广义积分的收敛判别法

第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。

因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分⎰+∞adxx f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )((b 为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是: 0>∀ε , 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9.5如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞adxx f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞a dx x f )(收敛而非绝对收敛，则称⎰+∞adx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A Adx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞adx x f )(必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。

对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有),()(0x k x f ϕ≤≤（k 为正常数）则当⎰+∞a dx x )(ϕ收敛时,⎰+∞adx x f )(也收敛;当⎰+∞adx x f )(发散时,⎰+∞adx x )(ϕ也发散．证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使∈∀≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则1） 如⎰badx x g )(收敛，则⎰badx a f )(也收敛。

2）如⎰b adx x f )(发散，则⎰badx x g )(也发散．比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．定理9.6 如果f (x ), g (x )是[a ,+)∞上的非负函数, 且,)()(lim l x g x f x =+∞→则 (1) 如果+∞<≤l 0, 且⎰+∞adx x g )(收敛, 则积分⎰+∞a dx x f )(也收敛．(2) 如果+∞≤<l 0, 且⎰+∞adx x g )(发散，则积分⎰+∞a dx x f )(也发散．证明：如果,0)()(lim≠=∞→l x g x f x则对于)0(0>->εεl , 存在A, 当A x ≥时, εε+<<-≤l x g x f l )()(0即)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-成立. 显然⎰+∞adx x f )(与⎰+∞adx x g )(同时收敛或同时发散，在l =0或 l =∞时，可类似地讨论.使用同样的方法，我们有定理9.7 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分⎰b a dx x f )(与⎰ba dx x g )( 如果f (x ),g (x ) 是非负函数，且,)()(lim l x g x f bx =-→则 （1） 当+∞<≤l 0, 且⎰badx x g )(收敛时，则⎰b adx x f )(也收敛．（2） 当+∞≤<l 0，且⎰b adx x g )(发散时，则⎰badx x f )(也发散．对无限区间上的广义积分中，取⎰∞+ap dx x1作比较标准，则得到下列Cauchy 判别法：设f (x )是[a ,+)∞的函数，在其任意闭区间上可积,那么:定理9.8 若0≤f (x )≤p xc， p >1,那么积分⎰+∞adx x f )(收敛，如f (x )≥p xc，p ≤1,则积分⎰+∞adx x f )(发散．其极限形式为定理9.9 如+∞→x lim l x f x p =)((+∞<≤l 0, p >1), 则积分⎰+∞adx x f )(收敛．如∞→b lim l x f x p =)(,而+∞≤<l 0, p ≤1, 则⎰+∞a dxx f )(发散.例9.8 判断下列广义积分的收敛性。

(1) ⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x (2)⎰∞++11dx xx nm(m >0, n >0) 解：（1）因为0x x +-+≤11)11ln(=+-≤x x 111 21)1(1x x x ≤+由⎰∞+121dx x 收敛推出⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x 收敛． （2）因为+∞→x lim ,11=+-nmmn x x x所以当n －m >1时，积分⎰∞++11dx x x n m收敛. 当n －m ≤1时，积分⎰∞++11dx x x n m发散．对于瑕积分，使用⎰-b apdx a x )(1作为比较标准，我们有下列柯西判别法．定理9.10 设x=a 是f (x )在[a ,b )上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么（1） 如0≤f (x )≤p a x c)(- (c>0), p<1, 则⎰b a dx x f )(收敛． （2） 如f (x )≥p a x c )(- (c>0), p ≥1, 则⎰b a dx x f )(发散． 瑕积分的Cauchy 判断法的极限形式为定理9.11 设kx f a x p a x =-+→)()(lim如0≤k <∞, p<1, 则⎰b adx x f )(收敛 如0<k ≤∞, p ≥1, 那么⎰ba dx x f )(发散．例9.9 判别下列瑕积分的敛散性。

(1) ⎰--1222)1)(1(x k x dx(k 2<1)(2)⎰20cos sin πxx dxqp (p ,q>0) 解：（1）1是被积函数的唯一瑕点因为 -→1lim x )1)(1()1(22221x k x dx x --- =+∞<-)1(212k由21=p 知瑕积分收敛． （2）0与2π都是被积函数的瑕点．先讨论,cos sin 40⎰πx x dx q p 由+→0lim x 1cos sin 1=xx x q p p知: 当p<1时, 瑕积分⎰4cos sin πxx dxqp 收敛; 当p ≥1时,瑕积分⎰40cos sin πxx dxqp 发散． 再讨论⎰24cos sin ππx x dxq p 因-→2lim πx 1cos sin 1)2(=-x x x qp pπ所以当 q <1时, 瑕积分⎰24cos sin ππx x dxqp 收敛， 当q ≥1时，瑕积分⎰24cos sin ππx x dxqp 发散． 综上所述，当p<1且q<1时, 瑕积分⎰20cos sin πxx dxqp 收敛; 其他情况发散．例9.10 求证: 若瑕积分⎰1)(dx x f 收敛，且当+→0x 时函数f (x )单调趋向于+∞，则+→0lim x x f (x )=0. 证明：不妨设]1,0(∈∀x , f (x )≥0, 且f (x )在(0, 1)上单调减少。

已知⎰10)(dx x f 收敛，由柯西收敛准则，有0>∀ε, 0>∃δ(δ<1), δ<<∀x 0有,)(2ε<⎰xxdt t f从而0<)(2x f x≤ε<⎰x x dt t f 2)( 或0<x f (x )ε2<即+→0lim x x f (x )=0. 例9.11 求证瑕积分⎰-10)]cos 1([1dx x x λ(λ>0), 当λ<31时收敛 当λ31≥时发散.证明:∵+→0lim x λλ)]cos 1([3x x x -=+→0lim x λλλ⎪⎭⎫ ⎝⎛-233cos 1x x x x =+→0lim x λλ2cos 112=⎪⎭⎫⎝⎛-x x所以当3λ<1时，即λ<31时，瑕积分收敛．当3λ≥1，即λ≥31时，瑕积分发散．前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．定理9.12（积分第二中值定理）设g (x )在[a ,b ]上可积，f (x )在[a ,b ]上单调，则存在ξ∈[a ,b ] 使⎰badx x g x f )()(=⎰⎰+ξξa a dx x f b g dx x f a g )()()()(为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况．引理9.1设f (x )在[a , b ]上单调下降并且非负，函数g (x )在[a ,b ]上可积，则存在c ∈[a ,b ]，使⎰badx x g x f )()(=f (a )⎰ca dx x g )(证明：作辅助函数)(x ψ= f (a ),)(⎰x adt t g对[a ,b ]的任一分法P: a =x 0<x 1<x 2<…<x n =b我们有⎰badx x g x f )()(=dx x g x f ni x x ii )()(11∑⎰=-由此得到|⎰badx x g x f )()(－dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--|=|dx x g x f x f i ni x x ii )()]()([111-=-∑⎰-|≤dx x g x f x f i ni x x ii |)(||)()(|111-=-∑⎰-≤)(1f L ni i ∑=ω△x i这里L 是|g (x )|在[a ,b ]的上界, )(f w i 是)(x f 在[]i i x x ,1-上的振幅，从这个估计式可知,当P 0→时,应当有dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--→⎰ba dx x g x f )()(我们来证明≤∈)(min ],[x b a x ψdx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--)(max ],[x b a x ψ∈≤为此，引入记号 G(x )=⎰xa dt t g )( 并作如下变换dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--=)]()([)(111-=--∑i i ni i x G x G x f=-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(111-=-∑i ni i x G x f=-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(1i n i i x G x f ∑-==-∑=-)()(11i n i i x G x f )()(11i n i i x G x f ∑-= （0)()(0==a G x G ）=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f因为0)()(1≥--i i x f x f , )(n x f 0≥,所以dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f≥{)(])()([11n ni i i x f x f x f +-∑=-})(min ],[x G b a x ∈=)(min )(],[x G a f b a x ∈同样可证dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max )(],[x G a f b a x ∈我们证明了不等式)(min )(],[x G a f b a x ∈≤dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max )(],[x G a f b a x ∈即)(min ],[x b a x ψ∈≤dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max ],[x b a x ψ∈现令|p|0→, 取极限，就得到)(min ],[x b a x ψ∈≤⎰badx x g x f )()(≤)(max ],[x b a x ψ∈因此，存在c ∈[a ,b ]，使得)(c ψ=⎰ba dx x g x f )()( （因为)(x ψ在［b a ,］上是连续函数）也就是⎰badx x g x f )()(=⎰cadxx g a f )()(证毕下面我们证明定理9.12证明：如f (x )是单调下降的，则f (x )－f (b )单调下降且非负，由引理12.2.1知，存在c ∈[a ,b ), 使⎰-b a dx x g b f x f )()]()([=⎰-ca dx x gb f x f )()]()([即⎰badx x g x f )()(=,)()()()(⎰⎰+bc c a dx x g b f dx x g a f对f (x )单调上升的情形，可作类似讨论.使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法定理9.13 若下列两个条件之一满足，则⎰+∞a dx x g x f )()(收敛 （1）（Abel 判别法）⎰+∞adx x f )(收敛，g (x )在[a ,∞]上单调有界;（2）（Dirichlet 判别法）设F(A)=⎰A adx x f )(在[a ,∞]上有界，g (x )在[a ,)∞上单调, 且+∞→x lim g (x )=0.证明：（1）0>∀ε, 设|g (x )|≤M ，∈∀x [a ,∞), 因⎰+∞adx x f )(收敛，由Cauchy 收敛原理，a A ≥∃0, 使01,A A A ≥∀时, 有Mdx x f A A 2|)(|1ε<⎰由积分第二中值定理，我们得到|)()(|1⎰A A dx x g x f ≤+⋅⎰|)(||)(|ξA dx x f A g |)(||)(|11⎰⋅A dx x f A g ξ≤+⋅⎰|)(|ξAdx x f M |)(|1⎰⋅A dx x f M ξ≤2ε+2ε=ε 再由Cauchy 收敛原理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛(2) 设M 为F(A)在[a ,+)∞上的一个上界，则a A A ≥∀1,, 显然有M dx x f A A 2|)(|1<⎰同时, 因为+∞→x lim g (x )=0，所以存在a A ≥0, 当x >A 0时, 有g (x )|<M4ε于是，对01,A A A ≥∀有≤⎰|)(|1A Adx x f +⋅⎰|)(||)(|ξAdx x f A g |)(||)(|11⎰⋅A dx x f A g ξ≤+⋅|)(|2A g M |)(|21A g M ⋅≤2ε+2ε=ε 由Cauchy 收敛原理知⎰+∞a dx x g x f )()(收敛 例9.12 讨论广义积分⎰∞+1cos dx xx的敛散性， 解：令f (x )=x1, g (x )=cos x则当x +∞→时，f (x )单调下降且趋于零， F(A)=⎰Axdx 1cos =1sin sin -A 在[a ,∞)上有界．由Dirichlet 判别法知⎰∞+1cos dx xx收敛， 另一方面≥xx |cos |=x x 2cos x x22cos 1+因⎰∞+121dx x 发散，⎰∞+122cos dx xx 收敛 从而非负函数的广义积分⎰∞+122cos dx xx发散 由比较判别法知⎰∞+1|cos |dx xx 发散， 所以⎰∞+1cos dx xx条件收敛 例9.13 讨论广义积分⎰∞+1arctan cos xdx xx的敛散性． 解：由上一题知，广义积分⎰∞+1cos dx xx收敛, 而arctan x 在[a , +∞)上单调有界，所以由Abel 判别法知⎰∞+1arctan cos xdx xx收敛。