几何光学习题课

f
n nL n n nL r r2 1

1 1.5 1 20 1 1.5 15
120
1 s

1 s

1 f
s 40
1
1 s
s s

1 40

1 120
3 2
s 60 虚像

60 40
2 s
代入上式得： u 23.5cm / s 符号说明向凹面镜顶点靠近 直接利用公式结果一样
u f
2 2
( a f )
u
1-11题，如图，证明：
pp (1
1 n
)d
i1
o
i2
p
Q
··
l
p′
l
i1′
sin( i1 i2 ) cos i2
d
证明：设两条 光线平移的距离为l ，由折射定律：

2 15
1 3
s 10
实像
2

10 30
第三面成像 （折射成像） （光线自右向左传播）
s 10
r 20
1 s 1.5 10 1 1.5 20
s 8
实像
3
ns ns

1.5 8 1 ( 10)
1.2
1 2 3
n 1
n 1.5
r 20
ns ns
1.5 s

1 40

1.5 1 20
s 30
虚像
1
30 1.5 40

1 2
第二面成像 （反射成像）
1 s 1 s 2 r
薄透镜 d 0
1
s 30
r 15
s

1 30
s s
L1
L2
6cm
棱镜成像即为平行平板成像， 其厚度为6cm,
3cm
5cm 10cm
棱镜成像：像的平移 距离为
pp (1 (1 1 1. 5 1 n ) 6 2cm )d
A
B
D L1 L2
6cm
3cm
45°
6cm
再经L1成像
物距：
3cm
s1
1 2
解：
u ds dt
u
dx dt
u ds dt
a
u
u s
f
2 2
1 s

1 s

1 f
两边微分
2

u s
2
0
af a f
u
s s
2
2
u
当 s a 时，由成像公式可得
u ( a f ) u
s
u′为像相对透镜的速率 像相对光源的速率为：u+u′
二流化碳中：
f n nL n n nL r r2 1
两焦距之比：
f cs2 f空气
8.64
该式说明：①对于同一个透镜，放在不同介质中使用， 焦距是不同的，对于该题在二硫化碳中使用时焦距比 空气中使用时要大。 ②负号表示在两种介质中使用 时，其性质不一样。在一种介质中为正透镜时，在另 一种介质中为负透镜。
1 s 1 s 1 f
此时， s
f 0.5m

s 0.5 m
1 0.5 2 D 200度
校正远视眼：将明视距离处的物体，成像在近点。
此时， s 25cm s 近点
这样得到的透镜的光焦度，即为所戴眼镜的度数
1
1 2
ho
2
O
po
p
h1
1 ( 200) 1 1.5
300
f1
nr 1 n n
200
f 2

400
f2
nr2 n n
600
d f 2 f1 10 600 300 890
f
f
f1f 2
f1 f 2 d


300 400 890
cos i1 sin i2 cos i2 sin i1
)
sin i2 sin i1

1 n
l d sin i1 (1
1 n

cos i1 cos i2
) d sin i1 (1
cos i1 n 1 sin i2
2
)
sin i2
1 n
l
sin i1
l d sin i1 (1
s1 s1
s1 (6 3 3 10 2) 20cm
5cm 10cm
s2 s2 ) 10 20 0.5
由凸透镜成像公式可得 再经L2成像可得： 2 10 s
y y 0.5cm
(
像为缩小的、倒立的虚像
例题：如图所示，曲率半径为R，高度为h=3R/4的两 个相同的凹面镜相对叠合，在上面的凹面镜中心处开 一个圆孔形通光窗口。一个小物置于下面的凹面镜表 面构成魔镜。求先后经过上下凹面镜两次反射后成像 的位置和大小，以及像的倒正、放缩和虚实情况。
例题：双凸厚透镜两个球面表面的曲率半径各100mm 和200mm，沿轴厚度为10mm，玻璃的折射率为1.5， 试求其焦点、主点和节点的位置，并绘图表示之。
解： 将两个球面折射视为两个系统。
d=10
f1
两个球面折射系统的焦距为
nr 1 n n
nr2 n n

1.5 ( 100) 1.5 1
A2 （-10，-12）
将A1作为物可求出像点A y A
1
注意：A1为虚物点
L F' A o
-2
x
M
A2 （-10，-12）
1-19题：一个用玻璃(nL=1.53)制成的薄透镜，在空气和 二硫化碳（n=1.63）中使用，其焦距及性质有何改变？ 解： 空气中：
f f 1 nL 1 1 nL r r2 1 1 ( nL 1)( 1 r 1 1 r2 )
解：
1 s1 1 s1
第一次反射成像
2 s1 2h r 1
3 2 R
r R 1
3 4 R
s1
2hR 4h R

1
1 2
第二次反射成像
s2 2h s1 h s2 3 2 R 2h 3 4 R
1 s2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 s2

2 r2
1
( ) 1.2 2 3 5
1
1
s 8
成像为：倒立的、缩小的实像 方法二：薄透镜成像 第一次薄透镜成像： 先求焦距
f n nL n n nL r r2 1
n n 1
r 20 1
nL 1.5
r2 15

y3 y1
提示：多次成像时总横向放大率用公式：
1 2 3
1-35题：焦距为10cm的凸透镜的主轴与x轴重合，光 心o是坐标原点，有一平面镜M放在y=-2cm,x>0的位 置，眼睛从平面反射镜反射的光中看到发光点A的像 位于A2处，A2的坐标见图，1）求此发光点的位置； 2）写出用作图法确定A位置的步骤并作图。 y 解：由平面镜成像性质很容易 L 求出中间像A1的坐标。 x o
3
60 / 7 120 s 8 56 3 s 60 / 7 60
( ) 2 7 60 5 1 56 1

成像为：倒立的、缩小的实像
注意：横向放大率的问题。
多次成像时总横向放大率为：
1 2 3
可否直接用公式：
s3 s1
第二次成像 （反射成像）
s 60
2
s s
r 15
60 / 7 60
1 s

1 s

2 r
s
60 7
1 7
实像
第三次薄透镜成像 光线自右向左传播
f 120
1 s 1 s 1 f
s
1 s
60 7
1 1
s 8 实像
1 2 3
习题：1-18 一个新月形薄透镜（nL=1.5）,它的两个 球面的曲率半径分别为20cm和15cm,并在第二个表面 上镀银，高为1cm的垂轴小物正立在镜前40cm处，求 最终像的位置并判断像的性质。 解： 三次成像问题
方法一：单球面成像 第一面成像：
n s n s n n r
s 40
cos i1 n sin i1
2 2
)
pp
d (1
cos i1 n sin i1
2 2
)
sin i1
在近轴条件下，
pp (1 1 n )d
cos i1 1
sin i1 0
由该例题可以看出：平行平板在近轴条件下，可以 成像，其成像特点为：
1
即平行平板仅使像平移，而像的性质不变。
n s n s 2n r
s 30
s 9
r 13.85cm
19.2D
6.9cm
焦距为： f f
r 2
由该题可以看出：球面镜放在任何介质中其焦距不 变，但光焦度不同。 这与透镜就不一样了，由上题可知，透镜放在不同 介质中使用，焦距是不同的。
1-23题，若光源不动，焦距为f′的透镜以速率u向像光 源移动，求当光源与透镜相距a时，光源的实像相对 于光源的速率。
r2 R
1 2
11 (1) (2) 1
最终成像于通光窗口处， 为等大正立的实像。 如果在装置的底部放置一个立体的动物模型，在 通光窗口处就可以看见动物模型的实像，称此装 置为魔镜。
例题1：有一人远点为0.5m，他应戴多少度 的眼镜校正近视眼？ 解：近视眼看不清无穷远处的物体，将无穷远处的物 体经眼镜成像在0.5m处，他就可以看清。 由成像公式：
习题：1-8
.
s 20
n s 20 12.5 n n r
已知：棒总长为40 cm，物点在中心，从左端看 表观深度为12.5cm, 求：从右端看时的表观深度
解： 从左端看时光线自右向左传播：
s 12.5
n s n s 0
属于平面折射成像 由成像公式：
1 12.5 n 20
F
f
1 p
例 凸面镜的曲率半径为 0.400 m , 物体置于凸面镜左 边 0.500 m 处, (1) 用作图法 画出物体的像位置; (2) 求实 际像的放大率. 解 (2) f
v u u [1 2 f (a f )
2
]u
a (a 2 f ) (a f )
2
u
利用以上结果很容易求解16题 1-16题：在曲率半径为120cm的凹面镜的主轴上，离 镜面95cm处有一实物以8cm.s-1的速度沿轴离去，试求 像的移动速度。 解：
r 120 s 95 u 2 u 1 1 2 s 解得： s 162.85 s s r
200 600
134.83mm
134.83mm
890 10 X H f 2 400 4.49mm 890 d 10 XH f1 200 2.24mm 890
·
F H
H′
·
F′
· ··
f1 c
c′
·
f2′
1-21题：一个凹球面镜浸没在水（n=1.33）中，物在 镜前30cm处，像在镜前9cm处，求该镜的曲率半径 和光焦度。 解：由成像公式
A1 （-10，8）
即中间像像高为8cm，像距为-10cm.
由成像公式可求出物距及物高
-2
M
A2 （-10，-12）
1 s

1 s

1 f
s 10
2
y y
f 10
8 2 4
s5

s s

10 5
A点的坐标 A （-5，4）

y
A1
A
L
o
-2
F'
x M
r
n s
注意：物方和像方的折射率
0
n
1.6
.
从右端看时光线自左向右传播： 属于球面折射成像
s 20
n s n s n n r
r 12
由成像公式：
1 s 1.6 20 1 1.6 12
s 33.3cm
s′< 0 说明像在棒内（虚像）
1-30题，如图所示：一个光学系统由棱镜 两个透镜以及遮光板组成，AB为一平行与主轴的 物体，已知： f1 20cm f 2 10cm AB 1cm 求物体经系统所成的最终像的位置并判断该像的 性质。
A B D
解：先讨论棱镜成像
6cm 3cm
45°
光在棱镜内传播， 相当于光通过了一 个平行平板，
OQ d cos i2
sin i1 n sin i2
sin( i1 i2 ) cos i2 d
PQ l OQ sin( i1 i2 )
l
sin( i1 i2 ) cos i2
d
sin i1 cos i2 cos i1 sin i2 cos i2
d
d sin i1 (1