圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典).
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圆锥曲线解题方法技巧归纳
第一、知识储备: 1. 直线方程的形式
(1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
(2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈
②点到直线的距离d =
③夹角公式:
2121
tan 1k k k k α-=
+
(3)弦长公式
直线
y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =-
= 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系
①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质
(1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)
标准方程:22
1(0,0)x y m n m n m n
+=>>≠且
2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程:22
1(0)x y m n m n
+=⋅<
距离式方程:2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?
22
222b b p a a
椭圆:;双曲线:;抛物线:
(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?
如:已知21F F 、是椭圆13
42
2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满
足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是( )
A 、双曲线;
B 、双曲线的一支;
C 、两条射线;
D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1
2
2tan 2
F PF P b θ
∆=在椭圆上时,S
1
2
2cot 2
F PF P b θ
∆=在双曲线上时,S
(其中222
1212121212||||4,cos ,||||cos ||||
PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==∙=⋅)
(6)、记住焦半径公式:(1)
00
;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。
(2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为
(3)11||,||22
p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备
1、点差法(中点弦问题) 设()
11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13
42
2=+y x 的弦AB 中点则有
1342
12
1=+y x ,1342
22
2=+y x ;两式相减得(
)()03
4
2
2
2
1
2
2
21=-+-y y
x x
⇒
()()
()()
3
4
21212121y y y y x x x x +--
=+-⇒AB k =b
a 43-
2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?
经典套路是什么?如果有两个参数怎么办?
设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到
一个二次方程,使用判别式0∆≥,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ,将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子,然后○1-○2,整体消元······,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b =+,就意味着k 存在。
例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上,且点A 是椭圆短轴的一个端点(点A 在y 轴正半轴上).
(1)若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程; (2)若角A 为090,AD 垂直BC 于D ,试求点D 的轨迹方程.
分析:第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率,从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为090可得出AB ⊥AC ,从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ,然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程;
解:(1)设B (1x ,1y ),C(2x ,2y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有
116
20,1162022
222121=+=+y x y x 两式作差有
16)
)((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04
500=+k
y x (1) F(2,0)为三角形重心,所以由
2321=+x x ,得30=x ,由03
4
21=++y y 得20-=y ,代入(1)得5
6=
k 直线BC 的方程为02856=--y x
2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x (2) 设直线
BC
方程为
80
54,22=++=y x b kx y 代入,得
080510)54(222=-+++b bkx x k
2
215410k kb
x x +-=
+,222154805k b x x +-= 2
2
22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入(2)式得 0541632922=+--k b b ,解得)(4舍=b 或9
4
-
=b 直线过定点(0,)9
4
-,设D (x,y ),则
1494
-=-⨯+
x
y x y ,即016329922=--+y x y