卡尔曼滤波基础知识

卡尔曼滤波

马尔可夫过程：

在随机理论中，把在某时刻的事件受在这之前事件的影响，其影响范围有限的随机过程，称为马尔可夫过程。一个事件受在它之前的事件的影响的深远程度，通常用在它之前的事件作为条件的概率来表达。受前一个事件的影响，简称为马尔可夫过程；受前两个事件的影响，称为二阶马尔可夫过程；受前三个事件的影响，称为三阶马尔可夫过程！

卡尔曼滤波简介＋算法实现代码（转）：

最佳线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。

现设线性时变系统的离散状态防城和观测方程为：

X(k) = F(k,k-1)·X(k-1)+T(k,k-1)·U(k-1)

Y(k) = H(k)·X(k)+N(k)

其中

X(k)和Y(k)分别是k时刻的状态矢量和观测矢量

F(k,k-1)为状态转移矩阵

U(k)为k时刻动态噪声

T(k,k-1)为系统控制矩阵

H(k)为k时刻观测矩阵

N(k)为k时刻观测噪声

则卡尔曼滤波的算法流程为：

1

2预估计X(k)^= F(k,k-1)·X(k-1)

3计算预估计协方差矩阵C(k)^=F(k,k-1)×C(k)×F(k,k-1)'+T(k,k-1)×Q(k)×T(k,k-1)' Q(k) = U(k)×U(k)'

4计算卡尔曼增益矩阵

K(k) = C(k)^×H(k)'×[H(k)×C(k)^×H(k)'+R(k)]^(-1)

R(k) = N(k)×N(k)'

5更新估计

X(k)~=X(k)^+K(k)×[Y(k)-H(k)×X(k)^]

6计算更新后估计协防差矩阵

C(k)~ = [I-K(k)×H(k)]×C(k)^×[I-K(k)×H(k)]'+K(k)×R(k)×K(k)'

7X(k+1) = X(k)~

C(k+1) = C(k)~

重复以上步骤

其c语言实现代码如下：

#include "stdlib.h"

#include "rinv.c"

int lman(n,m,k,f,q,r,h,y,x,p,g)

int n,m,k;

double f[],q[],r[],h[],y[],x[],p[],g[];

{ int i,j,kk,ii,l,jj,js;

double *e,*a,*b;

e=malloc(m*m*sizeof(double));

l=m;

if (l

a=malloc(l*l*sizeof(double));

b=malloc(l*l*sizeof(double));

for (i=0; i<=n-1; i++)

for (j=0; j<=n-1; j++)

{ ii=i*l+j; a[ii]=0.0;

for (kk=0; kk<=n-1; kk++)

a[ii]=a[ii]+p[i*n+kk]*f[j*n+kk];

}

for (i=0; i<=n-1; i++)

for (j=0; j<=n-1; j++)

{ ii=i*n+j; p[ii]=q[ii];

for (kk=0; kk<=n-1; kk++)

p[ii]=p[ii]+f[i*n+kk]*a[kk*l+j];

}

for (ii=2; ii<=k; ii++)

{ for (i=0; i<=n-1; i++)

for (j=0; j<=m-1; j++)

{ jj=i*l+j; a[jj]=0.0;

for (kk=0; kk<=n-1; kk++)

a[jj]=a[jj]+p[i*n+kk]*h[j*n+kk];

}

for (i=0; i<=m-1; i++)

for (j=0; j<=m-1; j++)

{ jj=i*m+j; e[jj]=r[jj];

for (kk=0; kk<=n-1; kk++)

e[jj]=e[jj]+h[i*n+kk]*a[kk*l+j];

}

js=rinv(e,m);

if (js==0)

{ free(e); free(a); free(b); return(js);} for (i=0; i<=n-1; i++)

for (j=0; j<=m-1; j++)

{ jj=i*m+j; g[jj]=0.0;

for (kk=0; kk<=m-1; kk++)

g[jj]=g[jj]+a[i*l+kk]*e[j*m+kk];

}

for (i=0; i<=n-1; i++)

{ jj=(ii-1)*n+i; x[jj]=0.0;

for (j=0; j<=n-1; j++)

x[jj]=x[jj]+f[i*n+j]*x[(ii-2)*n+j];

}

for (i=0; i<=m-1; i++)

{ jj=i*l; b[jj]=y[(ii-1)*m+i];

for (j=0; j<=n-1; j++)

b[jj]=b[jj]-h[i*n+j]*x[(ii-1)*n+j];

}

for (i=0; i<=n-1; i++)

{ jj=(ii-1)*n+i;

for (j=0; j<=m-1; j++)

x[jj]=x[jj]+g[i*m+j]*b[j*l];

}

if (ii

{ for (i=0; i<=n-1; i++)

for (j=0; j<=n-1; j++)

{ jj=i*l+j; a[jj]=0.0;

for (kk=0; kk<=m-1; kk++)

a[jj]=a[jj]-g[i*m+kk]*h[kk*n+j];

if (i==j) a[jj]=1.0+a[jj];

}

for (i=0; i<=n-1; i++)

for (j=0; j<=n-1; j++)

{ jj=i*l+j; b[jj]=0.0;

for (kk=0; kk<=n-1; kk++)

b[jj]=b[jj]+a[i*l+kk]*p[kk*n+j];

}

for (i=0; i<=n-1; i++)

for (j=0; j<=n-1; j++)

{ jj=i*l+j; a[jj]=0.0;

for (kk=0; kk<=n-1; kk++)