广义积分的收敛判别法
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第二节 广义积分的收敛判别法
上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分⎰
+∞a
dx
x f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有
ε<⎰|)(|/
b b dx x f
证明：对+∞→b lim
0)(=⎰
+∞
b
dx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．
同样对瑕积分⎰b a
dx x f )((b 为瑕点), 我们有
定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰b
a dx x f )(收敛的
充要条件是: 0>∀ε , 0>∃δ, 只要0<δηη<
εηη<⎰--|)(|/
b b dx x f
定义9.5如果广义积分⎰+∞
a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰
+∞a
dx
x f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞
a dx x f )(收敛而非绝
对收敛，则称⎰
+∞a
dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上条件可积．
由于a A A ≥∀/,，均有
|)(|/
⎰A A dx x f ≤
⎰/
|)(|A A
dx x f
因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞a
dx x f )(绝对收敛，
则广义积分⎰+∞
a
dx x f )(必收敛．
它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．
下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：
定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有
),()(0x k x f ϕ≤≤（k 为正常数）
则当⎰+∞
a dx x )(ϕ收敛时,
⎰+∞
a
dx x f )(也收敛;
当⎰
+∞a
dx x f )(发散时,
⎰+∞
a
dx x )(ϕ也发散．
证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．
对瑕积分有类似的结论判别法
定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使
∈∀≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则
1） 如⎰b
a
dx x g )(收敛，则⎰b
a
dx a f )(也收敛。
2）如⎰b a
dx x f )(发散，则⎰b
a
dx x g )(也发散．
比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．
定理9.6 如果f (x ), g (x )是[a ,+)∞上的非负函数, 且,)()
(lim l x g x f x =+∞
→
则 (1) 如果+∞<≤l 0, 且⎰+∞
a
dx x g )(收敛, 则积分⎰+∞
a dx x f )(也收敛．
(2) 如果+∞≤ a dx x g )(发散，则积分⎰+∞ a dx x f )(也发散． 证明：如果,0)() (lim ≠=∞ →l x g x f x 则对于)0(0>->εεl , 存在A, 当A x ≥时, εε+<<-≤l x g x f l ) () (0 即)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-成立. 显然 ⎰+∞ a dx x f )(与 ⎰+∞ a dx x g )(同时收敛或同时发散，在l =0或 l =∞时，可类似地讨论. 使用同样的方法，我们有 定理9.7 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分⎰b a dx x f )(与⎰b a dx x g )( 如果 f (x ), g (x ) 是非负函数，且,)() (lim l x g x f b x =- → 则 （1） 当+∞<≤l 0, 且⎰b a dx x g )(收敛时，则⎰b a dx x f )(也收敛． （2） 当+∞≤ dx x g )(发散时，则⎰b a dx x f )(也发散． 对无限区间上的广义积分中，取⎰ ∞ +a p dx x 1 作比较标准，则得到下列Cauchy 判别法：设f (x )是[a ,+)∞的函数，在其任意闭区间上可积,那么: 定理9.8 若0≤f (x )≤p x c ， p >1,那么积分⎰+∞a dx x f )(收敛，如 f (x )≥p x c ，p ≤1,则积分⎰+∞a dx x f )(发散． 其极限形式为 定理9.9 如+∞ →x lim l x f x p =)( (+∞<≤l 0, p >1), 则积分⎰+∞ a dx x f )(收