高中数学必修四 人教版 课件 三角函数
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人教版高中数学必修四课件：3.3三角函数的积化和差与和差化积43
2sin 54 22 cos 54 22
2
2
2sin 38 cos16
（4） sin5x sin3x
2cos 5x 3x sin 5x 3x
2
2
2cos 4xsin x
例3. 已知A+B+C=180°, 求证： sin Asin B sinC 4 cos A cos B cos C
（2） cos 40 cos52
（3） sin 54 sin 22
（4） sin5x sin3x
解：（1）
cos3 cos 2cos 3 cos 3
2
2
2cos 2 cos
（2）cos 40 cos52
2sin 40 52 sin 40 52
2
2
2sin 46 sin 6
（3）sin 54 sin 22
2
从上面四个式子又可以得到
sin( ) sin( ) 2sin cos sin( ) sin( ) 2cos sin cos( ) cos( ) 2cos cos cos( ) cos( ) 2sin sin
积化和差公式
sin cos 1 [sin( ) sin( )]
3．本题若只是简单处理，可能会做不下去．
到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果 处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算 太大了． 若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角， 利用诱导公式可得如下解法．
(四)小结 三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起 来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一 般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升 华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体 会的．一般说三角变换问题，第一要关注问题中 的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这 些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也 可以把α看作是
人教A版数学必修四(全国通用版)课件：第一章 三角函数1.4.2
[思考辨析 判断正误]
1.函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，所以f(x)＝x2是以6为周期的周期
函数.( × )
提示 周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有f(x＋T)＝f(x)，对于
f(x)＝x2，f(0)＝0，f(0＋6)＝f(6)＝36，f(0)≠f(0＋6)，∴f(x)＝x2不是以6
第一章 §1.4 三角函数的图象与性质
正弦函数、余弦函数的性质(一)
学习目标
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期. 3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的 奇偶性.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
解答
(2)f(x)＝ 1－2cos x＋ 2cos x－1. 解 由12c－os2cxo－s 1x≥ ≥00， ， 得 cos x＝12. ∴f(x)＝0，x＝2kπ±π3，k∈Z. ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
解答
反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f(x)与f(－x)的关系. 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再 判断.
解析 答案
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 例 3 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正
周期是 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝sin x，求 f 53π的值. 解 ∵f(x)的最小正周期是π， ∴f 53π＝f 53π－2π＝f －π3. 又∵f(x)是R上的偶函数，
为周期的周期函数.
2.周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R).( × )
高中数学必修四三角函数PPT课件
01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为 负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
02 三角函数诱导公 式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数， 即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数， 即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数， 即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达 在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导 通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用 用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角 的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直 角或钝角）。
人教A版高中数学必修四_课件1.2任意角三角函数(共3份)
OP r
tan MP b
OM a
锐角三角函数可以用
其终边与圆的交点的坐标 来表示
二、基础知识讲解
1、任意角三角函数定义
设α是一个任意角，它的终边与圆O交于P(x,y)，则
r x2 y2
y
y 叫做α的正弦，记作 sin
r
即sin y
P(x, y)
α
x
r 叫做α的余弦，记作
r
即cos x
y
付出就要赢得回报，这是永恒的真理，自古以来很少有人能突破它。然而，如果有人能够超越它的限制，付出而不求回报，那么他一定会得 到得更多。 只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。
二、基础知识讲解 单位圆
在平面直角坐标系中，我们称以原点O为圆心， 以单位长度为半径的圆为单位圆。
y
A
R=1
O
x
二、基础知识讲解 1、任意角三角函数定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆O交于P(x,y)，则
y
y叫α的正弦 sin α y
P(x, y)
x叫α的余弦 cos x
α
y 叫α的正切
四、课时小结
1、任意角的三角函数的定义
sin α y , cos α x ,
r
r
tan α y x
2、三个三角函数的在各象限的符号
记法：
一全正 二正弦
三正切 四余弦
作业：P20 习题1.2
2 3(1) (3) 4(2) (4)
锐角三角函数定义
设α是一个锐角，它的终边与单位圆交于P(a,b)，则
sin =- 4 ,
5
O
x
tan MP b
OM a
锐角三角函数可以用
其终边与圆的交点的坐标 来表示
二、基础知识讲解
1、任意角三角函数定义
设α是一个任意角，它的终边与圆O交于P(x,y)，则
r x2 y2
y
y 叫做α的正弦，记作 sin
r
即sin y
P(x, y)
α
x
r 叫做α的余弦，记作
r
即cos x
y
付出就要赢得回报，这是永恒的真理，自古以来很少有人能突破它。然而，如果有人能够超越它的限制，付出而不求回报，那么他一定会得 到得更多。 只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。
二、基础知识讲解 单位圆
在平面直角坐标系中，我们称以原点O为圆心， 以单位长度为半径的圆为单位圆。
y
A
R=1
O
x
二、基础知识讲解 1、任意角三角函数定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆O交于P(x,y)，则
y
y叫α的正弦 sin α y
P(x, y)
x叫α的余弦 cos x
α
y 叫α的正切
四、课时小结
1、任意角的三角函数的定义
sin α y , cos α x ,
r
r
tan α y x
2、三个三角函数的在各象限的符号
记法：
一全正 二正弦
三正切 四余弦
作业：P20 习题1.2
2 3(1) (3) 4(2) (4)
锐角三角函数定义
设α是一个锐角，它的终边与单位圆交于P(a,b)，则
sin =- 4 ,
5
O
x
高中数学必修四课件-1.2.1 任意角的三角函数(8)-人教A版
《新》P6
• 已知α是第三象限角，则sin α_______0，cos α________ 0，tan α________0.(填“>”或“<”)
• 答案：< < >
你还记得特殊角的三角函数值
《新》P7
sin－476π的值为( A．－12
) B．12
C．－
3 2
D．
3 2
解析：sin－476π＝sin－8π＋π6＝sinπ6＝12.
的正切，即
tan y x 0
x
2、设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)
那么:（1）y 叫做 的正弦，记作 sin，即 sin y ；
（2）x 叫做 的余弦，记作 cos，即 cos x ；
（3） y x
叫做
的正切，记作tan
，即
tan
y x
。
《新》P7
任意角三角函数的定义
sin MP y
OP r
cos OM x
OP r
y
﹒Px, y
tan MP y
OM x
o
﹒ Mx
定义：
设角 是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x2 y2 0
那么①
y 叫做 的正弦，即
r
sin
y r
②
x r
叫做
的余弦，即
cos
x r
③
＋30°)
＝tan
45°－sin
90°＋cos
30°＝1－1＋
23＝
3 2.
(2)原式＝sin2π＋π3cos－4π＋π6＋tan－4π＋π4cos4π＋π3
人教版高中数学必修四三角函数的图像和性质优质课件
3
3
1
01
21-
2o
2
- 1-
3
3
4
3 2
2
7
10x
3
3
3
返回目录
3. 由y = sinx 到y = Asin(ωx +)的图象变换步骤
步骤1 步骤2
画出y = sinx在0，2π上的简图
横坐标沿向x轴左 (>0平) 或行向移右动(<0) 平移 || 个单位 得到y = sin(x +)在某周期内的简图
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心:
对称轴：
(k , 0)(k z) 对称中心:
x k , k Z 对称轴：
2
(k , 0)(k z)对称中心:
2
( k , 0)(k z)
2
x k ,k Z
无对称轴 返回目录
三、解三角不等式（数形结合）
经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解: (1)y= 12cos2x+ 23sinxcosx+1= 14cos2x+
43sin2x+
5 4
=
1 2
sin(2x+
6)+
54.
当且仅当 2x+ 6=2k+ 2(kZ), 即 x=k+ 6(kZ) 时,
函数 y 取得最大值.
故当 y 取得最大值时, 自变量 x 的集合是:
y=sinx
y=sin2x
O
2π
x
y=sin
1 2
x图象由y=sinx图象（纵标不变），
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
高中数学人教A版(课件)必修四 第一章 三角函数 1.4.1
2．准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解．
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[再练一题] 4．求下列方程解的个数： (1)方程 x2－cos x＝0 的实数解的个数是__________． (2)方程 sin x＝lg x 的解的个数是__________． 【解析】 (1)作函数 y＝cos x 与 y＝x2 的图象，如图所示，
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1．求 f(x)－Asin x＝0(A≠0)或 f(x)－Acos x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形 结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于 y＝－1 与 y＝1 之间，只需考虑－A≤f(x)≤A 的 x 的范围，在该范围内 f(x)的图 象与 Asin x 或 Acos x 的图象的交点的个数即方程根的个数．
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[再练一题]
2．用“五点法”作出下列函数的简图．
y＝－sin x(0≤x≤2π)． 【解】 列表如下：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0
1
0
－1
0
－sin x 0 －1
0
1
0
描点、连线，如图所示．
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正弦(余弦)函数图象的应用
写出不等式 sin x≥12的解集． 【精彩点拨】 解答本题可利用数形结合，分别画出 y＝sin x 和 y ＝12的图象，通过图象写出不等式的解集． 【自主解答】 在同一坐标系下，作函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象以 及直线 y＝12. 由函数的图象知， sinπ6 ＝sin56π＝12.
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[再练一题] 4．求下列方程解的个数： (1)方程 x2－cos x＝0 的实数解的个数是__________． (2)方程 sin x＝lg x 的解的个数是__________． 【解析】 (1)作函数 y＝cos x 与 y＝x2 的图象，如图所示，
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1．求 f(x)－Asin x＝0(A≠0)或 f(x)－Acos x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形 结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于 y＝－1 与 y＝1 之间，只需考虑－A≤f(x)≤A 的 x 的范围，在该范围内 f(x)的图 象与 Asin x 或 Acos x 的图象的交点的个数即方程根的个数．
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[再练一题]
2．用“五点法”作出下列函数的简图．
y＝－sin x(0≤x≤2π)． 【解】 列表如下：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0
1
0
－1
0
－sin x 0 －1
0
1
0
描点、连线，如图所示．
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正弦(余弦)函数图象的应用
写出不等式 sin x≥12的解集． 【精彩点拨】 解答本题可利用数形结合，分别画出 y＝sin x 和 y ＝12的图象，通过图象写出不等式的解集． 【自主解答】 在同一坐标系下，作函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象以 及直线 y＝12. 由函数的图象知， sinπ6 ＝sin56π＝12.
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高中数学必修四(人教版)课件 第一章 三角函数 1.4.3
是 2kπ 1 π y＝tan－ x＋ 4 2 的单调递减区间
π 3 － ，2kπ ＋ π (k∈Z). 2 2
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课堂达标
(2)∵tan 2＝tan(2－π )，tan 3＝tan(3－π )， π π 又∵ 2 <2<π ，∴－ 2 <2－π <0. π π ∵ 2 <3<π ，∴－ 2 <3－π <0， π π 显然－ 2 <2－π <3－π <1< 2 ， 且 y＝tan x
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课堂达标
tan x, x 0且x kπ+ π , 2 (k∈Z). 解 f(x)＝tan|x|＝ tan x, x 0且x kπ π 2
可知，函数的定义域为
x x∈R，且x≠kπ π ，值域为 R.图象如图 ＋ ，k∈Z 2
【例1】 求函数f(x)＝tan|x|的定义域与值域，并作出其图象.
[思路探究] 探究点一 提示 如何求函数定义域？
π π |x|≠ 2 ＋kπ，k∈Z 即可，由 k∈Z 的对称性知 x≠ 2 ＋
kπ，k∈Z. 探究点二 提示 怎样将 y＝tan|x|转化为 y＝tan x?
将 y＝|tan x|写成分段函数就可以清楚与 y＝tan x 的关系.
(2)y＝tan x
π π 在－ ＋kπ， ＋kπ ，k∈Z 2 2
上是增函数.
(3)y＝|tan x|的最小正周期 T＝π. (4)由 sin
π x<x<tan，x∈0， ，知只有一个交点. 2
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π 3 － ，2kπ ＋ π (k∈Z). 2 2
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(2)∵tan 2＝tan(2－π )，tan 3＝tan(3－π )， π π 又∵ 2 <2<π ，∴－ 2 <2－π <0. π π ∵ 2 <3<π ，∴－ 2 <3－π <0， π π 显然－ 2 <2－π <3－π <1< 2 ， 且 y＝tan x
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tan x, x 0且x kπ+ π , 2 (k∈Z). 解 f(x)＝tan|x|＝ tan x, x 0且x kπ π 2
可知，函数的定义域为
x x∈R，且x≠kπ π ，值域为 R.图象如图 ＋ ，k∈Z 2
【例1】 求函数f(x)＝tan|x|的定义域与值域，并作出其图象.
[思路探究] 探究点一 提示 如何求函数定义域？
π π |x|≠ 2 ＋kπ，k∈Z 即可，由 k∈Z 的对称性知 x≠ 2 ＋
kπ，k∈Z. 探究点二 提示 怎样将 y＝tan|x|转化为 y＝tan x?
将 y＝|tan x|写成分段函数就可以清楚与 y＝tan x 的关系.
(2)y＝tan x
π π 在－ ＋kπ， ＋kπ ，k∈Z 2 2
上是增函数.
(3)y＝|tan x|的最小正周期 T＝π. (4)由 sin
π x<x<tan，x∈0， ，知只有一个交点. 2
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高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
最新人教版高中数学必修四三角函数图像性质 优质课件
)
2，2 .
y t t2 1 1 t2 t 1 1 (t 1)2 1. 2 2 22
函数的值域为 1,
1 2
2
.
题型二：三角函数的单调性 范例解析
例2 (1)求y sin(3 2x)的单调递减区间．
解：函数可化为：y
=
-
sin
2x
3
,
由题意可得2k - 2x 2k , k z.
1.考纲要求:
理解正弦函数、余弦函数在区间 0,2的 性质
(如单调性、最大值和最小值与轴的交点等).
理解正切函数在区间
的单调性.
了解三角函数的周期性. , 2 2
2.教学重点:
三角函数性质的应用
函数 图象
y sin x
y
1
0
1
2 x
y cos x
y
1
0
1
2 x
y tan x
y
2
3 2
例3
解：原函数可化为：y=-sin
2x
3
由2k - 2x 2k , k z得
2
3
2
k - x k 5 , k z
12
12
原函数的单调递减区间为 N
k - ，k 5 , k z .
12
12
题型一：求三角函数的值域和最值
例1 求y sin x cos x sin x cos x的最值，
图象的两相邻对称轴间的距离为 （1）求f ( )的值；
2
(2008山东卷17)
8
（2）将函数y
f
(x)的图象向右平移
6
个单位后，再将得到的图象上
各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）,得到函数y g(x)的
人教版数学必修4第一章1.2.1任意角的三角函数课件(共21张PPT)
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P、P0 作 x轴的垂线 MP、M 0 P0 M 0 M
M0P0 4
OM x
O
x
OM0 3
MP y
OMP∽ OM0P0
Px, y P03,4
于是，sin yy|M| P M 0P 04;
1 OP O0P 5
co sxxO M O0M 3; 1 OP O 0P5
2
2cos 9 cos( 2 ) cos 2
4
4
42
3tan( 11 )
tan(
2 )
tan
3
6
6
63
归纳总结
1. 内容总结： （1）任意角三角函数的概念以及它推广的定义。 练习:确定下列三角函数值的符号：
思考5:在弧度制中，这三个三角函数的 结论:终边相同的角的同一三角函数的值相等. 例4:求下列三角函数值： 点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。 函数的符号规律。 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 函数的符号规律。 练习:确定下列三角函数值的符号： 那么① 叫做 的正弦，即 那么① 叫做 的正弦，即 ② 叫做 的余弦，即
ta nx yc sio ns3 4
定义推广：
设角是一个任意角，P(x, y) 是终边上的
任意一点，点 P与原点的距离r x2 y2 0
那么① y 叫做的正弦，即 sin y
r
② x 叫做
的余弦，即 cos rx
r
r
y
③
叫做 的正弦，即 tan y x 0
x
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而
y
人教版高一数学(人教A版)必修4课件：第一章 三角函数
当 a>2 时，－a2∈(－∞，－1)， ∴ymax＝－(－1＋a2)2＋1＋b＋a42＝0.③ ymin＝－(1＋a2)2＋1＋b＋a42＝－4. 由以上两式③④，得 a＝2，不适合 a>2，∴应舍去． 综上知，只有一组解ab＝ ＝－ 2，2.
第一章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
函数 y＝sinx，x∈R 的图象是中心对称图形，并且有无穷 多个对称中心，对称中心是图象与 x 轴的任一交点，坐标为(kπ， 0)(k∈Z)；函数 y＝cosx，x∈R 的对称中心坐标为(kπ＋π2，0)(k ∈Z)，以上两个函数图象，也是轴对称图形，它们的对称轴分 别是 x＝kπ＋2π(k∈Z)和 x＝kπ(k∈Z)；函数 y＝tanx 的对称中心 坐标为(k2π，0)(k∈Z)，但它不是轴对称图形．
三角函数的诱导公式
公式五、六：π2±α的正余弦函数值，分别等于α的余弦正弦函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
图象图正象弦特曲征线、余弦曲线、正切曲线
三角函数
三角函数的图象与性质
周奇期偶性性 性质
单调性
最大、最小值
第一章 章末归纳总结
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设 a≥0，若 y＝cos2x－asinx＋b 的最大值为 0，最 小值为－4，试求 a、b 的值．
[分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解．
第一章 章末归纳总结
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第一章 章末归纳总结
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第一章 章末归纳总结
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函数 y＝sinx，x∈R 的图象是中心对称图形，并且有无穷 多个对称中心，对称中心是图象与 x 轴的任一交点，坐标为(kπ， 0)(k∈Z)；函数 y＝cosx，x∈R 的对称中心坐标为(kπ＋π2，0)(k ∈Z)，以上两个函数图象，也是轴对称图形，它们的对称轴分 别是 x＝kπ＋2π(k∈Z)和 x＝kπ(k∈Z)；函数 y＝tanx 的对称中心 坐标为(k2π，0)(k∈Z)，但它不是轴对称图形．
三角函数的诱导公式
公式五、六：π2±α的正余弦函数值，分别等于α的余弦正弦函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
图象图正象弦特曲征线、余弦曲线、正切曲线
三角函数
三角函数的图象与性质
周奇期偶性性 性质
单调性
最大、最小值
第一章 章末归纳总结
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设 a≥0，若 y＝cos2x－asinx＋b 的最大值为 0，最 小值为－4，试求 a、b 的值．
[分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解．
第一章 章末归纳总结
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第一章 章末归纳总结
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人教A版高中数学必修四任意角的三角函数教学PPT精品课件
概念拓展
课堂小结
类比
当r=1
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念再探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
单位圆：
r=1
直角坐标系中，以原点为圆
O
x
心，以单位长为半径的圆。
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念形成】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
O
x
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念复习】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
直角三角形中 线段比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念初探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
y
O
x
线段比--坐标比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
类比
？
演示，观察 相应的坐标比值。
人教A版必修四第一章
《任意角的三角函数》
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
O r=1 P
x
〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰 〰〰 〰〰〰
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
高中数学必修四(人教版)课件 第一章 三角函数 1.4.2(一)
2kπ
π 5 ＋ 6 ，2kπ ＋6π (k∈Z)，此定义域不关于原点对称.
∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数.
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(3)函数定义域为 R. 1 f(－x)＝lg(－sin x＋ 1＋sin x)＝lg sin x＋ 1＋sin2 x
2
＝－lg(sin x＋ 1＋sin2 x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)＝lg(sin x＋ 1＋sin2 x)为奇函数. (4)由
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解
(1)函数定义域为 R，且 f(x)＝
＝
5 2sin2x＋2π ＝
π 2sin2x＋ 2
2cos 2x，显然有 f(－x)＝f(x)恒成立.
∴函数 f(x)＝
5 2sin2x＋2π 为偶函数.
1 (2) 由 2sin x － 1≥0 ， 即 sin x ≥ ， 得 函 数 定 义 域 为 2
∵f(x)是 R 上的偶函数，
π ∴f － 3 π ＝ f 3 ＝sin 5π π 3 3 ＝ 2 . 3 ＝ 2 .∴f 3
(2)令
3 x∈2π
，2π
，则
x－2π
π ∈ － 2
1 cos x 0, 得 cos x＝1， cos x 1 0,
∴x＝2kπ (k∈Z)，此时 f(x)＝0， 故该函数既是奇函数又是偶函数.
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规律方法
判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否
关于原点对称 . 如果是，再验证 f( － x) 是否等于－ f(x) 或 f(x) ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必 为非奇非偶函数.
π 5 ＋ 6 ，2kπ ＋6π (k∈Z)，此定义域不关于原点对称.
∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数.
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(3)函数定义域为 R. 1 f(－x)＝lg(－sin x＋ 1＋sin x)＝lg sin x＋ 1＋sin2 x
2
＝－lg(sin x＋ 1＋sin2 x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)＝lg(sin x＋ 1＋sin2 x)为奇函数. (4)由
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解
(1)函数定义域为 R，且 f(x)＝
＝
5 2sin2x＋2π ＝
π 2sin2x＋ 2
2cos 2x，显然有 f(－x)＝f(x)恒成立.
∴函数 f(x)＝
5 2sin2x＋2π 为偶函数.
1 (2) 由 2sin x － 1≥0 ， 即 sin x ≥ ， 得 函 数 定 义 域 为 2
∵f(x)是 R 上的偶函数，
π ∴f － 3 π ＝ f 3 ＝sin 5π π 3 3 ＝ 2 . 3 ＝ 2 .∴f 3
(2)令
3 x∈2π
，2π
，则
x－2π
π ∈ － 2
1 cos x 0, 得 cos x＝1， cos x 1 0,
∴x＝2kπ (k∈Z)，此时 f(x)＝0， 故该函数既是奇函数又是偶函数.
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规律方法
判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否
关于原点对称 . 如果是，再验证 f( － x) 是否等于－ f(x) 或 f(x) ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必 为非奇非偶函数.
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解 设终边落在阴影部分的角为 α，角 α 的集合由两部分组成.
①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}. ②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}.
∴角 α 的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z} ∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z} ＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z} ∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z} ＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋ 30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z} ＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}.
1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角
目标定位 1.认识角的扩充的必要性，了解任意角的 概念；2.能用集合和数学符号表示终边相同的角；3.能 用集合和数学符号表示象限角及终边满足一定条件的 角.
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自主预习
1.角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面内_一__条__射__线__绕着__端__点__从一
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【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S. 解 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
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类型三 区域角的表示(互动探究) 【例3】 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
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[思路探究] 探究点一 终边落在阴影部分的角可分成哪几部分？ 提示 可分为 x 轴上方部分和 x 轴下方部分. 探究点二 终边落在同一条直线上的角有怎样的关系？ 提示 终边落在同一条直线上的角相差 180°的整数倍. 探究点三 边界为实线与虚线有区别吗？ 提示 有.实线表示边界角能取到，虚线表示边界角取不到.
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规律方法 求在 0°～360°范围内与已知角终边相同的角， 并判断其为第几象限角，关键是将所给的角写成 α＋k·360° (k∈Z)的形式，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式 求三角函数的值打基础.
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【训练1】 给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；
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4.已知角α＝2 010°.
(1)把 α 改写成 k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并
指出它是第几象限角；
(2)求 θ，使 θ 与 α 终边相同，且－360°≤θ<720°.
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解 (1)用 2 010°除以 360°商为 5，余数为 210°. ∴k＝5.∴α＝5×360°＋210°，又 β＝210°是第三象限角.
解析 ∵－361°＝－360°－1°，∴－361°角终边落
在第四象限.
答案 D
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2.下列命题中正确的是( ) A.三角形的内角必是第一、二象限角 B.第一象限角必是锐角 C.不相等的角终边一定不相同 D.若 β＝α＋k·360°(k∈Z)，则 α 和 β 终边相同 解析 90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象 限角；390°的角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和 30°角不相等，但终边相同；故 A、B、C 均不正确.对于 D， 由终边相同的角的概念可知正确. 答案 D
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°； 45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°； 45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
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规律方法 解答本题关键是找到 0°～360°范围内，终边落 在直线 y＝x 的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关 系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化 成最简.
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规律方法 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合， 再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集 合能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界 的差异.
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【训练3】 如图，若角α的终边落在函数y＝x(x≥0)与y＝ －x(x≤0)的图象所夹的区域(即图中阴影部分，不包括边界)内， 求角α的集合.
个位置__旋__转__到另一个位置所成的图形.
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
类型 正角
定义 按_逆__时__针__方__向__旋__转__形成的角
图示
负角 按_顺__时__针__方__向__旋__转___形成的角
一条射线_没__有__作__任__何__旋__转__，称它形 零角
成了一个零角
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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4.象限角的集合表示
α终边所在 的象限
角α的集合
第一象限
_{_α_|_k·_3_6_0_°__<_α_<_k_·_3_6_0_°__＋__9_0_°__，__k_∈__Z_}_
第二象限 _{_α_|_k_·3_6_0_°__＋__9_0_°__<__α_<_k_·3_6_0_°__＋__1_8_0_°__，__k_∈__Z_}__
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答案 D
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类型二 终边相同的角
【例2】 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适 合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来. 解 直线 y＝x 与 x 轴的夹角是 45°，在 0°～360°范围内， 终边在直线 y＝x 上的角有两个：45°，225°.因此，终边 在直线 y＝x 上的角的集合：
②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；
④－315°是第一象限角，其中真命题有( )
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
解析 对于①：如图 1 所示，－75°角是第四象限角；
对于②：如图 2 所示，225°角是第三象限角；
对于③：如图 3 所示，475°角是第二象限角；
对于④：如图 4 所示，－315°角是第一象限角.
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S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°， k∈Z} ＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°， k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}.
∴S 中适合－360°≤β<720°的元素是：
解 终边落在函数 y＝x(x≥0)的图象上的角的集合是{α|α＝45°
＋k·360°，k∈Z}，终边落在函数 y＝－x(x≤0)的图象上的角的 集合是{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}.所以所求角的集合是{α|45°
＋k·360°<α<135°＋k·360°，k∈Z}.
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解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范 围内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限 角.
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(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内， 与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角. (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角， 它是第二象限角.
[课堂小结] 1.本节课在介绍将角的概念推广的必要性的基础上，
定义了正角、负角、零角(按旋转方向)； 2.按终边所在平面直角坐标系上的位置定义了象限角； 3.难点是利用集合表示终边相同的角及区域角.
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1.－361°的终边落在( ) A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
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4.－60°是第象限角. 解析 －60°是顺时针旋转 60°(以 x 轴的非负半轴的为 始边)所得角，故－60°为第四象限角. 答案 四
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类型一 象限角的判定
【例1】 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角. (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
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2.手表时针走过2小时，时针转过的角度为( )
A.60° B.－60°
C.30°
D.－30°
解析 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负
数，122×360°＝60°，故时针转过的角度为－60°. 答案 B
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3.下列各角中与330°角终边相同的角是( ) A.510° B.150° C.－150° D.－390° 解析 与 330°终边相同的角可表示为 α＝330°＋k·360° (k∈Z)，令 k＝－2，则 α＝－390°. 答案 D
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2.象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合， 那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第__几__ _象__限__角_.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任 何一个象限.