第五章 摩 擦

(a极限

d 2
)
tan

(a极限

d 2
)
tan
2a极限 tan 2a极限 fs
a极限

b 2 fs
a b 2 fs
例5-9 已知：F 200N , fs 0.5 , O1B 0.75m ,
O1O2 KD DC O1A KL O2L 2R 0.5m ,
M A 0
hF
cos

P
a 2

FN d

0
解得 Fs 866N FN 4500N d 0.171m
而 Fmax fs FN 1800N 因 Fs Fmax , 木箱不会滑动；
又 d 0 , 木箱无翻倒趋势.
木箱平衡
（2）设木箱将要滑动时拉力为 F1 Fx 0 Fs F1 cos 0 Fy 0 FN P F1 sin 0
AC O1D 1m , ED 0.25m , 各构件自重不计；
求： 作用于鼓轮上的制动力矩.
对图 (a) MO1 0 FAC O1A F O1B 0 （a）
得 FAC 300N
对图(b)
M D 0 FEK cos DE FCA CD 0
得 FEK cos 600N
F cos 30o P sin 30o Fs 0
F sin 30o P cos30o FN 0
解得： F 403.6N (向上) s FN 1499N
而
F max
f s
F N

299.8N
物块处于非静止状态．
F f F 269.8N , 向上．
d
dN
又 Fs Fmax fs FN
解得
F1

cos
fs fs sin
1876N
设木箱有翻动趋势时拉力为 F2
M A 0
F cos h P a 0
2
2
解得
F2

Pa
2h cos
1443N
能保持木箱平衡的最大拉力为 1443N
* 对此题，先解答完（2），自然有（1）.
(1)
F 0, y
F1 sin P cos FN1 0 (2)
FS1 f s FN1 (3)
解得：F1

sin cos

fs cos fs sin
P
设物块有下滑趋势时，推力为
F2
，画物块受力图：
Fx 0, F2 cos P sin Fs2 0 (1)
FD F C fDFND 25.86N
C 处无滑动 Fmin 47.81N .
例5-7 用几何法求解例5-1.
已知：P , , fs . 求： 使物块静止，水平推力F 的大小．
解: 物块有向上滑动趋势时， F1 P tan( )
物块有向下滑动趋势时， F2 P tan( )
又 FsA fs FNA FsC fs FNC
联立解得 e a
2 fs
则抽屉不被卡住，e a .
2 fs
例5-11 已知：M A 40N m , fs 0.3 , 各构件自重不计，尺寸如图； 求：保持系统平衡的力偶矩 MC .
解：设 MC MC1时，系统即将逆时针方向转动，
fs
全约束力和法线间的夹角的 正切等于静滑动摩擦系数。
摩擦锥（角） 0 f
2 自锁现象
3、测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
tan tan f fs
斜面自锁条件 f
螺纹自锁条件 f
§5-3 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基 本相同。
P

F1
若 fs 0 , F Ptg .
对此题，是否有
FS1 FS 2 ?
FN1 FN 2 ?
例5-2 已知：P 1500N , fs 0.2 , fd 0.18 ,F 400N：
求：物块是否静止，摩擦力的大小和方向．
解： 取物块，设物块平衡
Fx 0,
Fy 0,
FB fs FBN
解得： a b 2 fs
则：挺杆不被卡住时， a

b 2 fs
.
例5-5
已知： 物块重 P, 鼓轮重心位于 O1处，闸杆重量不计， fs , 各尺寸如图所示：
求： 制动鼓轮所需铅直力F.
解：分别以闸杆与鼓轮为研究对象
设鼓轮被制动处于平衡状态
对鼓轮， MO1 0 对闸杆， MO 0 且 Fs fs FN
(b) θ
Fx 0 FxD FEK cos 0
得 FxD 600N
对图 (c) MO1 0
FxD

O1D

FN
2

1 2
O1D

0
(c)
(d)
得 FN 2 1200N
对图 (d) MO2 0

FKE

KO2

FN1

1 2
KO2

0
得 FN1 1200N
F F 100N , F F 40N ,
NC
NC
C
D
得 F 26.6N Fy 0 FND P FNC cos 60o FC sin 60o 0
得 FND 184.6N
当时，fD 0.3 FDmax fs FND 55.39N FD 40N FDmax , D 处无滑动
对图(e) MO Fs2R Fs1R
(e)
Fs2 fs FN 2
Fs1 fs FN1
解得 M 300N m
对此题，
对 O1AB 杆，(a) 图，Fx 0 FxO1 0
对图 (d)
，M D 0
FN
2

1 2
O1D

FxO1

O1D

0
得 FN 2 0 为何？
动滑动摩擦的特点： 1 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向； 2 大小： Fd fd FN
fd fs （对多数材料，通常情况下）
§5-2 摩擦角和自锁现象
1 摩擦角 FRA 全约束力
物体处于临界平衡状态时，
全约束力和法线间的夹角。
摩擦角
tan f
Fmax FN

fs FN FN
例5-4 已知：b , d , fs , 不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求：挺杆不被卡住之 a 值.
解： 取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置.
Fx 0 FAN FBN 0
Fy 0 FA FB F 0
M A 0
F
(a

b 2
)

FB d

FBN b

0
FA fs FAN
例5-10 已知： 抽屉尺寸a , b ，
f s（抽屉与两壁间），不计抽屉底部摩擦；
求： 抽拉抽屉不被卡住之e值。
解： 取抽屉，设抽屉刚好被卡住
Fx 0 FNA FNC 0
Fy 0 FsA FsC F 0
M A 0
FsC

b

FNC

a

F
(
b 2

e)

0
而 FT P, Fs Fs
rFT RFs 0 Fa FN b Fsc 0
解得 F r(b fsc)
fs Ra
例5-6
已知： 均质轮重 P 100N
fC 0.4（杆，轮间） r , l ,
,杆无重，FB 50N , 60o 时，AC CB
l 2
;
求： 若要维持系统平衡
（1） fD 0.3(轮，地面间），轮心 O处水平推力；Fmin （2） fD 0.15（轮，地面间），轮心 O 处水平推力 Fmin.
解：F 小于某值，轮将向右滚动，角变小. C , D
两处有一处摩擦力达最大值，系统即将运动.
(a) 先设C 处摩擦力达最大值，分别取杆与轮 为研究对象.
几个新特点 1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 严格区分物体处于临界、非临界状态； 3 因 0 Fs Fmax ，问题的解是在一个范围内。
例5-1

已知：P , , fs . 求： 使物块静止，水平推力F 的大小．
解：使物块有上滑趋势时，推力为
F1
，画物块受力图
F 0, x
F1 cos P sin Fs1 0
Fx 0 FNC sin 60o FC cos 60o F FD 0 （2）
Fy 0 FND P FNC cos 60o FC sin 60o 0 （3） 此时 FD fDFND （4） 共有 FD , FC , F , FND 四个未知数 在 fD 0.3 时， 解得 F 4.62N 即在fD 0.3时，D 处不会先滑动. 当 fD 0.15 时，解得 FND 172.4N
(c)
对图(c) ，M A 0
FN 2 AB M A 0
对图 (d) ，MC 0 MC2 FN 2 l sin 60o Fs2 l cos 60o 0
又 Fs2 Fs2 fs FN 2 fs FN 2
(d)
解得 MC2 49.61N m 系统平衡时，
第五章 摩 擦
§5-1 滑动摩擦 §5-2 摩擦角和自锁现象 §5-3 考虑摩擦时物体的平衡 §5-4 滚动摩阻的概念 例题
滑动摩擦
摩擦 滚动摩擦
静滑动摩擦 动滑动摩擦
静滚动摩擦 动滚动摩擦
干摩擦
摩擦 湿摩擦
《摩擦学》
§5-1 滑动摩擦
Fx 0 FT Fs 0 Fs FT 静滑动摩擦力的特点： 1、方向：沿接触处的公切线， 与相对滑动趋势反向； 2、大小：0 Fs Fmax 3、Fmax fsFN（库仑摩擦定律）
对 AB 杆
M A 0
FNC

l 2

FB

l

0
得 FNC 100N
又 FC FCmax fC FNC
得 FC 40N
对轮 MO 0 FC r FD r 0 得 FD FC 40N
Fx 0 FNC sin 60o FC cos 60o F FD 0
F2 P tan( ) F P tan( ) F1
利用三角公式与 tan fs ,
得 P sin fs cos F P sin fs cos
cos fs sin
cos fs sin
例5-8 用几何法求解例5-4.
解： b
Fy 0, F2 sin P cos FN2 0 (2)
Fs2 fs FN 2 (3)
F2

sin cos

fs cos fs sin
P
为使物块静止
F2

sin cos

fs cos fs sin
P

F

sin cos

fs cos fs sin
Fmin 26.6N (b) 先设 D 处摩擦力达最大值，取杆与轮，受力图不变
l
对AB 杆 M A 0 FNC 2 FB lห้องสมุดไป่ตู้ 0
得 FNC 100N 不变 但 FC FC max fC FNC
对轮 MO 0 FC r FD r 0 得 FD FC （1）
49.61N m MC 70.39N m
例5-12 已知：力 P角 ，不计自重的 A , B 块间的
静摩擦系数为 fs 其，它接触处光滑； 求：使系统保持平衡的力 F的值.
解： 取整体
Fy 0 FNA P 0 FNA P 设力 F 小于F1 时，楔块 A 向右运动， 取楔块 A ，F1 FNA tan( ) P tan( )
画两杆受力图.
(a)
(b)
对图(a) ，M A 0 FN1 AB M A 0 对图(b) ，MC 0 MC1 FN1 l sin 60o Fs1 l cos 60o 0 又 Fs1 Fs1 fs FN1 fs FN1 解得 MC1 70.39N m 设 MC MC2 时，系统有顺时针方向转动趋势， 画两杆受力图.
例5-3
已知：均质木箱重 P 5kN , fs 0.4 , h 2a 2m , 30o ；
求：（1）当D处为拉力 F 1kN 时，木箱是否平衡?
（2）能保持木箱平衡的最大拉力.
解：（1）取木箱，设其处于平衡状态.
Fx 0 Fs F cos 0
Fy 0 FN P F sin 0