高中数学必修四 人教版 课件 三角函数

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1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限角是锐角.( ×) (2)小于90°的角是锐角.( × ) (3)若角α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝0°.( × ) (4)若两个角始边相同，终边也相同，则这两个角相等.( × ) 提示 (1)第一象限角仅仅是终边位置在第一象限，如 α＝－330°角不一定是锐角，故错. (2)负角小于90°，但不是锐角，故错. (3)α＋β＝k·180°，k∈Z，故错. (4)两个角可能相差360°的整数倍，故错.
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45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°； 45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°； 45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
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规律方法 解答本题关键是找到 0°～360°范围内，终边落 在直线 y＝x 的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关 系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化 成最简.
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4.－60°是第象限角. 解析 －60°是顺时针旋转 60°(以 x 轴的非负半轴的为 始边)所得角，故－60°为第四象限角. 答案 四
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类型一 象限角的判定
【例1】 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角. (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
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解 设终边落在阴影部分的角为 α，角 α 的集合由两部分组成.
①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}. ②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}.
∴角 α 的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z} ∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z} ＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z} ∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z} ＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋ 30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z} ＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}.
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答案 D
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类型二 终边相同的角
【例2】 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适 合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来. 解 直线 y＝x 与 x 轴的夹角是 45°，在 0°～360°范围内， 终边在直线 y＝x 上的角有两个：45°，225°.因此，终边 在直线 y＝x 上的角的集合：
[课堂小结] 1.本节课在介绍将角的概念推广的必要性的基础上，
定义了正角、负角、零角(按旋转方向)； 2.按终边所在平面直角坐标系上的位置定义了象限角； 3.难点是利用集合表示终边相同的角及区域角.
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1.－361°的终边落在( ) A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
∴α为第三象限角. (2)与 2 010°终边相同的角：θ＝k·360°＋2 010°(k∈Z)，
令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)， 解得－6172≤k<－3172(k∈Z)，所以 k＝－6，－5，－4. 将 k 的值代入 k·360°＋2 010°中得： 角 θ 的值为－150°，210°，570°.
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【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S. 解 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
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类型三 区域角的表示(互动探究) 【例3】 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
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2.象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合， 那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第__几__ _象__限__角_.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任 何一个象限.
3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝__α_＋__k_·3_6_0_°__，__k_∈__Z__}，即任一与角α终边相同的角， 都可以表示成角α与__整__数__个__周__角___的和.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范 围内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限 角.
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(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内， 与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角. (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角， 它是第二象限角.
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S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°， k∈Z} ＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°， k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}.
∴S 中适合－360°≤β<720°的元素是：
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[思路探究] 探究点一 终边落在阴影部分的角可分成哪几部分？ 提示 可分为 x 轴上方部分和 x 轴下方部分. 探究点二 终边落在同一条直线上的角有怎样的关系？ 提示 终边落在同一条直线上的角相差 180°的整数倍. 探究点三 边界为实线与虚线有区别吗？ 提示 有.实线表示边界角能取到，虚线表示边界角取不到.
解 终边落在函数 y＝x(x≥0)的图象上的角的集合是{α|α＝45°
＋k·360°，k∈Z}，终边落在函数 y＝－x(x≤0)的图象上的角的 集合是{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}.所以所求角的集合是{α|45°
＋k·360°<α<135°＋k·360°，k∈Z}.
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解析 ∵－361°＝－360°－1°，∴－361°角终边落
在第四象限.
答案 D
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2.下列命题中正确的是( ) A.三角形的内角必是第一、二象限角 B.第一象限角必是锐角 C.不相等的角终边一定不相同 D.若 β＝α＋k·360°(k∈Z)，则 α 和 β 终边相同 解析 90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象 限角；390°的角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和 30°角不相等，但终边相同；故 A、B、C 均不正确.对于 D， 由终边相同的角的概念可知正确. 答案 D
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2.手表时针走过2小时，时针转过的角度为( )
A.60° B.－60°
C.30°
D.－30°
解析 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负
数，122×360°＝60°，故时针转过的角度为－60°. 答案 B
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3.下列各角中与330°角终边相同的角是( ) A.510° B.150° C.－150° D.－390° 解析 与 330°终边相同的角可表示为 α＝330°＋k·360° (k∈Z)，令 k＝－2，则 α＝－390°. 答案 D
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规律方法 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合， 再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集 合能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界 的差异.
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【训练3】 如图，若角α的终边落在函数y＝x(x≥0)与y＝ －x(x≤0)的图象所夹的区域(即图中阴影部分，不包括边界)内， 求角α的集合.
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规律方法 求在 0°～360°范围内与已知角终边相同的角， 并判断其为第几象限角，关键是将所给的角写成 α＋k·360° (k∈Z)的形式，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式 求三角函数的值打基础.
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【训练1】 给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；
1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角
目标定位 1.认识角的扩充的必要性，了解任意角的 概念；2.能用集合和数学符号表示终边相同的角；3.能 用集合和数学符号表示象限角及终边满足一定条件的 角.
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自主预习
1.角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面内_一__条__射__线__绕着__端__点__从一
个位置__旋__转__到另一个位置所成的图形.
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
类型 正角
定义 按_逆__时__针__方__向__旋__转__形成的角
图示
负角 按_顺__时__针__方__向__旋__转___形成的角
一条射线_没__有__作__任__何__旋__转__，称它形 零角
成了一个零角
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4.已知角α＝2 010°.
(1)把 α 改写成 k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并
指出它是第几象限角；
(2)求 θ，使 θ 与 α 终边相同，且－360°≤θ<720°.
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解 (1)用 2 010°除以 360°商为 5，余数为 210°. ∴k＝5.∴α＝5×360°＋210°，又 β＝210°是第三象限角.
第三象限 第四象限
____{_α_|k_·_3_6_0_°__＋__1_8_0_°__<_α_<_k_·3_6_0_°__＋__2_7_0_°__，______ _{α__|k_·3_6_0_°__－__9_0_°_k_∈<__αZ_<}_k_·3_6_0_°__，__k_∈__Z__}_
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4.象限角的集合表示
α终边所在 的象限
角α的集合
第一象限
_{_α_|_k·_3_6_0_°__<_α_<_k_·_3_6_0_°__＋__9_0_°__，__k_∈__Z_}_
第二象限 _{_α_|_k_·3_6_0_°__＋__9_0_°__<__α_<_k_·3_6_0_°__＋__1_8_0_°__，__k_∈__Z_}__
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3.终边在直线y＝－x上的角的集合S＝_____. 解析 由于直线 y＝－x 是第二、四象限的角平分线， 在 0°～360°间所对应的两个角分别是 135°和 315°， 从而 S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360° ＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α ＝ (2k ＋ 1)·180 ° ＋ 135 ° ， k ∈ Z} ＝ {α|α ＝ n·180 ° ＋ 135°，n∈Z}. 答案 {α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}
②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；
④－315°是第一象限角，其中真命题有( )
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
解析 对于①：如图 1 所示，－75°角是第四象限角；
对于②：如图 2 所示，225°角是第三象限角；
对于③：如图 3 所示，475°角是第二象限角；
对于④：如图 4 所示，－315°角是第一象限角.