sin^2n}$也是发散的。
无穷积分的性质及收敛判别_2022年学习资料
则当∫gdr收敛时，∫。fxdr亦收敛：-当∫。frdr发散时，∫。gdr亦发散，-证若」。gxdr收敛， M>0,Hu∈[a,+o,-Jgxd≤M.-因此jfxdr≤JgxdrsM.-由非负函数无穷积分的判别法， 。fxdr收敛，-第二个结论是第一个结论的逆否命题，因此也成立.-前页-后页-返回
§2无穷积分的性质及收敛判别-本节讨论无穷积分的性质，并用这些-性质得到无穷积分的收敛判别法。-一、无穷积 的性质-二、非负函数无穷积分的收敛判别法-三、一般函数无穷积分的收敛判别法-前页-后页-返回
一、无穷积分的性质-定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）无穷积分-。fxdr收敛的充要条件是：Vc>0, ≥a,-当山1，山2>G时，-foeJfxwarfearke-证设Fw=∫fxdr,u∈[a,+o,则fx r-收敛的充要条件是存在极限imFu.由函数-L→+00-极限的柯西准则，此等价于-前页-后页-返回
ii由lim-fx=+0,存在G>a,使r>G,有-x0gx-fx>1,-8x-即fx>g,x∈[G,+o 因此由」gxdr发散-可推得∫fxdr发散.-推论2设f是定义在[a,+oo上的非负函数，在任何-有限区间 a,w上可积.-若fspn则ar收数-前页-后页-返回
若fp≤则fwdr发敢-推论3设f是定义在[a,+o上的非负函数，在任何有-限区间[a,u]上可积.若im 'fx=2,则-X→+00-当p>l,0≤<+o时，fxdr收敛：-田当p≤1,0<≤+oo时，fxdr发 .-说明：推论3是推论2的极限形式，读者应不难写-出它的证明-前页-后页-返回
十一章反常积分
0
1
b
x
二、两类反常积分的定义. 两类反常积分的定义
定义1: 定义 设函数 f (x)定义在区间[a, +∞)上, 且在任何 有限区间[a, u]上可积，如果存在极限
u →+∞ a
lim
∫ f ( x )dx = J
u
则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +∞)上 (x) [a, +∞) 的无穷限反常积分, 记作
u2
u 1
f (x)d <ε. x
２，比较原则
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
且满足
f (x ≤g(x x∈ a+ ) ) ), [, ∞
定理11.2（比较原则） （比较原则） 定理
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
[, ∞ 且满足 f (x) ≤g(x), x∈ a+ ) 则
若 g(x d 收 ，则 ∫ )x 敛 ∫
a
+ ∞
+ ∞
a
f (x d 收 ; ) x 敛
若 ∫
例1 : 讨论 ∫
+∞ 0
+ ∞
a
f (x d 发 ，则 g(x d 发 . ) x 散 ∫ )x 散
a
+ ∞
sin x dx的收敛性. 2 1+ x
a sin x x +b
3 2
例 2 : 讨论 ∫
+∞
a
+∞
a +∞
[k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx也收敛， 且 [k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx = k1 ∫
无穷积分的性质与收敛判别
§2 无穷积分的性质与收敛判别1．证明定理11.2及其推论1定理11.2（比较法则）设定义在[),+∞a 上的两个函数f 和g 都在任何区间],[u a 上可积，且满足),[),(|)(|+∞∈≤a x x g x f ，则当∫+∞adx x g )(收敛时，∫+∞adx x f |)(|必收敛（或者，当∫+∞adx x g )(收敛，所以a A >∃，当A u u >>12时，有∫<21)(u u dx x g ε由于)(|)(|x g x f ≤，),[+∞∈∀a x ，因此更有∫∫<≤2121)(|)(|u u u u dx x g dx x f ε，故∫+∞adx x f |)(|收敛。
推论1 若f 和g 都在任何],[u a 上可积，1)(>x g ，且c x g x f x =∞→)(|)(|lim，则有（I ）当+∞<<c 0时，∫+∞adx x f |)(|与dx x g a∫+∞)(同敛态；（ii ）当0=c 时，由∫+∞adx x g )(收敛可推知，dx x f a |)(|∫+∞出收敛；（iii ）当+∞=c 时，由∫+∞adx x g )(发散可推知∫+∞adx x f |)(|也发散。
证：（I ）因为+∞<=<+∞→c x g x f x )(|)(|lim0，所以)(0c <>∀εε存在a A >，使得当Ax >时，有εε+<<−<c x g x f c )(|)(|0，即 dx x g c x f x g g c )()(|)(|)(()(0εε+<<−< （*）从而，若∫+∞adx x g )(收敛，那么∫+∞+Adx x g c )()(ε收敛。
于是由∫∫+∞+=AaAdx x f dx x f dx x f |)(||)(||)(|收敛。
无穷级数的概念与性质
无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。
本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。
一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。
一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。
无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。
二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。
它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。
等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。
等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。
3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。
例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。
三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。
如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。
无穷级数的定义性质和及敛散性判别
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1, s2 u1 u2, s3 u1 u2 u3,, sn u1 u2 un,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
5! 55
；
n
3、
x2
；
2 4 6 (2n)
4、(1)n1 a n1 ； 2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、 q 1, q 1. 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[ s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n ]
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q当q 1时,源自lim qn 0n
lim
n
sn
a 1q
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
2 无穷积分的性质
无穷积分的性质:⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间上可积 ,且.⑵和在区间上可积 , 在区间上可积 , 且.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译)定理积分收敛.⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分无穷积分收敛判别法非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且，又对任何>, 和在区间上可积 . 则< , < ；, . ( 证 )例1 判断积分的敛散性.比较原则的极限形式 : 设在区间上函数,. 则ⅰ> < < , 与共敛散 :ⅱ> , < 时, < ；ⅲ> , 时,. ( 证 )⑵Cauchy判敛法: ( 以为比较对象, 即取.以下> 0 )对任何>, , 且, < ；且, .Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间上可积的正值函数.且. 则ⅰ> < ；ⅱ>. ( 证 )例2 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ> ⅱ> [1]P 324 E6⑶其他判敛法:Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在上单调，且当时，. 则积分收敛.例6 讨论无穷积分与的敛散性. [1]P325 E7例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :, ,. [1]P326 E8例8 ( 乘积不可积的例 ) 设, . 由例6的结果,积分收敛 . 但积分却发散.( 参阅例6 )。
无穷级数的定义,性质和及敛散性判别
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
二、级数的概念
1 1 1 1 解 un ( ), ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1 1 1 (1 ), 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 ) , n n 2 2n 1 2
n 2,3,
于是有
1 3 2 3 3 lim An A1 (1 ) A1 (1 ) . n 4 5 5 1 9 雪花的面积存在极限（收敛）．
n
lim Pn
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
若记
un n 1
任意加括号
bk u pk 1 1 u pk
bk k 1 bk 的部分和记为 k k 1
则加括号后级数成为
记
un n 1
的部分和为 sn
则 k s pk 由数列和子数列的关系知 lim sn 存在， lim k 必定存在
1 dx 即 x 1 1 1 Sn 1 2 n n1 1 dx ln( n 1) , ( n ) x 1 故调和级数发散
无穷积分的性质及收敛判别
极限的柯西准则,此等价于
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0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a
f
2
(
x
)
dx
都收敛
,
k1, k2
为任意常数,则
也收敛 ,且
a k1
f1(
x)
k2
f2
(
x)dx
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a
k1
f1
(
x
)
k2
f
2
(
x
)
dx
k1 a f1( x)dx k2 a f2( x)dx.
再由柯西准则的充分性, 证得 h( x)dx收敛. a
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二、非负函数无穷积分的收敛判别法
定理11.2(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在
[a,) 上的非负函数 f 在任何 [a, u] 上可积, 则
f ( x)dx 收敛的充要条件是: M 0, 使 a u u [a, ), a f ( x)dx M .
性质2 若 f 在任何有限区间 [a, u] 上可积,则
f ( x) dx 与
f ( x) dx (b a ),
a
b
同时收敛或同时发散，且
b
无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)
无穷限反常积分敛散性及审敛法则一、教学目标分析在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。
让学生反常积分在一些实际问题中的应运。
二、学情/学习者特征分析学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。
但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。
由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。
三、学习内容分析1.本节的作用和地位通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。
例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。
2．本节主要内容1. 无穷限反常积分的定义与计算方法2. 无穷限反常积分的性质3. 无穷限反常积分的比较审敛法则4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。
4.课时要求：2课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。
五、教学策略在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。
六.教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。
七、教学过程一、无穷限反常积分的定义定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作dx x f J a⎰+∞=)(，并称dxx f a ⎰+∞)(收敛．如果极限J dx x f uau =⎰+∞→)(lim不存在，亦称dx x f a ⎰+∞)(发散．类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim )(dx x f dx x f buu b⎰⎰-∞→∞-=对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞+=其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．注： dx x f a⎰+∞)(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线)(x f y =，直线ax =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ．例1 讨论无穷积分.1)102⎰+∞+x dx ，.1)22⎰∞+∞-+xdx ，.)302⎰+∞-dx xe x 的收敛性． 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：⎰+∞1)1p xdx， ;)(ln )22⎰+∞p x x dx 二、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数=)(u F ⎰uadx x f )(在+∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要G u u >21,，便有ε<=-⎰⎰⎰2121)()()(u u u au adx x f dx x f dx x f ．此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质．性质1 若dx x f a)(1⎰+∞与dx x f a)(2⎰+∞都收敛，1k ,2k 为任意常数，则[]dx x f k x f k a⎰+∞+)()(2211也收敛，且[]dx x f k dx x f k dx x f k x f k aaa )()()()(22112211⎰⎰⎰+∞+∞+∞+=+．性 质 2 若f 在任何有限区间[u a ,)上可积，且有⎰+∞adx x f )(收敛，则⎰+∞adx x f )(亦必收敛，并有⎰⎰+∞+∞≤aadx x f dx x f )()(．证：⎰+∞adx x f )( 由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0>ε，存在G ≥a ，当G u u >>12时，总有⎰⎰≤2121)()(u u u u dx x f dx x f . 利用定积分的绝对值不等式，又有⎰21)(u u dx x f ≤ε<⎰21)(u u dx x f .再由柯西准则(充分性)，证得⎰+∞adx x f )(收敛又因⎰uadx x f )(≤⎰uadx x f )(，令+∞→u 取极限，立刻得到不等式.当⎰+∞adx x f )(收敛时，称⎰+∞adx x f )(为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．性质3 若f 在任何有限区间[u a ,]上可积，b a <，则⎰+∞adx x f )(与⎰+∞bdx x f )(同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有⎰+∞adx x f )(=⎰b adx x f )(+⎰+∞bdx x f )(,性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出⎰+∞adx x f )(收敛的另一充要条件：任给ε>0，存在0≥G ，当u >G 时，总有.)(ε<⎰+∞adx x f ．事实上，这可由⎰⎰⎰+∞+∞+=uaudx x f dx x f dx x f )()()(结合无穷积分的收敛定义而得．三、比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法．由于⎰uadx x f )(关于上限u 是单调递增的，因此⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是⎰uadx x f )(存在上界．根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理11.2 (比较法则) 设定义在[+∞,a )上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[u a ,]上可积，且满足 则当⎰+∞adx x g )(收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛(或当dx x f a⎰+∞)(发散时，⎰+∞adx x g )(必发散)．例3 讨论dx x x⎰+∞+021sin 的收敛性． 解：由于],0[,111sin 22+∞∈+≤+x x x x ，而2102π=+⎰+∞x dx 为收敛，故dx xx ⎰+∞+021sin 为绝对收敛． 当选用⎰+∞1p xdx作为比较对象⎰+∞a dx x g )(时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法)． 推论1 设f 定义于[+∞,a ] (0>a )，且在任何有限区间[u a ,]上可积，则有：(i)当 ),[,1)(+∞∈≤a x xx f p ,且1>p 时, dx x f a ⎰+∞)(收敛; (ii)当),[,1)(+∞∈≥a x xx f p 且1≥p 时, dx x f a ⎰+∞)(发散.推论2 设定义于[+∞,a )，在任何有限区间[u a ,.]上可积，且λ=+∞→)(lim x f xpx ．则有：(i)当 +∞<≤>λ0,1p 时, dx x f a⎰+∞)(收敛; (ii)当 +∞≤<≤λ0,1p 时,dx x f a⎰+∞)(发散.推论3 若f 和g 都在任何[u a ,)上可积，0)(>x g ，且,)()(lim c x g x f x =+∞→则有(i)当+∞<≤c 0时，由⎰+∞adx x g )(收敛可推知dx x f a ⎰+∞)(也收敛； (ii)当+∞≤<c 0时，由⎰+∞adx x g )(发散可推知dx x f a⎰+∞)(也发散.四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法． 定理11.3 (狄利克雷判别法) 若⎰=uadx x f u F )()(在[+∞,a )上有界，)(x g 在[+∞,a )上当+∞→x 时单调趋于0，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．定理11.4 (阿贝尔(Abel)判别法) 若⎰+∞adx x f )(收敛，)(x g 在[+∞,a )上单调有界，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法． 例5 讨论dx x xp ⎰+∞1sin 与)0(cos 1>⎰+∞p dx xx p 的收敛性． 解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论： (i)当p >1时dx x xp ⎰+∞1sin 绝对收敛．这是因为),,[,1sin +∞∈≤a x x x x p p 而⎰+∞1p xdx 当p >1时收敛，故由比较法则推知dx x xp⎰∞+1sin 收敛. (ii)当10≤<p 时dx x x p ⎰+∞1sin 条件收敛．这是因为对任意u ≥1，有2co s 1co s si n 1≤-=⎰u x d x u ，而p x 1当0>p 时单调趋于)(0+∞→x ，故由狄利克雷判别法推知dx x xp ⎰+∞1sin 工当0>p 时总是收敛的． 另一方面，由于),1[,22cos 21sin sin 2+∞∈-=≥x x x x x x x x p ，其中dt ttdx x x ⎰⎰+∞+∞=21cos 2122cos 是收敛的，而⎰+∞12xdx是发散的，因此当10≤<p 时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的． 例6 证明下列无穷积分都是条件收敛的．,sin 12⎰+∞dx x ,cos 12⎰+∞dx xdx x x ⎰+∞14sin证：前两个无穷积分经换元2x t =得到,2sin sin 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=.2cos cos 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=由例5知它们是条件收敛的．对于第三个无穷积分，经换元2x t =而得⎰⎰+∞+∞=1214sin 21sin dt t dx x x ，它也是条件收敛的．从例6中三个无穷积分的收敛性可以看到，当+∞→x 时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．八、学习评价本节成功向学生讲解了两种定积分的推广即反常积分，尤其对无穷反常积分进行介绍，并对其敛散性及审敛性附带介绍。
无穷区间上的反常积分
无穷区间上的反常积分
无穷区间上的反常积分是微积分学中一个重要的概念，需要掌握其定义、性质以及计算方法。
下面我们将按照以下列表分别进行介绍。
一、定义
无穷区间上的反常积分是指在某些情况下，对于无限区间上的某些连续函数，其在区间某一部分的积分值趋近于无穷或趋近于无穷大的情况下，该函数在整个区间上的积分是收敛的。
二、性质
1. 如果无穷区间上的一个函数是收敛的，那么对于所有的t>0，函数在区间[t，+∞)上的积分也是收敛的。
2. 如果无穷区间上的一个函数是收敛的，那么对于所有的c<d，函数在区间[c，d]上的积分也是收敛的。
3. 如果无穷区间上的一个函数是发散的，那么对于所有的t>0，函数在区间[t，+∞)上的积分也是发散的。
三、计算方法
对于无穷区间上的反常积分的计算，一般存在以下两种方法：
1. 收敛性判别法
收敛性判别法是指通过找到恒等式、引入变量或者比较函数等方法来证明函数在特定区间上的积分是收敛的。
2. 收敛级数法
收敛级数法是指将原函数拆分成可加性函数的级数形式，然后通过计算级数的收敛性来判断函数在整个区间上的积分是否收敛。
无穷区间上的反常积分在微积分学中具有重要的应用价值，在计算实际问题中也有着广泛的应用。
需要我们在学习过程中，深刻理解其定义、性质及计算方法，并在实际中灵活应用。
反常积分
第十一章反常积分教学要点：反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。
教学内容：§1 反常积分的概念（4学时）反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。
§2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时）无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。
§3 瑕积分的性质与收敛判别瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。
教学要求：掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。
1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点.2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。
§1 反常积分概念教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法．教学内容：无穷积分；瑕积分．教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出1、为什么要推广Riemann 积分定积分()ba f x dx ⎰有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间；其二，若[,]f R a b ∈，则0M ∃>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。
这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。
例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？解： 设地球半径为，火箭质量为，地面重力加速度为，有万有引力定理，在距地心处火箭受到的引理为于是火箭上升到距地心处需要做到功为当时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为时，水从小孔里流出的速度为设在很短一段时间内，桶里水面降低的高度为，则有下面关系：由此得所以流完一桶水所需的时间应为但是，被积函数在上是无界函数，，所一我们取相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。
无穷积分柯西判别法中p的选取方法
无穷积分柯西判别法中p的选取方法无穷积分是高等数学中一种重要的数学工具，它可以用于研究函数的性质、数列的收敛性等问题。
然而，对于某些特殊的无穷积分，我们往往需要采用柯西判别法来确定其收敛性。
而在柯西判别法中，选取合适的p值是至关重要的。
本文将探讨无穷积分柯西判别法中p的选取方法。
一、柯西判别法简介在无穷积分中，我们通常需要判断积分的收敛性，以确定该无穷积分是否能够被求解。
柯西判别法是一种用于判断无穷积分收敛性的方法，其基本思想是将原有的积分函数转化为形式相近的积分函数，从而通过比较得出收敛性。
具体而言，我们可以将无穷积分化为以下形式：∫f(x)dx然后，对于形如f(x)=x^p*g(x)的函数f(x)，我们可以利用其与幂函数的比较关系，来判断此积分的收敛性。
根据柯西判别法，当p大于1时，f(x)在正无穷的位置处必定收敛；当p小于1时，f(x)在正无穷的位置处必定发散；当p等于1时，则需要进一步的判断。
二、p值的选取方法在柯西判别法中，p的选取是十分关键的。
如果选取的p值不够合适，可能会导致判断结果的不准确。
因此，在进行柯西判别法时，我们需要采用一些方法来确定p的值。
1.根据已知结果选取p值对于某些特殊的无穷积分，我们可以通过已知的结果来选择p值。
例如，当我们要判断∫x^p/e^x dx的收敛性时，我们可以利用早期学习的求极限方法，计算出当p小于-1时，此积分收敛，否则发散。
因此，我们可以选取p=-2，从而得出此积分收敛的结论。
2.选取最优的p值对于某些无法通过已知结果来确定p值的无穷积分，我们可以通过数值运算的方法，选取最优的p值。
具体而言，我们可以利用配方法，将无穷积分化简为形式相近的积分函数，然后分别对不同的p值进行计算。
直到找到使得积分函数收敛的最小的p值为止。
3.根据函数的性质选取p值对于某些函数具有一定的特殊性质的情况，我们可以根据其特殊性质来选取p值。
例如，对于形如f(x)=sin(x)/x^p的函数，我们可以知道当p>1时，此函数在0处连续，因此在该点处积分收敛；而当0<p<=1时，函数在0处有无穷大的极限值，因此积分发散。
级数收敛的判别方法
级数收敛的判别方法级数理论在数学分析中占有很重要的一席之地,而级数理论中,研究无穷级数的收敛性则相当的重要。
仅由收敛原理来判别级数的敛散性,在实际问题中,往往是不可行的。
本文中,主要介绍了比较判别法,柯西判别法,达朗贝尔判别法,拉阿比判别法,对数判别法,双比值判别法,高斯判别法,柯西积分判别法,对于常用的判别法,本文对其有效性做了简单的比较,从而能够使读者更加深入的了解和熟悉各种判别法的使用范围。
标签：级数收敛发散判别法有效性1 级数的收敛性及其基本性质我们知道,一系列无穷多个数u1,u2,u3,…un,…,写成和式u1+u2+u3+…+un…就称为无穷级数,记为un,且若级数un的部分和数列{Sn}收敛于有限值S,即则称级数un收敛,记为,un=S,也称此值S为级数的和数。
若部分和数列{Sn}发散,则称un发散。
研究无穷级数的收敛问题,首先我们给出大家熟悉的收敛级数的一些基本性质[1]:性质1 若级数un收敛,a为任意常数,则aun亦收敛,且有aun=aun。
性质2 若两个级数un和vn都收敛,则(un±vn)也收敛,且有(un±vn)=un±vn。
性质 3 一个收敛级数un,对其任意项加括号后所成级数(u1+u2+…ui )+(ui +1+…ui )+…仍为收敛,且其和不变。
性质4 (收敛的必要条件)若级数un收敛,则un→0(n→∞)。
以上是收敛级数的一些最基本的性质,要指出的是,在实际问题中仅利用收敛原理来判断级数的收敛性,往往是相当困难的,所以在级数的理论中还必须建立一系列的判别法,利用它们就可以简便地来判别相当广泛的一类级数的收敛性,建立和总结这些判别法,就是本文的中心任务。
2 正项级数的收敛性判别一般的数项级数,它的各项可以是正数,负数或零。
现在我们讨论各项都是正数或零的级数,这种级数称为正项级数。
本文将就正项级数的收敛判别方法做一总结,若级数un=u1+u2+…+un…是一个正项级数(uk>0),它的部分和数列{sn}是一个单调增加的数列,即s1≤s2≤…≤sk≤…。
微积分学广义积分敛散性判别
其中P 为任意常数.
解 当 P 1 时:
d x ln | x |
ax
a
lim ln | x | ln a , x
故 p 1 时，P 积分发散.
当 P 1 时:
d x x1 p
a x 1 p
,
a
a 1 p
若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值
即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
分发散 .
类似地可定义：
b
b
(1) f (x) d x lim f (x) d x (B b) .
B B
c
(2) f (x) d x f (x) d x f (x) d x
f (x), g(x) R( [a, A] ) , 且满足 g(x) f (x) 0，
则 (1) 当 g(x) d x 收敛时，积分 f (x) d x 也收敛.
a
a
(2) 当 f (x) d x 发散时，积分 g(x) d x 也发散.
a
a
证
c
c
A
lim f (x) d x lim f (x) d x .
B B
A c
若
c
f (x)d x 与
f (x) d x 同时收敛，则称
f
(x)d x
收敛 .
c
若 c f (x) d x 与 f (x) d x 至少有一个发散, 则 f (x) d x 发散 .
实际上, 我们可以将无穷积分的定义式写成下面的形式:
高等数学第11章第2节无穷积分的性质与收敛判别
§2 无穷积分的性质与收敛判别一 无穷积分的性质:⑴ )(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , k — Const , 则函数k )(x f 在区间) , [∞+a 上可积, 且⎰+∞=ak dx x kf )(⎰+∞adx x f )(.⑵ )(x f 和)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , ⇒ )(x f ±)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , 且⎰+∞=±ag f )(⎰+∞±af ⎰+∞ag .⑶ 无穷积分收敛的Cauchy 准则: ( 翻译 . ,)(+∞→→A B A F )定理： 无穷 积分⎰+∞adx x f )(收敛 εε<⇒>'''∀∃>∀⇔⎰'''A A dx x f A A A A )( ,, , , 0 .⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛 ⇒ 收敛, ( 证 ) 但反之不真. 绝对型积分与非绝对型积分 .二 无穷积分判敛法:非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有)(A F ↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴ 比较判别法: 设在区间 ) , [∞+a 上函数)(x f 和)(x g 非负且)(x f ≤)(x g ，又对任何A >a ,)(x f 和)(x g 在区间 ] , [A a 上可积 . 则⎰+∞ag < ∞+, ⇒ ⎰+∞af < ∞+； ⎰+∞af=∞+, ⇒ ⎰+∞ag =∞+. ( 证 )例4 判断积分 ⎰+∞++0225)1sin(dx x x 的敛散性. 比较原则的极限形式 : 设在区间 ) , [∞+a 上函数0 , 0≥>f g ,c gfx =+∞→lim . 则ⅰ> 0< c < ∞+, ⇒⎰+∞af 与 ⎰+∞ag 共敛散 :ⅱ> c =0, ⇒⎰+∞ag < ∞+时, ⎰+∞af < ∞+；ⅲ> c =∞+, ⇒ ⎰+∞ag = ∞+时, ⎰+∞af=∞+. ( 证 )⑵ Cauchy 判敛法:( 以⎰+∞1p xdx为比较对象, 即取)(x g =p x 1.以下a > 0 ) 设对任何A >a , )(x f ∈],[A a C , 0≤)(x f ≤p x1且p 1>, ⇒⎰+∞af < ∞+；若)(x f ≥p x1且p 1≤, ⇒⎰+∞af=∞+.Cauchy 判敛法的极限形式 : 设)(x f 是在任何有限区间] , [A a 上可积的正值函数，且λ=+∞→)(lim x f x p x . 则ⅰ>,0 , 1⇒+∞<≤>λp ⎰+∞a f < ∞+；ⅱ> ⇒+∞≤<≤ , 0 , 1λp⎰+∞af=∞+. ( 证 )例5 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ>⎰+∞->0);0( ,ααdx e xxⅱ>⎰+∞+052.1dx x x⑶ 其他判敛法:Abel 判敛法: 若)(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , )(x g 单调有界 , 则积分 ⎰+∞adx x g x f )()(收敛.Dirichlet 判敛法: 设⎰=Aaf A F )(在区间 ) , [∞+a 上有界 ，)(xg 在) , [∞+a 上单调，且当+∞→x 时，)(x g 0→. 则积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛.例6 讨论无穷积分⎰+∞1sin dx xxp 与⎰+∞1cos dx x x p ) 0 (>p 的敛散性.例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :⎰+∞12sin dx x , ⎰+∞12cos dx x , ⎰+∞14sin dx x x .例8 ( 乘积不可积的例 ) 设)(x f xx sin =, ∈x ) , 1 [∞+. 由例6的结果, 积分⎰+∞1)(dx x f 收敛 .但积分⎰+∞1)()(dx x f x f ⎰+∞=12sin dx x x却发散.( 参阅例6 )作业：P275 2， 3， 4(3)(4)(5)(6), 5(1)(4)。
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§2 无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求：掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。
教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。
教学内容：本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质由定义知道，无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f ua⎰在u →+∞时是否存在极限。
因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。
定理11.1 无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰。
证明: 由于()lim au f x dx +∞→+∞=⎰()dx x f ua⎰=(),lim u F u →+∞所以()dx x f a⎰+∞收敛⇔()lim u F u →+∞存在⇔0,G ε∀>∃≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有()()()221121|()()|.u u u u aaf x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=-<⎰⎰⎰此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。
性质1 (线性性质) 若()dx x f a⎰+∞1与()dx x f a⎰+∞2都收敛，k 1、k 2为任意常数，则()()[]dx x f k x f k a⎰+∞+2211 也收敛，且()()[]dx x f k x f k a ⎰+∞+2211=()()dx x f k dx x f k aa⎰⎰+∞+∞+2211。
（1）证明: 记()()111lim u aau J f x dx f x dx +∞→+∞==⎰⎰, ()()222lim uaau J f x dx f x dx +∞→+∞==⎰⎰,则()()[]dx x f k x f k a⎰+∞+2211=()()1122lim uau k f x k f x dx →+∞+⎡⎤⎣⎦⎰=1122[()()]lim uuaau k f x dx k f x dx →+∞+⎰⎰=1122()()lim lim uuaau u k f x dx k f x dx →+∞→+∞+⎰⎰=1122k J k J +=1122()().aak f x dx k f x dx +∞+∞+⎰⎰□性质2 若f 在任何有限区间[a ，u]上可积，a ＜b ，则()dx x f a⎰+∞与()dx x f b⎰+∞同敛态（即同时收敛或同时发散），且有()()()dx x f dx x f dx x f bb aa⎰⎰⎰+∞+∞+=， （2）其中右边第一项是定积分。
证明: 由于()dx x f a⎰+∞收敛⇔()lim uau f x dx →+∞⎰存在.又()lim uau f x dx →+∞⎰=()()()lim b u abu f x dx f x dx →+∞+⎰⎰=()()lim buabu f x dx f x dx →+∞+⎰⎰, 其中右边第一项是定积分。
所以()dx x f a⎰+∞与()dx x f b⎰+∞同敛态（即同时收敛或同时发散），且有()()()dx x f dx x f dx x f bb aa⎰⎰⎰+∞+∞+=. □说明: (1) 性质2相当于定积分的积分区间可加性;(2) 由性质2及无穷积分的收敛定义可推出()dx x f a⎰+∞收敛的另一充要条件: 任给ε＞0，存在G ≥a ，当u ＞G 时，总有()uf x dx ε+∞<⎰。
事实上，()dx x f a⎰+∞收敛⇔J=()lim u au f x dx →+∞⎰存在⇔0,,G a ε∀>∃≥ 当u G >时,()ua f x dx Jε-<⎰⇔0,,G a ε∀>∃≥ 当u G >时,()()()()u uaauf x dx f x dx f x dx ε+∞-+<⎰⎰⎰⇔0,,G a ε∀>∃≥ 当u G >时,()uf x dx ε+∞<⎰性质3 若f 在任何有限区间[a ，u] 上可积，且有()dx x f a⎰+∞收敛，则()dx x f a⎰+∞亦必收敛，并有()dx x f a⎰+∞≤()dx x f a⎰+∞。
（3）证明: 由()dx x f a⎰+∞收敛，根据柯西准则（必要性），任给ε＞0，存在G ≥a ，当u 2＞u 1＞G 时，总有()()2211||,u u u u f x dx f x dx ε=<⎰⎰利用定积分的绝对值不等式，又有()21u u f x dx ≤⎰()21u u f x dx ε<⎰.再由柯西准则（充分性），证得()dx x f a⎰+∞收敛又因()()()u uaaf x dx f x dx u a ≤>⎰⎰，令u →+∞取极限，立刻得到不等式(3). □当()dx x f a⎰+∞收敛时，称()dx x f a⎰+∞为绝对收敛, 称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。
性质3指出：绝对收敛⇒收敛。
但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例3中当0＜p ≤1时dx x xp⎰+∞1sin 条件收敛)。
二 比较判别法这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法(比较准则及其三个推论)。
由于()⎰uadx x f 关于上限u 是单调递增的，因此()dx x f a⎰+∞收敛的充要条件是()⎰uadx x f 存在上界。
根据这一分析，便立即导出下述比较判别法（请读者自己写出证明）：定理11.2（比较法则）设定义在[a ，+∞]上的两个函数f 和g 都在任何有限区G(u)间[a ，u] 可积，且满足()()),[,+∞∈≤a x x g x f ，则当()ag x dx +∞⎰收敛时()dx x f a⎰+∞必收敛（或者，当()dx x f a⎰+∞发散时，()ag x dx +∞⎰发散）。
证明 法一[ 根据P 55 习题2结论: 设f 为定义在[,)a +∞上的增(减)函数. 则()lim x f x →+∞存在的充要条件为f 在[,)a +∞上有上(下)界 ]. 当()ag x dx +∞⎰收敛时,()()lim lim uau u g x dx G u →+∞→+∞=⎰存在. 又G(u)单增, 从而存在M>0, 使得F(u)=()()(),[,),uu aaf x dxg x dx G u M u a ≤=≤∀∈+∞⎰⎰即F(u)有上界M. 又显然F(u)单增. 故|()|()lim lim uau u f x dx F u →+∞→+∞=⎰存在, 从而()dx x f a⎰+∞必收敛.法二 由于()ag x dx +∞⎰收敛, 根据柯西准则（必要性）, 对任意0,ε>存在G ≥a ，当u 2＞u 1＞G 时，总有()21.u u g x dx ε<⎰又()||(),[,).f x g x x a ≤∀∈+∞ 因此有()()2211||.u u u u f x dx g x dx ε≤<⎰⎰根据柯西准则（充分性）,|()|af x dx +∞⎰收敛. □例1 讨论dx x x⎰+∞+021sin 的收敛性。
解 由于21sin x x +≤211x +，x ∈[0,)+∞，以及2102π=+⎰+∞xdx 为收敛（§1例4），根据比较法则，dx xx⎰+∞+021sin 为绝对收敛。
□ 上述比较法极限形式如下：推论1若f 和g 都在任何[a ，u]上可积，g(x)＞0, 且()(),lim x f x c g x →+∞=，则有（ⅰ）当0＜c ＜+∞时，()dx x f a⎰+∞与()ag x dx +∞⎰同敛态；（ⅱ）当c=0时，由()ag x dx +∞⎰收敛可推知()dx x f a⎰+∞也收敛； （ⅲ）当c=+∞时，由()ag x dx +∞⎰发散可推知()dx x f a⎰+∞也发散。
证明 (i)()(),(0,).limx f x c c g x →+∞=∈+∞ 对0,,2cM a ε=∃>当x M >时, |()|||,()2f x c c g x -< 即|()|3,2()2c f x cg x << 从而由比较法则结合性质2知,()dx x f a⎰+∞与()ag x dx +∞⎰同敛态.(ii) 由()()0,lim x f x g x →+∞=对0,,M a ε∀>∃>当x M >时,|()|,()f xg x ε<从而|()|(),f x g x ε< 从而由比较法则结合性质2知, 由()ag x dx +∞⎰收敛可推知()dx x f a⎰+∞也收敛.(iii) 由()(),lim x f x g x →+∞=+∞对0,,G M a ∀>∃≥当x M >时,|()|,()f x Gg x ≥从而|()|(),f x Gg x ≥ 从而由比较法则结合性质2知, 由()ag x dx +∞⎰发散可推知()dx x f a⎰+∞也发散. □当选用p adxx+∞⎰作为比较对象()a g x dx +∞⎰时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论（称为柯西判别法）。
推论2 设f 定义于[,)a +∞(a ＞0)，且在任何有限区间[a ，u]上可积，则有： （ⅰ）当()p xx f 1≤，x ∈[,)a +∞，且p ＞1时()dx x f a ⎰+∞收敛； （ⅱ）当()p xx f 1≥，x ∈[,)a +∞，且p ≤1时()dx x f a ⎰+∞发散。
推论3 设f 定义于[,)a +∞，在任何有限区间[a ，u]上可积，且()lim px xf x λ→+∞=,则有：（ⅰ）当p ＞1，0≤λ＜+∞时，()dx x f a ⎰+∞收敛； （ⅱ）当p ≤1，0＜λ≤+∞时，()dx x f a⎰+∞发散。
例2 讨论下列无穷限积分的收敛性： 1）1xx e dx α+∞-⎰； 2）20+∞⎰.解 本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事。
1）由于对任何实数α都有220lim lim xx x x x xx eeαα+-→+∞→+∞⋅==. 因此根据上述推论3（P=2，λ=0），推知1）对任何实数α都是收敛的。
2）由于122lim x x→+∞=1，因此根据上述推论3（P=21，λ=1），推知2）是发散的。