《振动力学》课程作业

《振动力学》2015春节学期作业

一、无阻尼自由振动

1、如图所示，T 型结构可绕水平轴O 作微小摆动，已知摆动部分的质量为w ，机构绕O 轴的转动惯量为J ，两弹簧的弹簧系数均为k ，且当=0ϕ 时（即机构处于平衡位置时），两弹簧无伸缩，试求该机构的摆动频率。

（答案：2w 2=

h kl J

ω+ ）

2、如图所示，长度为L 的刚性杆件，在O 点铰支，自由端固定一质量为m 的小球。在距离铰支端a 处，由两个刚度系数为k/2的弹簧将刚性杆件支持在铅垂面内。求该系统的固有频率。（忽略刚性杆件和弹簧的质量）

（答案：2

g =(1)ka l mgl

ω-）

3、如图所示，悬臂梁长为L ，截面抗弯刚度为EI ，梁的自由端有质量为m 的质量块，弹簧刚度为k ，求系统的固有频率。

（答案：3

3

3EI kL mL ω+=

）

4、如图所示，半径为R 的均质半圆柱体，在水平面内只作滚动而不滑动的微摆动，求其固有角频率。 （答案：8(916)

g R ωπ=

- ）

5、如图所示，抗弯刚度为623010(N m )EI =⨯⋅ 的梁AB ，借弹簧支撑于A,B 两点处，弹簧系数均为300(/)k N m = 。忽略梁的质量，试求位于B 点左边3m 处，重量为1000()W N = 的物块自由振动的周期。 （答案：T=0.533s ）

6、一个重W 的水箱，借助四根端点嵌固的竖置管柱支撑着。每根柱子的长为L,抗弯刚度为EI 。试求该水箱顺水平方向自由振动的周期。（管柱的质量忽略不计）

（答案：3248WL T EIg

π

= ）

7、《结构动力学基础》，第2章课后习题，第1题、第2题、第8题

二、有阻尼自由振动

1、如图所示，库伦曾用下述方法测定液体的粘性系数'c ：在弹簧上悬挂

一薄板A ，先测出薄板在空气中的振动周期1T ,然后测出在待测粘性系数的液体中的振动周期2T 。设液体对薄板的阻力等于2A 'c v ，其中2A 为薄板的表面面积，v 为薄板的速度。如薄板重W ，试有测得的数据1T 和2T ，求出粘性系数'c 。空气对薄板的阻力不计。 （答案：'22

2112

2W

c T T gAT T π=- ）

2、物体质量为2kg ，挂在弹簧下端。弹簧常数k=48.02N/cm,求临界阻尼系数。

（答案：196Ns/m ）

3、挂在弹簧下端的物体，质量为1.96kg ，弹簧常数k=0.49N/cm,阻尼系数c=0.196Ns/cm 。设在t=0时刻将物体从平衡位置向下拉5cm ，然后无初速度地释放，求此后的运动。 （答案:55(15t)cm t x e -=+ ）

4、《结构动力学基础》，第2章课后习题，第12题

三、简谐荷载作用下的强迫振动

1、如图所示，一无重简支梁，在跨中有重W=20kN 的电机，电机偏心所产

生的离心力为(t)10sin F t ω=kN ，若机器每分钟的转数n=500r/min ，梁的截面抗弯刚度为421.00810EI kN m =⨯⋅ 。在不计阻尼的情况下，试求梁的最大位移和弯矩。 （答案：33max

0.00776(m)4848WL FL y EI EI μ=+=；max 58.66(kN m)44

WL FL M μ=+=⋅ ）

2、建立图示系统的动力学平衡方程，并求系统发热稳态响应。

（答案： 222

120

222222

121222

222221212122x(t)Asin(t ),

(k k ),

[k k (k k )](k )k arctan

[k k (k k )](k k )(k )

c A F m c m c m c m ωθωωωωωθωωω=+++=-++--=-+++- ）

3、如图所示，系统的刚性棒质量不计，0(t)F sin f t ω= 。试建立系统的运动方程，并分别求出○10ωω= ；○20/2ωω= 时，质量块的线位移幅值。 （答案：○104c F k

A m

=

；○20

2

649k

181A c

mk

=+）

四、周期荷载作用下的强迫振动，一般性荷载作用下的强迫振动 1、在如图（a ）所示的系统中，s x 的变化规律如图（b ）所示。试求系统的稳态响应。

（答案：2

222

1sin(n t )1

,arctan

42(n )[2k m(n )](cn )n n n a ka cn x n k m ωθωθπωωω∞=-=-=--+∑

）

2、如图所示，无阻尼单自由度系统受到周期力(t)t F 的作用。应用傅里叶级数求该系统的稳态响应。 （答案：00222

10

2(cos n 1)sin n t 2(t),,(n )n F x n m T πωπ

ωωπωω∞

=-=-=-∑

为系统自振圆频率）

3、如图所示，求无阻尼质量弹簧系统在跃阶力作用下的动态响应。假设初始条件等于零。

（答案:0020

0002

(1cos t),t T (t)[cos (t T)cos t],t T

F m x F m ωωωωω⎧

-≤⎪⎪=⎨

⎪-->⎪⎩ ）

4、如图所示，试确定一个自由度系统对图中抛物线施力函数2211(1t /)Q Q t =- 的无阻尼反应。

（答案：○110t t ≤≤时，21222112(1)(1cos t)Q t x m t t ωωω⎡⎤

=+--⎢⎥⎣⎦

； ○

21t t >时，111

221122

[cos (t t )cos t]sin (t t )cos t Q x m t t ωωωωωωω⎧⎫=-----⎨⎬⎩⎭

）