一致收敛性及其判别法

∫
+∞
c
f ( x , y )dy 在 [ a, b ] 收敛
即对于每一个 x ∈ [a , b ], 反常积分 +∞ I ( x ) = ∫ f ( x , y )dy
c
都收敛，由反常积分收敛的定义， 都收敛，由反常积分收敛的定义，即
∀ ε > 0, ∃ N (ε , x ) > c , 使得 ∀ M > N ,
∫
量反常积分. 量反常积分
d
c
f ( x , y )dy
的无界函数反常积分， 为含参量 x 的无界函数反常积分，或简称为含参
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证: 因为 I ( x ) = ∫c f ( x , y )dy
+∞
在[a , b ]上
19.8， 一致收敛， 由定理19.8 一致收敛， 由定理19.8，对任一递增且趋于 + ∞ 的数列 { An } ( A1 = c ), 函数项级数
I ( x) = ∑ ∫
n =1
+∞
An+1
An
f ( x , y )dy = ∑ un ( x )
x ∈ [a , b]，都有 | ∫ f ( x , y )dy |< ε
A1
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例1. 证明含参量反常积分
∫
+∞
0
sin xy dy y
上一致收敛（ 在[δ， ∞）上一致收敛（其中 δ > 0), 但在 +
0+ 内不一致收敛。 （ ， ∞）内不一致收敛。
分析 要证： 要证： ∀ε > 0, ∃N > 0, 使得当 A > N 时，
函数项级数
∑∫
n =1
∞
An+1
An
f ( x , y )dy = ∑ un ( x )
n =1
∞
在[a , b]上一致收敛 .
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魏尔斯特拉斯 M 判别法
设有函数 g( y), 使得
f ( x , y ) ≤ g ( y ), x ∈ [a , b], y ∈ [c ,+∞ ). 若∫
+∞ c
g( y )dy 收敛 , 则 ∫
+∞ c
f ( x , y )dy
在[a , b]上一致收敛 .
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例２ 证明含参量反常积分
∫
+∞
0
在 ( −∞ , + ∞ ) 上一致收敛 .
证 因为， 因为，有 cos xy 1 | |≤ 2 1+ x 1 + x2 并且反常积分 所以
cos xy dx 2 1+ x
从而
|∫
+∞
A
+∞ sin u sin xy dy |=| ∫ du |< ε Ax y u
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所以
∫
+∞
0
sin xy dy 在[δ， ∞） 一致收敛 + 一致收敛. y
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定理19.8 设含参量反常积分∫
在[a , b]一致收敛 ⇔
+∞
c
f ( x, y )dy
对任一趋于 + ∞的递增数列 { An } (其中A1 = c )，
| g( x , y ) |≤ M , ∀x ∈ [a , b], ∀y ≥ c
则
∫
+∞ c
f ( x , y ) g( x , y )dy
上一致收敛. 在 [ a, b ] 上一致收敛
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例 3 证明含参量反常积分
∫
+∞
0
e
− xy
sin x dx x
在 [0, d ] 上一致收敛 .
sin x 收敛， dx 收敛， 证 因为，反常积分 ∫ 因为， 0 x 上一致收敛， 从而对于参量 y 它在 [ 0, d ] 上一致收敛， − xy 函数 g ( x , y ) = e 对每个 x ∈[ 0, d ]，关于变量 y ， 单调减少，且在[ 上一致有界： 单调减少，且在 0, d ] 上一致有界： | g ( x , y ) |=| e − xy |≤ 1, 0 ≤ y ≤ d , x ≥ 0 +∞ − xy sin x 故由阿贝尔判别法， 故由阿贝尔判别法，知 ∫0 e x dx 在[ 0, d ] 上一致收敛
§2 含参量反常积分
一、一致收敛性及其判别法 二、含参量反常积分的性质
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一、一致收敛性及其判别法
设函数 f ( x , y ) 定义在无界区域 R = { ( x , y ) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y < +∞ }
上，若对于每一个固定 的 x ∈ [a , b ], 反常积分 +∞ (1) ∫ f ( x , y )dy
dy ∫ | f ( x , y ) | d x
a
+∞
中有一个收敛，则另一个积分也收敛， 中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且
∫
+∞
a
dx ∫
c
f ( x , y )dy = ∫ dy ∫
c
+∞
a
f ( x , y )d x
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例5
计算
I=∫ e
0
+∞
− px
sin bx − sin ax d x ( p > 0, b > a ) x
+∞
∫ ∫
c
a +∞
f ( x , y )dx 关于 y 在任何闭区间 [ c , d ]上一致收敛， 上一致收敛，
f ( x , y )dy 关于 x 在任何闭区间 [ a , b ]上一致收敛， 上一致收敛，
积分
∫
+∞
a
dx ∫ | f ( x , y ) | dy 与 c
+∞ +∞
+∞
∫
+∞
c
+∞
例6
计算
I=∫
例7 计算
0
sin ax dx x
+∞ − x2
ϕ (r ) = ∫ e
0
cos rxdx
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含参量无界函数非正常积分 上有定义. 设 f ( x , y ) 在 [a , b] × [c , d ] 上有定义 若对 x 的 的瑕点， 某些值， 某些值，y = d 为函数 f ( x , y ) 的瑕点，则称
有关. 其中 N 与 x 有关 如果存在一个与 x ∈ [a , b ] 使得该不等式成立， 无关的 N (ε ) 使得该不等式成立，就称 反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛 上一致收敛
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|∫
M
c
f ( x , y )dy − I ( x ) |< ε
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定义1. 定义 若∀ε > 0, ∃N > c, 使得当 M > N 时， 对一切 x ∈ [a , b]，都有
∫
+∞ c
f ( x , y ) g( x , y )dy
上一致收敛. 在 [ a, b ] 上一致收敛
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阿贝尔判别法 ⑴
设
∫
+∞ c
上一致收敛. f ( x , y )dy 在 [ a, b ] 上一致收敛
⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 为 y ， 的单调函数， 的单调函数，且存在 M > 0, 使得
−∞< y< +∞
1 dx 2 1+ x
收敛
∫
+∞
0
∫
+∞
0
cos xy dx 在 ( −∞ , + ∞ ) 上一致收敛 . 2 1+ x
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狄利克雷判别法
设
⑴ 存在 M > 0, 对一切 N > c , 及一切 x ∈[ a, b ] 都有
| ∫ f ( x , y )dy |≤ M
c
N
⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 关于 y ， 单调递减且当 y → +∞ 时，对参量 x , g ( x, y ) 一致 地收敛于 0 ， 则
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定理 19.10
设 f ( x , y )与 f x ( x , y )在区域
+∞ c
[a , b ] × [c ,+∞ )上连续，若 I ( x ) = ∫ 上连续，
f ( x , y )dy 在
[a , b ]上收敛， 上收敛， ∫
+∞
c
f x ( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛， 上一致收敛，
上可微， 则 I ( x )在[a , b ]上可微，且 I ′( x ) = ∫
+∞ c
f x ( x , y )dy
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（可积性） 定理19.11 可积性）
I ( x) = ∫
+∞
设 f ( x, y) 在
[a , b] × [c ,+∞ ) 上连续，若 上连续，
c
f ( x , y )dy
在[a , b]上一致收敛，则 I ( x ) 在 [a , b] 上 上一致收敛， 可积， 可积，且
∫
b
a
dx ∫
+∞
c
f ( x , y )dy = ∫ dy ∫ f ( x , y )d x
c a
+∞
b
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定理19.12
设 f ( x, y) 在 [a ,+∞ ) × [c ,+∞ ) 上连续. 若 上连续
c
都收敛 , 则它是 x 的函数 , 记这个函数为 I ( x ), 有 +∞ I ( x ) = ∫ f ( x , y )dy , x ∈ [a , b ]
c
则 ⑴ 式为定义在 [a , b ]上的含参量 x 的无穷限
反常积分， 反常积分，或简称含参 量反常积分
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设反常积分 I ( x ) =
对一切 x ∈ [δ ,+∞ )，都有
|∫
+∞
Aபைடு நூலகம்
sin xy dy |< ε y
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证:
令u=xy,得
+∞
+∞ sin u sin xy ∫A y dy = ∫Ax u du 其中 A > 0. +∞ sin u 收敛， 由于 ∫ du 收敛，故 0 u ∀ε > 0, ∃M > c，使得当 A′ > M时，就有 +∞ sin u |∫ du |< ε A′ u M ， 则当 A > N 时 ， Aδ > M， 取N= δ 对一切 x ∈ [δ，+ ∞ )， Ax ≥ Aδ > M， 有
n =1
+∞
上一致收敛. 在 [ a, b ] 上一致收敛 又由于 f ( x , y ) 在 [a , b] × [c ,+∞ ) 上连续. 上连续 连续， 连续，故每个 un( x ) 都在 [ a, b ]上连续 根据函数项 级数的连续性定理， 级数的连续性定理，函数 I ( x )在[a , b ]上连续 .
|∫
M
c
f ( x , y )dy − I ( x ) |< ε
则称含参量反常积分
∫
+∞
c
f ( x , y )dy
在[a , b ]一致收敛于 I ( x ),
或含参量积分在 [a , b ]一致收敛 .
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由于
I ( x) =
∫
+∞
c
f ( x , y )dy
所以上述定义中的不等式
|∫
也可表示为
M
c
f ( x , y )dy − I ( x ) |< ε
+∞
|∫
M
f ( x , y )dy |< ε
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定理19.7( 一致收敛的柯西准则） 设含量反常
积分 ∫
+∞
∀ε > 0, ∃M > c，使得当 A1 , A2 > M时，对一切
A2
c
f ( x , y )dy 在 [a , b] 一致收敛 ⇔
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二、含参量反常积分的性质 定理 19.9（连续性） 设 f ( x , y ) 在 （连续性）
[a , b] × [c ,+∞ ) 连续，若 连续，
I ( x) = ∫
+∞ c
f ( x , y )dy
上一致收敛， 上连续。 在[a , b ]上一致收敛， 则 I ( x )在[a , b ]上连续。