圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典).

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圆锥曲线解题方法技巧归纳

第一、知识储备: 1. 直线方程的形式

(1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

(2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈

②点到直线的距离d =

③夹角公式:

2121

tan 1k k k k α-=

+

(3)弦长公式

直线

y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =-

= 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系

①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)

标准方程:22

1(0,0)x y m n m n m n

+=>>≠且

2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程:22

1(0)x y m n m n

+=⋅<

距离式方程:2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

22

222b b p a a

椭圆:;双曲线:;抛物线:

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?

如:已知21F F 、是椭圆13

42

2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满

足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是( )

A 、双曲线;

B 、双曲线的一支;

C 、两条射线;

D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1

2

2tan 2

F PF P b θ

∆=在椭圆上时,S

1

2

2cot 2

F PF P b θ

∆=在双曲线上时,S

(其中222

1212121212||||4,cos ,||||cos ||||

PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==∙=⋅)

(6)、记住焦半径公式:(1)

00

;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。

(2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为

(3)11||,||22

p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备

1、点差法(中点弦问题) 设()

11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13

42

2=+y x 的弦AB 中点则有

1342

12

1=+y x ,1342

22

2=+y x ;两式相减得(

)()03

4

2

2

2

1

2

2

21=-+-y y

x x

()()

()()

3

4

21212121y y y y x x x x +--

=+-⇒AB k =b

a 43-

2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?

经典套路是什么?如果有两个参数怎么办?

设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到

一个二次方程,使用判别式0∆≥,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ,将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子,然后○1-○2,整体消元······,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b =+,就意味着k 存在。

例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上,且点A 是椭圆短轴的一个端点(点A 在y 轴正半轴上).

(1)若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程; (2)若角A 为090,AD 垂直BC 于D ,试求点D 的轨迹方程.

分析:第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率,从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为090可得出AB ⊥AC ,从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ,然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程;

解:(1)设B (1x ,1y ),C(2x ,2y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有

116

20,1162022

222121=+=+y x y x 两式作差有

16)

)((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04

500=+k

y x (1) F(2,0)为三角形重心,所以由

2321=+x x ,得30=x ,由03

4

21=++y y 得20-=y ,代入(1)得5

6=

k 直线BC 的方程为02856=--y x

2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x (2) 设直线

BC

方程为

80

54,22=++=y x b kx y 代入,得

080510)54(222=-+++b bkx x k

2

215410k kb

x x +-=

+,222154805k b x x +-= 2

2

22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入(2)式得 0541632922=+--k b b ,解得)(4舍=b 或9

4

-

=b 直线过定点(0,)9

4

-,设D (x,y ),则

1494

-=-⨯+

x

y x y ,即016329922=--+y x y

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